江苏省苏州市中考数学模拟试卷二含答案解析 31页

2016 年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（二） 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是（　　） A．|﹣2| B．20 C．2﹣1 D． 2．下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3=6a6 B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5 C． • =﹣1 D． + =﹣1 4．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（　　） A．段① B．段②C．段③D．段④ 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 6．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 7．在数轴上表示±5 的两点以及它们之间的所有整数点中，任意取一点 P，则 P 点表示的数大于 3 的概率 是（　　） A． B． C． D． 8．已知一次函数 y=kx+b 的图象如图，则关于 x 的不等式 k（x﹣4）﹣2b＞0 的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜3 9．如图，在平面直角坐标系中，x 轴上一点 A 从点（﹣3，0）出发沿 x 轴向右平移，当以 A 为圆心，半 径为 1 的圆与函数 y= x 的图象相切时，点 A 的坐标变为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣ ，0）或（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣2，0）或（2，0） 10．如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交 于点 M．当△EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是（　　） A．2﹣ B． +1 C． D． ﹣1 　 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（﹣2）2+（﹣2）﹣2=　　　　　　． 12．计算 3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为　　　　　　． 13．分解因式：2x2﹣4xy+2y2=　　　　　　． 14．宝应县青少年活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如下表： 年龄组 13 岁 14 岁 15 岁 16 岁 参赛人数 5 19 12 14 则全体参赛选手年龄的中位数是　　　　　　岁． 15．如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 AE，则 tan∠1=　　　　　　． 16．如图，点 A、B 在反比例函数 y= （k＞0，x＞0）的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC，△AOC 的面积为 6，则 k 的值为　　　　　　． 17．如图，将矩形纸片的两只直角分别沿 EF、DF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点 B′处，点 C 恰好落在 边 B′F 上．若 AE=3，BE=5，则 FC=　　　　　　． 18．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：① 如果不超过 500 元，则不予优惠；②如果超过 500 元，但不超过 800 元，则按购物总额给予 8 折优惠；③ 如果超过 800 元，则其中 800 元给予 8 折优惠，超过 800 元的部分给予 6 折优惠．促销期间，小红和她母 亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款 480 元和 520 元；若合并付款，则她们总共只需付 款　　　　　　元． 　 三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分） 19．计算：|﹣5|﹣（ ﹣3）0+6×（ ﹣ ）+（﹣1）2． 20．计算 ． 21．解不等式组： 22．为增强学生环保意识，某中学组织全校 2000 名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽 取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角为　　　　　　度； （2）若成绩在 90 分以上（含 90 分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？ （3）某班准备从成绩最好的 4 名同学（男、女各 2 名）中随机选取 2 名同学去社区进行环保宣传，则选 出的同学恰好是 1 男 1 女的概率为　　　　　　． 23．如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE= CD． （1）求证：△ABF∽△CEB； （2）若△DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积． 24．如图所示，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上 ，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到 1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36° ≈0.75） 25．如图，每个网格都是边长为 1 个单位的小正方形，△ABC 的每个顶点都在网格的格点上，且∠C=90°， AC=3，BC=4． （1）试在图中作出△ABC 以点 A 为旋转中心，按顺时针方向旋转 90°后得到的图形△AB1C1； （2）试在图中建立直角坐标系，使 x 轴∥AC，且点 B 的坐标为（﹣3，5）； （3）在（1）与（2）的基础上，若点 P、Q 是 x 轴上两点（点 P 在点 Q 左侧），PQ 长为 2 个单位，则当 点 P 的坐标为　　　　　　时，AP+PQ+QB1 最小，最小值是　　　　　　个单位． 26．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点 E，AD⊥CD 于点 D． （1）求证：AE 平分∠DAC； （2）若 AB=4，∠ABE=60°． ①求 AD 的长； ②求出图中阴影部分的面积． 27．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）．平行于对角线 AC 的直 线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别 交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）． （1）点 A 的坐标是　　　　　　，点 C 的坐标是　　　　　　； （2）当 t=　　　　　　秒或　　　　　　秒时，MN= AC； （3）设△OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）探求（3）中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由． 