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  • 2021-05-10 发布

2020年中考数学专题复习:图形中动点的运动培优

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图形中动点的运动[来源:zzst#~e@p^&.com]‎ 知识互联网 题型一:因动点产生的函数关系问题 思路导航 我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题,初三已学习了新的图形——圆,出现了一些以圆为背景,因点的运动产生的函数问题,这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.‎ 典题精练 ‎[www.*zz@&step.c~o^m]‎ 圆中点的运动产生函数图象问题[来&源~:*zzstep.co@m%]‎ ‎⑴ 如图,是的直径,为圆上一点.点从点出发,沿运动到 第 17 页 共 18 页 点,然后从点沿运动到点.假如点在整个运动过程中保持匀速,则下面各图中,能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎⑵ 如图,点、、、为圆的四等分点,动点从圆心出发,沿线段线段的路线作匀速运动.设运动时间为秒,的度数为度,则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎⑶ 如图,点是以为圆心,为直径的半圆上的动点,,设弦的长为, 的面积为,则下列图象中,能表示与的函数关系的图象大致是( )‎ ‎⑷ 如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合),CF⊥CD交AB于F,DE⊥CD交AB于E, G为半圆中点, 当点C在上运动时,设的长为,CF+DE= y,则下列图象中,能表示y与的函数关系的图象大致是 ‎( )‎ 第 17 页 共 18 页 O y x O O O x x x y y y A B C D[来源:zzstep%.@#co&*m]‎ ‎⑴ B.⑵ C.⑶ A.⑷ B.‎ ‎2. 因动点产生的面积问题 如图1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)().解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥BC.‎ ‎(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.‎ ‎(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,‎ ‎∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角.‎ 第 17 页 共 18 页 ‎(1)BP=2t,则AP=10-2t.[来源#*:中~教&%网]‎ ‎∵PQ∥BC,∴,即,解得t=,‎ ‎∴当t=s时,PQ∥BC.‎ ‎(2)如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D.‎ ‎∴PD∥BC,∴,即,解得PD=6-t.‎ S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+,‎ ‎∴当t=s时,S取得最大值,最大值为cm2.[www.z#&zste^p~.co@m]‎ ‎(3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,‎ 则有S△AQP=S△ABC,而S△ABC=AC•BC=24,∴此时S△AQP=12.‎ 由(2)可知,S△AQP=-t2+6t,‎ ‎∴-t2+6t=12,化简得:t2-5t+10=0,‎ ‎∵△=(-5)2-4×1×10=-15<0,此方程无解,‎ ‎∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分.‎ ‎(4)假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t.‎ 如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,[来源:中@%&#教网~]‎ ‎∴,即,‎ 解得:PD=6-t,AD=8-t,‎ ‎∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t.‎ 在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,‎ 即(8﹣t)2+(6﹣t)2=(2t)2,‎ 化简得:13t2﹣90t+125=0,‎ 解得:t1=5,t2=,‎ ‎∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=.‎ 由(2)可知,S△AQP=-t2+6t 第 17 页 共 18 页 ‎∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×(-t2+6t)=2×[-×()2+6×]=cm2.‎ 所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为cm2.‎ 题型二:因动点产生的特殊图形问题 典题精练 ‎[来@#^源%:中*教网]‎ ‎1. 因动点产生的等腰三角形问题 如图,四边形为矩形,,动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动,动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,运动结束.过点作交于点,连接.已知动点运动了秒.