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圆综合复习
1、(12分)(2014•攀枝花,23.)如图,以点P(﹣1,0)为圆心的圆,交x轴于B、C两点(B在C的左侧),交y轴于A、D两点(A在D的下方),AD=2,将△ABC绕点P旋转180°,得到△MCB.
(1)求B、C两点的坐标;
(2)请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状(不必证明),求出点M的坐标;
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线l与CM交点为E,点Q为BE的中点,过点E作EG⊥BC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变,求出∠MQG的度数;若变化,请说明理由.
2.(8分)(2014•苏州27)如图,已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点,=,连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF.
(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧的长;
(2)求证:BF=BD;
(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系.
3.(9分)(2014•苏州28)如图,已知l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)
(1)如图①,连接OA、AC,则∠OAC的度数为 °;
(2)如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);
(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).
4.(2014上海25.本题满分14分,第(1)小题满分3分,第(1)小题满分5分,第(1)小题满分6分)
如图1,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.
(1)当圆C经过点A时,求CP的长;
(2)联结AP,当AP//CG时,求弦EF的长;
(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.
图1 备用图
5.(2014成都27本小题满分10分)
如图,在⊙的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,=,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设,,求与之间的函数关系式.(不要求写出的取值范围)
,
6.(9分)(2014•淄博24)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.
(1)使∠APB=30°的点P有 个;
(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,也请说明理由.
7、(10分)(2014•襄阳25.)如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60°,过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.
(1)求证:△ADP∽△BDA;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若AD=2,PD=1,求线段BC的长.
8、(10分)(2014•南宁25.)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.
(1)试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2)求证:∠ACF=90°;
(3)连接AF,过A、E、F三点作圆,如图2,若EC=4,∠CEF=15°,求的长.
9、(12分)(2014•泰州25.)如图,平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+b(b为常数,b>0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C,与y轴相交于点D、E,点D在点E上方.
(1)若直线AB与有两个交点F、G.
①求∠CFE的度数;
②用含b的代数式表示FG2,并直接写出b的取值范围;
(2)设b≥5,在线段AB上是否存在点P,使∠CPE=45°?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
10、(2014•湖州24.)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0)
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
11、(2014 徐州28.本题10分)如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.
(1) 试说明四边形EFCG是矩形;
(2) 当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存在,说明理由;
②求点G移动路线的长.
12、(12分)(2014•荆州25.)如图①,已知:在矩形ABCD的边AD上有一点O,OA=,以O为圆心,OA长为半径作圆,交AD于M,恰好与BD相切于H,过H作弦HP∥AB,弦HP=3.若点E是CD边上一动点(点E与C,D不重合),过E作直线EF∥BD交BC于F,再把△CEF沿着动直线EF对折,点C的对应点为G.设CE=x,△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求证:四边形ABHP是菱形;
(2)问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗?若能,求出此时x的值;若不能,请说明理由;
(3)求S与x之间的函数关系式,并直接写出FG与⊙O相切时,S的值.
13、(2014日照本小题满分14分21.)
阅读资料:
小明是一个爱动脑筋的好学生,他在学习了有关圆的切线性质后,意犹未尽,又查阅到了与圆的切线相关的一个问题:
如图l,已知PC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,延长刚交切线PC于点P.连接AC,BC,OC.
因为PC是⊙O 的切线,AB是⊙O的直径,所以∠OCP=∠ACB=90°,所以∠1=∠2.
又因为∠B=∠1,所以∠B=∠2.在△PAC与△PCB中,又因为∠P=∠P,所以△PAC~△PCB,所以=,即PC2=PA·PB.
问题拓展:
(1)如果PB不经过⊙O的圆心O(如图2),等式PC2=PA·PB,还成立吗?请证明你的结论.
综合应用:
(2)如图3,⊙O是△ABC的外接圆,PC是⊙O的切线,C是切点,BA的延长线交PC于点P.
①当AB=PA,且PC=12时,求PA的值;
②D是BC的中点,PD交AC于点E.求证:
图1 图2 图3
14、(11分)(2014•河北25.)图1和图2中,优弧所在⊙O的半径为2,AB=2.点P为优弧上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.
(1)点O到弦AB的距离是 ,当BP经过点O时,∠ABA′= °;
(2)当BA′与⊙O相切时,如图2,求折痕的长:
(3)若线段BA′与优弧只有一个公共点B,设∠ABP=α.确定α的取值范围.
15、(12分)(2014•漳州24.)阅读材料:如图1,在△AOB中,∠O=90°,OA=OB,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)
(1)【理解与应用】
如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF的值为 _________ .
(2)【类比与推理】
如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PE∥OB交AC于点E,PF∥OA交BD于点F,求PE+PF的值;
(3)【拓展与延伸】
如图4,⊙O的半径为4,A,B,C,D是⊙O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PE∥BC交AC于点E,PF∥AD于点F,当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
16、(10分)(2014•常州28.)在平面直角坐标系xOy中,点M(,),以点M为圆心,OM长为半径作⊙M.使⊙M与直线OM的另一交点为点B,与x轴,y轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接AM.点P是上的动点.
(1)写出∠AMB的度数;
(2)点Q在射线OP上,且OP•OQ=20,过点Q作QC垂直于直线OM,垂足为C,直线QC交x轴于点E.
①当动点P与点B重合时,求点E的坐标;
②连接QD,设点Q的纵坐标为t,△QOD的面积为S.求S与t的函数关系式及S的取值范围.
17、(9分)(2014年云南省23.)已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCD是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点D在y轴上,且点D的坐标为(0,﹣5),点P是直线AC上的一动点.
(1)当点P运动到线段AC的中点时,求直线DP的解析式(关系式);
(2)当点P沿直线AC移动时,过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为,过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF?若存在,请求出最小面积S的值;若不存在,请说明理由.
18、(2014•江西,第22题8分)如图1,AB是圆O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是圆O上半部分的一个动点,连接OP,CP。
(1)求△OPC的最大面积;
(2)求∠OCP的最大度数;
(3)如图2,延长PO交圆O于点D,连接DB,当CP=DB,求证:CP是圆O的切线.
19. (2014•株洲,第23题,8分)如图,PQ为圆O的直径,点B在线段PQ的延长线上,OQ=QB=1,动点A在圆O的上半圆运动(含P、Q两点),以线段AB为边向上作等边三角形ABC.
(1)当线段AB所在的直线与圆O相切时,求△ABC的面积(图1);
(2)设∠AOB=α,当线段AB、与圆O只有一个公共点(即A点)时,求α的范围(图2,直接写出答案);
(3)当线段AB与圆O有两个公共点A、M时,如果AO⊥PM于点N,求CM的长度(图3).
圆综合大题复习答案
1.(12分)(2014•攀枝花)
解答:
解:(1)连接PA,如图1所示.
∵PO⊥AD,∴AO=DO.∵AD=2,∴OA=.∵点P坐标为(﹣1,0),∴OP=1.∴PA==2.
∴BP=CP=2.∴B(﹣3,0),C(1,0).
(2)连接AP,延长AP交⊙P于点M,连接MB、MC.如图2所示,线段MB、MC即为所求作.四边形ACMB是矩形.理由如下:
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得,∴四边形ACMB是平行四边形.∵BC是⊙P的直径,∴∠CAB=90°.
∴平行四边形ACMB是矩形.过点M作MH⊥BC,垂足为H,如图2所示.在△MHP和△AOP中,∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPA,MP=AP,∴△MHP≌△AOP.∴MH=OA=,PH=PO=1.∴OH=2.
∴点M的坐标为(﹣2,).
(3)在旋转过程中∠MQG的大小不变.
∵四边形ACMB是矩形,∴∠BMC=90°.∵EG⊥BO,∴∠BGE=90°.∴∠BMC=∠BGE=90°.∵点Q是BE的中点,∴QM=QE=QB=QG.∴点E、M、B、G在以点Q为圆心,QB为半径的圆上,如图3所示.∴∠MQG=2∠MBG.∵∠COA=90°,OC=1,OA=,∴tan∠OCA==.∴∠OCA=60°.∴∠MBC=∠BCA=60°.∴∠MQG=120°.∴在旋转过程中∠MQG的大小不变,始终等于120°.
