中考专题复习之分类讨论思想 100页

一、选择题 ‎1. （2011，台湾省，20,5分）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（　　）‎ ‎ A、37 B、57‎ ‎ C、77 D、97‎ 考点：三角形内角和定理。‎ 专题：推理填空题。‎ 分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答；‎ 解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，‎ ‎∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，‎ 又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：‎ ‎①∠C＞90°，‎ ‎∴∠B＜153°﹣90°=63°，‎ ‎∴选项A、B合理；‎ ‎②∠B＞90°，‎ ‎∴选项D合理，‎ ‎∴∠B不可能为77°．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．‎ ‎2. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）‎ A、 B、 ‎ ‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【专题】几何动点问题；分类讨论．‎ ‎【分析】△AMN的面积= AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；‎ ‎【解答】解：（1）当0＜x≤1时，如图， 在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD； ∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴ ，即，，MN=x；∴y= AP×MN= x2（0＜x≤1）， ∵，∴函数图象开口向上； （2）当1＜x＜2，如图， 同理证得，△CDB∽△CNM，，即，，MN=2-x； ∴y= AP×MN= x×（2-x），y=- x2+x； ∵- ，∴函数图象开口向下； 综上，答案C的图象大致符合；故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．‎ ‎3. （2011福建莆田，7，4分）等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（ ）‎ A.15 B.12 C.12或15 D.不能确定 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；‎ 解答：解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立；‎ ‎∴腰长为6，‎ ‎∴周长为6+6+3=15．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，‎ 三角形两边之差小于第三边．‎ ‎4. （2011丽江市中考，15,3分）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（　　）‎ ‎ A、2 B、7 C、2或5 D、2或8‎ 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．‎ 解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，‎ ‎∴BC=3，AB=5，‎ ‎∵⊙A与⊙B相切，‎ ‎∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，‎ 当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．‎ ‎5. （2011年四川省绵阳市，3，3分）抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1-6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（　　）‎ A、出现的点数是7 B、出现的点数不会是0 C、出现的点数是2 D、出现的点数为奇数 考点：随机事件．‎ 专题：分类讨论．‎ 分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．‎ 解答：解：A、不可能发生，是不可能事件，故本选项错误， B、是必然事件，故正确，‎ ‎ C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误， D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误． 故选B．‎ 点评：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．‎ 二、填空题 ‎1. （2011•泰州，18，3分）如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是　9或5　平方单位．‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：因为A、C分别在直线l1、l4上，那么B，D也应该在直线l1、l4上，一种情况是正方形的边和平行先垂直的时候，一种是和对角线成45°时，分别求出边长，从而求出面积．‎ 解答：解：（1）当正方形的边长和平行线垂直时，‎ 正方的边长应该为3，所以面积为：3×3=9．‎ ‎（2）当正方形的边长和平行线成45°时，正方形的边长为：．‎ 所以正方形的面积为：×=5．‎ 故答案为9或5．‎ 点评：本题考查正方形的性质，正方形的边长相等，四个角都是直角，以及勾股定理的运用，关键是知道分不同的情况进行求解．‎ ‎2. （2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为　24　．‎ 考点：一元一次方程的应用；截一个几何体．‎ 专题：分类讨论；方程思想．‎ 分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体．‎ 解答：解：棱长为4的正方体的体积为64，‎ 如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；‎ 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），就只能有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；‎ 所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体．‎ 则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，‎ 解方程：x+8×（29﹣x）=64，‎ 解得：x=24．‎ 所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个．‎ 故答案为：24．‎ 点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解．‎ ‎3. （2011四川凉山，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 .‎ ‎ 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．‎ ‎ 专题：几何图形问题；分类讨论．‎ ‎ 分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．‎ ‎ 解答：解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，‎ 如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，‎ ‎∴△MAE∽△MCB，∴； 如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11， ∴△MAE∽△MCB，∴ ． ∴ 的值是或． 故答案为：或．‎ ‎ 点评：此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．