28．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线 相交于点 A，B，且抛物线经过坐标原点，点 A 的坐 标为（﹣2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点， 已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标 ；若不存在，请说明理由． 　 2016 年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是（　　） A．|﹣2| B．20 C．2﹣1 D． 【考点】实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，首 先求出|﹣2|，20，2﹣1 的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即可． 【解答】解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5， ∵ ， ∴ ， ∴在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是|﹣2|． 故选：A． 【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0 ＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． （2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p= （a≠0，p 为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要 把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． （3）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1 ． 　 2．下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：根据中心对称图形的概念，绕旋转中心旋转 180°与原图形重合，可知 A、C、D 都不是中心 对称图形，B 是中心对称图形． 故选 B． 【点评】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握掌握中心对称图形的概念是解题的关键，注意中心对称 图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完 全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 　 3．下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3=6a6 B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5 C． • =﹣1 D． + =﹣1 【考点】分式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；分式的加减法． 【专题】计算题． 【分析】A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式约分得到结果，即可做出判断； D、原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：A、原式=8a6，错误； B、原式=﹣3a3b5，错误； C、原式= ，错误； D、原式= = =﹣1，正确； 故选 D． 【点评】此题考查了分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，以及分式的加减法，熟练掌 握运算法则是解本题的关键． 　 4．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（　　） A．段① B．段②C．段③D．段④ 【考点】估算无理数的大小；实数与数轴． 【分析】根据数的平方，即可解答． 【解答】解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9， ∵7.84＜8＜8.41， ∴ ， ∴ 的点落在段③， 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方． 　 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【考点】函数自变量的取值范围． 【专题】函数思想． 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数 是非负数即可求解． 【解答】解：根据题意得：x+1≥0， 解得 x≥﹣1． 故自变量 x 的取值范围是 x≥﹣1． 故选 A． 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 　 6．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【解答】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看 得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 　 7．在数轴上表示±5 的两点以及它们之间的所有整数点中，任意取一点 P，则 P 点表示的数大于 3 的概率 是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式；数轴． 【专题】计算题． 【分析】列举出所有情况，看 P 点表示的数大于 3 的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：在数轴上表示±5 的两点以及它们之间的所有整数点共有 5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3 ，﹣5，﹣5 共 11 个点， 只有 4，5 大于 3， 故概率为 ． 故选 D． 【点评】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出 现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，难度适中． 　 8．已知一次函数 y=kx+b 的图象如图，则关于 x 的不等式 k（x﹣4）﹣2b＞0 的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜3 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】根据函数图象知：一次函数过点（3，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出 k、b 的关系式；然后将 k、b 的关系式代入 k（x﹣4）﹣2b＞0 中进行求解． 【解答】解：∵一次函数 y=kx+b 经过点（3，0）， ∴3k+b=0， ∴b=﹣3k． 