2.(8分)(2014•苏州)
解答:
(1)解:连接OB,OD,
∵∠DAB=120°,∴所对圆心角的度数为240°,∴∠BOD=120°,∵⊙O的半径为3,
∴劣弧的长为:×π×3=2π;
(2)证明:连接AC,∵AB=BE,∴点B为AE的中点,∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线,
∴BF=AC,∵=,∴+=+,∴=,∴BD=AC,∴BF=BD;
(3)解:过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,
∵BF为△EAC的中位线,∴BF∥AC,∴∠FBE=∠CAE,∵=,∴∠CAB=∠DBA,∵由作法可知BP⊥AE,∴∠GBP=∠FBP,∵G为BD的中点,∴BG=BD,∴BG=BF,
在△PBG和△PBF中,
,
∴△PBG≌△PBF(SAS),∴PG=PF.
3.(9分)(2014•苏州)解答:
解:(1)∵l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,
∴∠OAD=45°,
∵AB=4cm,AD=4cm,
∴CD=4cm,AD=4cm,
∴tan∠DAC===,
∴∠DAC=60°,
∴∠OAC的度数为:∠OAD+∠DAC=105°,
故答案为:105;
(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设⊙O1与l1的切点为E,
连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,
在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,∴tan∠C1A1D1=,∴∠C1A1D1=60°,
在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60°,∴A1E==,∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,
∴t﹣2=,∴t=+2,∴OO1=3t=2+6;
(3)①当直线AC与⊙O第一次相切时,设移动时间为t1,
如图,此时⊙O移动到⊙O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,
设⊙O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,
∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2,由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°,∴∠O2A2F=60°,
在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F=,∵OO2=3t,AF=AA2+A2F=4t1+,∴4t1+﹣3t1=2,
∴t1=2﹣,
②当直线AC与⊙O第二次相切时,设移动时间为t2,
记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时位置二,第二次相切时为位置三,
由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,∴+2﹣(2﹣)=t2﹣(+2),解得:t2=2+2,综上所述,当d<2时,t的取值范围是:2﹣<t<2+2.
4、2014上海
5、2014成都
6.(9分)(2014•淄博)
解答:
解:(1)以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABC,
以点C为圆心,AC为半径作⊙C,交y轴于点P1、P2.
在优弧AP1B上任取一点P,如图1,
则∠APB=∠ACB=×60°=30°.∴使∠APB=30°的点P有无数个.故答案为:无数.
(2)①当点P在y轴的正半轴上时,
过点C作CG⊥AB,垂足为G,如图1.
∵点A(1,0),点B(5,0),∴OA=1,OB=5.∴AB=4.∵点C为圆心,CG⊥AB,∴AG=BG=AB=2.
∴OG=OA+AG=3.∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=4.∴CG===2.
∴点C的坐标为(3,2).
过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接CP2,如图1,
∵点C的坐标为(3,2),∴CD=3,OD=2.∵P1、P2是⊙C与y轴的交点,∴∠AP1B=∠AP2B=30°.
∵CP2=CA=4,CD=3,∴DP2==.∵点C为圆心,CD⊥P1P2,∴P1D=P2D=.
∴P2(0,2﹣).P1(0,2+).
②当点P在y轴的负半轴上时,
同理可得:P3(0,﹣2﹣).P4(0,﹣2+).
综上所述:满足条件的点P的坐标有:
(0,2﹣)、(0,2+)、(0,﹣2﹣)、(0,﹣2+).
(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时,∠APB最大.
①当点P在y轴的正半轴上时,连接EA,作EH⊥x轴,垂足为H,如图2.
∵⊙E与y轴相切于点P,∴PE⊥OP.∵EH⊥AB,OP⊥OH,∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.∴四边形OPEH是矩形.∴OP=EH,PE=OH=3.∴EA=3.∵∠EHA=90°,AH=2,EA=3,∴EH===∴OP=∴P(0,).
②当点P在y轴的负半轴上时,同理可得:P(0,﹣).理由:
①若点P在y轴的正半轴上,在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合),
连接MA,MB,交⊙E于点N,连接NA,如图2所示.∵∠ANB是△AMN的外角,∴∠ANB>∠AMB.
