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中考几何模型解题法 研修课论文 宋海平 第一讲 以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。‎ 第二讲 弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。‎ 第三讲 在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。‎ ‎ 第四讲 中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。‎ 第五讲 几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。 ‎ 第六讲 本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。‎ 一、角平分线模型 一、 精讲精练 ‎【模型一】夹角模型 OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，‎ 则：∠AOC=90°+∠B．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，‎ 则：∠P=∠A．‎ AD、CD分别是∠EAC、∠FCA的角平分线，‎ 则： ∠D=90°-∠B．‎ 1. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的角平分线AE、CF相交于O．‎ 求证：OE＝OF．‎ 2. ‎（2011湖北黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________.‎ 3. ‎（2011年山东临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是两个外角的平分线.‎ ‎（1）求证：AC=AD；‎ ‎（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.‎ ‎【模型二】角平分线加垂直 AB⊥AC，AB=AC，CE是∠ACB的平分线，‎ BE⊥CE，则: BE=CF．‎ 4. ‎（2011大连）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝‎ ‎∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．‎ ‎（1）当AB＝AC时（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD 的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．‎ ‎【模型三】角平分线加平行线 OP是∠MON的角平分线，AB∥ON，‎ 则：OA=AB．‎ 1. ‎（2011江苏宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝‎7cm，BC＝‎8cm，则AB的长度是 _____cm．‎ 2. ‎（2011山东滨州）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.‎ ‎【模型四】四边形对角互补模型 ‎∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，‎ 则:AD=CD．‎ 1. ‎（2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.‎ ‎（1）求证：EF=EG；‎ ‎（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ 弦图模型 n ‎。‎ 一、 知识提要 1. 弦图基本模型 模型一：‎ ‎ ‎ 模型二：‎ 1. 弦图模型之变形 ‎ ‎ 一、 专项训练 ‎【板块一】弦图基本模型 1. 如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，求证：．‎ 2. 如图，梯形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，则AB的长为____________．‎ 1. 在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长. ‎ ‎【板块二】弦图模型之变形 2. ‎（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为 .‎ 3. ‎（2011锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=‎ ‎∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（　　）‎ ‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 4. ‎（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（　　）‎ ‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5. 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．‎ 相似基本模型 一、 知识提要 1. 相似基本模型1：“A” 字型相似及其变形 2. 相似基本模型2：“8” 字型相似及其变形 二、 专项训练 1. 四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=‎21cm，高AD=‎15cm，则内接正方形边长EF=______.‎ ‎ ‎ 2. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（　　）‎ ‎ A. B. C.3 D.‎ 1. 如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（　　）‎ ‎ A.5：3 B.3：‎5 C.4：3 D.3：4‎ 2. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（　　）‎ ‎ A.1：3 B.1：‎4 C.2：5 D.3：8‎ 3. 如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于_________.‎ 4. 已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF. ‎ 5. 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点，求证：MD：ME＝ND：NE.‎ 巧用轴对称解线段和差最值 ‎【板块一】线段和最小 1. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） ‎ A． B． C．3 D．‎ A D E P B C A D E P B C A D E P B C A D E P B C 2. 如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小时，则∠AMN +‎ ‎∠ANM的度数为（ ）‎ A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°‎ 3. 如图， 在锐角△ABC中， AB=，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.‎ 1. ‎（2011福州）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线对称.‎ ‎（3）过点B作直线BK∥AH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值. ‎ 2. 已知四边形PABQ在坐标系中的位置如图所示，则当四边形PABQ的周长最小时，a= ．‎ ‎【板块二】线段差最大 3. ‎（2009四川眉山）如图，已知直线与轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)．‎ ‎ (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．‎ 大角夹半角模型 原题剖析： 如图，已知在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．‎ 模型提取：‎ 题型对比：‎ ‎1.（2008天津）已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．‎ C A B E F M N 图①‎ ‎（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；‎ C A B E F M N 图②‎ ‎（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ 实战训练 ‎2. （2010重庆改编）边长为2的等边△ABC的两边AB、AC上有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC. 探究：当M、N分别在AB、AC上移动时，‎ ‎△AMN的周长是否为定值？‎ 典型特例：‎ ‎3.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，CD=3，设AC=x、BD=y，求y关于x的表达式．‎ ‎4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y ， 求y与x之间的函数关系式.‎ ‎5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A为公共端点，∠BAC=‎ ‎∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E ‎（D、E不与B、C重合），设BE=m，CD=n.‎ ‎（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；‎ ‎（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量的取值范围．‎ ‎6. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求△ABC的面积．‎ 四点共圆 ‎【板块一】对角互补 1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，求证：∠ANM=∠B．‎ 2. 如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．‎ 求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．‎ ‎【板块二】同线段同侧所张的角相等 3. 如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线上，且∠CAD=∠ABD，则∠ABC+∠ADC=（　　）‎ ‎ A．90° B．120° C．150° D．180°‎ 1. 正方形ABCD的中心为O，面积为‎1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14．则PB=　_________　．‎ 2. 如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．‎ 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．‎ 求证：∠CFD=∠CAD．‎