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- 2021-05-11 发布
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教师: 学生: 时间:2017年 月 日
课题内容
平行四边形存在性问题
专题攻略
一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤
第一步寻找分类标准,第二步画图,第三步计算.
二、难点在于寻找分类标准,寻找恰当的分类标准,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使
计算又准又快.
三、如果已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有3个点以已知三个定点为
三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个交点.
四、如果已知两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质,可以使得解题简便.
典型例题
例1.如图,抛物线:y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B(A在B左侧),A(﹣1,0)、B(3,0),顶点为C(1,﹣2)
(1)求过A、B、C三点的圆的半径.
(2)在抛物线上找点P,在y轴上找点E,使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形,求点P、E的坐标.
(1)∵A(﹣1,0)、B(3,0)、C(1,﹣2),∴AB=3﹣(﹣1)=4,
AC==2,BC==2,∴AB2=16,AC2+BC2=8+8=16,
∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形,AB是直径,故半径为2;
(2)①当AB是平行四边形的边时,PE=AB=4,且点P、E的纵坐标相等,
∴点P的横坐标为4或﹣4,∴y=×42﹣4﹣=,或y=×42+4﹣=,
∴点P、E的坐标为P1(4,)、E1(0,)或P2(﹣4,)、E2(0,),
②如图,当AB是平行四边形的对角线时,PE平分AB,∴PE与x轴的交点坐标D(1,0),
过点P作PF⊥AB,则OD=FD,∴点F的坐标为(2,0),∴点P的横坐标为2,
y=×22﹣2﹣=﹣,∴点P的纵坐标为,∴点P、E的坐标为P3(2,﹣)、E3(0,),
综上所述,点P、E的坐标为:P1(4,)、E1(0,)或P2(﹣4,)、E2(0,)或P3(2,﹣)、E3(0,).
例2.将抛物线沿c1:y=﹣x2+沿x轴翻折,得拋物线c2,如图所示.
(1)请直接写出拋物线c2的表达式.
(2)现将拋物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E.
①当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
方法一:
(1)根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式;
(2)①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标,分当AD=AE时,当BD=AE时两种情况讨论求解;
②存在.理由:连接AN,NE,EM,MA.根据矩形的判定即可得出.
方法二:
(1)求出翻折后抛物线顶点坐标,并求出抛物线表达式.
(2)①抛物线c1平移m个单位长度后,求出点A,B,D,E的坐标,并分类讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况,进而求出m的值.
②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,则AN⊥EN,利用黄金法则二,可求出m的值.
【解答】方法一:
解:(1)y=x2﹣.
(2)①令﹣x2+=0,得x1=﹣1,x2=1
则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为(﹣1,0),(1,0).
∴A(﹣1﹣m,0),B(1﹣m,0).同理可得:D(﹣1+m,0),E(1+m,0).
当AD=AE时,(﹣1+m)﹣(﹣1﹣m)=[(1+m)﹣(﹣1﹣m)],
∴m=.
当BD=AE时,(1﹣m)﹣(﹣1+m)=[(1+m)﹣(﹣1﹣m)],∴m=2.
故当B,D是线段AE的三等分点时,m=或2.
②存在.
理由:连接AN,NE,EM,MA.依题意可得:M(﹣m,),N(m,﹣).
即M,N关于原点O对称,∴OM=ON.
∵A(﹣1﹣m,0),E(1+m,0),∴A,E关于原点O对称,∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形.
∵AM2=(﹣m﹣1+m)2+()2=4,ME2=(1+m+m)2+()2=4m2+4m+4,
AE2=(1+m+1+m)2=4m2+8m+4,若AM2+ME2=AE2,则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4,∴m=1,
此时△AME是直角三角形,且∠AME=90°.
∴当m=1时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.
方法二:
(1)略,
(2)①抛物线C1:y=﹣x2+,
与x轴的两个交点为(﹣1,0),(1,0),顶点为(0,),抛物线C2:y=﹣x2﹣,
与x轴的两个交点也为(﹣1,0),(1,0),顶点为(0,﹣),抛物线C1向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为(﹣m,),与x轴的两个交点为A(﹣1﹣m,0)、B(1﹣m,0),AB=2,
抛物线C2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为(m,﹣),与x轴的两个交点为D(﹣1+m,0)、E(1+m,0),∴AE=(1+m)﹣(﹣1﹣m)=2(1+m),B、D是线段AE的三等分点,有两种情况.
1、B在D的左侧,AB=AE=2,AE=6,
∴2(1+m)=6,m=2,
2、B在D的右侧,AB=AE=2,AE=3,
∴2(1+m)=3,m=.
(3)若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,
∵A(﹣1﹣m,0),E(1+m,0),N(m,﹣)、M(﹣m,),
∴点A,E关于原点对称,点N,M关于原点对称,
∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形,
则AN⊥EN,KAN×KEN=﹣1,
∵A(﹣1﹣m,0),E(1+m,0),N(m,﹣),
∴=﹣1,
∴m=1.
