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  • 2021-05-11 发布

中考数学一轮复习 专题练习3 图形的变换1 浙教版

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图形的变换(1)‎ ‎ 班级 姓名 学号 ‎ 一、选择题 ‎1.下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ ‎2.下列四个立体图形中,左视图为矩形的是(  )‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④‎ ‎3.如图所示,该几何体的俯视图是( )‎ ‎4.如图是一个正方体纸盒的展开图,其中的六个正方形内分别标有数字“‎0”‎、“‎1”‎、“‎2”‎、“‎5”‎和汉字、“数”、“学”,将其围成一个正方体后,则与“‎5”‎相对的是(  )‎ A. 0 B. ‎2 C. 数 D. 学 ‎5.在长方形ABCD中AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面半径为(  )‎ A. 4 B. ‎16 C. 4 D. 8‎ ‎6.如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.在下列图形中(每个小四边形皆为全等的正方形),可以是一个正方体表面展开的是( ) ‎ ‎ ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎8.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(﹣1,﹣1),(1,﹣2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为(  )‎ A. (4,1) B. (4,﹣1) C. (5,1) D. (5,﹣1)‎ ‎9.如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是(  )‎ A. 2﹣ B. +‎1 C. D. ﹣1‎ ‎10.在△ABC中,已知AB=,∠A=30°,CD是AB边的中线,若将△ABC沿CD对折起来,折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的,有如下结论:‎ ‎①AC边的长可以等于; ‎ ‎②折叠前的△ABC的面积可以等于;‎ ‎③折叠后,以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等。‎ ‎ 其中,正确结论的个数是( ) ‎ ‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二.填空题 ‎11.如图是一个长方体的三视图(单位:cm),根据图中数据计算这个长方体的体积是   cm3.‎ ‎12.已知圆锥的侧面积等于cm2,母线长‎10cm,则圆锥的高是 cm.‎ ‎13.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′,点A的对应点A′落在直线y=﹣x上,则点B与其对应点B′间的距离为   .‎ ‎14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=   .‎ ‎15.如图,将一张边长为‎6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为   cm2.‎ ‎16.在▱ABCD中,AB<BC,已知∠B=30°,AB=2,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,使点B′落在▱ABCD所在的平面内,连接B′D.若△AB′D是直角三角形,则BC的长为   .‎ ‎17.如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为   . ‎ ‎ ‎ ‎18.如图,四边形是矩形纸片,.对折矩形纸片,使与 重合,折痕为;展平后再过点折叠矩形纸片,使点落在上的点,折痕与相交于点;再次展平,连接,,延长交于点.‎ 有如下结论:‎ ‎①; ②; ③;‎ ‎④△是等边三角形; ⑤为线段上一动点,‎ 是的中点,则的最小值是.其中正确结论的序号是 .‎ 三.解答题 19. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形格中,给出了△ABC(顶点是格线的交点). ‎ (1) 请画出△ABC关于直线l对称的△A1B‎1C1; ‎ ‎(2)将线段AC向左平移3个单位,再向下平移5个单位,画出平移得到的线段A‎2C2,并以它为一边作一个格点△A2B‎2C2,使A2B2=C3B2. ‎ A B C l ‎ ‎ ‎20.已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=‎4cm,AB=‎8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y。