‎ ‎4. （2011云南保山，15，3分）一如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是( )‎ ‎ A．2 B．7 C．2或5 D．2或8‎ 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．‎ 解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，‎ ‎∴BC=3，AB=5，‎ ‎∵⊙A与⊙B相切，‎ ‎∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，‎ 当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．‎ ‎5. （2011•贵港）如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是　（2，0）或（﹣，）　．‎ 考点：位似变换。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．‎ 解答：解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，‎ 设直线CF解析式为y=kx+b，将C（﹣4，2），F（﹣1，1）代入，得，‎ 解得即y=﹣x+，‎ 令y=0得x=2，‎ ‎∴O′坐标是（2，0）；‎ ‎②当位似中心O′在两个正方形之间时，‎ 可求直线OC解析式为y=﹣x，直线DE解析式为y=x+1，‎ 联立，解得，‎ 即O′（﹣，）．‎ 故本题答案为：（2，0）或（﹣，）．‎ 点评：本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．‎ ‎6.（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　（2，4）或（3，4）或（8，4）　．‎ 考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．‎ 解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：‎ 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=OA=5，‎ 根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；‎ 当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：‎ 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，‎ 根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2，则P2（2，4）；‎ 当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：‎ 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，‎ 根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），‎ 综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．‎ 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）‎ 点评：这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题 ‎7.（2011广西百色，20，3分）如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为　_ ____　．‎ 考点：垂径定理；勾股定理．‎ 分析：首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2，即可求得y=AG2﹣FG2，即可求得函数关系式．‎ 解答：解：延长CO交AB于G，‎ ‎∵点C是⊙O优弧ACB上的中点，‎ ‎∴CO⊥AB，AG=AB=×6=3（cm），‎ ‎∴AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2，‎ 当0≤x≤3时，AF=xcm，FG=（3﹣x）cm，‎ ‎∴y=AE2﹣EF2=AG2+EG2﹣FG2﹣EG2=AG2﹣FG2=9﹣（3﹣x）2=6x﹣x2；‎ 当3＜x≤6时，AF=xcm，FG=（x﹣3）cm，‎ ‎∴y=AE2﹣EF2=AG2+EG2﹣FG2﹣EG2=AG2﹣FG2=9﹣（x﹣3）2=6x﹣x2．‎ 故答案为：y=6x﹣x2．‎ 点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的 ‎8.（2011黑龙江牡丹江，6，3分）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为　6或2或4．‎ 考点：等腰三角形的性质；勾股定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．‎ 解答：解：①如图1‎ 当AB=AC=5，AD=4，‎ 则BD=CD=3，‎ ‎∴底边长为6；‎ ‎②如图2．‎ 当AB=AC=5，CD=4时，‎ 则AD=3，‎ ‎∴BD=2，‎ ‎∴BC==， ‎ ‎∴此时底边长为；‎ ‎③如图3：‎ 当AB=AC=5，CD=4时，‎ 则AD=3，‎ ‎∴BD=8，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴此时底边长为4．‎ 故答案为：6或或4．‎ 点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．‎ ‎9. 已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 .‎ 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．‎ 专题：几何图形问题；分类讨论．‎ 分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．‎ 解答：解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，‎ 如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，‎ ‎∴△MAE∽△MCB，∴； 如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11， ∴△MAE∽△MCB，∴ ． ∴ 的值是或． 故答案为：或．‎ 点评：此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．‎ ‎10. （2011山东烟台，14，4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .‎ 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.‎ 分析：已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．‎ 解答：解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6﹣4＜4，满足三边关系定理，‎ 当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5﹣4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6，故答案为：4或6．‎ 点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．‎ ‎11. （2011浙江绍兴，16，5分）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为或3　s．‎ 考点：圆与圆的位置关系。‎ 专题：数形结合；分类讨论。‎ 分析：首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．