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- 2021-05-10 发布
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首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。
一、 与三角形有关的动点问题
1、例题:
如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动
点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
y
x
O
P
Q
A
B
(1) 求直线AB的解析式;
(2) 当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
(3) 当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位?
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b
y
x
O
P
Q
A
B
由题意,得 b=6
8k+b=0
解得 k=- b=6
所以,直线AB的解析式为y=-x+6.
(2)由 AO=6, BO=8 得 AB=10
所以AP=t ,AQ=10-2t
y
x
O
P
Q
A
B
1°当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB.
所以 = 解得 t=(秒)
2°当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB.
所以 = 解得 t=(秒)
(3)过点Q作QE垂直AO于点E.
y
x
O
P
Q
A
B
E
在Rt△AOB中,Sin∠BAO==
在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·=8-t
所以,S△APQ=AP·QE=t·(8-t)
=-+4t=
解得t=2(秒)或t=3(秒).
二、与四边形有关的动点问题
1. 例题:
在平行四边形ABCD中,AD=4 cm,∠A=60°,BD
⊥AD. 一动点P从A出发,以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD .(1) 当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;(2) 当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN,使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .① 求S关于t的函数关系式;② (附加题) 求S的最大值。
解题思路:第(1)问比较简单,就是一个静态问题当点P运动2秒时,AP=2 cm,由∠A=60°,知AE=1,PE=.∴ SΔAPE=
第(2)问就是一个动态问题了,题目要求面积与运动时间的函数关系式,这就需要我们根据题目,综合分析,分类讨论,P点从A→B→C一共用了12秒,走了12 cm,Q 点从A→B用了8秒,B→C用了2秒,所以t的取值范围是 0≤t≤10
不变量:P、Q 点走过的总路程都是12cm,P点的速度不变,所以AP始终为:t+2
若速度有变化,总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×(t-变化点所用时间)如当8≤t≤10时,点Q所走的路程AQ=1×8+2(t-8)=2t-8
① 当0≤t≤6时,点P与点Q都在AB上运动,设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,QF=,AP=t+2,AG=1+,PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形,其面积为(PG + QF )×AG÷2 S=.
当6≤t≤8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,DF=4-(总量减部分量),QF=,AP=t+2,BP=t-6(总量减部分量),CP=AC- AP=12-(t+2)=10-t(总量减部分量),PG=,而BD=,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.
当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,则AQ=2t-8,CQ= AC- AQ= 12-(2t-8) =20-2t,(难点)QF=(20-2t),CP=10-t,PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动.
(1)求P点从A点运动到D点所需的时间;
(2)设P点运动时间为t(秒)。
①当t=5时,求出点P的坐标;
②若⊿OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围).
解:(1)P点从A点运动到D点所需的时间=(3+5+3)÷1=11(秒)
(2)①当t=5时,P点从A点运动到BC上,
此时OA=10,AB+BP=5,∴BP=2
过点P作PE⊥AD于点E,则PE=AB=3,AE=BP=2
∴OD=OA+AE=10+2=12
∴点P的坐标为(12,3).
②分三种情况:
i.当0<t≤3时,点P在AB上运动,此时OA=2t,AP=t
∴s=×2t×t= t
ii.当3<t≤8时,点P在AB上运动,此时OA=2t
∴s=×2t×3=3 t
iii.当8<t<11时,点P在CD上运动,此时OA=2t,AB+BC+CP= t
∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t
∴s=×2t×(11- t)=- t+11 t
综上所述,s与t之间的函数关系式是:当0<t≤3时,s= t;当3<t≤8时,s=3 t;当8<t<11时,s=- t+11 t
一、三角形边上动点
x
A
O
Q
P
B
y
s1、直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段 运动,速度为每秒1个单
位长度,点沿路线→→运动.
(1)直接写出两点的坐标;
(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间
的函数关系式;
(3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.
二、 特殊四边形边上动点
P
Q
A
B
C
D
4、如图所示,菱形的边长为6厘米,.从初始时刻开始,点、同时从点出发,点以1厘米/秒的速度沿的方向运动,点以2厘米/秒的速度沿的方向运动,当点运动到点时,、两点同时停止运动,设、运动的时间为秒时,与重叠部分的面积为平方厘米(这里规定:点和线段是面积为的三角形),解答下列问题:
(1) 点、从出发到相遇所用时间是 秒;
(2)点、从开始运动到停止的过程中,当是等边三角形时的值是 秒;
(3)求与之间的函数关系式.
5、如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
O
M
B
H
A
C
x
y
图(2)
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
O
M
B
H
A
C
x
y
图(1)
注意:第(2)问按点P到拐点B所用时间分段分类;
第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余,画出点P运动过程中,
∠MPB=∠ABM的两种情况,求出t值。
利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.
6、如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(3,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒.
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF;
(3)设四边形AEFD的面积为S.
①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2时,求m的取值范围(写出答案即可).
B
A
C
D
P
O
Q
x
y
注意:发现特殊性,DE∥OA
7、已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动,设秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
8、已知:如图,在直角梯形中,,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒.
(1)求直线的解析式;
(2)若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的?
A
B
D
C
O
x
y
A
B
D
C
O
P
x
y
(3)动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
13、(08宜昌)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,P是边AB(含端点)上的动点.过P作BC的垂线PR,R为垂足,∠PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF,其顶点E,F恰好分别在边BC,AC上.
(1)△ABC与△SBR是否相似,说明理由;
(2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系;
(3)设边AB=1,当P在边AB(含端点)上运动时,请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.
(第13题)
(第13题)
提示:第(3)问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形;当p运动到使T与R重合时,PA=TS为最大;当P与A重合时,PA最小。此问与上题中求取值范围类似。
14/如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;A
C
B
P
Q
E
D
提示:(3)按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出t值;有二种成立的情形,
DE∥QB,PQ∥BC;
(4)按点P运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出t值;有二种情形,
CQ=CP=AQ=t时,
QC=PC=6-t时.