中考数学压轴题复习⒅含答案共20期 22页

‎2014年中考数学压轴题复习⒅‎ ‎341．（山东省淄博市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．‎ A B O D C E F ‎（1）求证：EF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠ABC＝，CF＝1，求⊙O的半径及EF的长．‎ ‎342．（山东省淄博市）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝，P是AC上的一个动点．‎ ‎（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；‎ ‎（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；‎ A B C D ‎（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．‎ ‎343．（山东省淄博市）已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．‎ ‎（1）求满足条件的所有点B的坐标；‎ ‎（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；‎ ‎（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．‎ ‎344．（山东省潍坊市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．‎ ‎（1）求证：OC∥BD；‎ ‎（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．‎ A B O C D ‎345．（山东省潍坊市）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连结CF1、AE1．‎ ‎（1）求证：△OAE1≌△OCF1；‎ A B C F O x E E1‎ F1‎ y ‎（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A D E O x B y M P N C ‎346．（山东省潍坊市）如图所示，抛物线与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3）．以AB为直径作⊙M，过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连结DM并延长交⊙M于点N，连结AN、AD．‎ ‎（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎347．（山东省东营市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，DE⊥BC于E，F为AB上一点，且AF＝EC，M是FC中点，连结FD、ME，设FC与DE相交于点N．‎ ‎（1）求证：∠FDB＝∠FCB；△DFN∽△CBD；ME垂直平分BD；‎ A M B C D E F N ‎（2）若ME＝，求BF的长．‎ A B C E D O I y x ‎348．（山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边BC与x轴重合，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax 2＋2ax＋1的顶点为A．‎ ‎（1）判断抛物线的开口方向并说明理由；‎ ‎（2）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；‎ ‎（3）当a为何值时，∠ABC＝30°？‎ ‎349．（山东省东营市）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG．‎ ‎（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；‎ ‎（2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．‎ A B C 备用图（2）‎ A B C 备用图（1）‎ A B C D E F G A D O x y B C ‎350．（山东省日照市）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距米．‎ ‎（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；‎ ‎（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；‎ ‎（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．‎ ‎351．（山东省日照市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．求证：‎ A D E B C O ‎（1）D是BC的中点；‎ ‎（2）△BEC∽△ADC；‎ ‎（3）BC 2＝2AB·CE．‎ ‎352．（山东省日照市）如图，对称轴为直线x＝的抛物线交x轴于A（－2，0）、B两点，交y轴负半轴于点C，且S△ABC ＝．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若平行于x轴的直线y＝k（k＜0）交该抛物线于M、N两点，交y轴于点D，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点，求k的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结AD，将△AOD绕坐标平面内的某一点旋转180°后，A、D的对应点A′、D′ 能否同时落在抛物线上？若能，求出A′、D′ 和旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．‎ O x y x＝‎ A B C ‎353．（山东省菏泽市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是AB中点，E是BC上动点（不与C重合），⊙O是过C、D、E三点的圆．‎ ‎（1）求证：∠DFE＝∠B，并求EF的最小值．‎ ‎（2）设BE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．‎ A B D C E F O ‎（3）求CF的取值范围．‎ ‎354．（山东省菏泽市）如图1，梯形OABC中，OA∥BC，∠C＝90°，以AB为直径作⊙M，交OC于点D、E，连结AD、BD、BE．‎ ‎（1）求证：△ADB∽△ECB．‎ ‎（2）如图2，以梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点C在y轴正半轴上建立直角坐标系，抛物线y＝ax 2－2ax－3a经过A、D两点，且顶点为B，求抛物线的解析式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PQ⊥x轴于Q，使得以P、A、Q为顶点的三角形与△ADB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O B A x y C D 图2‎ O B A C D E M 图1‎ ‎355．（山东省菏泽市）如图所示，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)两点．‎ ‎（1）求直线与抛物线的解析式．‎ ‎（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝α，求当△PON的面积最大时tanα的值．‎ P(x，y)‎ y＝kx＋4‎ A B C D N O y ‎（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B A C D O ‎356．（山东省莱芜市）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.‎ ‎357．（山东省莱芜市）在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．‎ ‎（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；‎ ‎（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是_______________；‎ ‎（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是_______________；‎ ‎（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.‎ H G F E O D C B A 图①‎ H G E O D C B A 图②‎ A B C D O E F G H 图③‎ A B C D O E F G H 图④‎ F ‎358．（山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C（0，）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的对称轴与直线y＝2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于E、F两点，求劣弧 的长；‎ y O x A B E C F D M ‎（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分成1 : 2两部分．‎ A B E C D ‎359．（山东省泰安市）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．‎ ‎（1）求证：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；‎ ‎（2）求证：AB 2＝AE·AC．‎ A B Q C D P ‎360．（山东省泰安市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；‎ ‎（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．‎ 答案 ‎341．（1）证明：连结OD A B O D C E F ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ M ‎∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2‎ ‎∵OA＝OD，∴∠1＝∠3‎ ‎∴∠2＝∠3，∴OD∥AC ‎∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC ‎∴OD⊥BC ‎∵EF∥BC，∴OD⊥EF ‎∵OD为⊙O的半径 ‎∴EF为⊙O的切线 3分 ‎（2）解：设OD与BC相交于点M，⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r 在Rt△BOM中，OM＝OB·sin∠ABC＝r 又∵OM＝OD－MD＝OD－CF＝r－1‎ r－1＝r，∴r＝5‎ 即⊙O的半径为5 6分 ‎∴AB＝10，AC＝AB·sin∠ABC＝8，BC＝＝6‎ AF＝AC＋CF＝9‎ ‎∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC ‎∴＝，即＝‎ ‎∴EF＝ 8分 ‎342．