‎ 解答：解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，‎ 根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，‎ 如图，此时外切：2t+1+t=2，‎ ‎∴t=；‎ 如图，此时内切：2t+t﹣1=2，‎ ‎∴t=1，此时两圆重合，舍去；‎ 如图，‎ 此时内切：2t﹣t+1=2，‎ ‎∴t=1，此时两圆重合，舍去；‎ 如图：‎ 此时外切： 2t﹣t﹣1=2，∴t=3．‎ ‎∴点A平移到点A1，所用的时间为或3s．‎ 故答案为：或3．‎ 点评：‎ 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．‎ ‎12. （2011福建厦门，16，4分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=　　　　　时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 考点：相似三角形的性质。‎ 专题：网格型。‎ 分析：首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC==6，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值，小心别漏解．‎ 解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC==6，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴若△ADE∽△ABC时，，‎ 即：，‎ 解得：AE=2，‎ 若△ADE∽△ACB时，，‎ 即：，‎ 解得：AE=，‎ ‎∴当AE=2或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 故答案为：2或．‎ 点评：此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．‎ 三、解答题 ‎1. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.‎ ‎(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；‎ ‎(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。‎ 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。‎ 分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；‎ ‎（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当t=5时，面积最大；‎ 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；‎ ‎（2）：①当0＜t≤时， S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；‎ ‎②当＜t≤时， S与t的函数关系式是： y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）] =﹣t2+11t﹣3；‎ ‎③当＜t≤2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t；‎ ‎（3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=；‎ 点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．‎ ‎2. （2011江苏连云港，26，12分）‎ 已知∠AOB=60º,半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动,与边OA相切的切点记为点C.‎ ‎(1)⊙P移动到与边OB相切时(如图),切点为D,求劣弧的长;‎ ‎(2)⊙P移动到与边OB相交于点E,F,若EF=cm,求OC的长.‎ ‎ ‎ 考点：直线与圆的位置关系；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；弧长的计算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C，利用弧长公式得出弧CD长；（2）根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径定理得出EF=4cm，得出EM=2，进而得出OC的长．‎ 解答：解：（1）∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．‎ ‎∴∠DPC=120°，‎ ‎∴劣弧CD 的长为：=2πcm；‎ ‎（2）可分两种情况， ‎ ‎①如图，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，‎ ‎∵EF=4，∴EM=2，‎ 在Rt△EPM中，PM==1，‎ ‎∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，‎ ‎∴PN=2PM=2，‎ ‎∴NC=PN+PC=5，‎ 在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5×=cm． ‎ ‎②如图，连接PF，PC，PC角EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，‎ 由①可知，PN=2，‎ ‎∴NC=PC﹣PN=1，‎ 在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1×=cm．‎ 综上所述，OC的长为cm或cm．‎ 点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理和弧长计算公的应用，根据已知得出CO=是解决问题的关键．‎ ‎3. （2011江苏南京，24，7分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；‎ ‎（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．‎ 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．‎ ‎（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；‎ ‎②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．‎ 解答：解：（1）当x=0时，y=1．‎ 所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；‎ ‎（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；‎ ‎②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，‎ 所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．‎ 综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．‎ 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．‎ ‎4. （2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点． （1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值； （2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； （3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． ‎ 考点：二次函数综合题．‎ 分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a． （2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．‎ 解答：解：（1）令y＝0，由解得；‎ 令x＝0，解得y＝8a．‎ ‎∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，‎ 该抛物线对称轴为直线x＝3．