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- 2021-05-11 发布
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中考数学试题分类汇编:考点 28 圆的有关概念
一.选择题(共 26 小题)
1.(2018•安顺)已知⊙O 的直径 CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为
M,且 AB=8cm,则 AC 的长为( )
A.2 cm B.4 cm C.2 cm 或 4 cm D.2 cm 或 4 cm
【分析】先根据题意画出图形,由于点 C 的位置不能确定,故应分两种情况进行
讨论.
【解答】解:连接 AC,AO,
∵⊙O 的直径 CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM= AB= ×8=4cm,OD=OC=5cm,
当 C 点位置如图 1 所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM= = =3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC= = =4 cm;
当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在 Rt△AMC 中,AC= = =2 cm.
故选:C.
2.(2018•聊城)如图,⊙O 中,弦 BC 与半径 OA 相交于点 D,连接 AB,OC.若
∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C 的度数是( )
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,
再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°﹣60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°
故选:D.
3.(2018•张家界)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,OC=5cm,CD=8cm,
则 AE=( )
A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm
【分析】根据垂径定理可得出 CE 的长度,在 Rt△OCE 中,利用勾股定理可得出
OE 的长度,再利用 AE=AO+OE 即可得出 AE 的长度.
【解答】解:∵弦 CD⊥AB 于点 E,CD=8cm,
∴CE= CD=4cm.
在 Rt△OCE 中,OC=5cm,CE=4cm,
∴OE= =3cm,
∴AE=AO+OE=5+3=8cm.
故选:A.
4.(2018•菏泽)如图,在⊙O 中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA 的度数是( )
A.64° B.58° C.32° D.26°
【分析】根据垂径定理,可得 = ,∠OEB=90°,根据圆周角定理,可得∠3,
根据直角三角形的性质,可得答案.
【解答】解:如图,
由 OC⊥AB,得
= ,∠OEB=90°.
∴∠2=∠3.
∵∠2=2∠1=2×32°=64°.
∴∠3=64°,
在 Rt△OBE 中,∠OEB=90°,
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°,
故选:D.
5.(2018•白银)如图,⊙A 过点 O(0,0),C( ,0),D(0,1),点 B
是 x 轴下方⊙A 上的一点,连接 BO,BD,则∠OBD 的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
【分析】连接 DC,利用三角函数得出∠DCO=30°,进而利用圆周角定理得出∠
DBO=30°即可.
【解答】解:连接 DC,
∵C( ,0),D(0,1),
∴∠DOC=90°,OD=1,OC= ,
∴∠DCO=30°,
∴∠OBD=30°,
故选:B.
6.(2018•襄阳)如图,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的⊙O 上,若 OA⊥BC,
∠CDA=30°,则弦 BC 的长为( )
A.4 B.2 C. D.2
【分析】根据垂径定理得到 CH=BH, = ,根据圆周角定理求出∠AOB,根据
正弦的定义求出 BH,计算即可.
【解答】解:∵OA⊥BC,
∴CH=BH, = ,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
∴BH=OB•sin∠AOB= ,
∴BC=2BH=2 ,
故选:D.
7.(2018•济宁)如图,点 B,C,D 在⊙O 上,若∠BCD=130°,则∠BOD 的度
数是( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
【分析】首先圆上取一点 A,连接 AB,AD,根据圆的内接四边形的性质,即可
得∠BAD+∠BCD=180°,即可求得∠BAD 的度数,再根据圆周角的性质,即可求
得答案.
【解答】解:圆上取一点 A,连接 AB,AD,
∵点 A、B,C,D 在⊙O 上,∠BCD=130°,
∴∠BAD=50°,
∴∠BOD=100°,
故选:D.
8.(2018•通辽)已知⊙O 的半径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离为 5,则弦 AB
所对的圆周角的度数是( )
A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120°
【分析】由图可知,OA=10,OD=5.根据特殊角的三角函数值求角度即可.
【解答】解:由图可知,OA=10,OD=5,
在 Rt△OAD 中,
∵OA=10,OD=5,AD= ,
∴tan∠1= ,∠1=60°,
同理可得∠2=60°,
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°,
∴圆周角的度数是 60°或 120°.
故选:D.
