中考压轴题及答案图形的旋转 23页

初三数学中考压轴题复习——图形的旋转 一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）‎ ‎1．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．‎ ‎（1）求证：△MNC是直角三角形；‎ ‎（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；‎ ‎②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．‎ ‎2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，‎ ‎（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．‎ ‎①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；‎ ‎②当时，求AD的长．‎ ‎3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．‎ ‎（1）求证：MN∥DE；‎ ‎（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；‎ ‎②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．‎ ‎4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．‎ ‎（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=　_________　°；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；‎ ‎（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．‎ ‎5．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．‎ ‎（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．‎ ‎（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．‎ ‎6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．‎ ‎（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．‎ ‎（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF=x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎7．（10分）把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．‎ ‎（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值；‎ ‎（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；‎ ‎（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．‎ ‎8．（10分）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．‎ ‎（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；‎ ‎（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；‎ ‎（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．‎ ‎9．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．‎ ‎（1）当α=30°时，求x的值．‎ ‎（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．‎ ‎10．（10分）操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．‎ 探究：（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为　_________　，周长　_________　．‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．‎ ‎（3）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．‎ 答案与评分标准 一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）‎ ‎1．（10分）（2008•邵阳）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．‎ ‎（1）求证：△MNC是直角三角形；‎ ‎（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；‎ ‎②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．‎ 考点：二次函数综合题；勾股定理的逆定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；‎ ‎（2）由于△MNC是直角三角形，则有S△MNC=MN•CN，而MC=4﹣x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN，就可求得S△MNC的函数关系式．‎ ‎（3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S△MNC的函数关系式，确定S△MNC与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=S△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．‎ 解答：解：（1）MN∥DE，∴，‎ 又∵AD=AB，AE=AC，∴，‎ 又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，‎ ‎∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，‎ ‎∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，‎ ‎∴AC=2，AB=2，‎ ‎∴△ABM∽△ACN，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴S△MNC=MN•CN=（4﹣x）•x=（4x﹣x2）（0＜x＜4）．