‎ ‎∴OA＝2．‎ 如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1．‎ 由题意得：．‎ ‎∴，∴∠O’AM＝60°．‎ B A y O ‎(图②)‎ x D C E F G H M ‎∴，即．∴．‎ ‎（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．‎ ‎（Ⅰ）如图②，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM．‎ ‎∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，‎ ‎∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．‎ 又PD>PM>PB，PA>PM>PB，‎ ‎∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．‎ ‎∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．‎ ‎（Ⅱ）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，‎ ‎∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．‎ ‎∴FB＝3，，∴3≤PB<．‎ B A y O ‎(图③)‎ x D C E F G H P ‎∵PC≥4，∴PC>PB．‎ ‎ （3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．‎ ‎ 如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，‎ ‎ ∴PA＝PB．‎ ‎ ∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．‎ ‎ ∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．‎ ‎ 点P的坐标是(3，t)，‎ ‎ ∴PC2＝32＋(t－8a) 2，PD2＝ (t＋a) 2．‎ ‎ 整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．‎ ‎ ∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0‎ ‎ ∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．‎ ‎ 显然，满足题意．‎ ‎ ∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．‎ 点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．‎ ‎5. 2011江苏镇江常州，27，9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P．Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．‎ ‎（1）写出A点的坐标和AB的长；‎ ‎（2）当点P．Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2．y轴都相切，求此时a的值．‎ 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质．‎ 专题：几何动点问题；分类讨论．‎ 分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．‎ 解答：解：（1）∵一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点，‎ ‎∴y=0时，x=﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，0），AO=4，‎ ‎∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，‎ ‎∴AB=5；‎ ‎（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，= =t，‎ 又∠PAQ=∠OAB，‎ ‎∴△APQ∽△AOB，‎ ‎∴∠APQ=∠AOB=90°，‎ ‎∵点P在l1上，‎ ‎∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，‎ ‎①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：‎ ‎∴ ＝，‎ ‎∴PQ=6；‎ 连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，‎ 得： ＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴QC=，‎ ‎∴a=OQ+QC=，‎ ‎②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，‎ ‎∴PQ=，‎ 连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴QC=，a=QC﹣OQ=，‎ ‎∴a的值为和，‎ 点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案．‎ ‎6.（2011•南通）如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝（x＞0）交于点B(2，1)‎ ‎，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点.‎ ‎（1）求m的值及直线l的解析式；‎ ‎（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ ‎（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.‎ 考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。‎ 分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；‎ ‎（2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可；‎ ‎（3）先假设存在，利用S△AMN=4S△AMP．求得p的值，看是否符合要求．‎ ‎【解】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝上，∴，得m＝2.‎ 设直线l的解析式为y＝kx＋b ‎∵直线l过A(1，0)和B(2，1)∴，解得 ‎∴直线l的解析式为y＝x－1.‎ ‎(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1）‎ 在直线l上，如右图.‎ ‎ ∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，∴p－1＝2，解得p＝3∴P(3，2)‎ ‎∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2‎ 把y＝2分别代入双曲线y＝和y＝，解答：得M(1，2)，N(-1，2)‎ ‎∴，即M是PN的中点，‎ 同理：B是PA的中点，∴BM∥AN∴△PMB∽△PNA.‎ ‎（3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1），‎ ‎ ∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1）‎ ‎ 把y＝p－1分别代入双曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0），‎ 得M的横坐标x＝和N的横坐标x＝－（其中p＞1）‎ ‎∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上，∴，得MN=4PM 即＝4（见（3）两幅图）整理得：p2－p－3＝0或p2－p－1＝0‎ 解得：p＝或p＝由于p＞1，∴负值舍去∴p＝或 经检验p＝和是原题的解，∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM，‎ p的值为或.