中考数学专题大讲堂几何变换之翻折探究Word含答案 23页

几何变换之翻折探究 思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系．许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”很多的情况也是同样具有“变换”形式的联系．本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）．这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用．‎ 图形的翻折问题本质上是轴对称问题，满足轴对称的性质，即：‎ 1. 折叠图形关于折痕对称 2. 对应边、角相等 3. 对应点的连线被折痕垂直平分 我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的． 先讲翻折题的三种常见方法 ‎【题目】（16 年秋锡山区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 D的位置，且 AD 交 y 轴于点 E，那么点 D 的坐标为 ．‎ 法一：求．定．点．关．于．定．直．线．的．对．称．点．（万能方法）‎ 如答图 1，连 BD，交 AC 于 G，则△ABC∽△AGB∽△BFD，‎ ‎∴BD＝2BG＝AB· 1 ·2＝3× 1‎ ‎×2＝ 6 ，DF＝BD· 1 ＝ 1‎ ‎10‎ ‎× 6 ＝3，BF＝3DF＝9，‎ ‎10 10‎ ‎10 10‎ ‎10 5 5‎ ‎∴D（－4，12）‎ ‎5 5‎ 法二：由．直．角．翻．折．主．动．寻．求．K．型．相．似．（特殊技巧）‎ 如答图 1，由∠ADC＝90°⟹△ADN∽△DCF，相似比为 3：1， 设 ON＝CF＝x，则 DN＝3x，DF＝3－3x，‎ 由 AN＝3DF 得 x＋1＝3（3－3x），解得 x＝4，∴D（－4，12）‎ ‎5 5 5‎ 法三：由．翻．折．主．动．寻．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧） 如答图 2，延长 CD 交 x 轴于 H，可得 CH＝AH， 设 DH＝y，则 AH＝y，‎ 在 Rt△ADH 中用勾股定理可得 y＝4‎ 易得 DM＝12，∴D（－4，12）‎ ‎5 5 5‎ 法四：由．翻．折．主．动．寻．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）‎ 如答图 2，设 CE＝AE＝a，则 OE＝3－a，在 Rt△AOE 中用勾股定理可得 a＝5，‎ ‎3‎ 由比例关系可得 OM＝4，∴D（－4，12）‎ ‎5 5 5‎ ‎【例题剖析】‎ 题型一：利用对应边相等，对应角相等 例 1－1、（2019 年无锡）10．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F，则线段 B′F 的长为（ ）‎ A 3 4 2 3‎ ‎． B． C．‎ ‎5 3‎ ‎D． 2‎ ‎【解答】选 B ‎〖点评〗本题的关键点在于发现并证明∠B′FB 是直角，由翻折可知∠A＝∠ADC＝∠B′DF，‎ ‎∠A＋∠B＝90°‎ 又∠B＝∠B′========‹∠B′FB 是直角⟹△B′DF 是“345”的三角形 又由翻折可知 B′C＝BC＝4，CD＝AC＝3，‎ 例 1－2、（18 年 4 月锡山区二模）17．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处．若 AC＝8，AB＝10，则 CD 的长为 ．‎ ‎【解答】CD＝25‎ ‎8‎ 答图 1 答图 2‎ 母子三角形 ‎〖点评〗本题的关键点在于发现并证明 F 是 AB 的中点，如答图，由翻折⟹CF⊥DE===== ‹‎ ‎∠1＝∠B ‎直角三角形斜边上的中线定理的逆命题 ‎∠1＝∠2====‹∠2＝∠B⟹CF＝BF====================== ‹F 是 AB 中点 本题也可以根据 90 度翻折构造 K 型相似来解决，如答图 2‎ ‎〖针对练习〗‎ ‎1、（18 年 4 月宜兴一模）16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，E 是 BC 的中点， 连结 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连结 CF，则 sin∠EFC＝ ．