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- 2021-05-10 发布
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河南中考数学压轴题汇集
(2010)23.(11分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A,B,C三点.(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
(2011)23. (11分)如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值;
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
第23题
x
y
A
B
C
D
P
O
(2012)23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点C,作PD⊥AB于点D。
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
① 用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在合适的m值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写m的值;若不存在,说明理由。
(2013)23.(11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为. 点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
O
C
D
B
A
备用图
y
x
P
E
O
F
C
D
B
A
x
y
(2014)23. (11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE =5EF,求m的值;
(3)若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P,使点E/落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(2015)23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.
(1)请直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值. 进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
C
B
A
y
O
E
D
x
备用图
P
E
O
F
C
D
B
A
图
x
y
(2016)23. (11分)如图1,直线交轴于点A,交轴于点C(0,4).抛物线
经过点A,交轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,经过点P作轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
(2017•河南)23.如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;
②
点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.
(2010)
(2011)
23.(1)对于,当y=0,x=2.当x=-8时,y=-
∴A点坐标为(2,0),B点坐标为…………………………………………1分
由抛物线经过A、B两点,得
解得…………………………………………3分
(2)①设直线与y轴交于点M
当x=0时,y=. ∴OM=.
∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2.∴AM=……………………4分
∵OM:OA:AM=3∶4:5.
由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM~△PED.
∴DE:PE:PD=3∶4:5.…………………………………………………………………5分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点,
∴PD=yP-yD
=.………………………………………………………………………6分
∴
…………………………………………………………………7分
……………………………………8分
②满足题意的点P有三个,分别是
……………………………………………………………11分
【解法提示】
当点G落在y轴上时,由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,即,解得,所以
当点F落在y轴上时,同法可得,
(舍去).
(2012)
(2013)
(2014)
(2015)(1)【分析】由题意设抛物线解析式为,将A、C两点坐标代入即可.
解:抛物线的解析式为:.………………………………………………(3分)
【解法提示】由题意设抛物线解析式为,∵的正方形OABC的边长为8,∴点A(-8,0)、C(0,8),∴,解得,抛物线解析式为.
(2)【分析】设P点坐标为,表示出PF的长度,构造PD所在的直角三角形,表示PD的长度,通过求差法得到PD-PF的值.
解:
M
(3)【分析】通过将△PDE的面积进行转化,得到其面积的表达式,根据点P横坐标m的取值范围,确定面积为整数时“好点”的个数,再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小,进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小,确定点P的坐标.
解:好点共11个;]
在点P运动时,DE的大小不变,∴PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小,
∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2,
当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,
此时,点P,E的横坐标为-4,将x=-4代入,得y=6,
∴P(-4,6),此时△PDE周长最小,且△PDE的面积为12,点P恰为“好点”.
∴△PDE周长最小时点P的坐标为(-4,6).
【解法提示】△PDE的面积由于-8≤x≤0,可得4≤S≤13,所以S的整数值为10个.由图象可知,当S=12时,对应的“好点”有2个,所以“好点”共有11个.
(2016)23.(1)由直线过点C(0,4),得=4. ∴
当=0时,,解得=3. ∴A(3,0). …………………………1分
∵抛物线经过点A(3,0)、B(0,-2),
∴,∴.
∴抛物线的解析式为. …………………………………………3分
(2)∵点P的横坐标为,∴P(),D(,). ……………4分
若△BDP为等腰直角三角形,则PD=BD.
①当点P在直线BD上方时,PD=.
(I)若点P在轴左侧,则<0,BD=.
∴=,∴1=0(舍去),2=(舍去). ………………………5分
(II)若点P在轴右侧,则>0,BD=.
∴=,∴1=0(舍去),2=. ……………………………………6分
②当点P在直线BD下方时,>0,BD=,PD=.
∴=,∴1=0(舍去),2=. …………………………………7分
综上,=或. 即当△BDP为等腰直角三角形,PD的长为或.……………8分
(3),,. ……………………………11分
【提示】∵∠PBP′=∠OAC,OA=3,OC=4,
∴AC=5, ∴sin∠PBP′=,cos∠PBP′=.
①当点P′落在轴上时,过点D′作D′N⊥轴,垂足为N,
交BD于点M,∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′.
如图1,ND′- MD′=2,即.
如图2,ND′+ MD′=2,即.
∴,.
②当点P′落在轴上时,如图3,过点D′作D′M⊥轴,
交BD于点M,过点P′作P′N⊥轴,交MD′的延长线于点N,
∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′.
∵P′N=BM,即
∴.
(2017)【解答】解:
(1)∵y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,
∴0=﹣2+c,解得c=2,
∴B(0,2),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B,
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)①由(1)可知直线解析式为y=﹣x+2,
∵M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N,
∴P(m,﹣m+2),N(m,﹣m2+m+2),
∴PM=﹣m+2,PA=3﹣m,PN=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+4m,
∵△BPN和△APM相似,且∠BPN=∠APM,
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,
当∠BNP=90°时,则有BN⊥MN,
∴BN=OM=m,
∴=,即=,解得m=0(舍去)或m=2.5,
∴M(2.5,0);
当∠NBP=90°时,则有=,
∵A(3,0),B(0,2),P(m,﹣m+2),
∴BP==m,AP==(3﹣m),
∴=,解得m=0(舍去)或m=,
∴M(,0);
综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时,点M的坐标为(2.5,0)或(,0);
②由①可知M(m,0),P(m,﹣m+2),N(m,﹣m2+m+2),
∵M,P,N三点为“共谐点”,
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点,
当P为线段MN的中点时,则有2(﹣m+2)=﹣m2+m+2,解得m=3(三点重合,舍去)或m=;
当M为线段PN的中点时,则有﹣m+2+(﹣m2+m+2)=0,解得m=3(舍去)或m=﹣1;
当N为线段PM的中点时,则有﹣m+2=2(﹣m2+m+2),解得m=3(舍去)或m=﹣;
综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣.