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  • 2021-05-10 发布

中考数学复习几何压轴题

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中考数学复习几何压轴题 ‎1.在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△(使<180°),连接、,设直线与AC交于点O.‎ ‎(1)如图①,当AC=BC时,:的值为 ;‎ ‎(2)如图②,当AC=5,BC=4时,求:的值; ‎ ‎(3)在(2)的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 答案(1)1‎ ‎(2)解:∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB.∴.‎ 由旋转图形的性质得,,∴.‎ ‎∵,∴‎ 即.∴∽.∴.………………4分 ‎(3)解:作BM⊥AC于点M,则BM=BC·sin60°=2.‎ ‎∵E为BC中点,∴CE=BC=2.‎ ‎△CDE旋转时,点在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动.‎ ‎∵CO随着的增大而增大,‎ ‎∴当与⊙C相切时,即=90°时最大,则CO最大.‎ ‎∴此时=30°,=BC=2 =CE.‎ ‎∴点在AC上,即点与点O重合.∴CO==2.‎ 又∵CO最大时,AO最小,且AO=AC-CO=3.‎ ‎∴.………………………………………………8分 ‎2.点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作和,连接AF,CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN, MN.‎ ‎(1)若和是等腰直角三角形,且(如图1),则是 三角形.‎ ‎(2)在和中,若BA=BE,BC=BF,且,(如图2),则是 三角形,且 .‎ ‎(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么(2)中的结论是否成立? 若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明.‎ 答案:(1)等腰直角 ………1分 ‎ (2)等腰 ………2分 ………3分 ‎ (3)结论仍然成立 ………4分 ‎ 证明: 在 ‎∴△ABF≌△EBC.‎ ‎∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB.……5分 ‎∵M,N分别是AF、CE的中点,‎ ‎∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.‎ ‎∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.……6分 ‎∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=.……7分 ‎3.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起(与重合).‎ ‎(1)固定△,将△绕点顺时针旋转得到△,连结(如图2).此时线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论;‎ ‎(2)设图2中的延长线交于,并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△设为△(如图3).设△移动(点 在线段上)的时间为x秒,若△与△重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;‎ 图1 图2 图3 图4‎ ‎(3)若固定图1中的△,将△沿方向平移,使顶点C落在的中点处,再以点为中心顺时针旋转一定角度,设,边交于点M,边交于点N(如图4).此时线段的值是否随的变化而变化?如果没有变化,请你求出的值;如果有变化,请你说明理由.‎ 答案:(1). ………………………………………………………………1分 证明:如图2,∵△与△都是等边三角形,△绕点顺时针旋转30°得到△,‎ ‎∴△也是等边三角形,且,‎ ‎∴, . …………………………………2分 ‎∴,∴,∴.∴△≌△,‎ ‎∴ . ……………………………………3分 ‎(2)如图3,设分别与交于点.‎ ‎∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒,‎ 平移后的△为△,.‎ 由(1)可知,,‎ ‎..‎ ‎,.在中,,..…………………4分 过点作于点.‎ 在中, ,‎ ‎.. ‎ ‎,.‎ 当点与点重合时,,∵,∴.‎ ‎∴此函数自变量x的取值范围是 . …………………………………………6分 ‎(3)的值不变 . ……………………………………………………7分 证明:如图4,由题意知,,∴,‎ 在中,,∴.‎ 又∵,∴△∽△,∴.‎ ‎∵点是的中点,,∴,‎ ‎∴,∴. …………………………………………………8分 ‎4. 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置及数量关系.‎ ‎(1)如图① 当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是 ;‎ ‎(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.‎ 答案:(1), ‎ ‎   (2)结论仍然成立。‎ 证明:如图,延长CA至F,使FA=AC,FA交DE于点P,并连结. ‎ ‎,.‎ 在与中:‎ ‎(SAS) .‎ BF=DE, .‎ · ‎.‎ ‎ .又CA=AF, CM=MB,‎ · AM // FB 且AM=FB,‎ ‎, AM=DE. ‎ ‎5. (1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD;‎ ‎ (2) 如图2在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立?