‎ ‎（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，‎ ‎∵△ABM∽△ACN，‎ ‎∴，∴AM=MB．‎ ‎∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．‎ 又∵∠ACB=90°﹣30°=60°‎ ‎∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=BC=2，即x=2．‎ S△MNC=（4x﹣x2）=，∵S△ABC=AB•AC=2，‎ ‎∴S△MNC=S△ABC．‎ ‎②当S△MNC=S△ABC时 ‎∴S△MNC=（4x﹣x2）=解得x=1或x=3．‎ ‎（i）当x=1时，‎ 在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，∴MN==‎ ‎∵，即AN＞NC，‎ ‎∴直线AD与⊙相离．‎ ‎（ii）当x=3时，‎ 同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1‎ ‎∴NC＞AN ‎∴直线AD与⊙相交．‎ 点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质求解，运用了分类讨论的思想．‎ ‎2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，‎ ‎（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．‎ ‎①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；‎ ‎②当时，求AD的长．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例。‎ 专题：压轴题；数形结合；分类讨论。‎ 分析：（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；‎ ‎（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得（0＜x＜2）；‎ ‎②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2．‎ 解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°．（1分）‎ 由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB ‎∴△B′BC为等边三角形．（2分）‎ ‎∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）‎ ‎（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．‎ ‎∵DE∥A'B'，‎ ‎∴．（1分）‎ 由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．‎ ‎∴，（1分）‎ ‎∴．‎ ‎∴△CAD∽△CBE；（1分）‎ ‎∴．‎ ‎∵∠A=30°‎ ‎∴=．（1分）‎ ‎∴（0＜x＜2）（2分）‎ ‎②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．‎ AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，‎ ‎∵DE∥A′B′，‎ ‎∴，‎ 由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴△CAD∽△CBE，‎ ‎∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，‎ ‎∴∠DBE=90°．‎ 此时，．‎ 当S=时，．‎ 整理，得x2﹣2x+1=0．‎ 解得x1=x2=1，即AD=1．（2分）‎ 当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．‎ 仍设AD=x，则BD=x﹣2，∠DBE=90°，．‎ 当S=时，．‎ 整理，得x2﹣2x﹣1=0．‎ 解得，（负值，舍去）．‎ 即．（2分）‎ 综上所述：AD=1或．‎ 点评：本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．‎ ‎3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．‎ ‎（1）求证：MN∥DE；‎ ‎（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；‎ ‎②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．‎ 考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质。‎ 分析：（1）由题意推出∠B=∠NCA，通过求证△ABM∽△ACN，根据对应边成比例，通过等量代换推出AM：AD=AN：AE，即可得MN∥DE，（2）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，通过求证△ABM∽△ACN，确定出CN，MC的值后，即可推出S△MNC与S△ABC之间的关系；②首先确定若S△MNC=S△ABC时，探求直线AD与⊙N的各种位置，设BE=x，根据题意求出x的值，然后讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．‎ 解答：（1）证明：∵∠MCN=90°，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，‎ ‎∴∠B=∠NCA，‎ ‎∵∠BAM=∠CAN，‎ ‎∴△ABM∽△ACN，‎ ‎∴AM：AB=AN：AC，‎ ‎∵AB=AD，AE=AC，‎ ‎∴AM：AD=AN：AE，‎ ‎∴MN∥DE，‎ ‎（2）解：①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，‎ ‎∵△ABM∽△ACN，‎ ‎∴BM：CN=AB：AC，AM：AN=MB：NC，‎ ‎∴AM=MB，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴∠α=30°，∠AMC=60°，‎ ‎∵AC=2，‎ ‎∴BC=4，AB=2，‎ ‎∵BM：CN=AB：AC，‎ 又∵∠ACB=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△AMC是等边三角形，‎ ‎∴AM=MC=AC=2，‎ ‎∴MB=2，‎ ‎∵BM：CN=AB：AC，‎ ‎∴CN=，‎ ‎∴S△MNC==，S△ABC=AB•AC=2，‎ ‎∴S△MNC=S△ABC，‎ ‎②若S△MNC=S△ABC时，探求直线AD与⊙N的各种位置，‎ 设BM=x，‎ ‎∴S△MNC=MC•NC=•2，‎ ‎∵BM：CN=AB：AC，‎ ‎∴CN=，‎ ‎∴（4﹣x）×=‎ ‎∴解得x=1或x=3．