将 b=﹣3k 代入 k（x﹣4）﹣2b＞0， 得 k（x﹣4）﹣2×（﹣3k）＞0， 去括号得：kx﹣4k+6k＞0， 移项、合并同类项得：kx＞﹣2k； ∵函数值 y 随 x 的增大而减小， ∴k＜0； 将不等式两边同时除以 k，得 x＜﹣2． 故选 B． 【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形 ，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 　 9．如图，在平面直角坐标系中，x 轴上一点 A 从点（﹣3，0）出发沿 x 轴向右平移，当以 A 为圆心，半 径为 1 的圆与函数 y= x 的图象相切时，点 A 的坐标变为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣ ，0）或（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣2，0）或（2，0） 【考点】直线与圆的位置关系；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】分类讨论． 【分析】当以 A 为圆心，半径为 1 的圆与函数 y= x 的图象相切时，圆心 A 到直线的距离为圆的半径， 有因为直线 y= x 和坐标轴的夹角为 30°，利用勾股定理 求出 AO 的长，进而求出点 A 的坐标． 【解答】解：①当圆 A 在 x 轴的负半轴和直线 y= x 相切时， 由题意得，直线与 x 轴的交点为 30°， 点 A 到直线的距离为 1，则 OA=2， 点 A 的坐标为（﹣2，0）； ②当圆 A 在 x 轴的正半轴和直线 y= x 相切时， 由①得，点 A 的坐标为（2，0）； 故选：D． 【点评】本题考综合性的考查了圆的切线性质以及勾股定理和一次函数相结合的题目，运用切线的性质来 进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 　 10．如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交 于点 M．当△EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是（　　） A．2﹣ B． +1 C． D． ﹣1 【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似 三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】取 AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF， 从而可得 A、D、C、M 四点共圆，根据两点之间线段最短可得 BO≤BM+OM，即 BM≥BO﹣OM，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，只需求出 BO、OM 的值，就可解决问题． 【解答】解：AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如图． ∵△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点， ∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF， ∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， = ， ∴△DAG∽△DCF， ∴∠DAG=∠DCF． ∴A、D、C、M 四点共圆． 根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即 BM≥BO﹣OM， 当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小， 此时，BO= = = ，OM= AC=1， 则 BM=BO﹣OM= ﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的 判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点 M 的运动轨迹是解决本题的关键． 　 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（﹣2）2+（﹣2）﹣2=　 　． 【考点】负整数指数幂． 【分析】根据乘方的意义和负指数的意义解答即可． 【解答】解：原式= ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查的是负指数的意义：负指数具有倒数的意义，即 （a≠0）． 　 12．计算 3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为　1×106　． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】先根据乘法分配律计算，再根据科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：3.8×107﹣3.7×107 =（3.8﹣3.7）×107﹣3.7 =0.1×107 =1×106． 故答案为：1×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．注意灵活运用运算定律进行计算． 　 13．分解因式：2x2﹣4xy+2y2=　2（x﹣y）2　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式（常数 2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：2x2﹣4xy+2y2， =2（x2﹣2xy+y2）， =2（x﹣y）2． 故答案为：2（x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式进行二次因式分解 ，分解因式要彻底． 　 14．宝应县青少年活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如下表： 年龄组 13 岁 14 岁 15 岁 16 岁 参赛人数 5 19 12 14 则全体参赛选手年龄的中位数是　15　岁． 【考点】中位数． 【分析】根据中位数的概念求解． 【解答】解：参赛的人数为：5+19+12+14=50（人）， 则第 25 位和第 26 位年龄的平均数即为全体参赛选手年龄的中位数， 则中位数为： =15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个 数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数． 　 15．如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 AE，则 tan∠1=　 　． 【考点】多边形内角与外角；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值． 【分析】先求出正六边形内角的度数，根据 AF=EF，得到∠1=∠AEF，利用三角形内角和为 180°，求出∠ 1 的度数，即可解答． 【解答】解：正六边形内角的度数为：（6﹣2）×180°÷6=120°， ∴∠F=120°， ∵AF=EF， ∴∠1=∠AEF=（180°﹣∠F）÷2=30°， ∴tan∠1= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确正六边形的每条边相等，每个角相等． 　 