‎ ‎ ‎ 点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质 ‎7. （2011•宁夏，26，10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN 所在的直线折叠，使点A的对应点为P．‎ ‎（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？‎ ‎（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 分析：（1）首先连接AP，交MN于O，由MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；‎ ‎（2）此题需要分为当AO≤AD时与当AO＞AD时去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．‎ 解答：解：（1）连接AP，交MN于O，‎ ‎∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，‎ ‎∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，‎ ‎∴，‎ ‎∵BC=6，‎ ‎∴MN=3，‎ ‎∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；‎ ‎（3）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴AO⊥MN，‎ ‎∴△AMN∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB=90°，BD=BC=3，‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∴，‎ ‎∴AO=x，‎ ‎∴S△AMN=MN•AO=•x•x=x2，‎ 当AO≤AD时，‎ 根据题意得：S△PMN=S△AMN，‎ ‎∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN，‎ ‎∴y=x2，‎ ‎∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3；‎ 当AO＞AD时，‎ 连接AP交MN于O，‎ 则AO⊥MN，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，‎ ‎∴，，‎ 即：，，‎ ‎∴AO=x，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=2x﹣6，OD=AD﹣AO=4﹣x，‎ ‎∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）•OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4，‎ ‎∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，‎ 综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．‎ 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．‎ ‎8. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t > 0），△MPQ的面积为S．‎ ‎（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为_____________；‎ ‎（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．‎ ‎（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．‎ ‎（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．‎ 考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论 专题：压轴题 分析：⑴由题意不难得出点C的坐标为(3，4)．因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式为，将点C(3，4)代入，解得，所以直线l 的解析式为．‎ ‎⑵求 S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离．根据题意，得OP＝t， AQ＝2t， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．‎ ① 当0＜t≤时； 如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ∽△ODC，得，．∴Q点的坐标是（，）．∴． ‎ ‎∴．‎ ‎②当＜t≤3时； 如图第26题（2）图2，∵BQ＝2t－5，∴OF＝11－(2t－5)＝16－2t．‎ ‎∴Q点的坐标是（16－2t，4）．∴PF＝16－2t－t＝16－3t．‎ ‎∴．‎ ‎③当3＜t＜时，如图第26题（2）图3，当点Q与点M相遇时，16－2t＝t，解得．‎ 当3＜t＜时，如图3，MQ＝16－2t－t＝16－3t，MP＝4．‎ ‎∴‎ ‎⑶根据题（2）中S与t的函数关系，先分别求出①当0＜t≤时；②当＜t≤3时；③当3＜t＜时， t为何值时，S的值最大，并求出S 的最大值．最后综合上述各情况判断得出t为何值时， S的最大值．‎ ‎①当0＜t≤时，．‎ ‎∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－20，‎ ‎∴当0＜t≤时，S随t的增大而增大．‎ ‎∴当t＝时，S有最大值，最大值为．‎ ‎ ②当＜t≤3时， ．‎ ‎∵a＝－2＜0．抛物线开口向下，‎ ‎∴当时，S有最大值，最大值为．‎ ‎③当3＜t＜时，，∵k＝－6＜0，∴S随t的增大而减小．‎ 又∵当t＝3时，S＝14．当t＝时，S＝0，∴0＜S＜14．‎ 综上所述，当时，S有最大值，最大值为．‎ ‎⑷如图第26图（4），当NM＝MQ时，即，△QMN为等腰三角形．‎ 解答：（1）（3，4）；．‎ ‎（2）根据题意，得OP＝ t，AQ＝2 t，分三种情况讨论：‎ ‎①当00时，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝－20，‎ 当0< t ≤时，S随t的增大而增大，∴当t＝时，S有最大值．最大值为．‎ ‎②当< t≤3时，，∵a＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t＝时，S有最大值，最大值为．‎ ‎③当3< t <时，S ＝ －6t＋32，∵k＝－6<0，∴S随着t的增大而减小，又∵当t＝3时，S＝14，当t＝时，S＝0，所以00），每台B型医疗器械的售价不会改变，该公司应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）‎ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．‎ 专题：应用题．‎ 分析：（1）利用题目提供的信息列出有关x的一元一次不等式组，解得有关医疗器械的取值范围，得到方案即可；‎ ‎（2）列出有关的不等式组，分类讨论得到最大利润方案即可．‎ 解答：解：（1）设该公司生产A钟中医疗器械x台，‎ 则生产B钟中医疗器械（80-x）台，‎ 依题意得 ，‎ 解得38≤x≤40，‎ 取整数得x=38，39，40，‎ ‎∴该公司有3钟生产方案：‎ 方案一：生产A钟器械38台，B钟器械42台．‎ 方案二：生产A钟器械39台，B钟器械41台．‎ 方案一：生产A钟器械40台，B钟器械40台．‎ 公司获得利润：W=（24-20）x+（30-25）（80-x）=-x+400‎ 当x=38时，W有最大值．‎ ‎∴当生产A钟器械38台，B钟器械42台时获得最大利润．‎ ‎（2）依题意得，W=（4+a）x+5（80-x）=（a-1）x+400‎ 当a-1＞0，即a＞1时，生产A钟器械40台，B钟器械40台，获得最大利润．