2020年四川省乐山市中考数学试卷(含解析） 25页

‎2020年四川省乐山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．‎ ‎1．（3分）‎1‎‎2‎的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎ C．﹣2 D．2‎ ‎2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（　　）‎ A．1100 B．1000 C．900 D．110‎ ‎3．（3分）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　）‎ A．10° B．20° C．30° D．40°‎ ‎4．（3分）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（　　）‎ A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10‎ ‎5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．9+2‎3‎ B．9‎+‎‎3‎ C．7+2‎3‎ D．8‎ ‎6．（3分）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（　　）‎ A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4‎ ‎7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．（3分）已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（　　）‎ A．8 B．4 C．2‎2‎ D．‎‎2‎ ‎9．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．π‎4‎ B．π-‎‎3‎‎2‎ C．π-‎‎3‎‎4‎ D．‎3‎‎2‎π ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y‎=‎kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎3‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎4‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．‎ ‎11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7　 　﹣9．‎ ‎12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝　 　m．（结果保留根号）‎ ‎14．（3分）已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则xy的值是　 　．‎ ‎15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则AFAC‎=‎　 　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎16．（3分）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：‎ ‎（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是　 　；‎ ‎（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是　 　．‎ 三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．‎ ‎17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．‎ ‎18．（9分）解二元一次方程组：‎‎2x+y=2，‎‎8x+3y=9．‎ ‎19．（9分）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．‎ 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．‎ ‎20．（10分）已知y‎=‎‎2‎x，且x≠y，求（‎1‎x-y‎+‎‎1‎x+y）‎÷‎x‎2‎yx‎2‎‎-‎y‎2‎的值．‎ ‎21．（10分）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y‎=‎kx上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．‎ 第25页（共25页）‎ ‎22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．‎ 根据上面图表信息，回答下列问题：‎ ‎（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　 　万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为　 　°；‎ ‎（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；‎ ‎（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；‎ ‎（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．‎ 五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．‎ ‎23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：‎ 第25页（共25页）‎ 车型 每车限载人数（人）‎ 租金（元/辆）‎ 商务车 ‎6‎ ‎300‎ 轿车 ‎4‎ ‎（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？‎ ‎（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？‎ ‎24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．‎ ‎（1）求证：点D平分AC；‎ ‎（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．‎ 六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．‎ ‎25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．‎ ‎（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是　 　；‎ ‎（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．‎ 第25页（共25页）‎ ‎26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD‎=‎‎4‎‎3‎，如图所示．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．‎ ‎①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；‎ ‎②连结PB，求‎3‎‎5‎PC+PB的最小值．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年四川省乐山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．‎ ‎1．（3分）‎1‎‎2‎的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎ C．﹣2 D．2‎ ‎【解答】解：根据倒数的定义，可知‎1‎‎2‎的倒数是2．