∵∠APB=∠ANB,∴∠APB>∠AMB.②若点P在y轴的负半轴上,
同理可证得:∠APB>∠AMB.综上所述:当点P在y轴上移动时,∠APB有最大值,
此时点P的坐标为(0,)和(0,﹣).
7.(10分)(2014•襄阳)解答:
(1)证明:作⊙O的直径AE,连接PE,
∵AE是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,
∴∠DAE=∠APE=90°,
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°,
∴∠PAD=∠E,∵∠PBA=∠E,∴∠PAD=∠PBA,∵∠PAD=∠PBA,∠ADP=∠BDA,∴△ADP∽△BDA;
(2)PA+PB=PC,
证明:在线段PC上截取PF=PB,连接BF,
∵PF=PB,∠BPC=60°,∴△PBF是等边三角形,∴PB=BF,∠BFP=60°,∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°,∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°,∴∠BPA=∠BFC,
在△BPA和△BFC中,,
∴△BPA≌△BFC(AAS),∴PA=FC,AB=BC,∴PA+PB=PF+FC=PC;
(3)解:∵△ADP∽△BDA,∴==,∵AD=2,PD=1∴BD=4,AB=2AP,∴BP=BD﹣DP=3,∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°,∴∠APD=∠APC,
∵∠PAD=∠E,∠PCA=∠E,∴PAD=∠PCA,∴△ADP∽△CAP,∴=,AP2=CP•PD,∴AP2=(3+AP)•1,解得:AP=或AP=(舍去),∴BC=AB=2AP=1+.
8.(10分)(2014•南宁)
解答:
解:(1)BE=FH.
证明:∵∠AEF=90°,∠ABC=90°,∴∠HEF+∠AEB=90°,∠BAE+∠AEB=90°,∴∠HEF=∠BAE,
在△ABE和△EHF中,
∴△ABE≌△EHF(AAS)∴BE=FH.
(2)由(1)得BE=FH,AB=EH,∵BC=AB,∴BE=CH,∴CH=FH,∴∠HCF=45°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°,∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°.
(3)由(2)知∠HCF=45°,∴CF=FH.∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°.
如图2,过点C作CP⊥EF于P,则CP=CF=FH.
∵∠CEP=∠FEH,∠CPE=∠FHE=90°,∴△CPE∽△FHE.∴,即,∴EF=4.∵△AEF为等腰直角三角形,∴AF=8.取AF中点O,连接OE,则OE=OA=4,∠AOE=90°,
∴的弧长为:=2π.
9.(12分)(2014•泰州)解答:
解:(1)连接CD,EA,
∵DE是直径,∴∠DCE=90°,∵CO⊥DE,且DO=EO,∴∠ODC=OEC=45°,∴∠CFE=∠ODC=45°,
(2)①如图,作OM⊥AB点M,连接OF,
∵OM⊥AB,直线的函数式为:y=﹣x+b,∴OM所在的直线函数式为:y=x,∴交点M(b,b)
∴OM2=(b)2+(b)2,∵OF=4,∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣(b)2﹣(b)2,∵FM=FG,
∴FG2=4FM2=4×[42﹣(b)2﹣(b)2]=64﹣b2=64×(1﹣b2),∵直线AB与有两个交点F、G.
∴4≤b<5,
(3)如图,
当b=5时,直线与圆相切,∵DE是直径,∴∠DCE=90°,∵CO⊥DE,且DO=EO,∴∠ODC=OEC=45°,∴∠CFE=∠ODC=45°,∴存在点P,使∠CPE=45°,
连接OP,∵P是切点,∴OP⊥AB,∴OP所在的直线为:y=x,又∵AB所在的直线为:y=﹣x+5,
∴P(,).