‎ 当a-1=0，即a=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；‎ 当a-1＜0，即a＜1时，生产A钟器械38台，B钟器械42台，获得最大利润．‎ 点评：本题考查了一次函数的应用，考查学生解决实际问题的能力，试题的特色是在要求学生能读懂题意，并且会用函数知识去解题，以及会讨论函数的最大值．要结合自变量的范围求函数的最大值．‎ ‎32. （2011福建福州，21，12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD．BC于点E．F，垂足为O．‎ ‎（1）如图1，连接AF．CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；‎ ‎（2）如图2，动点P．Q分别从A．C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，‎ ‎①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．‎ ‎②若点P．Q的运动路程分别为a．b（单位：cm，ab≠0），已知A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．‎ 考点：‎ 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．‎ 分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；‎ ‎（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上．Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．‎ 解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，‎ ‎∵EF垂直平分AC，垂足为O，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∴△AOE≌△COF，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∴四边形AFCE为平行四边形，‎ 又∵EF⊥AC，‎ ‎∴四边形AFCE为菱形，‎ ‎②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，‎ 在Rt△ABF中，AB=4cm，‎ 由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，‎ 解得x=5，‎ ‎∴AF=5cm．‎ ‎（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A．C．P．Q四点不可能构成平行四边形；‎ 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．‎ 因此只有当P点在BF上．Q点在ED上时，才能构成平行四边形，‎ ‎∴以A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，‎ ‎∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，‎ ‎∴PC=5t，QA=12﹣4t，‎ ‎∴5t=12﹣4t，‎ 解得，∴以A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．‎ ‎②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．‎ 分三种情况：‎ i）如图1，当P点在AF上．Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；‎ ii）如图2，当P点在BF上．Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；‎ iii）如图3，当P点在AB上．Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．‎ 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．‎ 点评：本题综合性较强，考查了矩形的性质．菱形的判定与性质．勾股定理．平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．‎ ‎33（2011福建龙岩，25，14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．‎ ‎（1）求CD的长及∠1的度数；‎ ‎（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ 考点：直角梯形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）.‎ 分析：（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出∠DAC的度数，也就得出了∠1的度数．‎ ‎（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=-x，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值．‎ ‎（3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．‎ 解答：解：（1）CD=，∠1=30°；‎ ‎（2）若点G恰好在BC上，‎ 则有GE=DE=x，EC=-x，‎ ‎∵∠1=30°，∴∠FED=60°，∴∠GEF=60°，∴∠GEC=60°，∴GE=2CE，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（3）∵△EFG≌△EFD，‎ ‎，‎ ‎①当0≤x≤时，随着x的增大，面积增大，此时△的面积就是重叠的面积，当时，达到最大值，为．‎ ‎②当，△EFG就有一部分在梯形外，如图3，‎ x ‎∵GE=DE=x，EC=，易求ME=，‎ ‎∴GM=GE－ME=x－=3x－，‎ ‎∴NG==，=，‎ 此时===，‎ 当时，．综上所述．当时，．‎ 点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．‎ ‎34 （2011福建省三明市，22,12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；‎ ‎（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可；‎ ‎（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可；‎ ‎（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可．‎ 解答：解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+c过A（0，﹣1），B（5，0）‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 故ac的值分别为，﹣1，‎ 抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣1；‎ ‎（2）∵直线AB经过A（0，﹣1），B（5，0），‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x﹣1，‎ 由（1）知抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣1，‎ ‎∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，‎ ‎∴P（m，m2﹣m﹣1），Q（m，m﹣1），‎ ‎∴S=PQ=（m﹣1）﹣（m2﹣m﹣1），‎ 即S=﹣m2+m（0＜m＜5）；‎ ‎（3）抛物线的对称轴l为：x=2，‎ 以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：‎ 相离、相切、相交三种关系 相离时：|m﹣2|＞（﹣m2+m），‎ 解得0＜m＜或＜m＜5；‎ 相切时：|m﹣2|=（﹣m2+m），‎ 解得m=或 m=；‎ 相交时：|m﹣2|＜（﹣m2+m），‎ 解得＜m＜．