不用证明. ‎ ‎(3) 如图25-3在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.‎ 答案:(1)证明:延长EB到G,使BG=DF,联结AG. ‎ ‎∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°, AB=AD,∴△ABG≌△ADF.‎ ‎∴AG=AF, ∠1=∠2. --------------------1分 ‎∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.‎ ‎∴∠GAE=∠EAF.又AE=AE,∴△AEG≌△AEF.‎ ‎∴EG=EF. -----------------2分 ‎∵EG=BE+BG.∴EF= BE+FD --------3分 ‎(2) (1)中的结论EF= BE+FD仍然成立. ---------------------------4分 ‎(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE-FD.--------------------5分 证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.‎ ‎∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF.‎ ‎∵AB=AD,∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG=∠DAF,AG=AF. ‎ ‎∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF =∠BAD.‎ ‎∴∠GAE=∠EAF.‎ ‎∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF ---------------------6分 ‎∵EG=BE-BG,∴EF=BE-FD. ---------------------7分 ‎6. (1)如图1,四边形中,,,,请你猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)如图2,四边形中,,,若点为四边形内一点,且,请你猜想线段、、之和与线段的数量关系,并证明你的结论.‎ 图2‎ 图1‎ ‎   ‎ 答案:(1)如图1,延长至,使.‎ 可证明是等边三角形. ……………………………………………1分 联结,可证明≌. ……………………………………………2分 图1‎ 图2‎ 故.……………………………………………3分 ‎(2)如图2,在四边形外侧作正三角形,‎ ‎ 可证明≌,得.…………………………………………4分 ‎∵ 四边形符合(1)中条件,∴ .………………………5分 联结,‎ ⅰ)若满足题中条件的点在上,则.∴ .‎ ‎∴ . ……………………………………………6分 ⅱ)若满足题中条件的点不在上,‎ ‎∵ ,∴ .‎ ‎∴ . ……………………………………………7分 综上,. ……………………………………………8分 如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根. (1)求C点的坐标; (2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图; (3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根,‎ A O 图10‎ E B G x C y E′‎ ‎∴  又 ∵OA2+OB2=17,‎ ‎∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.(3)‎ ‎∴把(1)(2)代入(3),得m2-4(m-3)=17.‎ ‎∴m2-4m-5=0.,  解得m=-1或m=5.‎ 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.‎ ‎∴当m=5时,得方程x2-5x+4=0.解之,得x=1或x=4.‎ ‎∵BC>AC,  ∴OB>OA. ∴OA=1,OB=4.‎ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,‎ ‎∴OC2=OA·OB=1×4=4. ∴OC=2, ∴ C(0,2).‎ ‎(2)∵OA=1,OB=4,C、E两点关于x轴对称,‎ ‎∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).‎ 设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则 ‎ ‎ ‎ ∴所求抛物线解析式为 ‎(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点,‎ ‎∴Rt△ACB≌△AEB. ‎ ‎ ∴E(0,-2)符合条件.‎ ‎∵圆心的坐标(,0)在抛物线的对称轴上,‎ ‎∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.‎ ‎∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ‎ ‎ ∴可求得E′(3,-2).‎ ‎∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)。‎ 如图8,PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于点B、C,若PB、PC的长是关于x的方程的两根,且BC=4,求:(1)m的值;(2)PA的长;‎ A B C P ‎·‎ O 图8‎ 解:由题意知:(1)PB+PC=8,BC=PC-PB=2 ‎ ‎∴PB=2,PC=6‎ ‎∴PB·PC=(m+2)=12‎ ‎∴m=10 ‎ ‎(2)∴PA2=PB·PC=12‎ ‎∴PA= ‎ ‎23.已知双曲线和直线相交于点A(,)和点B(,),且,求的值.‎ 解:由,得 ‎ ∴=-,=- ‎ ‎ 故=()2-2==10‎ ‎ ∴ ∴或,‎ ‎ 又△即,舍去,故所求值为1. ‎ ‎24.