‎ ‎(1)如图,当AP=‎3cm时,求y的值;‎ ‎(2)设AP=xcm,试用含x的代数式表示y(cm2);‎ ‎(3)当y=‎2cm2时,试确定点P的位置。‎ 21. 如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN. ‎ ‎(1)求证:AM=BN; ‎ ‎(2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值. ‎ ‎ ‎ ‎22.在△AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′.‎ ‎(1)如图1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,证明:①AC′=BD′;②AC′⊥BD′;‎ ‎(2)如图2,若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与BD′交于点E,猜想∠AEB=θ是否成立?请说明理由.‎ ‎23.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,‎ OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE. ‎ ‎(1)求证:DE⊥AG; ‎ ‎(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2. ‎ ‎①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数; ‎ ‎②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:ED是⊙P的切线;‎ ‎(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由;‎ ‎(4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 答案详解 一、选择题 解答: 解:长方体左视图为矩形;球左视图为圆;圆锥左视图为三角形;圆柱左视图为矩形;‎ 因此左视图为矩形的有①④.‎ 故选:B.‎ ‎3.如图所示,该几何体的俯视图是( )‎ 解答:解:从上面看是一个正方形,在正方形的左下角有一个小正方形. ‎ ‎ 故选:B. ‎ ‎4.如图是一个正方体纸盒的展开图,其中的六个正方形内分别标有数字“‎0”‎、“‎1”‎、“‎2”‎、“‎5”‎和汉字、“数”、“学”,将其围成一个正方体后,则与“‎5”‎相对的是(  )‎ A. 0 B. ‎2 C. 数 D. 学 解答: 解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,‎ ‎“数”相对的字是“‎1”‎;‎ ‎“学”相对的字是“‎2”‎;‎ ‎“‎5”‎相对的字是“‎0”‎.‎ 故选:A.‎ ‎5.在长方形ABCD中AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面半径为(  )‎ A. 4 B. ‎16 C. 4 D. 8‎ 解答: 解:设圆锥的底面圆半径为r,依题意,得 ‎2πr=,‎ 解得r=4.‎ 故小圆锥的底面半径为4;‎ 故选A.‎ ‎6.如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解答: 解:找一张正方形的纸片,按上述顺序折叠、裁剪,然后展开后得到的图形如图所示:‎ 故选A.‎ ‎7.在下列图形中(每个小四边形皆为全等的正方形),可以是一个正方体表面展开的是( ) ‎ ‎ ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 解答:解:利用正方体及其表面展开图的特点解题:‎ A、 出现了“田”字格,故不能;‎ B、折叠后上面两个面无法折起来,而且下边没有面,不能折成正方体;‎ C、折叠后能围成一个正方体;‎ D、折叠后,上面的两个面重合,不能折成正方体。‎ 故选C。‎ ‎8.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(﹣1,﹣1),(1,﹣2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为(  )‎ A. (4,1) B. (4,﹣1) C. (5,1) D. (5,﹣1)‎ 解答:解:如图,A点坐标为(0,2),‎ ‎ 将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的A′的坐标为(5,﹣1).‎ ‎ 故选D.‎ ‎9.如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是(  )‎ A. 2﹣ B. +‎1 C. D. ﹣1‎ 解答:解:连接AD、DG、BO、OM,如图.