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（　　）‎ A．1100 B．1000 C．900 D．110‎ ‎【解答】解：2000‎×‎85+25‎‎25+85+72+18‎=‎1100（人），‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　）‎ A．10° B．20° C．30° D．40°‎ ‎【解答】解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，‎ ‎∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝‎ 第25页（共25页）‎ ‎180°﹣40°﹣90°＝50°，‎ ‎∵射线EB平分∠CEF，‎ ‎∴‎∠CEB=‎1‎‎2‎∠CEF=‎1‎‎2‎×140°=70°‎，‎ ‎∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（　　）‎ A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10‎ ‎【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，‎ 点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．‎ 所以点B表示的数是4或﹣10．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（　　）‎ A．9+2‎3‎ B．9‎+‎‎3‎ C．7+2‎3‎ D．8‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AD＝AB＝4，AB∥CD，‎ ‎∵∠BAD＝120°，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDB＝30°，‎ ‎∵O是对角线BD的中点，‎ ‎∴AO⊥BD，‎ 在Rt△AOD中，AO‎=‎‎1‎‎2‎AD＝2，‎ OD‎=‎‎3‎OA＝2‎3‎，‎ ‎∵OE⊥CD，‎ ‎∴∠DEO＝90°，‎ 第25页（共25页）‎ 在Rt△DOE中，OE‎=‎‎1‎‎2‎OD‎=‎‎3‎，‎ DE‎=‎‎3‎OE＝3，‎ ‎∴四边形AOED的周长＝4+2‎+‎3‎+‎3＝9‎+‎‎3‎．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（　　）‎ A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4‎ ‎【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，1），‎ ‎∴‎2k+b=0‎b=1‎，解得k=-‎‎1‎‎2‎b=1‎ ‎∴直线为y‎=-‎1‎‎2‎x+‎1，‎ 当y＝2时，2‎=-‎1‎‎2‎x+‎1，解得x＝﹣2，‎ 由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由题意，选项D阴影部分面积为6，A，B，C的阴影部分的面积为5，‎ 如果能拼成正方形，选项D的正方形的边长为‎6‎，选项A，B，C的正方形的边长为‎5‎，‎ 第25页（共25页）‎ 观察图象可知，选项A，B，C阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，可以拼成图2的边长为‎5‎的正方形，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（　　）‎ A．8 B．4 C．2‎2‎ D．‎‎2‎ ‎【解答】解：∵3m＝4，32m﹣4n＝（3m）2÷（3n）4＝2．‎ ‎∴42÷（3n）4＝2，‎ ‎∴（3n）4＝42÷2＝8，‎ 又∵9n＝32n＝x，‎ ‎∴（3n）4＝（32n）2＝x2，‎ ‎∴x2＝8，‎ ‎∴x‎=‎8‎=2‎‎2‎．‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）‎ A．π‎4‎ B．π-‎‎3‎‎2‎ C．π-‎‎3‎‎4‎ D．‎3‎‎2‎π ‎【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，‎ ‎∴AB‎=‎‎3‎BC‎=‎‎3‎，AC＝2BC＝2，‎ ‎∴‎90⋅π×‎‎2‎‎2‎‎360‎‎-‎90⋅π×3‎‎360‎-‎（‎1‎‎2‎‎×1×‎3‎-‎‎30⋅π×3‎‎360‎）‎=‎π-‎‎3‎‎2‎，‎ 故选：B．‎ 第25页（共25页）‎ ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y‎=‎kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎3‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎4‎ ‎【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，‎ 当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ‎=‎‎1‎‎2‎BP最大，‎ 而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，‎ 则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，‎ 设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，‎ 解得：m2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴k＝m（﹣m）‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ 故选：A．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．‎ ‎11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7　＞　﹣9．‎ ‎【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，‎ ‎∴﹣7＞﹣9，‎ 故答案为：＞．‎ ‎12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是　39　．‎ ‎【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，‎ 其中第四个数据为39，‎ 第25页（共25页）‎ 所以这组数据的中位数为39．‎ 故答案为39．‎ ‎13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝　‎2‎‎3‎　m．（结果保留根号）‎ ‎【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABC，‎ ‎∴BC＝AC＝4，‎ 在Rt△BDC中，sin∠BCD‎=‎BDBC，‎ ‎∴sin60°‎=BD‎4‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴BD＝2‎3‎（m），‎ 答：自动扶梯的垂直高度BD＝2‎3‎m，‎ 故答案为：2‎3‎．‎ ‎14．（3分）已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则xy的值是　4或﹣1　．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0，即（x﹣4y）（x+y）＝0，‎ 可得x＝4y或x＝﹣y，‎ ‎∴xy‎=4‎或xy‎=-1‎，‎ 即xy的值是4或﹣1；‎ 故答案为：4或﹣1．