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  • 2021-05-11 发布

特殊的平行四边形中考复习

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第20讲 特殊的平行四边形 考点1 矩形 矩形的定义 有一个角是① 的平行四边形叫做矩形.‎ 矩形的性质 ‎(1)矩形具有平行四边形所有的性质.‎ ‎(2)矩形的四个角都是② ,对角线互相平分并且③ .‎ ‎(3)矩形既是一个轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是④ .‎ 矩形的判定 ‎(1)定义法.‎ ‎(2)有三个角是直角的四边形是矩形.‎ ‎(3)⑤ 的平行四边形是矩形.‎ 考点2 菱形 菱形的定义 有一组⑥ 的平行四边形叫做菱形.‎ 菱形的性质 ‎(1)菱形具有平行四边形所有的性质.‎ ‎(2)菱形的四条边⑦ ,对角线互相⑧ ,并且每条对角线平分一组对角.‎ ‎(3)菱形既是一个轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是⑨ .‎ ‎(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩ .‎ 菱形的判定 ‎(1)定义法.‎ ‎(2)四条边⑪ 的四边形是菱形.‎ ‎(3)对角线⑫ 的平行四边形是菱形.‎ 考点3 正方形 正方形的定义 有一组邻边⑬ ,并且有一个角是⑭ 的平行四边形叫做正方形.‎ 正方形的性质 ‎(1)正方形的四条边⑮ ,四个角都是⑯ ,对角线互相 且 ,并且每一条对角线平分一组对角,具有矩形和菱形的所有性质.‎ ‎(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有 条,对称中心是对角线的交点.‎ 正方形的判定 ‎(1)有一组邻边相等的 是正方形.‎ ‎(2)有一个角是直角的 是正方形.‎ ‎(3)对角线 的四边形是正方形.‎ ‎【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时,要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础上.‎ ‎ 1.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理,它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的,分类记忆,便于灵活应用.‎ ‎ 2.‎ 适当进行动手操作训练,从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性,再进行相应的证明和计算,也是正确解答综合性问题的有效途径.‎ 命题点1 矩形的性质与判定 例1 (2014·巴中)如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.‎ ‎(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是 ,并证明;‎ ‎(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.‎ ‎【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法,可得出当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时,都可以证明△BEH≌△CFH;‎ ‎(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时,四边形BFCE是矩形.‎ ‎【解答】‎ 方法归纳:矩形具有平行四边形的所有性质,同时也具有其特殊的性质;判定矩形的方法是多样的,可以先判定这个四边形是平行四边形,然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形.‎ ‎1.(2014·重庆B卷)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为( )‎ ‎ A.30° B.60° C.90° D.120°‎ ‎2.在数学活动课上,老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形,经过测量,小明说:“我的课桌是矩形,我测量了对角线相等.”小华说:“我的课桌也是矩形,我测量了一组对角是直角.”小丽说:“那我的课桌更是矩形,我测量了其中三个角都为直角.”请问说法不正确的同学有( )‎ ‎ A.0位 B.1位 C.2位 D.3位 ‎3.(2013·邵阳)如图所示,将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件 ,使四边形ABCD为矩形.‎ ‎4.(2014·泉州)已知:如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE=DF,连接CE,AF.求证:AF=CE.‎ 命题点2 菱形的性质与判定 例2 (2014·莱芜)如图,已知△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α<60°),D是BC边上的一点,连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转α到AE,过点E作BC的平行线,交AB于点F,连接DE,BE,DF.‎ ‎(1)求证:BE=CD;‎ ‎(2)若AD⊥BC,试判断四边形BDFE的形状,并给出证明.‎ ‎【思路点拨】(1)根据等腰三角形及旋转的性质,利用SAS证△EAB≌△DAC,进而得出结论;‎ ‎(2)先证BE=BD=CD,再证EB=EF,则BE=EF=BD,又EF∥BD,即可得证四边形BDFE为菱形.‎ ‎【解答】‎ 方法归纳:菱形的判定一般先判定为平行四边形,然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析,也可直接判定四条边相等.‎ ‎1.(2014·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )‎ ‎ A.10 B.8 C.6 D.5‎ ‎2.(2014·重庆A卷)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为 .‎ ‎3.(2013·常州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.求证:四边形ABCD是菱形.‎ 命题点3 正方形的性质与判定 例3 (2013·南京)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.‎ ‎(1)求证:∠ADB=∠CDB;‎ ‎(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.‎ ‎【思路点拨】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB;‎ ‎(2)因为∠ADC=90°,由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形,由角平分线的性质可得出PM=PN,再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.‎ ‎【解答】‎ 方法归纳:正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体;在判定正方形的过程中,通常是先证明此四边形为矩形,再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直;或先证明其为菱形,再证有一个角是直角或者对角线相等.‎ ‎1.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0,0),(2,0),则顶点C的坐标是( )‎ ‎ A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1)‎ ‎2.(2014·株洲)已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )‎ ‎ A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④‎ ‎3.(2014·泸州)如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为G,求证:AE=BF.‎ 第1课时 基础训练 ‎1.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )‎ ‎ A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm ‎2.(2013·成都)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C和点C′重合,若AB=2,则C′D的长为( )‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.(2014·福州)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为( )‎ ‎ A.45° B.55° C.60° D.75°‎ ‎4.(2014·丽水)如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )‎ ‎ A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.不能确定 ‎5.(2014·玉林)下列命题是假命题的是( )‎ ‎ A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 ‎ C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形 ‎6.(2013·菏泽)如图,把一个长方形的纸片按图示对折两次,然后剪下一部分,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )‎ ‎ A.15°或30° B. 30°或45° C.45°或60° D.30°或60°‎ ‎7.如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= .‎ ‎8.(2014·衡阳)如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为 .‎ ‎9.(2014·淄博)已知□ABCD,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使□ABCD成为一个菱形.你添加的条件是 .‎ ‎10.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上一个条件是 ‎ ‎.(填上你认为正确的一个答案即可)‎ ‎11.(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=,则正方形ABCD的周长为 .‎ ‎12.(2013·临沂)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是 .‎ ‎13.(2013·广州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.‎ ‎14.(2014·牡丹江一模)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是正方形边上的点,AE=5,BF⊥AE,垂足为点F,求BF的长.‎ ‎15.(2013·宜昌)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF;分别以点E,F为圆心,以AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.‎ ‎(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由;‎ ‎(2)连接EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求线段EF的长.‎ ‎16.(2014·枣庄)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.‎ ‎(1)求证:△BOE≌△DOF;‎ ‎(2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.‎ 第2课时 能力训练 ‎1.(2014·毕节)如图所示,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( )‎ ‎ A.3.5 B.4 C.7 D.14‎ ‎2.如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF一定是( )‎ ‎ A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 ‎3.(2014·聊城)如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( )‎ ‎ A.2 B.3 C.6 D. ‎ ‎4.(2014·南京)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是( )‎ ‎ A.(,3)、(-,4) B.(,3)、(-,4) ‎ ‎ C.( ,)、(-,4) D.( ,)、(-,4)‎ ‎5.(2014·资阳)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为 .‎ ‎6.(2014·十堰)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号).‎ ‎7.(2014·上海)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为 (用含t的代数式表示).‎ ‎8.(2013·聊城)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证:AE=CE.‎