9.(2018•南充)如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上的一点,∠OAC=32°,则
∠B 的度数是( )
A.58° B.60° C.64° D.68°
【分析】根据半径相等,得出 OC=OA,进而得出∠C=32°,利用直径和圆周角定
理解答即可.
【解答】解:∵OA=OC,
∴∠C=∠OAC=32°,
∵BC 是直径,
∴∠B=90°﹣32°=58°,
故选:A.
10.(2018•铜仁市)如图,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=( )
A.55° B.110°C.120°D.125°
【分析】根据圆周角定理进行求解.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半.
【解答】解:根据圆周角定理,得
∠ACB= (360°﹣∠AOB)= ×250°=125°.
故选:D.
11.(2018•临安区)如图,⊙O 的半径 OA=6,以 A 为圆心,OA 为半径的弧交
⊙O 于 B、C 点,则 BC=( )
A. B. C. D.
【分析】根据垂径定理先求 BC 一半的长,再求 BC 的长.
【解答】解:设 OA 与 BC 相交于 D 点.
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB 是等边三角形.
又根据垂径定理可得,OA 平分 BC,
利用勾股定理可得 BD= =3
所以 BC=6 .
故选:A.
12.(2018•贵港)如图,点 A,B,C 均在⊙O 上,若∠A=66°,则∠OCB 的度数
是( )
A.24° B.28° C.33° D.48°
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB 的度数,再根据等边对等角可得∠OCB=
∠OBC,进而可得答案.
【解答】解:∵∠A=66°,
∴∠COB=132°,
∵CO=BO,
∴∠OCB=∠OBC= (180°﹣132°)=24°,
故选:A.
13.(2018•威海)如图,⊙O 的半径为 5,AB 为弦,点 C 为 的中点,若∠ABC=30°,
则弦 AB 的长为( )
A. B.5 C. D.5
【分析】连接 OC、OA,利用圆周角定理得出∠AOC=60°,再利用垂径定理得出
AB 即可.
【解答】解:连接 OC、OA,
∵∠ABC=30°,
∴∠AOC=60°,
∵AB 为弦,点 C 为 的中点,
∴OC⊥AB,
在 Rt△OAE 中,AE= ,
∴AB= ,
故选:D.
14.(2018•盐城)如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ADC=35°,则∠
CAB 的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°,∠ACB=90°,根据三角形内角
和定理计算即可.
【解答】解:由圆周角定理得,∠ABC=∠ADC=35°,
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°,
故选:C.
15.(2018•淮安)如图,点 A、B、C 都在⊙O 上,若∠AOC=140°,则∠B 的度
数是( )
A.70° B.80° C.110°D.140°
【分析】作 对的圆周角∠APC,如图,利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°,
然后根据圆周角定理求∠AOC 的度数.
【解答】解:作 对的圆周角∠APC,如图,
∵∠P= ∠AOC= ×140°=70°
∵∠P+∠B=180°,
∴∠B=180°﹣70°=110°,
故选:C.
16.(2018•咸宁)如图,已知⊙O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是
∠AOB,COD,若∠AOB 与∠COD 互补,弦 CD=6,则弦 AB 的长为( )
A.6 B.8 C.5 D.5
【分析】延长 AO 交⊙O 于点 E,连接 BE,由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠
BOE=∠COD,据此可得 BE=CD=6,在 Rt△ABE 中利用勾股定理求解可得.
【解答】解:如图,延长 AO 交⊙O 于点 E,连接 BE,
则∠AOB+∠BOE=180°,
又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠BOE=∠COD,
∴BE=CD=6,
∵AE 为⊙O 的直径,
∴∠ABE=90°,
∴AB= = =8,
故选:B.
17.(2018•衢州)如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠ACB=35°,则∠AOB 的度数
是( )
A.75° B.70° C.65° D.35°
【分析】直接根据圆周角定理求解.
【解答】解:∵∠ACB=35°,
∴∠AOB=2∠ACB=70°.
故选:B.
18.(2018•柳州)如图,A,B,C,D 是⊙O 上的四个点,∠A=60°,∠B=24°,
则∠C 的度数为( )
A.84° B.60° C.36° D.24°
【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案.
