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- 2021-05-10 发布
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图形中动点的运动[来源:zzst#~e@p^&.com]
知识互联网
题型一:因动点产生的函数关系问题
思路导航
我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题,初三已学习了新的图形——圆,出现了一些以圆为背景,因点的运动产生的函数问题,这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.
典题精练
[www.*zz@&step.c~o^m]
圆中点的运动产生函数图象问题[来&源~:*zzstep.co@m%]
⑴ 如图,是的直径,为圆上一点.点从点出发,沿运动到
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点,然后从点沿运动到点.假如点在整个运动过程中保持匀速,则下面各图中,能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是( )
A. B. C. D.
⑵ 如图,点、、、为圆的四等分点,动点从圆心出发,沿线段线段的路线作匀速运动.设运动时间为秒,的度数为度,则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是( )
A. B. C. D.
⑶ 如图,点是以为圆心,为直径的半圆上的动点,,设弦的长为, 的面积为,则下列图象中,能表示与的函数关系的图象大致是( )
⑷ 如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合),CF⊥CD交AB于F,DE⊥CD交AB于E, G为半圆中点, 当点C在上运动时,设的长为,CF+DE= y,则下列图象中,能表示y与的函数关系的图象大致是
( )
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O
y
x
O
O
O
x
x
x
y
y
y
A B C D[来源:zzstep%.@#co&*m]
⑴ B.⑵ C.⑶ A.⑷ B.
2. 因动点产生的面积问题
如图1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)().解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC.
(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角.
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(1)BP=2t,则AP=10-2t.[来源#*:中~教&%网]
∵PQ∥BC,∴,即,解得t=,
∴当t=s时,PQ∥BC.
(2)如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D.
∴PD∥BC,∴,即,解得PD=6-t.
S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+,
∴当t=s时,S取得最大值,最大值为cm2.[www.z#&zste^p~.co@m]
(3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,
则有S△AQP=S△ABC,而S△ABC=AC•BC=24,∴此时S△AQP=12.
由(2)可知,S△AQP=-t2+6t,
∴-t2+6t=12,化简得:t2-5t+10=0,
∵△=(-5)2-4×1×10=-15<0,此方程无解,
∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分.
(4)假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t.
如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,[来源:中@%教网~]
∴,即,
解得:PD=6-t,AD=8-t,
∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t.
在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,
即(8﹣t)2+(6﹣t)2=(2t)2,
化简得:13t2﹣90t+125=0,
解得:t1=5,t2=,
∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=.
由(2)可知,S△AQP=-t2+6t
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∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×(-t2+6t)=2×[-×()2+6×]=cm2.
所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为cm2.
题型二:因动点产生的特殊图形问题
典题精练
[来@#^源%:中*教网]
1. 因动点产生的等腰三角形问题
如图,四边形为矩形,,动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动,动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,运动结束.过点作交于点,连接.已知动点运动了秒.
⑴ 请直接写出的长;(用含的代数式表示)
⑵ 试求的面积与时间秒的函数关系式,写出自变量的取值范围,并求出的最大值;[来^&源:中教网@~%]
⑶ 在这个运动过程中,能否为一个等腰三角形.若能,求出所有的对应值;若不能,请说明理由.
⑴ ;
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⑵ [中&国教育*%出@#版网]
其中,[www.zz^s%~@tep#.com]
∴当时,取得最大值.
⑶ 由⑴可知:.
①若,则,解得,
②若,则过点作于,[www.^zz~*st@%ep.com]
易得是矩形,,
又,则,
∴,解得(舍去)
∴,
另解:过点作.
∴,∴
又,∴,解得.[来@源~:中教网%]
③若,则过点作于,[来@源:&zzste^p.com~#]
易得是矩形,,且,
∴,解得.
综上所述,若可以成为等腰三角形,满足条件的的值可以为.
2. 因动点产生的直角三角形问题[中国教育@出#版网&*%]
如图,已知是线段上的两点,,
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.以为中心顺时针旋转点,以为中心逆时针旋转点,使、两点重合成一点,构成,设.