‎ ‎（i）当x=1时，‎ 在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，‎ ‎∴MN2=NC2+MC2，‎ ‎∴MN=，‎ ‎∵MN∥DE，‎ ‎∴AN：AE=MN：DE，‎ ‎∴AN=，‎ ‎∵CN=‎ ‎∵＞，即AN＞NC，‎ ‎∴直线AD与⊙相离．‎ ‎（ii）当x=3时，‎ ‎∴NC=3，‎ 在Rt△MNC中，MC=4﹣3=1，‎ ‎∴MN=2，‎ ‎∵MN∥DE，‎ ‎∴AN：AE=MN：DE，‎ ‎∴AN=1，‎ ‎∵3＞1，‎ ‎∴NC＞AN，‎ ‎∴直线AD与⊙相交．‎ 点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式，直角三角形的性质、圆与直线的位置关系、切线的性质等知识点的综合运用能力，关键在于运用了分类讨论的思想进行分析、通过求证相关三角形相似，推出对应边成比例，熟练运用等量代换、认真求出相关线段的长度．‎ ‎4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．‎ ‎（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=　60　°；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；‎ ‎（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．‎ 考点：直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）有旋转可得出∠α；‎ ‎（2）①如图1，点D在AB边上时，m=2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°．从而得出m的值；‎ ‎（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2，得出直线A′C与⊙E相交．‎ 解答：解：（1）当A′B′过点B时，α=60°；‎ ‎（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m=2；‎ ‎②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．‎ 证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．‎ ‎∵DE∥A′B′，‎ ‎∴．‎ 由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．‎ ‎∴．‎ ‎∴△CAD∽△CBE．‎ ‎∴∠A=∠CBE=30°．‎ ‎∵点D在AB边上，∠CBD=60°，‎ ‎∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．‎ ‎②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．‎ 与①同理可得∠A=∠CBE=30°．‎ ‎∵点D在AB的延长线上，∠CBD=180°﹣∠CBA=120°，‎ ‎∴∠CBD=4∠CBE，‎ 即m=4；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，‎ ‎∴AB=2，，．‎ 由△CAD∽△CBE得．‎ ‎∵AD=x，‎ ‎∴，．‎ ‎①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，∠DBE=90°．‎ 此时，．‎ 当S=时，．‎ 整理，得x2﹣2x+1=0．‎ 解得x1=x2=1，即AD=1．‎ 此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如图3）‎ ‎∴EC=EB．‎ ‎∵∠A′CB′=90°，点E在CB′边上，‎ ‎∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．‎ ‎∴直线A′C与⊙E相切．‎ ‎②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2，∠DBE=90°．（如图2）.．‎ 当S=时，．‎ 整理，得x2﹣2x﹣1=0．‎ 解得，（负值，舍去）．‎ 即．‎ 此时∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，‎ ‎∴∠CBE＜∠BCE．‎ ‎∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．‎ ‎∴直线A′C与⊙E相交．‎ 点评：本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．‎ ‎5．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．‎ ‎（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．‎ ‎（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．‎ 考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，证明△BED≌△AGD，可以得出∠GAD=∠B，AG=BE，由∠BAC+∠B=90°，得出∠GAF=90°，得出△GAF是直角三角形，∵MD⊥DN，GD=DE，得出FG=EF，由勾股定理就可以得出AG2+AF2=FG2，从而得出结论．‎ ‎（2）作FR⊥AB，ES⊥AB分别于R、S，再Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR，从而可以表示出△FAD的面积，由勾股定理，得CF2+CE2=EF2，再由（1）的结论建立等量关系表示出BE，从而求出ES，就可以表示出△EDB的面积，进而可以表示出y的值．‎ ‎（3）作AP⊥MD，交MD的延长线于点P，由条件可以求出AP=，DE=2，EC=4，可以求出△ACE的面积，然后用S△AHC+S△CHE=S△AEC建立等量关系可以求出CH的值，再减去CD的值就求出了DH．‎ 解答：解：（1）线段EF与AF、BE的关系为：EF2=AF2+BE2．理由如下：‎ 延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1，‎ ‎∵FD⊥GN，‎ ‎∴FG=EF．‎ ‎∵D是AB中点，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵∠ADG=∠EDB，‎ ‎∴△BED≌△AGD，‎ ‎∴AG=BE，∠GAD=∠B．‎ ‎∵△ABC是直角三角形，‎ ‎∴∠BAC+∠B=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠DAG=90°，‎ ‎∴AG2+AF2=FG2．‎ ‎∴EF2=AF2+BE2．‎ ‎（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3）‎ ‎∴∠FRA=∠ESB=90°．‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴∠SEB=30°，‎ ‎∴SB=BE，SE=SB．‎ ‎∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2，‎ ‎∵EF2=AF2+BE2，‎ ‎∴CF2+CE2=AF2+BE2，‎ ‎∵∠A=30°，BC=2，‎ ‎∴AB=4，AC=2，‎ ‎∴CF=2﹣x，CE=2﹣BE．‎ ‎∴（2﹣x）2+（2﹣BE）2=x2+BE2∴BE=4﹣x，‎ ‎∴SB=2﹣x，‎ ‎∴SE=2﹣x，‎ ‎∴y=×2×2﹣2×x•﹣×2×（2﹣x），‎ y=2﹣x﹣2+x，‎ y=x 当E点与C点重合时，ED=CD=2，DF=，则CF=，‎ ‎∴x=；‎ 当E点与B点重合时，AF=，‎ ‎∴x的取值范围为：≤x≤‎ ‎（3）作AP⊥MD，（如图2）‎ ‎∴AP=，‎ ‎∵CD=2，‎ ‎∴DE=2，EC=4，‎ ‎∴S△AHC+S△CHE=S△AEC．‎ ‎∴×CH+×CH×2=×4×2，‎ ‎∴CH=，‎ ‎∴DH=﹣2=‎ 点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，含30°的直角三角形的性质．‎ ‎6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．‎ ‎（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．‎ ‎（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF=x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。‎ 分析：（1）由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半．‎ ‎（2）过点D作DM⊥AB，则（3﹣x）（0≤x≤3且x≠）．‎ ‎（3）分两种情况：①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．则y=x+（1＜x≤2）；‎ ‎②如图②，过点D作AC的垂线，垂足为N，则y=﹣x（2＜x≤3）．‎ 解答：解：（1）．‎ ‎（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，（3﹣x）（0≤x≤3且x≠）．‎ ‎（3）①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．‎ ‎∵AB=AC=3，∠BAC=90°，‎ ‎∴BC=3．‎ ‎∵BD=2CD，‎ ‎∴BD=2，CD=．‎ 易得DN=1，DM=2，‎ 易证∠EDM=∠FDN，‎ ‎∵∠DME=∠DNF=90°，‎ ‎∴△DME∽△DNF．‎ ‎∴．‎ ‎∴ME=2（x﹣1）．‎ ‎∴AE=2（x﹣1）+1=2x﹣1．‎ ‎∴．‎ ‎②如图③，过点D作AC的垂线，垂足为N，‎ ‎∵AB=AC=3，∠BAC=90°，‎ ‎∴BC=3．‎ ‎∵BD=2CD，‎ ‎∴BD=2，CD=．‎ 易得DN=1，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根据实际问题列一次函数的关系式．‎ ‎7．（10分）把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．‎ ‎（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值；‎ ‎（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；‎ ‎（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质。‎ 分析：（1）根据30°的直角三角形的三边关系，利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度，利用三角形的中位线可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值．‎ ‎（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变．‎ ‎（3）△GKH是直角三角形，两直角边的比知道，可以把GK也用x的式子表示出来，最后直接利用三角形的面积公式就可以求出函数的解析式．‎ ‎（4）当逆时针旋转30°或90°时，如图就可以证明△EGH≌△FBH，得到∠GEK=∠GFB，从而得到∠FGB=∠GFB，得到边相等，得出结论，旋转90°时 也是得出∠BGF=∠F，而得到结论．‎ 解答：解：（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°‎ ‎∴AC=AB，EG=EF ‎∵AB=EF=4‎ ‎∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得 BC=GF=2‎ ‎∵GE⊥AC，GF⊥BC ‎∴GE∥BC，GF∥AC ‎∵G是AB的中点 ‎∴K，H分别是AC、CB的中点 ‎∴GK，GH是△ABC的中位线 ‎∴GK=BC=‎ GH=AC=1‎ ‎∴GH：GK=1；‎ ‎（2）不变，‎ 作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，‎ ‎∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知：‎ ‎∠2=∠1‎ ‎∴△GMK∽△GNH ‎∴‎ ‎∵GN：GM=1：‎ ‎∴GH：GK=1：‎ ‎∴旋转角α满足条件：0°＜α＜30°时，GH：GK的值比值不变．‎ ‎（3）连接KH，∵∠EGH=90°‎ ‎∴S△EGH=‎ ‎∵GH=x，且GH：GK=1：‎ ‎∴x：GK=1：‎ ‎∴GK=x ‎∴y=‎ ‎（），‎ ‎（4）存在，如下图，当α=30°或α=90°时，△BFG是等腰三角形．‎ 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的运用．‎ ‎8．（10分）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．‎ ‎（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；‎ ‎（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；‎ ‎（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．‎ 考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。