10.(2014•湖州)
证明:(1)如图,连接PM,PN,
∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,
∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF,
∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE,
在△PMF和△PNE中,,∴△PMF≌△PNE(ASA),
∴PE=PF,
(2)解:①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图,
由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,
∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,
②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,
同理可证△PMF≌△PNE,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t,
∴b+a=1+t+1﹣t=2,
∴b=2﹣a,
(3)如图3,(Ⅰ)当1<t<2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,∴F′(1﹣t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1﹣t,0)∴OQ=1﹣t,由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=,
解得,t=,当△OEQ∽△MFP时,∴=,
=,解得,t=,
(Ⅱ)如图4,当t>2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,∴F′(1﹣t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1﹣t,0)∴OQ=t﹣1,
由(1)得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=,无解,
当△OEQ∽△MFP时,∴=,=,解得,t=2±,
所以当t=,t=,t=2±时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似.
11. (2014 徐州本题10分)
(1)∵CE是⊙O的直径,点F、G在⊙O上,∴∠EFC=∠EGC=90°,
又∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°,∴四边形EFCG是矩形···························2分
(2)①∵四边形EFCG是矩形,∴∠BCD=90°,∴BDC=.
∵∠CEF=∠BDC,∴CEF=BDC,即···········3分
∴
∵当点F与点B重合时,CF=BC=4;
当⊙O与射线BD相切时,点F与点D重合,
此时CF=CD=3;
当CF⊥BD时,
∴.
∴当CF=cm时,·····················6分
当CF=4cm时,.································8分
②如答图4,连接DG,并延长DG交BC得延长线与点G’.
∵∠BDG=∠FEG=90°,又∵∠DCG’=90°,∴点G得移动路线为线段DG’,·······9分
∵CD=3cm,∴CG’=∴DG’=··············10分
12.(12分)(2014•荆州)
解答:
解:(1)证明:连接OH,如图①所示.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠BAD=90°,BC=AD,AB=CD.
∵HP∥AB,∴∠ANH+∠BAD=180°.∴∠ANH=90°.∴HN=PN=HP=.
∵OH=OA=,∴sin∠HON==.∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H,
∴OH⊥BD.∴∠HDO=30°.∴OD=2.∴AD=3.∴BC=3.∵∠BAD=90°,∠BDA=30°.∴tan∠BDA===.∴AB=3.∵HP=3,∴AB=HP.∵AB∥HP,∴四边形ABHP是平行四边形.∵∠BAD=90°,AM是⊙O的直径,∴BA与⊙O相切于点A.∵BD与⊙O相切于点H,∴BA=BH.∴平行四边形ABHP是菱形.
(2)△EFG的直角顶点G能落在⊙O上.
如图②所示,点G落到AD上.
∵EF∥BD,∴∠FEC=∠CDB.∵∠CDB=90°﹣30°=60°,∴∠CEF=60°.
由折叠可得:∠GEF=∠CEF=60°.∴∠GED=60°.∵CE=x,∴GE=CE=x.ED=DC﹣CE=3﹣x.∴cos∠GED===.∴x=2.∴GE=2,ED=1.∴GD=.
∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=.∴OG=OM.∴点G与点M重合.
此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上,对应的x的值为2.
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时,对应的x的值为2.
(3)①如图①,
在Rt△EGF中,tan∠FEG===.∴FG=x.∴S=GE•FG=x•x=x2.
②如图③,
ED=3﹣x,RE=2ED=6﹣2x,GR=GE﹣ER=x﹣(6﹣2x)=3x﹣6.∵tan∠SRG===,∴SG=(x﹣2).∴S△SGR=SG•RG=•(x﹣2)•(3x﹣6).
=(x﹣2)2.∵S△GEF=x2,∴S=S△GEF﹣S△SGR=x2﹣(x﹣2)2.
=﹣x2+6x﹣6.
综上所述:当0≤x≤2时,S=x2;当2<x≤3时,S=﹣x2+6x﹣6.
当FG与⊙O相切于点T时,延长FG交AD于点Q,过点F作FK⊥AD,垂足为K,如图④所示.
∵四边形ABCD是矩形,∴BC∥AD,∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°.
∵OT=,∴OQ=2.∴AQ=+2.
∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°,∴四边形ABFK是矩形.
∴FK=AB=3,AK=BF=3﹣x.
∴KQ=AQ﹣AK=(+2)﹣(3﹣x)=2﹣2+x.
在Rt△FKQ中,tan∠FQK==.∴FK=QK.∴3=(2﹣2+x).