16．如图，点 A、B 在反比例函数 y= （k＞0，x＞0）的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC，△AOC 的面积为 6，则 k 的值为　4　． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】代数几何综合题． 【分析】设 OM 的长度为 a，利用反比例函数解析式表示出 AM 的长度，再求出 OC 的长度，然后利用三 角形的面积公式列式计算恰好只剩下 k，然后计算即可得解． 【解答】解：设 OM=a， ∵点 A 在反比例函数 y= ， ∴AM= ， ∵OM=MN=NC， ∴OC=3a， ∴S△AOC= •OC•AM= ×3a× = k=6， 解得 k=4． 故答案为：4． 【点评】本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用 OM 的长度表示出 AM 、OC 的长度，相乘恰好只剩下 k 是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题． 　 17．如图，将矩形纸片的两只直角分别沿 EF、DF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点 B′处，点 C 恰好落在 边 B′F 上．若 AE=3，BE=5，则 FC=　4　． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】由折叠的性质得到 B′E=BE=5，BF=B′F，∠BFE═∠EFB′，∠C′FD=∠DFC，连接 BB′，根据线段 垂直平分线的性质得到 EF⊥BB′，通过三角形全等可证得 CF=AB′=4． 【解答】解：由题意得：B′E=BE=5，BF=B′F，∠BFE═∠EFB′，∠C′FD=∠DFC， ∴∠EFD=90°， ∴∠3+∠2=90°， 连接 BB′， ∴EF⊥BB′， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠1=∠2， ∵AE=3，四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AD∥BC， ∴∠AB′B=∠1，AB′= =4， ∴∠AB′B=∠2， ∵CD=AB=8， 在△ABB′与△CDF 中， ， ∴△ABB′≌△CDF（AAS）， ∴CF=AB′=4． 【点评】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识． 此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 　 18．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：① 如果不超过 500 元，则不予优惠；②如果超过 500 元，但不超过 800 元，则按购物总额给予 8 折优惠；③ 如果超过 800 元，则其中 800 元给予 8 折优惠，超过 800 元的部分给予 6 折优惠．促销期间，小红和她母 亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款 480 元和 520 元；若合并付款，则她们总共只需付 款　838 或 910　元． 【考点】分段函数． 【分析】根据题意知付款 480 元时，其实际标价为为 480 或 600 元，付款 520 元，实际标价为 650 元，求 出一次购买标价 1130 元或 1250 元的商品应付款即可． 【解答】解：由题意知付款 480 元，实际标价为 480 或 480× =600 元， 付款 520 元，实际标价为 520× =650 元， 如果一次购买标价 480+650=1130 元的商品应付款 800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838 元． 如果一次购买标价 600+650=1250 元的商品应付款 800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910 元． 故答案为：838 或 910． 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题． 　 三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分） 19．计算：|﹣5|﹣（ ﹣3）0+6×（ ﹣ ）+（﹣1）2． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【专题】计算题． 【分析】分别运算绝对值、零指数幂、及有理数的混合运算，最后合并即可得出答案． 【解答】解：原式=5﹣1+（2﹣3）+1=4． 【点评】此题考查了实数的运算及有理数的混合运算，注意掌握零指数幂的运算及有理数的混合运算法则 ，一定要细心解答． 　 20．计算 ． 【考点】分式的混合运算． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：原式= ÷ = • = ． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 　 21．解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不 等式组的解集为﹣1≤x＜3． 【解答】解：由①得 2x+5≤3x+6，即 x≥﹣1； 由②得 3（x﹣1）＜2x，3x﹣3＜2x，即 x＜3； 由以上可得﹣1≤x＜3． 【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 　 22．为增强学生环保意识，某中学组织全校 2000 名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽 取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角为　144　度； （2）若成绩在 90 分以上（含 90 分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？ （3）某班准备从成绩最好的 4 名同学（男、女各 2 名）中随机选取 2 名同学去社区进行环保宣传，则选 出的同学恰好是 1 男 1 女的概率为　 　． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图． 【分析】（1）由第三组（79.5～89.5）的人数即可求出其扇形的圆心角； （2）首先求出 50 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少 名同学获奖； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的 概率． 【解答】解：（1）由直方图可知第三组（79.5～89.5）所占的人数为 20 人， 所以“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角= =144°， 故答案为：144； （2）估计该校获奖的学生数= ×2000=640（人）； （3）列表如下： 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种， 则 P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩 形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇 形统计图、列表法与树状图法． 　 