‎ 分析：（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；‎ ‎（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在三角形CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角三角形BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；‎ ‎（3）可通过证明四边形EPFA是平行四边形来得出PE=AF，从而求出PE的长，证明平行四边形的关键是证∠AEP=∠AFP．可先通过证三角形BEP和CFP是等边三角形从而得出∠BEP=∠PFC=60°来实现．‎ 解答：解：（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，‎ 因此直角三角形PEB中，BE=BP=BC=PC，‎ ‎∴∠BPE=30°，‎ ‎∵∠EPF=60°，‎ ‎∴FP⊥BC，‎ ‎∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，‎ ‎∴△BEP≌△CPF，‎ ‎∴EP=PF，‎ ‎∵∠EPF=60°，‎ ‎∴△EPF是等边三角形．‎ ‎（2）过E作EH⊥BC于H，‎ 由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=BC=4，BE=CP=BC=2，‎ 在三角形FCP中，∠PFC=90﹣∠C=30°，‎ ‎∵∠PFE=60°，‎ ‎∴∠GFC=90°，‎ 直角三角形FGC中，∠C=60°，CF=4，‎ ‎∴GC=2CF=8，‎ ‎∴GB=GC﹣BC=2，‎ 直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，‎ ‎∴PE=2，BE=2，‎ ‎∴EH=BE•PE÷BP=，‎ ‎∴S△GBE=BG•EH=；‎ ‎（3）∵CF=2，AC=6，‎ ‎∴CF=AC=PC，‎ ‎∴△CPF是等边三角形，‎ ‎∴∠FPC=60°，‎ ‎∴∠BPE=180°﹣60°﹣60°=60°，‎ 又∵∠B=60°，‎ ‎∴△EBP是等边三角形，‎ ‎∴∠BEP=∠PFC=60°，‎ ‎∴∠PEA=∠PFA，‎ ‎∵∠A=∠EPF=60°，‎ ‎∴四边形EPFA是平行四边形，‎ ‎∴PE=AF=6﹣2=4．‎ 点评：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．‎ ‎9．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．‎ ‎（1）当α=30°时，求x的值．‎ ‎（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．‎ 考点：锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；压轴题；数形结合。‎ 分析：（1）根据等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；‎ ‎（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；‎ ‎（3）当S=时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．‎ 解答：解：（1）∵∠A=a=30°，‎ 又∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠BCD=60°．‎ ‎∴AD=BD=BC=1．‎ ‎∴x=1．‎ ‎（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠A=∠CBE=30°．‎ ‎∴AC=BC=，AB=2BC=2．‎ 由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，‎ ‎∠ACD=∠BCE，‎ ‎∴△ADC∽△BEC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=x．‎ ‎∵BD=2﹣x，‎ ‎∴s=×x（2﹣x）=﹣x2+x．（0＜x＜2）‎ ‎（3）∵s=s△ABC ‎∴﹣+=，‎ ‎∴4x2﹣8x+3=0，‎ ‎∴，．‎ ‎①当x=时，BD=2﹣=，BE=×=．‎ ‎∴DE==．‎ ‎∵DE∥A′B′，‎ ‎∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．‎ ‎∴EC=DE=＞BE，‎ ‎∴此时⊙E与A′C相离．‎ 过D作DF⊥AC于F，则，．‎ ‎∴．‎ ‎∴． （12分）‎ ‎②当时，，．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴此时⊙E与A'C相交． ‎ 同理可求出．‎ 点评：本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．‎ ‎10．（10分）操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．‎ 探究：（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为　4　，周长　8　．‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．‎ ‎（3）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）根据点P是AB的中点可判断出PD、PE是△ABC的中位线，继而可得出PD、PE的长度，也可得出四边形DCEP的周长和面积．‎ ‎（2）先根据图形可猜测PD=PE，从而连接CP，通过证明△PCD≌△PEB，可得出结论．‎ ‎（3）题目只要求是等腰三角形，所以需要分三种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出．‎ 解答：解：（1）根据△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，‎ ‎∵PD⊥AC，PE⊥BC，‎ ‎∴PD∥BC，PE∥AC，‎ 又∵点P是AB中点，‎ ‎∴PD、PE是△ABC的中位线，‎ ‎∴PD=CE=2，PE=CD=2，‎ ‎∴四边形DCEP是正方形，面积为2×2=4，周长为2+2+2+4=8；‎ ‎（2）证明如下，AC=BC，∠C=90°，P为AB中点，连接CP，‎ ‎∴CP平分∠C，CP⊥AB，‎ ‎∵∠PCB=∠B=45°，‎ ‎∴CP=PB，‎ ‎∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，‎ ‎∴∠DPC=∠EPB，‎ 在△PCD和△PEB中，，‎ ‎∴△PCD≌△PBE（ASA），‎ ‎∴PD=PE．‎ ‎（3）△PBE是等腰三角形，‎ ‎①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；‎ ‎②1）当PB=BE时，E在线段BC上，，2）E在CB的延长线上，；‎ ‎③当PE=BE时，CE=1．‎ 点评：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定，第三问的解答应分情况进行论证，不能漏解，有一定难度．‎