‎ ‎⑴ 请直接写出的长;(用含的代数式表示)‎ ‎⑵ 试求的面积与时间秒的函数关系式,写出自变量的取值范围,并求出的最大值;[来^&源:中教网@~%]‎ ‎⑶ 在这个运动过程中,能否为一个等腰三角形.若能,求出所有的对应值;若不能,请说明理由.‎ ‎⑴ ;‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑵ [中&国教育*%出@#版网]‎ 其中,[www.zz^s%~@tep#.com]‎ ‎∴当时,取得最大值.‎ ‎⑶ 由⑴可知:.‎ ‎①若,则,解得,‎ ‎②若,则过点作于,[www.^zz~*st@%ep.com]‎ 易得是矩形,,‎ 又,则,‎ ‎∴,解得(舍去)‎ ‎∴,‎ 另解:过点作.‎ ‎∴,∴‎ 又,∴,解得.[来@源~:中&#教网%]‎ ‎③若,则过点作于,[来@源:&zzste^p.com~#]‎ 易得是矩形,,且,‎ ‎∴,解得.‎ 综上所述,若可以成为等腰三角形,满足条件的的值可以为.‎ ‎2. 因动点产生的直角三角形问题[中国教育@出#版网&*%]‎ 如图,已知是线段上的两点,,‎ 第 17 页 共 18 页 ‎.以为中心顺时针旋转点,以为中心逆时针旋转点,使、两点重合成一点,构成,设.‎ ‎⑴求的取值范围;[www#.~z%zst@ep.^com]‎ ‎⑵若为直角三角形,求的值.‎ ‎⑴ 在中,∵,,.‎ ‎∴,解得.‎ ‎⑵ ①若为斜边,则,即,无解.‎ ‎②若为斜边,则,解得,满足.‎ ‎③若为斜边,则,解得,满足.‎ ‎∴或.‎ ‎3. 因动点产生的特殊四边形问题 如图,在矩形中,,,,,分别从,,,出发沿,,,方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若,则,CM=3xcm,.‎ ‎⑴当为何值时,以,为两边,以矩形的边(或)的一部分为第三边构成一个三角形;‎ ‎⑵当为何值时,以,,,为顶点的四边形是平行四边形;‎ ‎⑶以,,,为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求的值;如果不能,请说明理由.‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑴当点与点重合或点与点重合时,‎ 以,为两边,以矩形的边(或)的一部分为第三边可能构成一个三角形.[来源:^zz&@s*tep.com%]‎ ‎①当点与点重合时,‎ 由得,(舍去)[中^国教育出版&#网~@]‎ 因为,[w~ww.zz#s^tep%@.com]‎ 此时点与点不重合.‎ 所以符合题意.‎ ‎②当点与点重合时,‎ 由得 此时,不符合题意.‎ 故点与点不能重合.‎ 所以所求的值为.[www.z%#z&ste*p@.com]‎ ‎⑵ 由⑴知,点只能在点的左侧,‎ ‎①当点在点的左侧时,‎ 由,‎ 解得.‎ 当时,四边形是平行四边形.‎ ‎②当点在点的右侧时,[来&源:*zzstep.c#~o%m]‎ 由,[来%源@:#&中教网*]‎ 解得.‎ 当时四边形是平行四边形.[来#源:z~zstep*.co&m%]‎ 第 17 页 共 18 页 所以当时,以,,,为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎⑶ 过点,分别作的垂线,垂足分别为点,.‎ 由于,‎ 所以点一定在点的左侧.‎ 若以,,,为顶点的四边形是等腰梯形,‎ 则点一定在点的右侧,且,‎ 即.‎ 解得.‎ 由于当时, 以,,,为顶点的四边形是平行四边形,‎ 所以以,,,为顶点的四边形不能为等腰梯形.‎ 如图,在中,,,.动线段(端点从点开始)沿边以的速度向点运动,当端点到达点时运动停止.过点作交于点(当点与点重合时,与重合),连接,设运动的时间为秒().‎ ‎⑴直接写出用含的代数式表示线段、的长;‎ ‎⑵在这个运动过程中,能否为等腰三角形?若能,请求出的值;若不能,请说明理由;‎ ‎⑶设、分别是、的中点,求整个运动过程中,所扫过的面积.[来@#源^:%中教*网]‎ ‎【解析】⑴,‎ ‎.‎ ‎⑵分三种情况讨论:[来^&%源:中教网@~]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎①当时,‎ 有,‎ ‎∴点与点重合,‎ ‎∴.‎ ‎②当时,‎ ‎∴,‎ 解得:.‎ ‎③当时,‎ 有,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即,‎ 解得:.[来源:中国教~^育出版&网*#]‎ 综上所述,当、或秒时,为等腰三角形.‎ ‎⑶设是的中点,连接,[来源*:中&~#^教网]‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 第 17 页 共 18 页 ‎∴,∴.[ww~w.@z^zstep.#c*om]‎ 又,∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴点沿直线运动,也随之平移.‎ 如图,设从位置运动到位置,则四边形是平行四边形.‎ ‎∵、分别是、的中点,∴,且.‎ 分别过点、作,垂足为,垂足为,延长交于点,则四边形是矩形,‎ 当时,,;‎ 当时,,.‎ ‎∴.[www.z%@^z~step.c*om]‎ ‎∴.‎ ‎∴整个运动过程中,所扫过的面积为.‎ 第 17 页 共 18 页 复习巩固 ‎[中国教育*^出版网~%&]‎ 题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习 如图,直线与两坐标轴分别交于、两点,边长为2的正方形沿着轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形与△AOB重叠部分的面积为.则表示与的函数关系的图象大致是( )‎ D.‎ A B C D E F 题型二 因动点产生的特殊图形问题 巩固练习 如图,在矩形中,(是大于的常数),,为线段上的动点(不与、重合).