23．如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE= CD． （1）求证：△ABF∽△CEB； （2）若△DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】（1）要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用 AB ∥CD，可得一对内错角相等，则可证． （2）由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC 的面积，也就求出了四边形 BCDF 的 面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB 的面积．由此可求出▱ABCD 的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C，AB∥CD， ∴∠ABF=∠CEB， ∴△ABF∽△CEB； （2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB 平行且等于 CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵DE= CD， ∴ =（ ）2= ， =（ ）2= ， ∵S△DEF=2， ∴S△CEB=18，S△ABF=8， ∴S 四边形 BCDF=S△BCE﹣S△DEF=16， ∴S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是 解决问题的关键． 　 24．如图所示，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上 ，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到 1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36° ≈0.75） 【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题． 【分析】作 BE⊥l 于点 E，DF⊥l 于点 F，求∠ADF 的度数，在 Rt△ABE 中，可以求得 AB 的值，在 Rt△ ADF 中，可以求得 AD 的值，即可计算矩形 ABCD 的周长，即可解题． 【解答】解：作 BE⊥l 于点 E，DF⊥l 于点 F． 根据题意，得 BE=24mm，DF=48mm． 在 Rt△ABE 中，sin ， ∴ mm 在 Rt△ADF 中，cos ， ∴ mm． ∴矩形 ABCD 的周长=2（40+60）=200mm． 【点评】本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算． 　 25．如图，每个网格都是边长为 1 个单位的小正方形，△ABC 的每个顶点都在网格的格点上，且∠C=90°， AC=3，BC=4． （1）试在图中作出△ABC 以点 A 为旋转中心，按顺时针方向旋转 90°后得到的图形△AB1C1； （2）试在图中建立直角坐标系，使 x 轴∥AC，且点 B 的坐标为（﹣3，5）； （3）在（1）与（2）的基础上，若点 P、Q 是 x 轴上两点（点 P 在点 Q 左侧），PQ 长为 2 个单位，则当 点 P 的坐标为　（ ，0）　时，AP+PQ+QB1 最小，最小值是　2+ 　个单位． 【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题． 【分析】（1）根据旋转的性质，即可作出图形； （2）由使 x 轴∥AC，且点 B 的坐标为（﹣3，5），即可作出平面直角坐标系； （3）将点 A 向右平移 2 个单位到点 A1，然后作点 A1 关于 x 轴的对称点 A2，连接 B1A2，交 x 轴于点 Q， 然后求得直线 A2B1 的解析式，即可求得点 Q 的坐标，继而求得答案． 【解答】解：（1）如图 1： （2）如图 1： （3）将点 A 向右平移 2 个单位到点 A1，然后作点 A1 关于 x 轴的对称点 A2，连接 B1A2，交 x 轴于点 Q， （根据两点之间线段确定点 Q 的坐标） 根据题意得点 A2 的坐标为：（2，﹣1），点 B1 的坐标为：（4，4）， 设直线 A2B1 的解析式为：y=kx+b， ， 解得： ， ∴直线 A2B1 的解析式为：y= x﹣6， ∴点 Q 的坐标为：（ ，0）， ∵PQ=2， ∴点 P 坐标：（ ，0）； ∴AP= = ，B1Q= = ， ∴最小值：2+ ． 故答案为：（ ，0），2+ ． 【点评】此题考查了旋转的性质以及最短路径问题．注意找到点 P 与 Q 的位置是关键． 　 26．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点 E，AD⊥CD 于点 D． （1）求证：AE 平分∠DAC； （2）若 AB=4，∠ABE=60°． ①求 AD 的长； ②求出图中阴影部分的面积． 【考点】切线的性质；扇形面积的计算． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接 OE，如图，根据切线的性质由 CD 与⊙O 相切得到 OD⊥CD，而 AD⊥CD，则 OE∥AD ，所以∠DAE=∠AEO，由于∠AEO=∠OAE，所以∠OAE=∠DAE； （2）根据圆周角定理由 AB 是直径得到∠AEB=90°，由于∠ABE=60°，则∠EAB=30°，根据含 30 度的直 角三角形三边的关系，在 Rt△ABE 中，计算出 BE= AB=2，AE= BE=2 ；在 Rt△ADE 中，∠DAE= ∠BAE=30°，计算出 DE= AE= ，AD= DE=3； ②先计算出∠AOE=120°，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S 扇形 AOE﹣S△AOE=S 扇形 AOE﹣ S△ABE 进行计算． 【解答】（1）证明：连接 OE，如图， ∵CD 与⊙O 相切于点 E， ∴OE⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OE∥AD， ∴∠DAE=∠AEO， ∵AO=OE， ∴∠AEO=∠OAE， ∴∠OAE=∠DAE， ∴AE 平分∠DAC； （2）解：①∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°，∠ABE=60°． ∴∠EAB=30°， 在 Rt△ABE 中，BE= AB= ×4=2， AE= BE=2 ， 在 Rt△ADE 中，∠DAE=∠BAE=30°， ∴DE= AE= ， ∴AD= DE= × =3； ②∵OA=OB， ∴∠AEO=∠OAE=30°， ∴∠AOE=120°， ∴阴影部分的面积=S 扇形 AOE﹣S△AOE =S 扇形 AOE﹣ S△ABE = ﹣ • •2 •2 = π﹣ ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了扇形的面积公式和含 30 度的直角三角形三边 的关系． 　 27．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）．