强化训练
1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B(3,),过点B作BC⊥x轴,垂足为C.点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含m的代数式表示线段PM的长度;
(3)连结CM,BN,当m为何值时,以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?
解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(0,1)和点B(3,),
∴,∴,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵A(0,1),B(3,),
∴,∴直线AB的解析式为y=x+1,
∵PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,OP=m,
∴P(m,0),M(m,m+1),∴PM=m+1;
(3)由题意可得:N(m,﹣m2+m+1),
∵MN∥BC,
∴当MN=BC时,四边形BCMN为平行四边形,
当点P在线段OC上时,MN=﹣m2+m,
又∵BC=,
∴﹣m2+m=,
解得m1=1,m2=2;
当点P在线段OC的延长线上时,MN=m2﹣m,
∴m2﹣m=,
解得 m1=(不合题意,舍去),m2=,
综上所述,当m的值为1或2或时,以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形.
2.如图,已知二次函数的图象M经过A(﹣1,0),B(4,0),C(2,﹣6)三点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点G是线段AC上的动点(点G与线段AC的端点不重合),若△ABG与△ABC相似,求点G的坐标;
(3)设图象M的对称轴为l,点D(m,n)(﹣1<m<2)是图象M上一动点,当△ACD的面积为时,点D关于l的对称点为E,能否在图象M和l上分别找到点P、Q,使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
【解答】解:
(1)∵二次函数的图象M经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,
∴可设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x﹣4).
∵二次函数的图象M经过C(2,﹣6)点,
∴﹣6=a(2+1)(2﹣4),解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x﹣4),即y=x2﹣3x﹣4.
(2)设直线AC的解析式为y=sx+t,把A、C坐标代入可得,解得,
∴线段AC的解析式为y=﹣2x﹣2,
设点G的坐标为(k,﹣2k﹣2).
∵G与C点不重合,
∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况.
∴=.
∵AB=5,AC==3,AG==|k+1|,
∴=,∴|k+1|=∴k=或k=﹣(舍去),∴点G的坐标为(,﹣).
(3)能.理由如下:
如图,过D点作x轴的垂线交AC于点H,
∵D(m,n)(﹣1<m<2),∴H(m,﹣2m﹣2).∵点D(m,n)在图象M上,
∴D(m,m2﹣3m﹣4).
∵△ACD的面积为,
∴[﹣2m﹣2﹣(m2﹣3m﹣4)][(m+1)+(2﹣m)]=,即4m2﹣4m+1=0,解得m=.
∴D(,﹣).
∵y=x2﹣3x﹣4=(x﹣)2﹣,∴图象M的对称轴l为x=.
∵点D关于l的对称点为E,∴E(,﹣),∴DE=﹣=2,
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,有两种情况:
当DE为边时,则有PQ∥DE且PQ=DE=2.
∴点P的横坐标为+2=或﹣2=﹣,
∴点P的纵坐标为(﹣)2﹣=﹣,
∴点P的坐标为(,﹣)或(﹣,﹣);
当DE为对角线时,则可知P点为抛物线的顶点,即P(,﹣);
综上可知存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣)或(﹣,﹣)或(,﹣).
3.已知直线y=kx+b(k≠0)过点F(0,1),与抛物线y=x2相交于B、C两点.
(1)如图1,当点C的横坐标为1时,求直线BC的解析式;
(2)在(1)的条件下,点M是直线BC上一动点,过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,设B(m.n)(m<0),过点E(0.﹣1)的直线l∥x轴,BR⊥l于R,CS⊥l于S,连接FR、FS.试判断△RFS的形状,并说明理由.
解:(1)因为点C在抛物线上,所以C(1,),
又∵直线BC过C、F两点,故得方程组: 解之,得,
所以直线BC的解析式为:y=﹣x+1;
(2)要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形,则MD=OF,如图1所示,
设M(x,﹣x+1),则D(x,x2),∵MD∥y轴,∴MD=﹣x+1﹣x2,
由MD=OF,可得|﹣x+1﹣x2|=1,
①当﹣x+1﹣x2=1时,
解得x1=0(舍)或x1=﹣3,所以M(﹣3,),
②当﹣x+1﹣x2,=﹣1时,解得,x=,
所以M(,)或M(,),
综上所述,存在这样的点M,使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形,
M点坐标为(﹣3,)或(,)或(,);
(3)过点F作FT⊥BR于点T,如图2所示,
∵点B(m,n)在抛物线上,∴m2=4n,在Rt△BTF中,
BF====,
∵n>0,∴BF=n+1,又∵BR=n+1,∴BF=BR.∴∠BRF=∠BFR,又∵BR⊥l,EF⊥l,
∴BR∥EF,∴∠BRF=∠RFE,∴∠RFE=∠BFR,同理可得∠EFS=∠CFS,∴∠RFS=∠BFC=90°,
∴△RFS是直角三角形.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.