解：（1）如图（1），作DF⊥AC于F 在Rt△ABC中，∵AB＝，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3‎ 在Rt△ACD中，∵AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝‎ ‎∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°‎ ‎∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝‎ ‎∴DP＝＝ 3分 A B C D P F ‎（1）‎ A B C D P F ‎（2）‎ ‎（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°‎ 又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15° 5分 当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75° 7分 A B C D Q P ‎（4）‎ A B C D P F ‎（3）‎ ‎（3）当CP＝时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上 理由如下：‎ 如图（4），在□DPBQ中，∵BC∥DP，∠ACB＝90°，∴DP⊥AC 根据（1）中结论可知，DP＝CP＝ 8分 ‎∴S□DPBQ ＝DP·CP＝ 10分 ‎343．解：（1）过A作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3‎ ‎∴OA＝＝5‎ ‎①当OB＝OA＝5时 若点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0） 0.5分 若点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0） 1分 A B O x y C ‎（2）‎ A B O x y C ‎（1）‎ ‎②当AB＝OA＝5时，点B只能在x轴的负半轴上，如图（3）‎ 此时BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0） 1.5分 ‎③当AB＝OB＝5时，点B只能在x轴的负半轴上，如图（4）‎ 在x轴上取点D，使AD＝OA，则OD＝8‎ 由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA 则＝，即＝‎ A D O x y B ‎（4）‎ A B O x y C ‎（3）‎ 解得OB＝，点B的坐标为（－，0） 2分 ‎（2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点 设抛物线的函数表达式为y＝ax 2＋bx 则 解得a＝－，b＝－‎ ‎∴y＝－x 2－x 3分 A B E O x y P P ‎（5）‎ C 当OA＝OB时，同理可得y＝－x 2－x 4分 ‎（3）当OA＝AB时 ‎①若BP∥OA，如图（5）‎ 分别过A、P作x轴的垂线，垂足分别为C、E 则∠PBE＝∠AOC，∠PEB＝∠ACO＝90°‎ ‎∴△PBE∽△AOC，∴＝＝‎ 设BE＝4m，则PE＝3m ‎∴点P的坐标为（4m－8，－3m），代入y＝－x 2－x，解得m＝3‎ ‎∴P（4，－9） 5分 S梯形ABPO ＝S△ABO ＋S△BPO ＝×OB×(AC＋PE)＝×8×(3＋9)＝48 5.5分 ‎②若OP∥AB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9） 6分 S梯形AOPB ＝S△ABO ＋S△BPO ＝48 6.5分 当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴 则∠PBF＝∠AOC，∠PFB＝∠ACO＝90°‎ ‎∴△PBF∽△AOC，∴＝＝‎ 设BF＝4m，则PF＝3m A O x y C B ‎（6）‎ P F ‎∴点P的坐标为（4m－5，－3m），代入y＝－x 2－x，解得m＝‎ ‎∴P（1，－） 7分 S梯形ABPO ＝S△ABO ＋S△BPO ＝ 8分 若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴 则∠POF＝∠ABC，∠PFO＝∠ACB＝90°‎ ‎∴△POF∽△ABC，∴＝＝3‎ 设点P的坐标为（－n，－3n），代入y＝－x 2－x，解得n＝9‎ ‎∴P（－9，－27） 9分 S梯形AOPB ＝S△ABO ＋S△BPO ＝75 10分 A B O C D ‎344．（1）证明：∵AC＝CD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD 又∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD ‎∴OC∥BD 4分 ‎（2）解：∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h 又S△OBC ＝OC·h，S△DBC ＝BD·h 因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC ＝S△DBC ‎∴OC＝BD 7分 ‎∴四边形OBDC为平行四边形.‎ 又∵OC＝BD，∴四边形OBDC为菱形 ‎345．