‎ ‎【解答】4‎ ‎5‎ 题型二：利用（或构造）等腰三角形 例 2－1、（18 年 4 月宜兴一模）10．一张矩形纸片 ABCD，其中 AD＝8 cm，AB＝6 cm， 先沿对角线 BD 对折，点 C 落在点 C′的位置，BC′交 AD 于点 G（图 1）；再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于点 M（图 2），则 EM 的长为（ ）‎ A．2 B．3‎ ‎2‎ ‎C． 2 D．7‎ ‎6‎ ‎【解答】选 D ‎〖点评〗本题的关键点在于发现并利用△DEN 是等腰三角形，由翻折⟹∠CDB＝∠EDB，‎ 作高EH EN 是折痕⟹EN∥CD⟹∠END＝∠BDC⟹∠END＝∠EDN⟹EN＝ED=== ‹△DEN 是 ‎“556”的三角形 例 2－2、（12 年南长区一模）已知正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线 DC 于点 F，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B′处．‎ （1） 当BE＝1 时，CF＝ cm；‎ CE （2） 当BE＝2 时，求 sin∠DAB′的值；‎ CE （3） 略 ‎【解答】当 E 点在 BC 边上时，sin∠DAB′＝ 5 ，当 E 点在 BC 的延长线上时，sin∠DAB′‎ ‎13‎ ‎＝3，‎ ‎5‎ ‎〖点评〗本题三种方法都可以，‎ 方法一：如答图 1，构造等腰三角形 AGF，再由勾股定理得到方程 x2＋62＝（9－x）2 解得 x＝5，所以 sin∠DAB′＝ 5‎ ‎2 13‎ 方法二：如答图 2，△ABE∽△AHB∽△B′GB，三边之比都为 2：3： 13，‎ ‎∴BH＝ 3 BE＝ 3 ×4＝ 12‎ ‎⟹BB′＝2BH＝ 24 ⟹BG＝ 2 BB′＝48 ⟹AG＝30 ⟹sin∠‎ ‎13 13 13‎ DAB′＝ 5‎ ‎13‎ ‎13 13 13 13‎ 方法三：如答图 3，构造相似三角形△AB′F∽△B′EG，且相似比为 3：2，可得方程组 ‎3x＋2y＝6‎ ‎，解得 ‎x＝10‎ ‎13，所以 sin∠DAB′＝ 5‎ ‎3x 2＋ 3y 2＝36‎ ‎y＝24 13‎ ‎13‎ 另一种情况类似，参考答图 4‎ 答图 1 答图 2 答图 3‎ 答图 4‎ 例 2－3、（17 年滨湖二模）18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm， 点 E 从 C 点出发向终点 B 运动，速度为 1 cm/秒，运动时间为 t 秒，作 EF∥AB，点 P 是点 C 关于 EF 的对称点，连结 AP，当△AFP 恰好是直角三角形时，t 的值为 ．‎ ‎【解答】t＝25或7‎ ‎8 8‎ 答图 1 答图 2‎ ‎〖点评〗本题的关键点在于 CP 与折痕 EF 垂直，也即与 AB 垂直，在∠APE＝90°时，可得等腰三角形 ABE。‎ 首先∠AFP 不可能是直角，否则易得∠CFE＝45°，与题意不符；‎ 如果∠FAP＝90°，则 AP∥BC⟹CP＝5AC＝15 ⟹CE＝CP·1·5＝25‎ ‎4 4 2 3 8‎ ‎∠F‸E＝∠FEC＝∠B 如果∠APE＝90°，则 A、P、E 三点共线⟹∠FEP＝∠BAE===========‹∠BAE＝∠‎ B⟹AE＝BE⟹32＋t2＝（4－t）2⟹t＝7‎ ‎8‎ 题型三：利用（或构造）“K”字形相似 例 3－1、探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”‎ 化．例如在相似三角形中，K 字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图1）：‎ （1） 请就图 1 证明上述“模块”的合理性；‎ （2） 请直．接．利．用．上述“模块”的结论解决下面两个问题：‎ ‎①如图 2，已知点 A（－2，1），点 B 在直线 y＝－2x＋3 上运动，若∠AOB＝90°，求此时点 B 的坐标；‎ ‎②如图 3，过点 A（－2，1）作 x 轴与 y 轴的平行线，交直线 y＝－2x＋3 于点 C、D，求点 A 关于直线 CD 的对称点 E 的坐标．