‎ ‎15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则AFAC‎=‎　‎3‎‎5‎　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，‎ ‎∴AC‎=‎‎3‎‎2‎AD，CE‎=‎‎1‎‎2‎AD＝AE，‎ ‎∴∠ACE＝∠CAE＝30°‎ ‎∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，‎ ‎∴AB‎=‎‎3‎‎2‎AC‎=‎‎3‎‎4‎AD，∠BAC＝∠ACE，‎ ‎∴AB∥CE，‎ ‎∴△ABF∽△CEF，‎ ‎∴AFCF‎=ABCE=‎3‎‎4‎AD‎1‎‎2‎AD=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴AFAC‎=‎‎3‎‎5‎，‎ 故答案为‎3‎‎5‎．‎ ‎16．（3分）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：‎ ‎（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是　0≤x≤2　；‎ ‎（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是　a＜-1或a≥‎‎3‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2，‎ ‎∴0≤x≤2，‎ 故答案为0≤x≤2．‎ ‎（2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象 第25页（共25页）‎ 下方，‎ 则有x＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，‎ 或x＝2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a‎≥‎‎3‎‎2‎，‎ 故答案为a＜﹣1或a‎≥‎‎3‎‎2‎．‎ 三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．‎ ‎17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．‎ ‎【解答】解：原式‎=2-2×‎1‎‎2‎+1‎ ‎＝2．‎ ‎18．（9分）解二元一次方程组：‎‎2x+y=2，‎‎8x+3y=9．‎ ‎【解答】解：‎2x+y=2①‎‎8x+3y=9②‎，‎ 法1：②﹣①×3，得 2x＝3，‎ 解得：x‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 把x‎=‎‎3‎‎2‎代入①，得 y＝﹣1，‎ ‎∴原方程组的解为x=‎‎3‎‎2‎y=-1‎；‎ 法2：由②得：2x+3（2x+y）＝9，‎ 把①代入上式，‎ 解得：x‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 把x‎=‎‎3‎‎2‎代入①，得 y＝﹣1，‎ ‎∴原方程组的解为x=‎‎3‎‎2‎y=-1‎．‎ ‎19．（9分）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．‎ ‎∵CE＝1，‎ ‎∴DE‎=DC‎2‎+CE‎2‎=‎‎10‎．‎ ‎∵AF⊥DE，‎ ‎∴∠AFD＝90°＝∠C，∠∠ADF+∠DAF＝90°．‎ 又∵∠ADF+∠EDC＝90°，‎ ‎∴∠EDC＝∠DAF，‎ ‎∴△EDC∽△DAF，‎ ‎∴DEAD‎=‎CEFD，即‎10‎‎2‎‎=‎‎1‎FD，‎ ‎∴FD‎=‎‎10‎‎5‎，即DF的长度为‎10‎‎5‎．‎ 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．‎ ‎20．（10分）已知y‎=‎‎2‎x，且x≠y，求（‎1‎x-y‎+‎‎1‎x+y）‎÷‎x‎2‎yx‎2‎‎-‎y‎2‎的值．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2x‎(x+y)(x-y)‎÷‎x‎2‎yx‎2‎‎-‎y‎2‎ ‎=‎2xx‎2‎‎-‎y‎2‎×‎x‎2‎‎-‎y‎2‎x‎2‎y‎ ‎ ‎=‎‎2‎xy‎，‎ ‎∵y=‎‎2‎x，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴原式‎=‎2‎x⋅‎‎2‎x=1‎ 解法2：同解法1，得原式‎=‎‎2‎xy，‎ ‎∵y=‎‎2‎x，‎ ‎∴xy＝2，‎ ‎∴原式‎=‎2‎‎2‎=‎1．‎ ‎21．（10分）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y‎=‎kx上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入y=‎kx，得k＝4，‎ 即y=‎‎4‎x，‎ 将B（1，a）代入y=‎‎4‎x，得a＝4，‎ 即B（1，4），‎ 设直线AB的解析式为y＝mx+n，‎ 将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝kx+b，得‎-2=-2m+n‎4=m+n，解得m=2‎n=2‎，‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝2x+2；‎ ‎（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴AB=‎(-2-1)‎‎2‎‎+‎‎(-2-4)‎‎2‎=3‎‎5‎，‎ ‎∵S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎×AB×CD=‎1‎‎2‎×BC×3‎，‎ ‎∴CD=BC×3‎AB=‎4×3‎‎3‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎．‎ ‎22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．‎ 根据上面图表信息，回答下列问题：‎ ‎（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　20　万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为　72　°；‎ ‎（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；‎ ‎（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；‎ ‎（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．‎ ‎【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），‎ 扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°‎×‎4‎‎20‎=‎72°，‎ 故答案为：20、72；‎ ‎（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），‎ 补全的折线统计图如图2所示；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：‎9+4.5‎‎20‎‎×100%=67.5%=‎0.675；‎ ‎（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：‎0.5×1%+2×2.75%+4×3.5%+9×10%+4.5×20%‎‎20‎‎×100%=10%‎．‎ 五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．‎ ‎23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：‎ 车型 每车限载人数（人）‎ 租金（元/辆）‎ 商务车 ‎6‎ ‎300‎ 轿车 ‎4‎ ‎（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？‎ ‎（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？