（1）证明：∵四边形OABC为正方形，∴OA＝OC ‎∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1‎ 又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1＝∠COF1‎ ‎∴△OAE1≌△OCF1 3分 ‎（2）存在 4分 ‎∵OE⊥OF ‎∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，‎ 又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，点F在以O为圆心，OF为半径的圆上 ‎ 5分 ‎∴过点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线，又点C是圆⊙O外一点，过点与⊙O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2‎ 此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2 7分 A B C F O x E E1‎ F1‎ y F2‎ E2‎ 当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限，‎ 在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2‎ cos∠COF1＝＝‎ ‎∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°‎ ‎∴点E1的横坐标为：xE1＝2cos60°＝1‎ 点E1的纵坐标为：yE1＝2sin60°＝‎ ‎∴点E1的坐标为（1，） 9分 当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限 同理可求：点E2的坐标为（1，－） 10分 综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，此时点E的坐标为E1（1，）或E2（1，－） 11分 ‎346．解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点 设抛物线的函数关系式为：y＝a(x＋1)(x－3)‎ ‎∵抛物线与y轴交于点C（0，－3）‎ ‎∴－3＝a(0＋1)(0－3)，∴a＝1‎ 所以，抛物线的函数关系式为：y＝(x＋1)(x－3)‎ 即y＝x 2－2x－3 2分 ‎∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4‎ 因此，抛物线的顶点坐标为（1，－4） 3分 ‎（2）连结EM，∵EA、ED是⊙M的两条切线 ‎∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM 又四边形EAMD的面积为，∴S△EAM ＝，∴AM·AE＝‎ 又AM＝2，∴AE＝‎ 因此，点E的坐标为E1（－1，）或E2（－1，－） 5分 当E点在第二象限时，切点D在第一象限 在Rt△EAM中，tan∠EMA＝＝＝‎ ‎∴∠EMA＝60°，∴∠DMB＝60°‎ 过切点D作DF⊥AB，垂足为点F ‎∴MF＝1，DF＝‎ 因此，切点D的坐标为（2，） 6分 设直线PD的函数关系式为y＝kx＋b，将E（－1，），D（2，）的坐标代入得 解得 所以，直线PD的函数关系式为y＝－x＋ 7分 当E点在第三象限时，切点D在第四象限 同理可求：切点D的坐标为（2，－），直线PD的函数关系式为y＝x－‎ 因此，直线PD的函数关系式为：‎ y＝－x＋或y＝x－ 8分 A D E F O x B y M P N C ‎（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积 又S四边形EAMD ＝2S△EAM ，S△DAN ＝2S△AMD ‎∴S△AMD ＝S△EAM ‎∴E、D两点到x轴的距离相等 ‎∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧 ‎∴切线PD与x轴平行 此时切线PD的函数关系式为y＝2或y＝－2 9分 当y＝2时，由y＝x 2－2x－3得，x＝1±‎ 当y＝－2时，由y＝x 2－2x－3得，x＝1± 11分 故满足条件的点P的位置有4个，分别是：P1（1＋，2）、P2（1－，2）、‎ P3（1＋，－2）、P4（1－，－2） 12分 A M B C D E F N G ‎347．（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC 又AD∥BC，DE⊥BC，∴DE＝AB＝AD ‎∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°‎ ‎∴四边形ABED是正方形 又AF＝EC，∴△ADF≌△EDC ‎∴DF＝DC，∠ADF＝∠EDC 又∠ADF＋∠FDE＝90°，∴∠EDC＋∠FDE＝90°‎ ‎∴∠FDC＝90°，∴△DFC是等腰直角三角形 设FC与BD相交于点G，则∠DFG＝∠DCF＝45°‎ ‎∵∠CBG＝45°，∴∠DFG＝∠CBG 又∠FGD＝∠BGC，∴△FDG∽△BCG ‎∴∠FDB＝∠FCB 3分 ‎∵∠FDN＝45°＋∠FDB，∠BCD＝45°＋∠FCB，∴∠FDN＝∠BCD 又∠DFN＝∠CBD＝45°‎ ‎∴△DFN∽△CBD 5分 连结DM，则DM⊥FC，∠FDM＝∠CDM＝45°‎ 又∠FDB＝45°－∠ADF，∠MDE＝45°－∠EDC ‎∴∠FDB＝∠MDE 又＝＝，∴△DFB∽△DME ‎∴∠MED＝∠FBD＝45°‎ ‎∴ME是正方形ABED的对角线，∴ME垂直平分BD 8分 ‎（2）解：由△DFB∽△DME可知，∴FB＝ME＝2 10分 ‎348．解：（1）∵y＝ax 2＋2ax＋1，∴抛物线的对称轴为x＝－1‎ A B C E D O I y x ‎∵抛物线的顶点为A，∴直角边AC所在直线为对称轴 由题意，得顶点A的坐标为（－1，1－a）‎ ‎∵y＝ax 2＋2ax＋1，当x＝0时，y＝1‎ ‎∴抛物线过I（0，1）‎ ‎∴1－a＞1，∴a＜0‎ ‎∴抛物线开口向下 12分 ‎（2）如图，AC＝1－a，BC＝OC＋OB＝1＋OB AB＝AD＋BD＝AE＋OB＝AC－EC＋OB＝(1－a)－1＋OB＝OB－a 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2‎ ‎∴(1－a) 2＋(1＋OB) 2＝(OB－a) 2，解得OB＝‎ ‎∴点B的坐标为（，0） 6分 ‎（3）∵∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝‎ 又tan∠ABC＝＝＝，∴＝‎ ‎∴3a 2＋a－3＝0‎ ‎∴a1＝－，a2＝‎ 又∵a＜0，∴a＝－‎ A B C 图（1）‎ D E F G M N 即当a＝－时，∠ABC＝30° 10分 ‎349．