北京市中考数学试卷解析 17页

北京市2018年中考数学试卷解析 考生须知 ‎1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．‎ ‎2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．‎ ‎4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．‎ ‎5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．‎ 一、选择题（本题共16分，每小题2分）‎ 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．‎ ‎1．下列几何体中，是圆柱的为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．‎ ‎【考点】立体图形的认识 ‎2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，故A选项错误；‎ 数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；‎ ‎∵，，∴，故Ｃ选项错误；‎ ‎∵，，，∴，故D选项错误．‎ ‎【考点】实数与数轴 ‎3．方程组的解为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．‎ ‎【考点】二元一次方程组的解 ‎4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为，则FAST 的反射面积总面积约为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】（），故选C．‎ ‎【考点】科学记数法 ‎5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，正多边形的边数为，其内角和为．‎ ‎【考点】正多边形，多边形的内外角和．‎ ‎6．如果，那么代数式的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】原式，∵，∴原式．‎ ‎【考点】分式化简求值，整体代入．‎ ‎7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设对称轴为，‎ 由（，）和（，）可知，，‎ 由（，）和（，）可知，，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎【考点】抛物线的对称轴．‎ ‎8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：‎ ‎①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（5，）；‎ ‎②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（10，）；‎ ‎③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）；‎ ‎④当表示天安门的点的坐标为（，），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）．‎ 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】显然①②正确；‎ ‎③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；‎ ‎④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）”的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确．‎ ‎【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．右图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图所示，‎ 是等腰直角三角形，∴，∴．‎ 另：此题也可直接测量得到结果．‎ ‎【考点】等腰直角三角形 ‎10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】被开方数为非负数，故．‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎11．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____，______，_______．‎ ‎【答案】答案不唯一，满足，即可，例如：，，‎ ‎【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．‎ ‎【考点】不等式的基本性质 ‎12．如图，点，，，在上，，，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎【考点】圆周角定理，三角形内角和定理 ‎13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵四边形是矩形，∴，，，‎ 在中，，∴，‎ ‎∵是中点，∴，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定 ‎14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：‎ 公交车用时 公交车用时的频数 线路 合计 A ‎59‎ ‎151‎ ‎166‎ ‎124‎ ‎500‎ B ‎50‎ ‎50‎ ‎122‎ ‎278‎ ‎500‎ C ‎45‎ ‎265‎ ‎167‎ ‎23‎ ‎500‎ 早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．‎ ‎【答案】C ‎【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．‎ ‎【考点】用频率估计概率 ‎15．某公园划船项目收费标准如下：‎ 船型 两人船 ‎（限乘两人）‎ 四人船 ‎（限乘四人）‎ 六人船 ‎（限乘六人）‎ 八人船 ‎（限乘八人）‎ 每船租金 ‎（元/小时）‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎130‎ ‎150‎ 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为（元）‎ ‎【考点】统筹规划 ‎16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．‎ ‎【考点】函数图象获取信息 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．‎ 已知：直线及直线外一点．‎ 求作：，使得．‎ 作法：如图，‎ ‎①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；‎ ‎②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；‎ ‎③作直线．‎ 所以直线就是所求作的直线．‎ 根据小东设计的尺规作图过程，‎ ‎（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）‎ ‎（2）完成下面的证明．‎ 证明：∵_______，_______，‎ ‎∴（____________）（填推理的依据）．‎ ‎【解析】（1）尺规作图如下图所示：‎ ‎（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．‎ ‎【考点】尺规作图，三角形中位线定理 ‎18．计算：．‎ ‎【解析】解：原式．‎ ‎【考点】实数的运算 ‎19．解不等式组：．‎ ‎【解析】解：由①得，，‎ 由②得，，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎【考点】一元一次不等式组的解法 ‎20．关于的一元二次方程．‎ ‎（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；‎ ‎（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．‎ ‎【解析】（1）解：由题意：．‎ ‎∵，‎ ‎∴原方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：‎ 解：令，，则原方程为，‎ 解得：．‎ ‎【考点】一元二次方程 ‎21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎【解析】（1）证明：∵‎ ‎∴‎ ‎∵平分 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴四边形是平行四边形 又∵‎ ‎∴是菱形 ‎（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．‎ ‎∴．，，‎ ‎∴．‎ 在中，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 在中，．为中点．‎ ‎∴．‎ ‎【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线 ‎22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连接，，若，，，求的长．‎ ‎【解析】（1）证明：∵、与相切于、．‎ ‎∴，平分．‎ 在等腰中，，平分．‎ ‎∴于，即．‎ ‎（2）解：连接、．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 同理：‎ ‎∴．‎ 在等腰中，．‎ ‎∴．‎ ‎∵与相切于．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ ‎【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数 ‎23．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线与图象交于点，与轴交于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．‎ ‎①当时，直接写出区域内的整点个数；‎ ‎②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）解：∵点（4，1）在（）的图象上．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．‎ ‎② ．当直线过（4，0）时：，解得 ‎．当直线过（5，0）时：，解得 ‎．当直线过（1，2）时：，解得 ‎．当直线过（1，3）时：，解得 ‎∴综上所述：或．‎ ‎【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题 ‎24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，‎ ‎，两点间的距离为，，两点间的距离为．‎ 小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．‎ 下面是小腾的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；‎ ‎（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）如下图所示：‎ ‎（3）或或．‎ 如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．‎ ‎【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究 ‎25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．‎ ‎．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；‎ ‎．A课程成绩在这一组是：‎ ‎70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79 ‎ ‎．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：‎ 课程 平均数 中位数 众数 A B ‎70‎ ‎83‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）写出表中的值；‎ ‎（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；‎ ‎（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．‎ ‎（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．‎ ‎∴（人）‎ 答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．‎ ‎【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体 ‎26．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的对称轴；‎ ‎（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）解：∵直线与轴、轴交于、．‎ ‎∴（，0），（0，4）‎ ‎∴（5，4）‎ ‎（2）解：抛物线过（，）‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎∴对称轴为．‎ ‎（3）解：①当抛物线过点时．‎ ‎，解得．‎ ‎②当抛物线过点时．‎ ‎，解得．‎ ‎③当抛物线顶点在上时．‎ 此时顶点为（1，4）‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴综上所述或或．‎ ‎【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题 ‎27．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．‎ ‎【解析】（1）证明：连接．‎ ‎∵，关于对称．‎ ‎∴．．‎ 在和中．‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形是正方形 ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵．‎ ‎∴‎ 在和．‎ ‎∴≌‎ ‎∴．‎ ‎（2）．‎ 证明：在上取点使得，连接．‎ ‎∵四这形是正方形．‎ ‎∴．．‎ ‎∵≌‎ ‎∴‎ 同理：‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵．‎ ‎∴‎ 在和中 ‎∴≌‎ ‎∴‎ 在中，，．‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定 ‎28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．‎ 已知点（，6），（，），（6，）．‎ ‎（1）求（点，）；‎ ‎（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；‎ ‎（3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取值范围．‎ ‎【解析】（1）如下图所示：‎ ‎∵（，），（6，）‎ ‎∴（0，）‎ ‎∴（，）‎ ‎（2）或 ‎（3）或或．‎ ‎【考点】点到直线的距离，圆的切线