【解答】解:∵∠B 与∠C 所对的弧都是 ,
∴∠C=∠B=24°,
故选:D.
19.(2018•邵阳)如图所示,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,∠BCD=120°,
则∠BOD 的大小是( )
A.80° B.120°C.100°D.90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A,再根据圆周角定理解答.
【解答】解:∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,
∴∠A=180°﹣∠BCD=60°,
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°,
故选:B.
20.(2018•苏州)如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,C 是半圆上的点,D 是
上的点,若∠BOC=40°,则∠D 的度数为( )
A.100°B.110°C.120°D.130°
【分析】根据互补得出∠AOC 的度数,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵∠BOC=40°,
∴∠AOC=180°﹣40°=140°,
∴∠D= ,
故选:B.
21.(2018•台湾)如图,坐标平面上,A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交
点,有一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直,C 点为 L 与 y 轴的交点.若 A、B、C 的
坐标分别为(a,0),(0,4),(0,﹣5),其中 a<0,则 a 的值为何?
( )
A.﹣2 B.﹣2 C.﹣8 D.﹣7
【分析】连接 AC,根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC,根据勾股定理求出
OA,得到答案.
【解答】解:连接 AC,
由题意得,BC=OB+OC=9,
∵直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直,
∴直线 L 是线段 AB 的垂直平分线,
∴AC=BC=9,
在 Rt△AOC 中,AO= =2 ,
∵a<0,
∴a=﹣2 ,
故选:A.
22.(2018•衢州)如图,AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AO 于 E,连接 BC,过点 O
作 OF⊥BC 于 F,若 BD=8cm,AE=2cm,则 OF 的长度是( )
A.3cm B. cm C.2.5cm D. cm
【分析】根据垂径定理得出 OE 的长,进而利用勾股定理得出 BC 的长,再利用
相似三角形的判定和性质解答即可.
【解答】解:连接 OB,
∵AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AO 于 E,BD=8cm,AE=2cm,
在 Rt△OEB 中,OE2+BE2=OB2,
即 OE2+42=(OE+2)2
解得:OE=3,
∴OB=3+2=5,
∴EC=5+3=8,
在 Rt△EBC 中,BC= ,
∵OF⊥BC,
∴∠OFC=∠CEB=90°,
∵∠C=∠C,
∴△OFC∽△BEC,
∴ ,
即 ,
解得:OF= ,
故选:D.
23.(2018•青岛)如图,点 A、B、C、D 在⊙O 上,∠AOC=140°,点 B 是 的
中点,则∠D 的度数是( )
A.70° B.55° C.35.5° D.35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB= ∠AOC,再根据圆周角定
理解答.
【解答】解:连接 OB,
∵点 B 是 的中点,
∴∠AOB= ∠AOC=70°,
由圆周角定理得,∠D= ∠AOB=35°,
故选:D.
24.(2018•广州)如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB,交⊙O 于点 C,连接 OA,
OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°,进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即
可.
【解答】解:∵∠ABC=20°,
∴∠AOC=40°,
∵AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB,
∴∠AOC=∠BOC=40°,
∴∠AOB=80°,
故选:D.
25.(2018•遂宁)如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径 OC 垂直于弦 AB 于 D,连
接 BE,若 AB=2 ,CD=1,则 BE 的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】根据垂径定理求出 AD,根据勾股定理列式求出 OD,根据三角形中位线
定理计算即可.
【解答】解:∵半径 OC 垂直于弦 AB,
∴AD=DB= AB= ,
在 Rt△AOD 中,OA2=(OC﹣CD)2+AD2,即 OA2=(OA﹣1)2+( )2,
解得,OA=4
∴OD=OC﹣CD=3,
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6,
故选:B.
26.(2018•钦州三模)如图,BC 是⊙O 的弦,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC
的度数是( )
A.70° B.35° C.45° D.60°
【分析】欲求∠ADC,又已知一圆心角,可利用圆周角与圆心角的关系求解.
【解答】解:∵A、B、C、D 是⊙O 上的四点,OA⊥BC,
∴弧 AC=弧 AB (垂径定理),
∴∠ADC= ∠AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半);
又∠AOB=70°,
∴∠ADC=35°.
故选:B.