‎ ‎【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，‎ 由题意得：300×2+3x＝1320，‎ 解得 x＝240，‎ 答：租用一辆轿车的租金为240元；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）①若只租用商务车，‎ ‎∵‎34‎‎6‎‎=5‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；‎ ‎②若只租用轿车，‎ ‎∵‎34‎‎4‎‎=8.5‎，‎ ‎∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；‎ ‎③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．‎ 由题意，得 ‎6m+4n=34‎W=300m+240n，‎ 由6m+4n＝34，得 4n＝﹣6m+34，‎ ‎∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，‎ ‎∵﹣6m+34＝4n≥0，‎ ‎∴m≤‎‎17‎‎3‎，‎ ‎∴1≤m≤5，且m为整数，‎ ‎∵W随m的增大而减小，‎ ‎∴当m＝5时，W有最小值1740，此时n＝1．‎ 综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．‎ ‎24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．‎ ‎（1）求证：点D平分AC；‎ ‎（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．‎ ‎【解答】证明：（1）如图1，连接AD、BC，‎ ‎∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠ADE＝∠ABD，‎ 又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，‎ ‎∴DF＝AF，‎ ‎∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，‎ 又∵∠DAC＝∠DBC，‎ ‎∴∠ABD＝∠DBC，‎ ‎∴AD‎=‎DC，‎ ‎∴即点D平分AC；‎ ‎（2）如图2所示，连接OD、AD，‎ ‎∵点E是线段OA的中点，‎ ‎∴OE=‎1‎‎2‎OA=‎1‎‎2‎OD，‎ ‎∴∠AOD＝60°，‎ ‎∴△OAD是等边三角形，‎ ‎∴AD＝AO＝AH，‎ ‎∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，‎ ‎∴DH是⊙O的切线．‎ 六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．‎ ‎25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC 第25页（共25页）‎ 的中点．‎ ‎（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是　OE＝OF　；‎ ‎（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO＝CO，‎ 又∵∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF＝90°，‎ ‎∴△AEO≌△CFO（AAS），‎ ‎∴OE＝OF，‎ 故答案为：OE＝OF；‎ ‎（2）补全图形如图所示，‎ 结论仍然成立，‎ 理由如下：‎ 延长EO交CF于点G，‎ ‎∵AE⊥BP，CF⊥BP，‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴∠EAO＝∠GCO，‎ ‎∵点O为AC的中点，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴AO＝CO，‎ 又∵∠AOE＝∠COG，‎ ‎∴△AOE≌△COG（AAS），‎ ‎∴OE＝OG，‎ ‎∵∠GFE＝90°，‎ ‎∴OE＝OF；‎ ‎（4）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF+AE，‎ 证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，‎ 由（2）可知△AOE≌△COH，‎ ‎∴AE＝CH，OE＝OH，‎ 又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，‎ ‎∴HF‎=‎‎1‎‎2‎EH＝OE，‎ ‎∴OE＝CF+CH＝CF+AE．‎ ‎26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD‎=‎‎4‎‎3‎，如图所示．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．‎ ‎①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；‎ ‎②连结PB，求‎3‎‎5‎PC+PB的最小值．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝2，‎ ‎∴D（2，0），‎ 又∵tan∠CBD=‎4‎‎3‎=‎CDDB，‎ ‎∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，‎ 即C（2，4），‎ 代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），‎ 解得 a=-‎‎4‎‎9‎，‎ ‎∴二次函数的解析式为 y=-‎4‎‎9‎(x+1)(x-5)=-‎‎4‎‎9‎x2‎+‎16‎‎9‎x+‎‎20‎‎9‎；‎ ‎（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，‎ 设直线BC的解析式为 y＝kx+b，‎ ‎∴‎0=5k+b，‎‎4=2k+b.‎，‎ 解得 ‎k=-‎4‎‎3‎，‎b=‎20‎‎3‎.‎ 即直线BC的解析式为 y=-‎4‎‎3‎x+‎‎20‎‎3‎，‎ 令y＝t，得：x=5-‎3‎‎4‎t，‎ ‎∴点E（5‎-‎‎3‎‎4‎t，t），‎ 把x=5-‎3‎‎4‎t 代入y=-‎4‎‎9‎(x+1)(x-5)‎，得 y=t(2-t‎4‎)‎，‎ 即F(5-‎3‎‎4‎t，2t-‎1‎‎4‎t‎2‎)‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴EF=(2t-‎1‎‎4‎t‎2‎)-t=t-‎t‎2‎‎4‎，‎ ‎∴△BCF的面积‎=‎1‎‎2‎×‎EF×BD‎=‎‎3‎‎2‎（t‎-‎t‎2‎‎4‎）‎=-‎3‎‎8‎(t‎2‎-4t)=-‎3‎‎8‎(t-2‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为‎3‎‎2‎；‎ ‎②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，‎ ‎∴sin∠ACD=ADAC=‎‎3‎‎5‎，‎ 过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，PG=PC⋅sin∠ACD=‎3‎‎5‎PC，‎ ‎∴‎3‎‎5‎PC+PB=PG+PB，‎ 过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，‎ ‎∴线段BH的长就是‎3‎‎5‎PC+PB的最小值，‎ ‎∵S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎×AB×CD=‎1‎‎2‎×6×4=12‎，‎ 又∵S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎×AC×BH=‎5‎‎2‎BH，‎ ‎∴‎5‎‎2‎BH=12‎，‎ 即BH=‎‎24‎‎5‎，‎ ‎∴‎3‎‎5‎PC+PB的最小值为‎24‎‎5‎．‎ 第25页（共25页）‎