解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1）‎ 过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M ‎∵S△ABC ＝48，BC＝12，∴AM＝8‎ ‎∵DE∥BC，△ADE∽△ABC 1分 ‎∴＝，而AN＝AM－MN＝AM－DE ‎∴＝ 2分 解得 DE＝‎ A B C D E F G 图（2）‎ ‎∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为 3分 ‎（2）分两种情况：‎ ‎①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2）‎ ‎△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积 ‎∵DE＝x，∴y＝x 2（0＜x≤） 4分 ‎②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（3）‎ 设EF与BC交于点P，DG与BC交于点Q，△ABC的高AM交DE于N ‎∵DE＝x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 5分 ‎∴＝，而AN＝AM－MN＝AM－EP A B C 图（3）‎ D E F G M N Q P ‎∴＝，解得EP＝8－x 6分 所以y＝x(8－x)，即y＝－x 2＋8x（＜x＜12） 7分 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 y＝ 8分 当0＜x≤时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为()2＝‎ 当＜x＜12时，∵y＝－x 2＋8x＝－( x－6)2＋24‎ ‎∴当x＝6时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24‎ ‎∵24＞‎ 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24 10分 ‎350．解：（1）在Rt△AOC中 ‎∵∠AOC＝30 °，OA＝‎ ‎∴AC＝OA·sin30o＝×＝‎ OC＝OA·cos30o＝×＝12‎ ‎∴点A的坐标为（12，） 2分 设OA的解析式为y＝k，把点A（12，）的坐标代入得：‎ ‎＝12k，∴k＝‎ ‎∴OA的解析式为y＝x 4分 ‎（2）∵顶点B的坐标是（9，12），点O的坐标是（0，0）‎ A D O x y B C ‎∴设抛物线的解析式为y＝a(x－9)2＋12 6分 把点O的坐标代入得：‎ ‎0＝a(0－9)2＋12，解得a＝－‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－(x－9)2＋12‎ 即y＝－x 2＋x 8分 ‎（3）∵当x＝12时，y＝≠‎ ‎∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 10分 ‎351．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°‎ 即AD是底边BC上的高 1分 又∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形 ‎∴D是BC的中点 3分 ‎（2）证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角 ‎∴∠CBE＝∠CAD 5分 又∵∠BCE＝∠ACD ‎∴△BEC∽△ADC 6分 ‎（3）证明：由△BEC∽△ADC，得＝‎ 即CD·BC＝AC·CE 8分 A D E B C O ‎∵D是BC的中点，∴CD＝BC ‎∴CD·BC＝BC 2‎ 又∵AB＝AC，∴AC·CE＝AB·CE ‎∴BC 2＝AB·CE 即BC 2＝2AB·CE 10分 ‎352．解：（1）∵A（－2，0），∴OA＝2‎ O x y x＝‎ A B M N C ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝‎ ‎∴由抛物线的对称性可知点B的坐标为B（3，0）‎ ‎∴AB＝5‎ ‎∵S△ABC ＝AB·OC＝，∴OC＝4‎ ‎∵点C在y轴负半轴上，∴C（0，－3）‎ 设抛物线的解析式为y＝a( x＋2)( x－3)，把C（0，－3）代入 得－3＝a(0＋2)(0－3)，∴a＝‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝( x＋2)( x－3)‎ 即y＝x 2－x－3 4分 O x y x＝‎ A B D C A′‎ O′‎ D′‎ ‎（2）∵以MN为直径的圆恰好经过坐标原点，∴∠MON＝90°‎ ‎∴OM 2＋ON 2＝MN 2，设M（x1，k），N（x2，k）‎ 则x12＋k 2＋x22＋k 2＝( x1－x2)2，∴x1·x2＝－k 2‎ 由y＝x 2－x－3和y＝k，得：x 2－x－2k－6＝0‎ ‎∴x1·x2＝－2k－6‎ ‎∴－k 2＝－2k－6，即k 2－2k－6＝0‎ 解得：k1＝1＋，k2＝1－‎ ‎∵k＜0，∴k＝1－ 8分 ‎（3）设旋转后点O的对应点为O′（a，b），则A′D′∥AD，△A′OD′ ≌△AOD ‎∴A′（a＋2，b），D′（a，b＋－1），代入y＝x 2－x－3得：‎ 解得： ‎∴A′（2－，－），D′（－，），‎ 旋转中心即AA′ 的中点 ‎∵＝－，＝－‎ ‎∴旋转中心的坐标为（－，－） 12分 ‎353．