二.填空题(共 13 小题)
27.(2018•孝感)已知⊙O 的半径为 10cm,AB,CD 是⊙O 的两条弦,AB∥CD,
AB=16cm,CD=12cm,则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2 或 14 cm.
【分析】分两种情况进行讨论:①弦 AB 和 CD 在圆心同侧;②弦 AB 和 CD 在圆
心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可,小心别漏解.
【解答】解:①当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AE=8cm,CF=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴EO=6cm,OF=8cm,
∴EF=OF﹣OE=2cm;
②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AF=8cm,CE=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OF=6cm,OE=8cm,
∴EF=OF+OE=14cm.
∴AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm.
故答案为:2 或 14.
28.(2018•曲靖)如图:四边形 ABCD 内接于⊙O,E 为 BC 延长线上一点,若
∠A=n°,则∠DCE= n °.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解.
【解答】解:∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为:n
29.(2018•南通模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的一点,若 BC=3,
AB=5,OD⊥BC 于点 D,则 OD 的长为 2 .
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则可根据勾股定理计算出 AC=4,再
根据垂径定理得到 BD=CD,则可判断 OD 为△ABC 的中位线,然后根据三角形中
位线性质求解.
【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC= =4,
∵OD⊥BC,
∴BD=CD,
而 OB=OA,
∴OD 为△ABC 的中位线,
∴OD= AC= ×4=2.
故答案为 2.
30.(2018•北京)如图,点 A,B,C,D 在⊙O 上, = ,∠CAD=30°,∠
ACD=50°,则∠ADB= 70° .
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠
ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC,进而得出答案.
【解答】解:∵ = ,∠CAD=30°,
∴∠CAD=∠CAB=30°,
∴∠DBC=∠DAC=30°,
∵∠ACD=50°,
∴∠ABD=50°,
∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°.
故答案为:70°.
31.(2018•杭州)如图,AB 是⊙O 的直轻,点 C 是半径 OA 的中点,过点 C 作
DE⊥AB,交⊙O 于 D,E 两点,过点 D 作直径 DF,连结 AF,则∠DFA= 30° .
【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°,进而得出∠DOA=60°,利用
圆周角定理得出∠DFA=30°即可.
【解答】解:∵点 C 是半径 OA 的中点,
∴OC= OD,
∵DE⊥AB,
∴∠CDO=30°,
∴∠DOA=60°,
∴∠DFA=30°,
故答案为:30°
32.(2018•吉林)如图,A,B,C,D 是⊙O 上的四个点, = ,若∠AOB=58°,
则∠BDC= 29 度.
【分析】根据∠BDC= ∠BOC 求解即可;
【解答】解:连接 OC.
∵ = ,
∴∠AOB=∠BOC=58°,
∴∠BDC= ∠BOC=29°,
故答案为 29.
33.(2018•烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点
O,A,B,C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点 O 为原点建立直角坐
标系,则过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 (﹣1,﹣2) .
【分析】连接 CB,作 CB 的垂直平分线,根据勾股定理和半径相等得出点 O 的坐
标即可.
【解答】解:连接 CB,作 CB 的垂直平分线,如图所示:
在 CB 的垂直平分线上找到一点 D,
CD═DB=DA= ,
所以 D 是过 A,B,C 三点的圆的圆心,
即 D 的坐标为(﹣1,﹣2),
故答案为:(﹣1,﹣2),
34.(2018•无锡)如图,点 A、B、C 都在⊙O 上,OC⊥OB,点 A 在劣弧 上,
且 OA=AB,则∠ABC= 15° .
【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB 是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°﹣60°=30°,
∴∠ABC=15°,
故答案为:15°
35.(2018•广东)同圆中,已知弧 AB 所对的圆心角是 100°,则弧 AB 所对的圆
周角是 50° .
【分析】直接利用圆周角定理求解.
【解答】解:弧 AB 所对的圆心角是 100°,则弧 AB 所对的圆周角为 50°.
故答案为 50°.
36.(2018•黑龙江)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,已知 CD=6,
EB=1,则⊙O 的半径为 5 .
【分析】连接 OC,由垂径定理知,点 E 是 CD 的中点,AE= CD,在直角△OCE
中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可.