‎ ‎∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,‎ ‎∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,‎ ‎∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC,=,‎ ‎∴△DAG∽△DCF,‎ ‎∴∠DAG=∠DCF.‎ ‎∴A、D、C、M四点共圆.‎ 根据两点之间线段最短可得:BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,‎ 当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,‎ 此时,BO===,OM=AC=1,‎ 则BM=BO﹣OM=﹣1.‎ 故选D.‎ ‎10.在△ABC中,已知AB=,∠A=30°,CD是AB边的中线,若将△ABC沿CD对折起来,折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的,有如下结论:‎ ‎ ①AC边的长可以等于; ②折叠前的△ABC的面积可以等于;‎ ‎ ③折叠后,以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等。‎ ‎ 其中,正确结论的个数是( ) ‎ ‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解答:解:①若AC=成立,根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质 可求出四边形AB1DC为平行四边形,‎ 再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解:‎ 若AC=成立,如图(1),在△ACD中,由∠CAD=30°,AD=,‎ ‎∴∠ADC=(180°-∠CAD)=75°,∠CDB=180°-∠ADC=105°,‎ 而∠CDB1=∠CDB,‎ ‎∴∠B1DA=105°-75°=30°,∴AC∥B1D。‎ ‎∵B1D=BD==AC,∴四边形AB1DC为平行四边形。‎ ‎∴S△CED=S△ACD=S△ABC,满足条件,即AC的长可以等于,‎ 故①正确。‎ ‎②假设S△ABC=成立,由△ABC的面积公式可求出AC=,根据三角形的三边关系可求出∠B=60°,由平行四边形的判定定理可求出四边形AB2CD为平行四边形,再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解:‎ 若S△ABC=,‎ ‎∵S△ABC=AB•AC•sin∠CAB,∴AC=。 ‎ ‎∵AC=,∠B=60°,如图(2),∴∠CDB=60°=∠DCB2。 ‎ ‎∴AD∥B‎2C。‎ 又∵B‎2C=BC==AD,∴四边形AB2CD为平行四边形。‎ ‎∴S△CFD=S△ACD=S△ABC,满足条件,即S△ABC的值可以等于,‎ 故②正确。‎ ‎③综合①②可知,以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等:‎ 由平行四边形AB1CD或平行四边形AB2CD,显然成立,故③正确。‎ 故选D。‎ 二.填空题 ‎11.如图是一个长方体的三视图(单位:cm),根据图中数据计算这个长方体的体积是 ‎24 cm3.‎ 解答: 解:该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形,俯视图也为一个矩形,可确定这个几何体是一个长方体,‎ 依题意可求出该几何体的体积为3×2×4=‎24cm3.‎ 答:这个长方体的体积是‎24cm3.‎ 故答案为:24.‎ ‎12.已知圆锥的侧面积等于cm2,母线长‎10cm,则圆锥的高是 ☆ cm.‎ 解答:解:设圆锥的底面圆的半径为r,‎ ‎ 根据题意得•2π•r•10=60π,‎ ‎ 解得r=6,‎ ‎ 所以圆锥的高==8(cm).‎ ‎ 故答案为8.‎ ‎13.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′,点A的对应点A′落在直线y=﹣x上,则点B与其对应点B′间的距离为 8 .‎ 解答: 解:由题意可知,点A移动到点A′位置时,纵坐标不变,‎ ‎∴点A′的纵坐标为6,‎ ‎﹣x=6,解得x=﹣8,‎ ‎∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置,移动了8个单位,‎ ‎∴点B与其对应点B′间的距离为8,‎ 故答案为:8.‎ ‎14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=   .‎ 解答:解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,‎ ‎ ∴∠B=64°,‎ ‎ ∵将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,‎ ‎ ∴∠BCD=∠ECD=45°,∠CED=∠B=64°,‎ ‎ ∴∠CDE=180°﹣∠ECD﹣∠CED=71°,‎ ‎ 故答案为:71°.‎ ‎15.