‎ ‎【解答】（1）略；（2）①B（3，3）；‎ ‎4 2‎ ‎②过点 E 作 EN⊥AC 的延长线于点 N，过点 D 作 DM⊥NE 的延长线于点 M，‎ ‎∵A（－2，1），‎ ‎∴C 点的纵坐标为 1，D 点的横坐标为－2，‎ ‎∴C（x，1），D（－2，y），‎ ‎∴1＝－2x＋3，y＝－2×（－2）＋3，‎ ‎∴x＝1，y＝7，‎ ‎∴C（1，1），D（－2，7）．设 E（x，y），‎ ‎∴DM＝x＋2，ME＝7－y，CN＝x－1，EN＝y－1， 由对称可知：DE＝AD＝6，CE＝AC＝3‎ ‎∵∠M＝∠N＝∠DEC＝90°，‎ ‎∴△DME∽△ENC，‎ ‎∴DM ＝ ME ＝DE，‎ EN CN CE ‎∴x＋2 ＝ 2 ＝x 香 1，‎ y香1 7香y 2‎ ‎∴解得：‎ ‎x＝14‎ ‎5‎ y＝17‎ ‎5‎ ‎∴B（14，17）‎ ‎5 5‎ 例 3－2、（14 外国语一模，18）如图，将等边△ABC 折叠，使点 B 落在边 AC 上，对应点 为 D，设折痕为 MN，如果CD ＝ 3，则BM的值为 ．‎ DA 2 BN ‎【解答】BM ＝ 8‎ BN 7‎ ‎〖点评〗方法一：如答图 1，根据翻折，得到∠MDN＝60°⟹△ADN∽△CMD⟹ DM ＝‎ DN CD＋DM＋MC ＝CD＋BM＋MC ＝CD＋BC ＝8‎ AD＋DN＋NA AD＋BN＋NA AD＋AB 7‎ 方法二：如答图 2，分别边 D 点作 DF⊥BC 于 F 点，作 DE⊥AB 于 E 点， 则设 AD＝4，CD＝6，则 CF＝3，DF＝3 3，AE＝2，DE＝2 3，‎ x2＝ 7 香x 2＋ 3 3 2‎ 再设 BM＝x，BN＝y，则有 y2＝‎ ‎8 香 y 2＋ 2 3 2‎ x＝38‎ 解得 7‎ y＝19‎ ‎4‎ ‎∴DM ＝ 8‎ DN 7‎ 答图 1 答图 2‎ ‎〖针对练习〗‎ ‎1、（2019 河南）如图，已知 AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点 E 为射线 BC 上的一个动点， 连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B′处，过点 B′作 AD 的垂线，分别交 AD、BC 于点 M、N，当点 B′为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为 ．‎ ‎【答案】322或355‎ 题型四：利用相似算对称点 例 4－1、（11 年东林，26）如图 1，直线 y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，C 点为 ‎4‎ 线段 AO 上一点，一动点 P 在 x 轴上．‎ （1） 当 P 点运动到与原点 O 重合时，P 点关于直线 BC 的对称点恰好落在直线 AB 上，求此时 PC 的长；‎ （2） 如图 2，若 C 点为线段 AO 的中点，问：P 点运动到何处，点 P 关于直线 BC 的对称点落在直线 AB 上？‎ ‎【解答】（1）方法较多，PC＝3‎ ‎2‎ ‎（2）C（2，0），△AOB 三边之比为 2：3： 设 P（t，0），则 CP＝2－t，‎ 由△AOB∽△PHD∽△PECàDH＝ 2 PD＝ 2 ·2PE＝ 2‎ ‎·2· 3 PC＝12（2－t）＝24香12晦，‎ ‎13 13‎ PH＝3DH＝18（2－t）àOH＝36香5晦，‎ ‎13 13 13 13‎ ‎2 13 13‎ ‎∴D（36香5晦，24香12晦），代入 y＝－3x＋3 可得 t＝16‎ ‎13 13 4 21‎ 例 4－2、（2019 无锡，27）如图，已知□ABCD 的三个顶点 A（n，0）、B（m，0）、D（0，‎ ‎2n）（m＞n＞0），作□ABCD 关于直线 AD 的对称图形 AB1C1D．‎ （1） 若 m＝3，试求四边形 CC1B1B 的面积 S 的最大值；‎ （2） 若点 B1 恰好落在 y 轴上，试求n 的值．‎ m ‎【解答】（1）如图 1，‎ ‎∵□ABCD 与四边形 AB1C1D 关于直线 AD 对称，‎ ‎∴四边形 AB1C1D 是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，‎ ‎∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，‎ ‎∴四边形 BCEF、B1C1EF 是平行四边形，‎ ‎∴S□BCEF＝S□BCDA＝S□B1C1DA＝S□B1C1EF，‎ ‎∴S□BCC1B1＝2S□BCDA．