解得:x=3﹣.∵0≤3﹣≤2,∴S=x2=×(3﹣)2=﹣6.
∴FG与⊙O相切时,S的值为﹣6.
13解:(1)当PB不经过⊙O的圆心O时,等式PC2=PA·PB仍然成立.
证法一:如图1,连接PO,并延长交⊙O于点D,E,连接BD,AE.
图1
∴∠B=∠E,∠BPD=∠APE, (2分)
∴△PBD~△PEA.
∴=,即PA·PB=PD·PE, (4分)
由图1知PC2=PD·PE,∴PC2=PA·PB. (6分)
证法二:如图2,过点C作⊙O的直径CD,连接AD,BC,AC.
∵PC是⊙O的切线,∴PC⊥CD, (2分)
∴∠CAD=∠PCD=90°,即∠1+∠2=90°,∠D+∠1=90°,
∴∠D=∠2. (4分)
∵∠D=∠B,∴∠B=∠2,∠P=∠P,∴△PBC~△PCA,
∴=,即PC2=PA·PB. (6分)
(2)①由(1)得PC2=PA·PB,PC=12,AB=PA,
PC2=PA·PB=PA(PA+AB)=2PA2,
∴2PA2=144,PA=±6,PA=-6无意义,舍去.
∴PA=6. (8分)
②证法一:过点A作AF∥BC,交PD于点F,
∴=,=. (10分)
∵D为BC的中点,∴BD=CD.
∴=,∴=. (12分)
PC2=PA·PB.
===,即=. (14分)
证法二:过点A作AG∥BC,交BC于点G,
∴=,=.(10分)
∵D为BC的中点,∴BD=CD.∴=,∴=. (12分)
PC2=PA·PB.
===,即= (14分)
14河北解答:
解:(1)①过点O作OH⊥AB,垂足为H,连接OB,如图1①所示.
∵OH⊥AB,AB=2,∴AH=BH=.
∵OB=2,∴OH=1.∴点O到AB的距离为1.
②当BP经过点O时,如图1②所示.
∵OH=1,OB=2,OH⊥AB,∴sin∠OBH==.∴∠OBH=30°.由折叠可得:∠A′BP=∠ABP=30°.
∴∠ABA′=60°.故答案为:1、60.
(2)过点O作OG⊥BP,垂足为G,如图2所示.
∵BA′与⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.
∴∠OBP=30°.∴OG=OB=1.∴BG=.∵OG⊥BP,∴BG=PG=.∴BP=2.∴折痕的长为2.
(3)若线段BA′与优弧只有一个公共点B,
Ⅰ.当点A′在⊙O的内部时,此时α的范围是0°<α<30°.
Ⅱ.当点A′在⊙O的外部时,此时α的范围是60°≤α<120°.
综上所述:线段BA′与优弧只有一个公共点B时,α的取值范围是0°<α<30°或60°≤α<120°.
15.(12分)(2014•漳州)解答:
解:(1)如图2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠AOB=90°.
∵AB=BC=2,
∴AC=2.∴OA=.∵OA=OB,∠AOB=90°,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE+PF=OA=.
(2)如图3,
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∠DAB=90°.∵AB=4,AD=3,∴BD=5.
∴OA=OB=OC=OD=.∵PE∥OB,PF∥AO,∴△AEP∽△AOB,△BFP∽△BOA.
∴,.∴==1.∴+=1.∴EP+FP=.∴PE+PF的值为.
(3)当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是定值.
理由:连接OA、OB、OC、OD,如图4.
∵DG与⊙O相切,∴∠GDA=∠ABD.∵∠ADG=30°,∴∠ABD=30°.∴∠AOD=2∠ABD=60°.
∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴AD=OA=4.
同理可得:BC=4.∵PE∥BC,PF∥AD,∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA.∴,.
∴==1.∴=1.∴PE+PF=4.∴当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF=4.