如图,将一张边长为‎6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2.‎ 解答:解:∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成一个底面是正六边形的 ‎ 棱柱,‎ ‎ ∴这个正六边形的底面边长为1,高为,‎ ‎ ∴侧面积为长为6,宽为6﹣2的长方形,‎ ‎ ∴面积为:6×(6﹣2)=36﹣12.‎ ‎ 故答案为:36﹣12.‎ ‎16.在▱ABCD中,AB<BC,已知∠B=30°,AB=2,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,使点B′落在▱ABCD所在的平面内,连接B′D.若△AB′D是直角三角形,则BC的长为 4或6 .‎ 解答: 解:当∠B′AD=90°AB<BC时,如图1,‎ ‎∵AD=BC,BC=B′C,‎ ‎∴AD=B′C,‎ ‎∵AC∥B′D,∠B′AD=90°,‎ ‎∴∠B′GC=90°,‎ ‎∵∠B=30°,AB=2,‎ ‎∴∠AB′C=30°,‎ ‎∴GC= B′C= BC,‎ ‎∴G是BC的中点,‎ 在RT△ABG中,BG=AB=×2=3,‎ ‎∴BC=6;‎ 当∠AB′D=90°时,如图2,‎ ‎∵AD=BC,BC=B′C,‎ ‎∴AD=B′C,‎ ‎∵AC∥B′D,‎ ‎∴四边形ACDB′是等腰梯形,‎ ‎∵∠AB′D=90°,‎ ‎∴四边形ACDB′是矩形,‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ ‎∵∠B=30°,AB=2,‎ ‎∴BC=AB÷=2×=4,‎ ‎∴当BC的长为4或6时,△AB′D是直角三角形.‎ 故答案为:4或6.‎ ‎17.如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为 3 . ‎ ‎ ‎ 解答: 解:∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=60°,‎ ‎∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE,‎ ‎∴AD=AE=5,∠DAE=∠BNAC=60°,CE=BD=6,‎ ‎∴△ADE为等边三角形,‎ ‎∴DE=AD=5,‎ 过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x,则CH=4﹣x,‎ 在Rt△DHE中,EH2=52﹣x2,‎ 在Rt△DHE中,EH2=62﹣(4﹣x)2,‎ ‎∴52﹣x2=62﹣(4﹣x)2,解得x=,‎ ‎∴EH==,‎ 在Rt△EDH中,tan∠HDE===3,‎ 即∠CDE的正切值为3.‎ 故答案为:3.‎ ‎18.如图,四边形是矩形纸片,.对折矩形纸片,使与 重合,折痕为;展平后再过点折叠矩形纸片,使点落在上的点,折痕与相交于点;再次展平,连接,,延长交于点.‎ 有如下结论:‎ ‎①; ②; ③;‎ ‎④△是等边三角形; ⑤为线段上一动点,‎ 是的中点,则的最小值是.‎ 其中正确结论的序号是 .‎ 解答:解:如图1,连接AN,,‎ ‎ ∵EF垂直平分AB,‎ ‎∴AN=BN,‎ ‎ 根据折叠的性质,可得 ‎ AB=BN,‎ ‎ ∴AN=AB=BN.‎ ‎ ∴△ABN为等边三角形.‎ ‎ ∴∠ABN=60°,∠PBN=60°÷2=30°,‎ ‎ 即结论①正确;‎ ‎ ∵∠ABN=60°,∠ABM=∠NBM,‎ ‎ ∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°,‎ ‎ ∴AM=,‎ ‎ 即结论②不正确.‎ ‎ ∵EF∥BC,QN是△MBG的中位线,‎ ‎ ∴QN=BG;‎ ‎ ∵BG=BM=,‎ ‎ ∴QN=,‎ ‎ 即结论③不正确.‎ ‎ ∵∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°,‎ ‎ ∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°,‎ ‎ ∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°,‎ ‎ ∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°,‎ ‎ ∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°,‎ ‎ ∴△BMG为等边三角形,‎ ‎ 即结论④正确.‎ ‎ ∵△BMG是等边三角形,点N是MG的中点,‎ ‎ ∴BN⊥MG,‎ ‎ ∴BN=BG•sin60°=,‎ ‎ P与Q重合时,PN+PH的值最小,‎ ‎ ∵P是BM的中点,H是BN的中点,‎ ‎ ∴PH∥MG,‎ ‎ ∵MG⊥BN,‎ ‎ ∴PH⊥BN,‎ ‎ 又∵PE⊥AB,‎ ‎ ∴PH=PE,‎ ‎ ∴PN+PH=PN+PE=EN,‎ ‎ ∵EN==,‎ ‎ ∴PN+PH=,‎ ‎ ∴PN+PH的最小值是,‎ ‎ 即结论⑤正确.‎ 故答案为:①④⑤.‎ 三.解答题 19. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形格中,给出了△ABC(顶点是格线的交点). ‎ (1) 请画出△ABC关于直线l对称的△A1B‎1C1; ‎ ‎(2)将线段AC向左平移3个单位,再向下平移5个单位,画出平移得到的线段A‎2C2,并以它为一边作一个格点△A2B‎2C2,使A2B2=C3B2. ‎ A B C l ‎ ‎ 解答:解:(1)如图所示:△A1B‎1C1,即为所求; ‎ ‎(2)如图所示:△A2B‎2C2,即为所求. ‎ ‎ ‎ ‎20.已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=‎4cm,AB=‎8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y。‎ ‎(1)如图,当AP=‎3cm时,求y的值;‎ ‎(2)设AP=xcm,试用含x的代数式表示y(cm2);‎ ‎(3)当y=‎2cm2时,试确定点P的位置。‎ 解:(1)由于D是AB中点,因此DE是△ABC的中位线,AD=BD=‎4cm,DE=‎2cm。‎ 在Rt△APQ中,AP=‎3cm,∴PQ=AP•tanA=3×=1.5(cm)。‎ ‎∴DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5。‎ ‎∴重合部分的面积应该是y=DN·MN=1.5×0.5=0.75(cm2)。‎ ‎(2)当0<x≤时,y=0;‎ 当<x≤4时,y=;‎ 当4<x≤时,y=x;‎ 当<x<8时,y=16-2x。‎ ‎(3)当<x≤4时,若y=2,即=2,解得x=或x=(舍去);‎ 当4<x≤时,若y=2,即x=2,不符合4<x≤;‎ 当<x<8时,若y=2,即16-2x=2解得x=7。‎ 综上所述,当x=cm或x=‎7cm时,y=‎2cm2。‎ 21. 如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN. ‎ ‎(1)求证:AM=BN; ‎ ‎(2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值. ‎ ‎ ‎ 解答: 解:(1)∵CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,‎ ‎∴CE=CF,‎ 根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,‎ 在△AMC和△BNC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AMC≌△BNC,‎ ‎∴AM=BN;‎ ‎(2)∵MA∥CN,‎ ‎∴∠ACN=∠CAM,‎ ‎∵∠ACN+∠ACM=90°,‎ ‎∴∠CAM+∠ACM=90°,‎ ‎∴∠AMC=90°,‎ ‎∴cosα===.‎ ‎22.在△AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′.‎ ‎(1)如图1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,证明:①AC′=BD′;②AC′⊥BD′;‎ ‎(2)如图2,若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与BD′交于点E,猜想∠AEB=θ是否成立?请说明理由.‎ 解答: (1)证明:①∵△OCD旋转到△OC′D′,‎ ‎∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,‎ ‎∵OA=OB,C、D为OA、OB的中点,‎ ‎∴OC=OD,‎ ‎∴OC′=OD′,‎ 在△AOC′和△BOD′中,,‎ ‎∴△AOC′≌△BOD′(SAS),‎ ‎∴AC′=BD′;‎ ‎②延长AC′交BD′于E,交BO于F,如图1所示:‎ ‎∵△AOC′≌△BOD′,‎ ‎∴∠OAC′=∠OBD′,‎ 又∠AFO=∠BFE,∠OAC′+∠AFO=90°,‎ ‎∴∠OBD′+∠BFE=90°,‎ ‎∴∠BEA=90°,‎ ‎∴AC′⊥BD′;‎ (2) 解:∠AEB=θ成立,理由如下:如图2所示:‎ ‎∵△OCD旋转到△OC′D′,‎ ‎∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∠AOC′=∠BOD′,‎ ‎∴△AOC′∽△BOD′,‎ ‎∴∠OAC′=∠OBD′,‎ 又∠AFO=∠BFE,‎ ‎∴∠AEB=∠AOB=θ.‎ ‎23.