平行于对角线 AC 的直 线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别 交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）． （1）点 A 的坐标是　（4，0）　，点 C 的坐标是　（0，3）　； （2）当 t=　2　秒或　6　秒时，MN= AC； （3）设△OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）探求（3）中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题． 【分析】（1）根据 B 点的坐标即可求出 A、C 的坐标． （2）当 MN= AC 时，有两种情况，①MN 是△OAC 的中位线，此时 OM= OA=2，因此 t=2； ②当 MN 是△ABC 的中位线时，OM= OA=6，因此 t=6； （3）本题要分类进行讨论： ①当直线 m 在 AC 下方或与 AC 重合时，即当 0＜t≤4 时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似 比求出面积比，即可得出 S 与 t 的函数关系式． ②当直线 m 在 AC 上方时，即当 4＜t＜8 时，可用矩形 OABC 的面积﹣三角形 BMN 的面积﹣三角形 OCN 的面积﹣三角形 OAM 的面积来求得．（也可过 O 作直线 m 的垂线设垂足为 F，那么在直角三角形 OMF 中，可根据 OD 的长和∠ODE 的正弦值求出 OF 的长，求 MN 的方法一样）． （4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积 S 的最大值及对应的 t 的值． 【解答】解：（1）（4，0），（0，3）； （2）当 MN= AC 时，有两种情况， ①MN 是△OAC 的中位线，此时 OM= OA=2，因此 t=2； ②当 MN 是△ABC 的中位线时， ∴AM= AB= ，OA=4， ∴AD= = =2 ∴OD=OA+AD=4+2=6，因此 t=6； （3）当 0＜t≤4 时，OM=t ∵由△OMN∽△OAC，得 = ， ∴ON= ，S= t2 当 4＜t＜8 时， 如图，∵OD=t， ∴AD=t﹣4 方法一： 由△DAM∽△AOC，可得 AM= （t﹣4） ∴BM=6﹣ 由△BMN∽△BAC，可得 BN= BM=8﹣t ∴CN=t﹣4 S=矩形 OABC 的面积﹣Rt△OAM 的面积﹣Rt△MBN 的面积﹣Rt△NCO 的面积 =12﹣ （t﹣4）﹣ （8﹣t）（6﹣ ）﹣ = t2+3t 方法二： 易知四边形 ADNC 是平行四边形， ∴CN=AD=t﹣4，BN=8﹣t． 由△BMN∽△BAC，可得 BM= BN=6﹣ ， ∴AM= （t﹣4） 以下同方法一． （4）有最大值． 方法一： 当 0＜t≤4 时， ∵抛物线 S= t2 的开口向上，在对称轴 t=0 的右边，S 随 t 的增大而增大 ∴当 t=4 时，S 可取到最大值 ×42=6；（11 分） 当 4＜t＜8 时， ∵抛物线 S= t2+3t 的开口向下，它的顶点是（4，6）， ∴S≤6． 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6． 方法二： ∵S= ∴当 0＜t＜8 时，画出 S 与 t 的函数关系图象 如图所示． 显然，当 t=4 时，S 有最大值 6． 【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的 能力． 　 28．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线 相交于点 A，B，且抛物线经过坐标原点，点 A 的坐 标为（﹣2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点， 已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标 ；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）将点 A 的坐标代入双曲线方程即可得出 k 的值，设 B 点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根 据双曲线方程可得出 m 的值，然后分别得出了 A、B、O 的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即 可； （2）根据点 B 的坐标，结合抛物线方程可求出点 C 的坐标，继而可得出三角形 ABC 的面积，先求出 AB 的解析式，然后求出点 F 的坐标，及 EF 的长，继而根据 S△ABE=S△AEF+S△BEF 可得出答案． （3）先确定符合题意的三角形 ABD 的面积，继而可得出当点 D 与点 C 重合时，满足条件，过点 C 作 AB 的平行线 CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标． 【解答】解：（1）∵点 A（﹣2，2）在双曲线 y= 上， ∴k=﹣4， ∴双曲线的解析式为 y=﹣ ， ∵BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴距离的 4 倍， ∴设 B 点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得 m=1， ∴抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）过点 A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）， ∴ ， 解得： ， 故抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣3x； （2）∵抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣3x， ∴顶点 E（﹣ ， ），对称轴为 x=﹣ ， ∵B（1，﹣4）， ∴﹣x2﹣3x=﹣4， 解得：x1=1，x2=﹣4， ∵C 横坐标＜0， ∴C（﹣4，﹣4）， ∴S△ABC=5×6× =15， 由 A、B 两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线 AB 的解析式为：y=﹣2x﹣2， 设抛物线的对称轴与 AB 交于点 F，连接 BE，则 F 点的坐标为（﹣ ，1）， ∴EF= ﹣1= ， ∴S△ABE=S△AEF+S△BEF= ×EF×|A 横|+ EF×|B 横|= × ×（|A 横|+|B 横|）= × ×3= ； （3）S△ABE= ， ∴8S△ABE=15， ∴当点 D 与点 C 重合时，显然满足条件； 当点 D 与点 C 不重合时，过点 C 作 AB 的平行线 CD，其对应的一次函数解析式为 y=﹣2x﹣12， 令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x， ∴x2+x﹣12=0， ∴（x﹣3）（x+4）=0， 解得 x1=3，x2=﹣4（舍去）， 当 x=3 时，y=﹣18， 故存在另一点 D（3，﹣18）满足条件． 【点评】此题属于二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我 们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．