16.(10分)(2014•常州)解答:
解:(1)过点M作MH⊥OD于点H,
∵点M(,),∴OH=MH=,∴∠MOD=45°,∵∠AOD=90°,∴∠AOM=45°,∵OA=OM,∴∠OAM=∠AOM=45°,∴∠AMO=90°∴∠AMB=90°;
(2)①∵OH=MH=,MH⊥OD,
∴OM==2,OD=2OH=2,∴OB=4,∵动点P与点B重合时,OP•OQ=20,∴OQ=5,∵∠OQE=90°,∠POE=45°,∴OE=5,∴E点坐标(5,0)
②∵OD=2,Q的纵坐标为t,∴S=.
如图2,当动点P与B点重合时,过点Q作QF⊥x轴,垂足为F点,
∵OP=4,OP•OQ=20,∴OQ=5,∵∠OFC=90°,∠QOD=45°,∴t=QF=,
此时S=;
如图3,当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,
∴OP=2,∵OP•OQ=20,∴t=OQ=5,此时S=;∴S的取值范围5≤S≤10.
17解答: 解:(1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示.
∵PH∥OA,∴△CHP∽△COA.∴==.∵点P是AC中点,∴CP=CA.∴HP=OA,CH=CO.
∵A(3,0)、C(0,4),∴OA=3,OC=4.∴HP=,CH=2.∴OH=2.∵PH∥OA,∠COA=90°,
∴∠CHP=∠COA=90°.∴点P的坐标为(,2).
设直线DP的解析式为y=kx+b,∵D(0,﹣5),P(,2)在直线DP上,
∴∴∴直线DP的解析式为y=x﹣5.
(2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示,∵△DOM∽△ABC,∴=.
∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.﹣5),∴BC=3,AB=4,OD=5.∴=.∴OM=.
∵点M在x轴的正半轴上,∴点M的坐标为(,0)
②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示,
∵△DOM∽△CBA,∴=.∵BC=3,AB=4,OD=5,∴=.∴OM=.∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为(,0).综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为(,0)或(,0).
(3)∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°,∴AC=5.∴PE=PF=AC=.∵DE、DF都与⊙P相切,∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°.∴S△PED=S△PFD.∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE.∵∠DEP=90°,∴DE2=DP2﹣PE2.=DP2﹣.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.
∵DP⊥AC,∴∠DPC=90°.∴∠AOC=∠DPC.∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC,∴△AOC∽△DPC.
∴=.∵AO=3,AC=5,DC=4﹣(﹣5)=9,∴=.∴DP=.∴DE2=DP2﹣=()2﹣=.
∴DE=,∴S四边形DEPF=DE=.∴四边形DEPF面积的最小值为.
19.(8分)(2014•株洲)解答:
解:(1)连接OA,过点B作BH⊥AC,垂足为H,如图1所示.
∵AB与⊙O相切于点A,
∴OA⊥AB.
∴∠OAB=90°.∵OQ=QB=1,∴OA=1.∴AB===.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=,∠CAB=60°.∵sin∠HAB=,∴HB=AB•sin∠HAB=×=.
∴S△ABC=AC•BH=××=.∴△ABC的面积为.
(2)①当点A与点Q重合时,线段AB与圆O只有一个公共点,此时α=0°;②当线段A1B所在的直线与圆O相切时,如图2所示,
线段A1B与圆O只有一个公共点,此时OA1⊥BA1,OA1=1,OB=2,∴cos∠A1OB==.∴∠A1OB=60°.
∴当线段AB与圆O只有一个公共点(即A点)时,α的范围为:0°≤α≤60°.
(3)连接MQ,如图3所示.
∵PQ是⊙O的直径,∴∠PMQ=90°.∵OA⊥PM,∴∠PDO=90°.∴∠PDO=∠PMQ.
∴△PDO∽△PMQ.∴==∵PO=OQ=PQ.∴PD=PM,OD=MQ.同理:MQ=AO,BM=AB.
∵AO=1,∴MQ=.∴OD=.∵∠PDO=90°,PO=1,OD=,∴PD=.∴PM=.∴DM=.
∵∠ADM=90°,AD=A0﹣OD=,∴AM===.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=BC,∠CAB=60°.∵BM=AB,∴AM=BM.∴CM⊥AB.
∵AM=,∴BM=,AB=.∴AC=.∴CM===.
∴CM的长度为.