‎ 点评：本题考查了待定系数法，直线与二次函数相交的问题，直线与圆的位置关系，综合性较强，对同学们的能力要求较高，（3）中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况，容易漏解而导致出错．‎ ‎35.（2011福建厦门，25）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？‎ 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可；‎ ‎（@）求出AC，当P在BC上时，①BE=BP=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△NAP∽△ABC，推出PN：AN：AP=4：3：5，设PN=4x，AN=3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可．‎ 解答：（1）证明：在△ABC和△CDA中，‎ ‎∴△ABC≌△CDA，‎ ‎∴AD=BC，AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，′‎ 由勾股定理得：AC=4，‎ 即AB、CD间的最短距离是4，‎ 设经过ts时，△BEP是等腰三角形，‎ 当P在BC上时，‎ ‎①BE=BP=2，‎ t=2时，△BEP是等腰三角形；‎ ‎②BP=PE，‎ 作PM⊥AB于M，‎ ‎∵cosB===，‎ ‎∴BP=，‎ t=时，△BEP是等腰三角形；‎ ‎③BE=PE=2，‎ 作EN⊥BC于N，‎ ‎∴cosB==，‎ ‎∴=，‎ BN=BE，‎ ‎∴BN=，‎ t=时，△BEP是等腰三角形；‎ 当P在CD上不能得出等腰三角形，‎ ‎∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA=4，‎ 当P在AD上时，只能BE=EP=2，‎ 过P作PQ⊥BA于Q，‎ ‎∵平行四边形ABCD，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠NAD=∠ABC，‎ ‎∵∠BAC=∠N=90°，‎ ‎∴△QAP∽△ABC，‎ ‎∴PQ：AQ：AP=4：3：5，‎ 设PQ=4x，AQ=3x，‎ 在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，‎ ‎∴x=，‎ AP=5x=，‎ ‎∴t=5+5+3﹣=，‎ 答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．‎ ‎36. （2011福建省漳州市，25,13分）如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是（　0　，　1　），点D的坐标是（　﹣2　，　0　）；‎ ‎（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化-旋转；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）把x=0，y=0分别代入解析式求出A、B的坐标，即可得出C、D的坐标；‎ ‎（2）根据勾股定理求出CD，证△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；‎ ‎（3）有两种情况：①以BM为腰时，满足BP=BM的有两个；过点M作ME⊥y轴于点E，证△BME∽△BCM，求出BE、PE，进一步求出OP即可；②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，根据等腰三角形的性质求出即可．‎ 解答：（1）解：y=﹣2x+2，‎ 当x=0时，y=2，‎ 当y=0时，x=1‎ ‎，∴A（1，0），B（0，2），‎ ‎∵将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD，‎ ‎∴OC=0A=1，OD=OB=2，‎ ‎∴点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（﹣2，0），‎ 故答案为：0，1，﹣2，0．‎ ‎（2）解：由（1）可知CD==，BC=1，‎ 又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO ‎∴△BMC∽△DOC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴BM=，‎ 答：线段BM的长是．‎ ‎（3）解：存在，‎ 分两种情况讨论：‎ ‎①以BM为腰时，‎ ‎∵BM=，又点P在y轴上，且BP=BM，‎ 此时满足条件的点P有两个，它们是P1（0，2+）、P2（0，2﹣），‎ 过点M作ME⊥y轴于点E，‎ ‎∵∠BMC=90°，则△BME∽△BCM，‎ ‎∴，‎ ‎∴BE==，‎ 又∵BM=PM，‎ ‎∴PE=BE=，‎ ‎∴BP=，‎ ‎∴OP=2﹣=，‎ 此时满足条件的点P有一个，它是P3（0，），‎ ‎②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，‎ 由（2）得∠BMC=90°，‎ ‎∴PF∥CM，‎ ‎∵F是BM的中点，‎ ‎∴BP=BC=，‎ ‎∴OP=，‎ 此时满足条件的点P有一个，它是P4（0，），‎ 综上所述，符合条件的点P有四个，‎ 它们是：P1（0，2+）、P2（0，2﹣）、P3（0，）、P4（0，）．‎ 答：存在，所有满足条件的点P的坐标是P1（0，2+）、P2（0，2﹣）、P3（0，）、P4（0，）．‎ 点评：本题主要考查对一次函数的综合题，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形变换﹣旋转等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎37. （2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.‎ ‎（1）求抛物线的表达式.‎ ‎（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）.‎ ‎①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.‎ x y A O B P Q C D ‎ ‎ 考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质.‎ 分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．‎ 解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，‎ 当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴点A的坐标是（0，﹣2），‎ ‎∵正方形的边长2，‎ ‎∴B的坐标（2，﹣2），把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：‎ 且，‎ 解得a=，b=﹣，c=﹣2‎ ‎∴抛物线的解析式为：，‎ 答：抛物线的解析式为：．‎ ‎（2）解：①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，‎ ‎∴S=PQ2=PB2+BQ2，‎ ‎=（2﹣2t）2+t2，‎ 即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．‎ 答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．‎ ‎②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．‎ ‎∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1），‎ ‎∴当S=时，5t2﹣8t+4=，得20t2﹣32t+11=0，‎ 解得t=，t=（不合题意，舍去），‎ 此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣）‎ 若R点存在，分情况讨论：‎ ‎【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣，即R（3，﹣），代入，左右两边相等，‎ ‎∴这时存在R（3，﹣）满足题意；‎ ‎【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，‎ 则：R的横坐标为1，纵坐标为﹣，即（1，﹣），‎ 代入，左右两边不相等，R不在抛物线上；‎ ‎【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，﹣）代入， 左右不相等，∴R不在抛物线上．