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE. ‎ ‎(1)求证:DE⊥AG; ‎ ‎(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2. ‎ ‎①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数; ‎ ‎②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由. ‎ ‎ ‎ 解答: 解:(1)如图1,延长ED交AG于点H,‎ ‎∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,‎ ‎∴OA=OD,OA⊥OD,‎ ‎∵OG=OE,‎ 在△AOG和△DOE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOG≌△DOE,‎ ‎∴∠AGO=∠DEO,‎ ‎∵∠AGO+∠GAO=90°,‎ ‎∴∠AGO+∠DEO=90°,‎ ‎∴∠AHE=90°,‎ 即DE⊥AG;‎ ‎(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:‎ ‎(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,‎ ‎∵OA=OD=OG=OG′,‎ ‎∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,‎ ‎∴∠AG′O=30°,‎ ‎∵OA⊥OD,OA⊥AG′,‎ ‎∴OD∥AG′,‎ ‎∴∠DOG′=∠AG′O=30°,‎ 即α=30°;‎ ‎(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,‎ 同理可求∠BOG′=30°,‎ ‎∴α=180°﹣30°=150°.‎ 综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.‎ ‎②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1,‎ ‎∴OA=OD=OC=OB=,‎ ‎∵OG=2OD,‎ ‎∴OG′=OG=,‎ ‎∴OF′=2,‎ ‎∴AF′=AO+OF′=+2,‎ ‎∵∠COE′=45°,‎ ‎∴此时α=315°.‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:ED是⊙P的切线;‎ ‎(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由;‎ ‎(4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解答: 解:(1)∵C(2,0),BC=6,‎ ‎ ∴B(﹣4,0),‎ ‎ 在Rt△OCD中,∵tan∠OCD=,‎ ‎ ∴OD=2tan60°=2,‎ ‎ ∴D(0,2),‎ ‎ 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2),‎ ‎ 把D(0,2)代入得a•4•(﹣2)=2,解得a=﹣,‎ ‎ ∴抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+2;‎ ‎ ‎ ‎(2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4,‎ ‎ ∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎ ∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,‎ ‎ ∵AE=3BE,‎ ‎ ∴AE=3,‎ ‎ ∴=,==,‎ ‎ ∴=,‎ ‎ 而∠DAE=∠DCB,‎ ‎ ∴△AED∽△COD,‎ ‎ ∴∠ADE=∠CDO,‎ ‎ 而∠ADE+∠ODE=90°‎ ‎ ∴∠CDO+∠ODE=90°,‎ ‎ ∴CD⊥DE,‎ ‎ ∵∠DOC=90°,‎ ‎ ∴CD为⊙P的直径,‎ ‎ ∴ED是⊙P的切线;‎ ‎ (3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上.理由如下:‎ ‎ ∵△AED∽△COD,‎ ‎ ∴=,即=,解得DE=3,‎ ‎ ∵∠CDE=90°,DE>DC,‎ ‎ ∴△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′在射线DC上,‎ ‎ 而点C、D在抛物线上,‎ ‎ ∴点E′不能在抛物线上;‎ ‎ (4)存在.‎ ‎ ∵y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+1)2+‎ ‎ ∴M(﹣1,),‎ ‎ 而B(﹣4,0),D(0,2),‎ ‎ 如图2,‎ 当BM为平行四边形BDMN的对角线时,点D向左平移4个单位,‎ 再向下平移2个单位得到点B,则点M(﹣1,)向左平移4个单位,‎ 再向下平移2个单位得到点N1(﹣5,);‎ 当DM为平行四边形BDMN的对角线时,点B向右平移3个单位,‎ 再向上平移个单位得到点M,则点D(0,2)向右平移3个单位,‎ 再向上平移个单位得到点N2(3,);‎ 当BD为平行四边形BDMN的对角线时,点M向左平移3个单位,‎ 再向下平移个单位得到点B,则点D(0,2)向右平移3个单位,‎ 再向下平移个单位 得到点N3(﹣3,﹣),‎ 综上所述,点N的坐标为(﹣5,)、(3,)、(﹣3,﹣).‎