‎ ‎∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m＝3，‎ ‎∴AB＝m－n＝3－n，OD＝2n，‎ ‎∴S BCDA＝AB•OD＝（3－n）•2n＝－2（n2－3n）＝－2（n－3）2＋9，‎ ‎∴S ＝2S ‎2 2‎ ‎＝－4（n－3）2＋9．‎ ‎□BCC1B1‎ ‎□BCDA 2‎ ‎∵－4＜0，∴当 n＝3时，S 最大值为 9；‎ ‎2 □BCC1B1‎ ‎（2）当点 B1 恰好落在 y 轴上，如图 2，‎ ‎∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，‎ ‎∴∠B1DF＋∠DB1F＝90°，∠B1BO＋∠OB1B＝90°，‎ ‎∴∠B1DF＝∠OBB1．‎ ‎∵∠DOA＝∠BOB1＝90°，‎ ‎∴△AOD∽△B1OB，‎ ‎∴OA ＝ OB1，‎ OD OB ‎∴ n ＝ OB1，‎ ‎2n m ‎∴OB1＝m．‎ ‎2‎ 由轴对称的性质可得 AB1＝AB＝m－n．‎ 在 Rt△AOB1 中，‎ n2＋（m）2＝（m－n）2，‎ ‎2‎ 整理得 3m2－8mn＝0．‎ ‎∵m＞0，∴3m－8n＝0，‎ ‎∴n ＝ 3．‎ m 8‎ ‎〖针对练习〗‎ ‎1、（18 年滨湖区一模）28．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G 是边 AB 的中点，平行于 AB 的动直线 l 分别交△ABC 的边 CA、CB 于点 M、N，设 CM ‎＝m．‎ （1） 当 m＝1 时，求△MNG 的面积；‎ （2） 若点 G 关于直线 l 的对称点为点 G′，请求出点 G′恰好落在△ABC 的内部（不含边界）时，m 的取值范围；‎ （3） 略 ‎【解答】（1）9；（2）7＜t＜4‎ ‎4 8‎ 题型五：翻折形成辅助圆 例 5－1、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动 A 点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A'MN，连接 A'C，则 A'C 长度的最小值是 ．‎ ‎【答案】 7－1，‎ ‎〖点评〗本题的关键点在于根据翻折判断出点 A′的轨迹是以 M 为圆心，MA 为半径的圆弧，最后利用圆外一点到圆上的最短距离找到最小值 例 5－2、（2019 无锡）28．如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝m，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动．连结 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E．设点 P 的运动时间为 t（s）．‎ （1） 若 m＝6，求当 P、E、B 三点在同一直线上时对应的 t 的值；‎ （2） 已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围．‎ ‎【解析】由翻折⟹点 E 在以 C 为圆心，CD 为半径的圆上 （1） 点 E 的确定 当 P、E、B 三点共线时，由∠PEC＝90°à∠BEC＝90°à点 E 又在以 BC 为直径的圆上⟹ 点 E 是两圆交点，‎ 易得△BEC≌△PAB⟹BP＝BC＝6 而 BE＝ 62 香 42＝2 5‎ ‎∴t＝PD＝PE＝6－2 5‎ 也可以利用翻折得到∠DPC＝∠EPC，结合∠DPC＝∠PCB⟹∠EPC＝∠PCB⟹BP＝BC＝‎ ‎6‎ （2） 点 E 的确定 点 E 到直线 BC 的距离等于 3，点 E 又在以 C 为圆心，CD 为半径的圆上à点 E 只能有图中两种情况，然后由点 E 的位置反推出点 P 的两个极限位置即可 由△P2DC∽△DHE2⟹ D‸2 ＝ DH ‎⟹ D‸2 ＝ 7‎ ‎⟹DP2＝4 7，若 DP2＞DA，则 E2 要舍去，‎ CD 只存在唯一的 E 点；‎ ‎E2H 4 7‎ 由△P1DC∽△DFE1⟹ D‸1 ＝ DF ‎⟹ D‸1 ＝ 1‎ ‎⟹DP1＝4 7，若 DP1＞DA，则 E1 和 E2 都要舍 去，不存在 E 点 ‎CD E1F 4 7 7‎ ‎∴P 点应在 P1P2 之间，477≤m＜4 7‎ 例 5－3、（16 年滨湖区一模）27．