⑴求的取值范围;[www#.~z%zst@ep.^com]
⑵若为直角三角形,求的值.
⑴ 在中,∵,,.
∴,解得.
⑵ ①若为斜边,则,即,无解.
②若为斜边,则,解得,满足.
③若为斜边,则,解得,满足.
∴或.
3. 因动点产生的特殊四边形问题
如图,在矩形中,,,,,分别从,,,出发沿,,,方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若,则,CM=3xcm,.
⑴当为何值时,以,为两边,以矩形的边(或)的一部分为第三边构成一个三角形;
⑵当为何值时,以,,,为顶点的四边形是平行四边形;
⑶以,,,为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求的值;如果不能,请说明理由.
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⑴当点与点重合或点与点重合时,
以,为两边,以矩形的边(或)的一部分为第三边可能构成一个三角形.[来源:^zz&@s*tep.com%]
①当点与点重合时,
由得,(舍去)[中^国教育出版网~@]
因为,[w~ww.zz#s^tep%@.com]
此时点与点不重合.
所以符合题意.
②当点与点重合时,
由得
此时,不符合题意.
故点与点不能重合.
所以所求的值为.[www.z%#z&ste*p@.com]
⑵ 由⑴知,点只能在点的左侧,
①当点在点的左侧时,
由,
解得.
当时,四边形是平行四边形.
②当点在点的右侧时,[来&源:*zzstep.c#~o%m]
由,[来%源@:#&中教网*]
解得.
当时四边形是平行四边形.[来#源:z~zstep*.co&m%]
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所以当时,以,,,为顶点的四边形是平行四边形.
⑶ 过点,分别作的垂线,垂足分别为点,.
由于,
所以点一定在点的左侧.
若以,,,为顶点的四边形是等腰梯形,
则点一定在点的右侧,且,
即.
解得.
由于当时, 以,,,为顶点的四边形是平行四边形,
所以以,,,为顶点的四边形不能为等腰梯形.
如图,在中,,,.动线段(端点从点开始)沿边以的速度向点运动,当端点到达点时运动停止.过点作交于点(当点与点重合时,与重合),连接,设运动的时间为秒().
⑴直接写出用含的代数式表示线段、的长;
⑵在这个运动过程中,能否为等腰三角形?若能,请求出的值;若不能,请说明理由;
⑶设、分别是、的中点,求整个运动过程中,所扫过的面积.[来@#源^:%中教*网]
【解析】⑴,
.
⑵分三种情况讨论:[来^&%源:中教网@~]
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①当时,
有,
∴点与点重合,
∴.
②当时,
∴,
解得:.
③当时,
有,
∴.
∴,即,
解得:.[来源:中国教~^育出版&网*#]
综上所述,当、或秒时,为等腰三角形.
⑶设是的中点,连接,[来源*:中&~#^教网]
∵,
∴.
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∴,∴.[ww~w.@z^zstep.#c*om]
又,∴,
∴.
∴点沿直线运动,也随之平移.
如图,设从位置运动到位置,则四边形是平行四边形.
∵、分别是、的中点,∴,且.
分别过点、作,垂足为,垂足为,延长交于点,则四边形是矩形,
当时,,;
当时,,.
∴.[www.z%@^z~step.c*om]
∴.
∴整个运动过程中,所扫过的面积为.
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复习巩固
[中国教育*^出版网~%&]
题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习
如图,直线与两坐标轴分别交于、两点,边长为2的正方形沿着轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形与△AOB重叠部分的面积为.则表示与的函数关系的图象大致是( )
D.
A
B
C
D
E
F
题型二 因动点产生的特殊图形问题 巩固练习
如图,在矩形中,(是大于的常数),,为线段上的动点(不与、重合).连结,作,与射线交于点,设,.
⑴求关于的函数关系式;
⑵若,求为何值时,的值最大,最大值是多少?
⑶若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
⑴ 因为与都是的余角,所以.
又因为,所以.
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因为,即.
整理,得关于的函数关系为.
⑵ 如图1,当时,.
因此当时,取得最大值为2.