(10分)一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C,已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处,在B处测得小岛C在北偏东60°方向,这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险?‎ 解法一:过点B作BM⊥AH于M,∴BM∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°.‎ ‎  在△BAM中,AM=AB=5,BM=.  ‎ ‎    过点C作CN⊥AH于N,交BD于K.‎ ‎    在Rt△BCK中,∠CBK=90°-60°=30°‎ ‎    设CK=,则BK=   ‎ ‎    在Rt△ACN中,∵∠CAN=90°-45°=45°,‎ ‎    ∴AN=NC.∴AM+MN=CK+KN.‎ ‎    又NM=BK,BM=KN.‎ ‎    ∴.解得 ‎    ∵5海里>4.8海里,‎ ‎∴渔船没有进入养殖场的危险.   ‎ ‎    答:这艘渔船没有进入养殖场危险.   ‎ ‎  解法二:过点C作CE⊥BD,垂足为E,∴CE∥GB∥FA.‎ ‎    ∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.‎ ‎    ∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.‎ ‎    又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°,‎ ‎∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.‎ ‎    在Rt△BCE中,CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×=5(海里).‎ ‎    ∵5海里>4.8海里,‎ ‎∴渔船没有进入养殖场的危险.‎ ‎   答:这艘渔船没有进入养殖场的危险.‎ ‎25. (10分)如图,某隧道口的横截面是抛物线形,已知路宽AB为6米,最高点离地面的距离OC为5米.以最高点O为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,1米为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,求:(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)有一辆宽2.8米,高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道?‎ 解:(1)设所求函数的解析式为. ‎ 由题意,得 函数图象经过点B(3,-5), ‎ ‎∴-5=9a. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴所求的二次函数的解析式为. ‎ x的取值范围是. ‎ ‎(2)当车宽米时,此时CN为米,对应,‎ EN长为,车高米,∵,‎ ‎∴农用货车能够通过此隧道。‎ ‎26. (10分)已知:如图,⊙O和⊙O相交于A、B两点, 动点P在⊙O上,且在⊙ 外,直线PA、PB分别交⊙O于C、D.问:⊙O的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化?如果发生变化,请你确定CD最长和最短时P的位置,如果不发生变化,请你给出证明; ‎ 解:当点P运动时,CD的长保持不变,A、B是⊙O与⊙O的交点,弦AB与点P的位置关系无关,连结AD,∠ADP在⊙O中所对的弦为AB,所以∠ADP为定值,∠P在⊙O中所对的弦为AB,所以∠P为定值.‎ ‎∵∠CAD =∠ADP +∠P,∴∠CAD为定值,‎ 在⊙O中∠CAD对弦CD,‎ ‎∴CD的长与点P的位置无关.毛 ‎27、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根,且x12x22-x1-x2=115,‎ ‎(1)求k的值; (2)求x12+x22+8的值. ‎ ‎(1)k=-11;(2)66‎ 五、(24小题10分,25小题11分,共21分)‎ ‎28、如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连结DE. ‎ (1) DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;‎ (2) 若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求直角边BC的长。‎ ‎29.已知:如图9,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A( 0, 6 ),D ( 4,6),且AB=.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得S△ABC = S梯形ABCD ?若存在,请求出该点坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎28、解:(1)DE与半圆O相切. ‎ ‎ 证明: 连结OD、BD ∵AB是半圆O的直径 ‎ ∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点 ‎∴DE=BE∴∠EBD=∠BDE ‎ ‎∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB ‎ 又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90° ‎ ‎∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切. ‎ ‎ (2)解:∵在Rt△ABC中,BD⊥AC ‎ ‎ ∴ Rt△ABD∽Rt△ABC ‎ ‎ ∴ = 即AB2=AD·AC∴ AC= ‎ ‎ ∵ AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根 ‎ ‎ ∴ 解方程x2-10x+24=0得: x1=4 x2=6 ‎ ‎ ∵ AD