【解答】解:连接 OC,
∵AB 为⊙O 的直径,AB⊥CD,
∴CE=DE= CD= ×6=3,
设⊙O 的半径为 xcm,
则 OC=xcm,OE=OB﹣BE=x﹣1,
在 Rt△OCE 中,OC2=OE2+CE2,
∴x2=32+(x﹣1)2,
解得:x=5,
∴⊙O 的半径为 5,
故答案为:5.
37.(2018•绍兴)如图,公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪,A,B 是圆上
的点,O 为圆心,∠AOB=120°,从 A 到 B 只有路 ,一部分市民为走“捷径”,
踩坏了花草,走出了一条小路 AB.通过计算可知,这些市民其实仅仅少 B 走了
15 步(假设 1 步为 0.5 米,结果保留整数).(参考数据: ≈1.732,π取
3.142)
【分析】作 OC⊥AB 于 C,如图,根据垂径定理得到 AC=BC,再利用等腰三角形
的性质和三角形内角和计算出∠A=30°,则 OC=10,AC=10 ,所以 AB≈69(步),
然后利用弧长公式计算出 的长,最后求它们的差即可.
【解答】解:作 OC⊥AB 于 C,如图,则 AC=BC,
∵OA=OB,
∴∠A=∠B= (180°﹣∠AOB)= (180°﹣120°)=30°,
在 Rt△AOC 中,OC= OA=10,AC= OC=10 ,
∴AB=2AC=20 ≈69(步);
而 的长= ≈84(步),
的长与 AB 的长多 15 步.
所以这些市民其实仅仅少 B 走了 15 步.
故答案为 15.
38.(2018•随州)如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠A=40 度,∠C=20 度,则∠
B= 60 度.
【分析】连接 OA,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°,根据等腰三角
形的性质解答即可.
【解答】解:如图,连接 OA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=20°,
∴∠OAB=60°,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB=60°,
故答案为:60.
39.(2018•金华)如图 1 是小明制作的一副弓箭,点 A,D 分别是弓臂 BAC 与
弓弦 BC 的中点,弓弦 BC=60cm.沿 AD 方向拉动弓弦的过程中,假设弓臂 BAC
始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图 2,当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1 时,
有 AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.
(1)图 2 中,弓臂两端 B1,C1 的距离为 30 cm.
(2)如图 3,将弓箭继续拉到点 D2,使弓臂 B2AC2 为半圆,则 D1D2 的长为 10
﹣10 cm.
【分析】(1)如图 1 中,连接 B1C1 交 DD1 于 H.解直角三角形求出 B1H,再根
据垂径定理即可解决问题;
(2)如图 3 中,连接 B1C1 交 DD1 于 H,连接 B2C2 交 DD2 于 G.利用弧长公式求
出半圆半径即可解决问题;
【解答】解:(1)如图 2 中,连接 B1C1 交 DD1 于 H.
∵D1A=D1B1=30
∴D1 是 的圆心,
∵AD1⊥B1C1,
∴B1H=C1H=30×sin60°=15 ,
∴B1C1=30
∴弓臂两端 B1,C1 的距离为 30
(2)如图 3 中,连接 B1C1 交 DD1 于 H,连接 B2C2 交 DD2 于 G.
设半圆的半径为 r,则πr= ,
∴r=20,
∴AG=GB2=20,GD1=30﹣20=10,
在 Rt△GB2D2 中,GD2= =10
∴D1D2=10 ﹣10.
故答案为 30 ,10 ﹣10,
三.解答题(共 1 小题)
40.(2018•宜昌)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,
交 BC 于点 E,延长 AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB,FC.
(1)求证:四边形 ABFC 是菱形;
(2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积.
【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形,证明是平行四边形,
再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;
(2)设 CD=x,连接 BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题;
【解答】(1)证明:∵AB 是直径,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴BE=CE,
∵AE=EF,
∴四边形 ABFC 是平行四边形,
∵AC=AB,
∴四边形 ABFC 是菱形.
(2)设 CD=x.连接 BD.
∵AB 是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2,
∴(7+x)2﹣72=42﹣x2,
解得 x=1 或﹣8(舍弃)
∴AC=8,BD= = ,
∴S 菱形 ABFC=8 .
∴S 半圆= •π•42=8π.