(1)求a的值及点A,B的坐标;
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;
(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,﹣).
∴a﹣3=﹣,解得:a=,∴y=(x+1)2﹣3
当y=0时,有(x+1)2﹣3=0,∴x1=2,x2=﹣4,∴A(﹣4,0),B(2,0).
(2)∵A(﹣4,0),B(2,0),C(0,﹣),D(﹣1,﹣3)
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+(+3)×1+×2×=10.
从面积分析知,直线l只能与边AD或BC相交,所以有两种情况:
①当直线l边AD相交与点M1时,则S=×10=3,
∴×3×(﹣y)=3
∴y=﹣2,点M1(﹣2,﹣2),过点H(﹣1,0)和M1(﹣2,﹣2)的直线l的解析式为y=2x+2.
②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2(,﹣2),过点H(﹣1,0)和M2(,﹣2)的直线l的解析式为y=﹣x﹣.
综上所述:直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣.
(3)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,
∴﹣k+b=0,∴b=k,∴y=kx+k.
由,∴+(﹣k)x﹣﹣k=0,∴x1+x2=﹣2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2,
∵点M是线段PQ的中点,∴由中点坐标公式的点M(k﹣1,k2).
假设存在这样的N点如图,直线DN∥PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3
由,解得:x1=﹣1,x2=3k﹣1,∴N(3k﹣1,3k2﹣3)
∵四边形DMPN是菱形,∴DN=DM,∴(3k)2+(3k2)2=()2+()2,
整理得:3k4﹣k2﹣4=0,∵k2+1>0,∴3k2﹣4=0,
解得k=±,
∵k<0,∴k=﹣,∴P(﹣3﹣1,6),M(﹣﹣1,2),N(﹣2﹣1,1)
∴PM=DN=2,
∵PM∥DN,∴四边形DMPN是平行四边形,
∵DM=DN,∴四边形DMPN为菱形,
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形,此时点N的坐标为(﹣2﹣1,1).
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.
方法一:
解:(1)由直线y=﹣x+1可知A(0,1),B(﹣3,),又点(﹣1,4)经过二次函数,
根据题意得:, 解得:,则二次函数的解析式是:y=﹣﹣x+1;
(2)设N(x,﹣x2﹣x+1),
则M(x,﹣x+1),P(x,0).
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x=﹣(x+)2+,
则当x=﹣时,MN的最大值为;
(3)连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分,
即四边形BCMN是菱形,则MN=BC,且BC=MC,即﹣x2﹣x=,且(﹣x+1)2+(x+3)2=
,
解x2+3x+2=0,得:x=﹣1或x=﹣2(舍去).
故当N(﹣1,4)时,BM和NC互相垂直平分.
方法二:
(1)略.
(2)设N(t,﹣),∴M(t,﹣t+1),
∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1,∴MN=﹣,
当t=﹣时,MN有最大值,MN=.
(3)若BM与NC相互垂直平分,则四边形BCMN为菱形.
∴NC⊥BM且MN=BC=,即﹣=,∴t1=﹣1,t2=﹣2,
①t1=﹣1,N(﹣1,4),C(﹣3,0),∴KNC==2,
∵KAB=﹣,∴KNC×KAB=﹣1,∴NC⊥BM.
②t2=﹣2,N(﹣2,),C(﹣3,0),
∴KNC==,KAB=﹣,∴KNC×KAB≠﹣1,此时NC与BM不垂直.
∴满足题意的N点坐标只有一个,N(﹣1,4).
6.已知直角梯形ABCD中AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=24,BC=26,点P从A点出发,沿AD边以1的速度向点D运动,点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动,P,Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t.
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
解:(1)根据题意得:PA=t,CQ=3t,则PD=AD﹣PA=24﹣t,
∵AD∥BC,∴PD∥CQ,
∴当PD=CQ时,四边形PQCD为平行四边形,
即24﹣t=3t,解得:t=6,即当t=6时,四边形PQCD为平行四边形;
(2)过D作DE⊥BC于E,
则四边形ABED为矩形,∴BE=AD=24cm,∴EC=BC﹣BE=2cm,
当PQ=CD时,四边形PQCD为等腰梯形,如图所示:
过点P作PF⊥BC于点F,过点D作DE⊥BC于点E,
则四边形PDEF是矩形,∴EF=PD,PF=DE,
在Rt△PQF和Rt△CDE中,,∴Rt△PQF≌Rt△CDE(HL),
∴QF=CE,∴QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE,
即3t﹣(24﹣t)=4,解得:t=7,
即当t=7时,四边形PQCD为等腰梯形.