如图 1，∠AOB＝45°，点 P、Q 分别是边 OA、OB 上的两点，且 OP＝2cm．将∠O 沿 PO 折叠，点 O 落在平面内点 C 处．‎ （1） ‎①当 PC∥QB 时，OQ＝ ；‎ ‎②当 PC⊥QB 时，求 OQ 的长．‎ （2） 当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求 OQ 的长．‎ ‎【解答】（1）2；‎ ‎（2）2 2＋2，2 2－2；‎ （3） 符合条件的点 Q 共有 5 个． ‎ ‎①当点 C 在∠AOB 内部或一边上时，OQ＝2， 2，2 2‎ ‎②当点 C 在∠AOB 的外部时，OQ＝ 6＋ 2， 6－ 2‎ ‎〖点评〗本题的关键点在于根据翻折判断出点 C 的轨迹是以 P 为圆心，OP 为半径的圆， 难点在于分类要全面 ‎〖针对练习〗‎ ‎1、（2019 宿迁）26．如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB＝1，BC＝ 3，点 E 在边 CD 上移动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 AB′C′E，点 B、C 的对应点分别为点 B′、C′．‎ （1） 当 B′C′恰好经过点 D 时（如图 1），求线段 CE 的长；‎ （2） 若 B′C′分别交边 AD，CD 于点 F，G，且∠DAE＝22.5°（如图 2），求△DFG 的面积；‎ （3） 在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C′运动的路径长．‎ ‎【解答】（1）CE＝ 6－2；（2）5 香 6；（3）2 n ‎2 3‎ 题型六：翻折的构造 例 6－1、如图，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN 于点 H，且 MH＝2，NH＝3，求 AH 的长．‎ ‎【解答】方法一：根据定长对定角作辅助圆； 方法二：折叠，‎ 如答图，作两次轴对称得到正方形 ABCD，即而可得 AH＝6，‎ 例 6－2、如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是△ABC 内一点，且 AD＝AC，‎ BD＝CD，则∠ADB 的度数为（ ）‎ A．135° B．120° C．150° D．140°‎ ‎【解答】选 A，‎ 如答图，补成完整的正方形，显然∠ADB＝135°‎ 例 6－3、（18 年 4 月宜兴一模）9．如图，Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，在斜边 CB 上取两点 M、N（不包含 C、B 两点），且 tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1．设 MN＝x，BM＝n，CN＝‎ m，则以下结论不可能成立的是（ ）‎ A．m＝n B．x＝m＋n C．x＜m＋n D．x2＝m2＋n2‎ ‎【解答】选 D，‎ 方法一，构造旋转，如答图 1； 方法二，构造折叠，如答图 2；‎ 题型七：综合型 例 7－1、（14 年江南中学，10，03 年天津）如图，在△ABC 中，已知 AB＝2a，∠A＝30°，‎ CD 是 AB 边的中线，若将△ABC 沿 CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△B′CD 重叠 部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的1，有如下结论：①BC 的边长可以等于 a；②‎ ‎ 4‎ 折叠前的△ABC 的面积可以等于 3 2；③折叠前的△ABC 的面积可以等于 3 2；④折叠 ‎2 a 3 a 后，以 A、B′为端点的线段与中线 CD 一定平行且相等，其中正确的结论是（ ）‎ A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ 解：如图，设 B′D 与 AC 相交于 O，‎ ‎∵CD 是 AB 边的中线，‎ ‎∴S ACD＝S BCD＝1S ABC，‎ ‎△ △ 2 △‎ ‎∵重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的1，‎ ‎4‎ ‎∴点 O 是 AC、B′D 的中点，‎ ‎∴四边形 ADCB′是平行四边形，‎ ‎∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C＝AD，故④正确；‎ ‎∴B′C∥BD，B′C＝BD，‎ ‎∴四边形 BCB′D 是平行四边形， 由翻折变换的性质得，BC＝B′C，‎ ‎∴平行四边形 BCB′D 是菱形，‎ ‎∴BC＝BD＝1AB＝1×2a＝a，故①正确；‎ ‎2 2‎ 若 S△ABC＝ 3a2，‎ ‎2‎ ‎∵四边形 AB′CD 为平行四边形，‎ ‎∴S COD＝1S ACD＝1S ABC，满足条件，即 S ABC ‎△ 2 △ 4 △ △‎ 的值可以等于 3a2，故②正确，‎ ‎2‎ 假设折叠前的△ABC 的面积可以等于 3a2，设点 ‎3‎ C 到 AB 的距离为 h，‎ 则1×2ah＝ 3a2，解得 h＝ 3a， 3a2÷tan30°＝ 3a÷ 3＝a，‎ ‎2 3 3 3 3 3‎ ‎∴垂足为 AB 的中点 D，‎ ‎∴翻折后点 A、B 重合，不符合题意，‎ ‎∴假设不成立，则③错误．‎ 综上所述，正确的结论有①②④．‎ 故选：B．‎ 课后练习 ‎1、如图，矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝8，点 E 为 DC 上一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠， 若点 D 的对应点 D′，连接 D′B，以下结论中：‎ ‎①D′B 的最小值为 3；‎ ‎②当 DE＝5时，△ABD′是等腰三角形；‎ ‎2‎ ‎③当 DE＝2 时，△ABD′是直角三角形；‎ ‎④△ABD′不可能是等腰直角三角形；‎ 其中正确的有 ．（填上你认为正确结论的序号）‎ ‎【解答】①②④‎ ‎2、如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 E、F 分别在 AD、BC 上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：①四边形 CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH；③线段 BF 的取值范围为 3≤BF≤4；‎ ‎④当点 H 与点 A 重合时，EF＝2 5．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】选C ‎3、（2019 年无锡）10．如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点 D 是 BC 边的中点，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ）‎ A．2 B．5‎ ‎4‎ ‎C．5‎ ‎3‎ ‎D．7‎ ‎5‎ ‎【解答】选 D ‎3、（18 年省锡中二模）27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2－2ax＋c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB＝4，又 P 是第一象限抛物线上的一点，抛物线对称轴交 x 轴于点 F，交直线 AP 于点 E，AE：EP＝1：2．‎ （1） 求点 A、点 B 的坐标；‎ （2） 直线 AP 交 y 轴于点 G，若 CG＝5 3，求此抛物线的解析式；‎ ‎3‎ （3） 在（2）的条件下，若点 D 是射线 AP 上一动点，沿着 DF 翻折△ADF 得到△A′DF（点 A 的对应点为 A′），△A′DF 与△ADB 重叠部分的面积为△ADB 的1，求此时△ADB 的面 ‎4‎ 积．‎ ‎【解答】（1）A（－1，0），B（3，0）；（2）y＝ 3x2－2 3x－ 3；‎ ‎3 3‎ ‎（3）如答图 1，S ADB＝8 7‎ ‎7‎ 答图 1 答图 2‎ 注：如果把题目改为“D 点在直线 AP 上”，则有如答图 2 的另一种情况 图形性质与图形间关系的发现，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐、使这种观察更具眼力．‎