（1）证明：∵D是Rt△ABC的中点，‎ ‎∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B 又∵∠DCB＝∠DFE ‎∴∠DFE＝∠B 2分 A B D C E F O G 过D作⊙O的直径DG，连结CG ‎∵∠ECF＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴EF＝DG 在Rt△DCG中，DG≥CD，∴EF≥CD 在Rt△ABC中，AB＝＝＝10‎ ‎∴CD＝AB＝5，∴EF≥5‎ ‎（2）解：分别过E、F作CD的垂线，垂足分别为G、H 则EG＝EC·sin∠ECG＝(BC－BE)·sinB＝(BC－BE)·＝(6－x)‎ CG＝EC·cos∠ECG＝(BC－BE)·cosB＝(BC－BE)·＝(6－x)‎ DG＝CD－CG＝5－(6－x)‎ A B D C E F O H G ‎∴DE 2＝DG 2＋EG 2＝[5－(6－x)]2＋[(6－x)]2＝(6－x)2＋6x－11‎ 同理可得FH＝y，CH＝y，DH＝5－y ‎∴DF 2＝DH 2＋FH 2＝(5－y)2＋(y)2＝y 2－8y＋25‎ ‎∵EF 2＝CE 2＋CF 2＝DE 2＋DF 2‎ ‎∴(6－x) 2＋y 2＝(6－x)2＋6x－11＋y 2－8y＋25‎ ‎∴y＝x＋（0≤x＜6） 10分 ‎（3）解：由（2）知CF＝x＋‎ ‎∵0≤x＜6，∴≤CF＜ 12分 ‎354．（1）证明：∵OA∥BC，∠C＝90°，∴∠AOD＝90°‎ ‎∴∠OAD＋∠ODA＝90°‎ O B A C D E M 图1‎ G ‎∵AB为⊙M的直径，∴∠ADB＝90°‎ ‎∴∠CDB＋∠OAD＝90°，∴∠ODA＝∠CDB 又∵∠AOD＝∠C＝90°，∴△OAD∽△CDB ‎∴＝‎ 过点M作MG⊥OC于G，则DG＝EG，CG＝OG ‎∴CG＋EG＝OG＋DG，即CE＝OD ‎∴＝‎ 又∵∠ADB＝∠C＝90°，∴△ADB∽△ECB 4分 ‎（2）解：∵y＝ax 2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)＝a(x－1)2－4a ‎∴A（3，0），B（1，－4a），C（0，－4a）‎ ‎∴OA＝3，BC＝1，OC＝－4a 在y＝ax 2－2ax－3a中，令x＝0，得y＝－3a ‎∴OD＝－3a，∴DC＝OC－OD＝－a 由△OAD∽△CDB，得＝‎ ‎∴＝，∴a 2＝1‎ 显然，抛物线开口向下，∴a＜0，∴a＝－1‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋2x＋3 8分 ‎（3）解：假设存在符合条件的点P，设P（x，－x 2＋2x＋3）‎ 由（2）知＝＝3‎ ‎① 当x＜－1时 若△AQP∽△ADB，则＝＝3，∴AQ＝3PQ ‎∴－x＋3＝－3(－x 2＋2x＋3)‎ 整理得：3x 2－5x－12＝0‎ 解得：x1＝3（舍去），x2＝－‎ 当x＝－时，y＝－(－)2＋2×(－)＋3＝－‎ ‎∴P1（－，－）‎ 若△PQA∽△ADB，则＝＝3，∴PQ＝3AQ ‎∴－(－x 2＋2x＋3)＝3(－x＋3)‎ 整理得：x 2＋x－12＝0‎ 解得：x1＝3（舍去），x2＝－4‎ 当x＝－4时，y＝－(－4)2＋2×(－4)＋3＝－21‎ O B A x y C D Q P ‎∴P2（－4，－21）‎ ‎② 当x＞3时 若△AQP∽△ADB，则AQ＝3PQ x－3＝－3(－x 2＋2x＋3)‎ 整理得：3x 2－7x－6＝0‎ 解得：x1＝3（舍去），x2＝－（舍去）‎ 若△PQA∽△ADB，则PQ＝3AQ ‎∴－(－x 2＋2x＋3)＝3(x－3)‎ 整理得：x 2＋x－12＝0‎ 解得：x1＝2（舍去），x2＝3（舍去）‎ 综上所述，存在符合条件的点P，点P的坐标为（－，－）或（－4，－21）‎ ‎ 12分 ‎355．解：（1）将点C（2，2）代入直线y＝kx＋4，可得k＝－1‎ 所以直线的解析式为y＝－x＋4‎ 当x＝1时，y＝3，所以B点的坐标为（1，3）‎ 将B，C，O三点的坐标分别代入抛物线y＝ax 2＋bx＋c 可得 解得 所以所求的抛物线为y＝－2x 2＋5x 4分 ‎（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大 又该抛物线的顶点坐标为（，）‎ 此时tanα＝＝:＝ 8分 ‎（3）存在 把x＝0代入直线y＝－x＋4得y＝4，所以点A（0，4）‎ 把y＝0代入抛物线y＝－2x 2＋5x得x＝0或x＝，所以点N（，0）‎ P(x，y)‎ y＝kx＋4‎ A B C D N O y 设动点P坐标为（x，y），其中y＝－2x 2＋5x（0＜x＜）‎ 则得：S△POA ＝OA·x＝2x S△PON ＝ON·y＝×·(－2x 2＋5x)＝(－2x 2＋5x)‎ 由S△POA ＝S△PON ，即2x＝·(－2x 2＋5x)‎ 解得x＝0（舍去）或x＝1，由此得y＝3‎ 所以得点P存在，其坐标为（1，3） 12分 ‎356．解：（1）在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°‎ B A C D O E ‎∴AB＝5cm 1分 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°‎ ‎∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB ‎∴＝，∴AD＝＝ 4分 ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切 5分 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线 ‎∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD ‎∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD 7分 ‎∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°‎ ‎∴ED与⊙O相切 9分 ‎357．