⑶ 若,那么.整理,得.
解得或.
要使为等腰三角形,只存在的情况.
因为,所以,即.
将代入,得(如图2);
将代入,得(如图3).
如图,已知中,,,,P、Q分别是边AB.BC上的动点,且点P不与A.B重合,点Q不与B.C重合,当CQ的长取不同的值时,是否可能为直角三角形?若可能,请求出CQ的范围;若不能,说明理由.
为直角三角形,可能有三种情况,但点P不与点A重合,所以么不可能为直角,因此有两种情况:
⑴ 若为直角,如图,则CQ的范围为[来源:~中教&%*网^]
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⑵ 若为直角,则点P在以CQ为直径的上,而点P在边AB上,就必须与边AB有公共点,即与边AB相切或相交,我们先从与边AB相切入手求出CQ的长:如图,连结OP,则,
得.设,得,
解得,∴
∴若为直角,CQ的范围为.[来@源:z%zstep.&^co*m]
从相等到不等求范围,要抓住变化中图形的特殊位置,而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口.
已知:如图,在直角梯形中,,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒.
⑴求直线的解析式;
⑵若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的?
⑶动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
⑷当动点在线段上移动时,能否在线段上找到一点,使四边形为矩形?请求出此时动点的坐标;若不能,请说明理由.
A
B
D
C
O
x
y
(此图备用)
A
B
D
C
O
P
x
y
[来~#源:中国教育出版^&%网]
[来#%源:^~中教网&]
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⑴ 直线的解析式为.
⑵ 如图1,过点作轴,垂足为.
在中,,,.
所以.
梯形的面积.
解方程,解得.
因此,当时,四边形的面积是梯形的面积的.
⑶ 如图1,① 当在线段上时,,;
② 如图2,当在线段上时,,;
③ 如图3,当在线段上时,,.
⑷ 四边形不可能成为矩形.说理如下:
如图4,当时,作交轴于.[www.z#z&ste^p~.co@m]
在中,,.
在中,,.
所以,因此四边形不是矩形.
已知:如图①,在中,,,,点由出发沿
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方向向点匀速运动,速度为1cm/s;点由出发沿方向向点匀速运动,速度为2cm/s;连接.若设运动的时间为()
A
Q
C
P
B
图①
A
Q
C
P
B
图②
如图②,连接,并把沿翻折,得到四边形,那么是否存在某一时刻,使四边形为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.[来源&@:中国教育~出版*^网]
[来源:#z~zstep&.c%o*m]
如图过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,
P ′
B
A
Q
P
C
M
N
若四边形PQP ′ C是菱形,那么PQ=PC.
∵PM⊥AC于M,
∴QM=CM.[来^@源%:中~教#网]
∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.[中%^@国教&育出~版网]
∴,∴,
∴, ∴,
∴,解得:.[中国#教&%育出版^*网]
∴当时,四边形PQP ′ C 是菱形.[来~%源#:中国教育出*版&网]
此时, ,
在Rt△PMC中,,
∴菱形PQP ′ C边长为.
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【测试1】如图:等边中,边长,点在线段上,点在射线上,点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动,点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动,当点停止时点也停止运动,设运动时间为秒,若、、三点围成的图形的面积为来表示,则与的图象是()
A B C[来源:zzstep%@.*com]
【解析】B[中&国教育#*~出^版网]
[来~源:中国^%&教#育出版网]
【测试2】 矩形中,点是线段上一动点,为的中点,的延长线交于.
⑴ 求证:;[来源@:#%zzste~*p.com]
⑵ 若厘米,厘米,从点出发,以1厘米/秒的速度向运动(不与重合).设点运动时间为秒,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形.
【解析】 ⑴ 证明:∵四边形是矩形,[w^w#*w~.zzst@ep.com]
∴,
∴,又,,
∴
⑵
第 17 页 共 18 页
∵四边形是矩形,∴,
∵,,∴,∴.
当四边形是菱形时,,∴,又,
∴,
∴,即,
解得,即运动时间为秒时,四边形是菱形.
第 17 页 共 18 页