‎ 综上所述，存点一点R（3，﹣）满足题意．‎ 答：存在，R点的坐标是（3，﹣）．‎ ‎（3）解：如图，M′B=M′A，‎ ‎∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，‎ 设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，‎ 解得：k=，b=﹣，∴y=x﹣，抛物线的对称轴是x=1，‎ 把x=1代入得： ∴M的坐标为（1，）；‎ 答：M的坐标为（1，）．‎ 点评：‎ 本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．‎ ‎38.（2011•包头，23，10分）为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：‎ A型 B型 成本（万元/栋）‎ ‎2.5‎ ‎2.8‎ 出售价（万元/栋）‎ ‎3.1‎ ‎3.5‎ ‎（1）这两种温室有几种设计方案？‎ ‎（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温室可使利润最少．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）根据“该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元”，列出不等式进行求解，确定建房方案；‎ ‎（2）利润W可以用含a的代数式表示出来，对m进行分类讨论．‎ 解答：解：（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．‎ 由题意知209.6≤2.5x+2.8（80﹣x）≤210.2‎ 解得46≤x≤48‎ ‎∵x取非负整数，‎ ‎∴x为46，47，48．‎ ‎∴有三种建房方案：‎ 方案一：A种户型的住房建46套，B种户型的住房建34套，‎ 方案二：A种户型的住房建47套，B种户型的住房建33套，‎ 方案三：A种户型的住房建48套，B种户型的住房建32套；‎ ‎（2）由题意知W=（5+m）x+6（80﹣x），‎ ‎=480+（m﹣1）x，‎ ‎∴当0＜m＜0.7时，x=48，W最小，‎ 即A型建48套，B型建32套．‎ 点评：本题主要考查不等式在现实生活中的应用，是一个函数与不等式相结合的问题．在运算过程中要注意对m进行分类讨论．‎ ‎39. （2011湖州，24，12分）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．‎ ‎（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；‎ ‎（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）‎ 考点：二次函数综合题.‎ 专题：代数几何综合题；分类讨论.‎ 分析：（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB=2﹣m，AD=4﹣m，从而求解；‎ ‎（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解；（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点是，求解即可．‎ 解答：解：（1）由题意得CM=BM.∵∠PMC=∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB，‎ ‎∴DB=PC，∴DB=2﹣m，AD=4﹣m，∴点D的坐标为（2，4﹣m）．‎ ‎（2）分三种情况：①若AP=AD，则4+m2=（4﹣m）2，解得.‎ ‎②若PD=PA，过P作PF⊥AB于点F（如图），则AF=FD=AD=（4－m）.‎ 又OP=AF，∴.‎ ‎③若PD=DA，∵△PMC≌△DMB，∴PM=PD=AD=（4－m），∵PC2+CM2=PM2，∴‎ ‎，解得，（舍去）．‎ 综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或.‎ ‎（3）点H所经过的路径长为 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ ‎40. （2011浙江金华，20，8分）（本题8分）王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如拆线统计图所示.‎ ‎（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲乙两山杨梅的产量总和；‎ ‎（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？‎ 考点：方差；折线统计图；算术平均数。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：（1）根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答．‎ ‎（2）要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答．‎ ‎【解】（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，所以甲山产量的样本平均数为：千克；‎ 乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36‎ 千克，所以乙山产量的样本平均数为：千克；‎ 甲乙两山杨梅的产量总和为：2×100×98%×40=7840千克.‎ ‎（2）(千克2 )， ‎ ‎(千克2)，‎ ‎∴. ‎ 答：乙山上的杨梅产量较稳定． ‎ 点评：本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎41. （2011浙江绍兴，23，12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．‎ 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．‎ 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：‎ ‎（1）特殊情况•探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．‎ ‎（2）特例启发，解答題目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：‎ 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）‎ ‎（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质。‎ 专题：计算题；证明题；分类讨论。‎ 分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；‎ ‎（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；‎ ‎（3）分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：（1）故答案为：=．‎ ‎（2）故答案为：=．‎ 证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，‎ ‎∴AE=AF=EF，‎ ‎∴AB﹣AE=AC﹣AF，‎ 即BE=CF，‎ ‎∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，‎ ‎∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，‎ ‎∵ED=EC，‎ ‎∴∠EDB=∠ECB，‎ ‎∴∠BED=∠FCE，‎ ‎∴△DBE≌△EFC，‎ ‎∴DB=EF，‎ ‎∴AE=BD．‎ ‎（3）答：CD的长是1或3．‎ 点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．‎ ‎ ‎