连结,作,与射线交于点,设,.‎ ‎⑴求关于的函数关系式;‎ ‎⑵若,求为何值时,的值最大,最大值是多少?‎ ‎⑶若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?‎ ‎⑴ 因为与都是的余角,所以.‎ 又因为,所以.‎ 第 17 页 共 18 页 因为,即.‎ 整理,得关于的函数关系为.‎ ‎⑵ 如图1,当时,.‎ 因此当时,取得最大值为2.‎ ‎⑶ 若,那么.整理,得.‎ 解得或.‎ 要使为等腰三角形,只存在的情况.‎ 因为,所以,即.‎ 将代入,得(如图2);‎ 将代入,得(如图3).‎ 如图,已知中,,,,P、Q分别是边AB.BC上的动点,且点P不与A.B重合,点Q不与B.C重合,当CQ的长取不同的值时,是否可能为直角三角形?若可能,请求出CQ的范围;若不能,说明理由.‎ 为直角三角形,可能有三种情况,但点P不与点A重合,所以么不可能为直角,因此有两种情况:‎ ‎⑴ 若为直角,如图,则CQ的范围为[来源:~中教&%*网^]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑵ 若为直角,则点P在以CQ为直径的上,而点P在边AB上,就必须与边AB有公共点,即与边AB相切或相交,我们先从与边AB相切入手求出CQ的长:如图,连结OP,则,‎ 得.设,得,‎ 解得,∴‎ ‎∴若为直角,CQ的范围为.[来@源:z%zstep.&^co*m]‎ 从相等到不等求范围,要抓住变化中图形的特殊位置,而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口.‎ 已知:如图,在直角梯形中,,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒.‎ ‎⑴求直线的解析式;‎ ‎⑵若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的?‎ ‎⑶动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;‎ ‎⑷当动点在线段上移动时,能否在线段上找到一点,使四边形为矩形?请求出此时动点的坐标;若不能,请说明理由.‎ A B D C O x y ‎(此图备用)‎ A B D C O P x y ‎[来~#源:中国教育出版^&%网]‎ ‎[来#%源:^~中教网&]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑴ 直线的解析式为.‎ ‎⑵ 如图1,过点作轴,垂足为.‎ 在中,,,.‎ 所以.‎ 梯形的面积.‎ 解方程,解得.‎ 因此,当时,四边形的面积是梯形的面积的.‎ ‎⑶ 如图1,① 当在线段上时,,;‎ ‎② 如图2,当在线段上时,,;‎ ‎③ 如图3,当在线段上时,,.‎ ‎⑷ 四边形不可能成为矩形.说理如下:‎ 如图4,当时,作交轴于.[www.z#z&ste^p~.co@m]‎ 在中,,.‎ 在中,,.‎ 所以,因此四边形不是矩形.‎ 已知:如图①,在中,,,,点由出发沿 第 17 页 共 18 页 方向向点匀速运动,速度为1cm/s;点由出发沿方向向点匀速运动,速度为2cm/s;连接.若设运动的时间为()‎ A Q C P B 图①‎ A Q C P B 图②‎ 如图②,连接,并把沿翻折,得到四边形,那么是否存在某一时刻,使四边形为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.[来源&@:中国教育~出版*^网]‎ ‎[来源:#z~zstep&.c%o*m]‎ 如图过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,‎ P ′‎ B A Q P C M N 若四边形PQP ′ C是菱形,那么PQ=PC.‎ ‎∵PM⊥AC于M,‎ ‎∴QM=CM.[来^@源%:中~教#网]‎ ‎∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.[中%^@国教&育出~版网]‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴, ∴,‎ ‎∴,解得:.[中国#教&%育出版^*网]‎ ‎∴当时,四边形PQP ′ C 是菱形.[来~%源#:中国教育出*版&网]‎ 此时, ,‎ 在Rt△PMC中,,‎ ‎∴菱形PQP ′ C边长为.‎ 第 17 页 共 18 页 ‎【测试1】如图:等边中,边长,点在线段上,点在射线上,点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动,点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动,当点停止时点也停止运动,设运动时间为秒,若、、三点围成的图形的面积为来表示,则与的图象是()‎ A B C[来源:zzs&#tep%@.*com]‎ ‎【解析】B[中&国教育#*~出^版网]‎ ‎[来~源:中国^%&教#育出版网]‎ ‎【测试2】 矩形中,点是线段上一动点,为的中点,的延长线交于.‎ ‎⑴ 求证:;[来源@:#%zzste~*p.com]‎ ‎⑵ 若厘米,厘米,从点出发,以1厘米/秒的速度向运动(不与重合).设点运动时间为秒,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形.‎ ‎【解析】 ⑴ 证明:∵四边形是矩形,[w^w#*w~.zzst@ep.com]‎ ‎∴,‎ ‎∴,又,,‎ ‎∴‎ ‎⑵ ‎ 第 17 页 共 18 页 ‎∵四边形是矩形,∴,‎ ‎∵,,∴,∴.‎ 当四边形是菱形时,,∴,又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,‎ 解得,即运动时间为秒时,四边形是菱形.‎ 第 17 页 共 18 页