解：（1）四边形EGFH是平行四边形 1分 证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O ‎∴点O是□ABCD的对称中心，∴EO＝FO，GO＝HO ‎∴四边形EGFH是平行四边形 4分 ‎（2）菱形 5分 ‎（3）菱形 6分 ‎（4）四边形EGFH是正方形 6分 证明：∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形 又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形 ‎∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC ‎∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF ‎∴△BOG≌△COF，∴OG＝OF，∴GH＝EF 9分 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF＝GH ‎∴四边形EGFH是正方形 10分 H G F E O D C B A 图①‎ H G E O D C B A 图②‎ A B C D O E F G H 图③‎ A B C D O E F G H 图④‎ F ‎358．解：（1）∵抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A（2，0），B（6，0），C（0，）‎ ‎∴ 解得 ‎∴此抛物线的解析式为：y＝x 2－x＋ 3分 y O x A B E C F D M P N G ‎（2）∵y＝x 2－x＋＝( x－4)2－‎ ‎∴此抛物线的对称轴为x＝4‎ 把x＝4代入y＝2x，得y＝8‎ ‎∴点D的坐标为（4，8）‎ ‎∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8 4分 连结DE、DF，过D作DM⊥y轴，垂足为点M 在Rt△DMF中，DF＝8，MD＝4．∴cos∠MDF＝‎ ‎∴∠MDF＝60°，∴∠EDF＝120° 6分 ‎∴劣弧 的长为：×π×8＝π 7分 ‎（3）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵直线AC经过点A（2，0），C（0，）‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线AC的解析式为：y＝－x＋ 8分 设点P（m，m 2－m＋）（m＜0），PG交直线AC于N 则点N的坐标为（m，－m＋）‎ ‎∵S△PNA : S△NGA ＝PN : NG ‎∴①若PN : NG＝1 : 2，则PG : NG＝3 : 2，∴PG＝NG 即m 2－m＋＝(－m＋)‎ 解得：m1＝－3，m2＝2（舍去）‎ 当m＝－3时，m 2－m＋＝‎ ‎∴此时点P的坐标为（－3，） 10分 ‎②若PN : NG＝2 : 1，则PG : NG＝3 : 1，∴PG＝3NG 即m 2－m＋＝3(－m＋)‎ 解得：m1＝－12，m2＝2（舍去）‎ 当m＝－12时，m 2－m＋＝‎ ‎∴此时点P的坐标为（－12，）‎ 综上所述，当点P的坐标为（－3，）或（－12，）时，△PGA的面积被直线AC分成1 : 2两部分 12分 ‎359．证明：（1）在△ADE和△ACD中 A B E C D ‎∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAE ‎∴∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE ‎∠ADC＝180°－∠DAE－∠C ‎∴∠AED＝∠ADC 2分 ‎∵∠AED＋∠DEC＝180°‎ ‎∠ADB＋∠ADC＝180°‎ ‎∴∠DEC＝∠ADB 又∵AB＝AD ‎∴∠ADB＝∠B ‎∴∠DEC＝∠B 4分 ‎（2）在△ADE和△ACD中 由（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAE ‎∴△ADE∽△ACD 5分 ‎∴＝‎ 即AD 2＝AE·AC 7分 又AB＝AD ‎∴AB 2＝AE·AC 8分 ‎360．（1）证明：连结AD ‎∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点 ‎∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B 2分 A B Q C D P 又∵BP＝AQ ‎∴△BPD≌△AQD 4分 ‎∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP ‎∵∠BDP＋∠ADP＝90°‎ ‎∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°‎ ‎∴△PDQ是等腰直角三角形 6分 ‎（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形 由（1）知△ABD为等腰直角三角形 当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90° 8分 A B Q C D P 又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°‎ ‎∴四边形APDQ为矩形 又∵DP＝AP＝AB ‎∴四边形APDQ是正方形 10分