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  • 2021-05-11 发布

中考压轴题及答案图形的旋转

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初三数学中考压轴题复习——图形的旋转 一.解答题(共10小题,满分100分,每小题10分)‎ ‎1.(10分)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转α解(0°<α<90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,过点M作MN∥DE交AE于点N,连接NC.设BC=4,BM=x,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC.‎ ‎(1)求证:△MNC是直角三角形;‎ ‎(2)试求用x表示S△MNC的函数关系式,并写出x的取值范围;‎ ‎(3)以点N为圆心,NC为半径作⊙N,‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时,试探求S△MNC与S△ABC之间的关系;‎ ‎②当S△MNC=S△ABC时,试判断直线AD与⊙N的位置关系,并说明理由.‎ ‎2.(10分)直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A′B′C,‎ ‎(1)如图,当A′B′边经过点B时,求旋转角α的度数;‎ ‎(2)在三角板旋转的过程中,边A′C与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E,连接BE.‎ ‎①当0°<α<90°时,设AD=x,BE=y,求y与x之间的函数解析式及定义域;‎ ‎②当时,求AD的长.‎ ‎3.(10分)将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转a角(0°∠a∠90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,在AE上取点N,使∠MCN=90°.设AC=2,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC.‎ ‎(1)求证:MN∥DE;‎ ‎(2)以点N为圆心,NC为半径作⊙N,‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时,试S△MNC与S△ABC之间的关系;‎ ‎②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时,试探求直线AD与⊙N的各种位置.‎ ‎4.(10分)含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E,连接BE.‎ ‎(1)如图1,当A'B'边经过点B时,α= _________ °;‎ ‎(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;‎ ‎(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系.‎ ‎5.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,D是AB中点,等腰直角三角板的直角顶点落在点D上,使三角板绕点D旋转.‎ ‎(1)如图1,当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时,线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明.‎ ‎(2)如图1,设AF=x,四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围.‎ ‎(3)在旋转过程中,当三角板一边DM经过点C时,另一边DN交CB延长线于点E,连接AE与CD延长线交于H,如图2,求DH的长.‎ ‎6.(10分)已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.‎ ‎(1)如图①,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果).‎ ‎(2)如图②,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.‎ ‎(3)若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F,另一条直角边交射线AB于点E.设CF=x(x>1),重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.‎ ‎7.(10分)把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF长均为4.‎ ‎(1)当EG⊥AC于点K,GF⊥BC于点H时(如图①),求GH:GK的值;‎ ‎(2)现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:0°<α<30°(如图②),EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你发现的结论;‎ ‎(3)在②下,连接HK,在上述旋转过程中,设GH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(4)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时,0°<α≤90°,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形?若存在,请直接写出相应的旋转角α;若不存在,说明理由.‎ ‎8.(10分)等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.‎ ‎(1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;‎ ‎(2)在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积;‎ ‎(3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长.‎ ‎9.(10分)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S.‎ ‎(1)当α=30°时,求x的值.‎ ‎(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;‎ ‎(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=时,判断⊙E与A′C的位置关系,并求相应的tanα值.‎ ‎10.(10分)操作:在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.‎ 探究:(1)如图①,PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,则重叠部分四边形DCEP的面积为 _________ ,周长 _________ .‎ ‎(2)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明.‎ ‎(3)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由.‎ 答案与评分标准 一.解答题(共10小题,满分100分,每小题10分)‎ ‎1.(10分)(2008•邵阳)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转α解(0°<α<90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,过点M作MN∥DE交AE于点N,连接NC.设BC=4,BM=x,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC.‎ ‎(1)求证:△MNC是直角三角形;‎ ‎(2)试求用x表示S△MNC的函数关系式,并写出x的取值范围;‎ ‎(3)以点N为圆心,NC为半径作⊙N,‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时,试探求S△MNC与S△ABC之间的关系;‎ ‎②当S△MNC=S△ABC时,试判断直线AD与⊙N的位置关系,并说明理由.‎ 考点:二次函数综合题;勾股定理的逆定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质。‎ 专题:综合题;压轴题;分类讨论。‎ 分析:(1)利用平行线的性质和等量代换,易得△ABM∽△ACN,再由等量代换得到∠MCN=90°即可;‎ ‎(2)由于△MNC是直角三角形,则有S△MNC=MN•CN,而MC=4﹣x,故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN,就可求得S△MNC的函数关系式.‎ ‎(3)①当直线AD与⊙N相切时,利用AN=NC,确定出CN的值后,用2中的S△MNC的函数关系式,确定S△MNC与S△ABC之间的关系;②当S△MNC=S△ABC时,求得x的值,讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系.‎ 解答:解:(1)MN∥DE,∴,‎ 又∵AD=AB,AE=AC,∴,‎ 又∵∠BAM=∠CAN,∴△ABM∽△ACN,‎ ‎∴∠B=∠NCA,∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°,‎ ‎∴∠MCN=90°.即△MNC是直角三角形.‎ ‎(2)在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,BC=4,‎ ‎∴AC=2,AB=2,‎ ‎∴△ABM∽△ACN,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴S△MNC=MN•CN=(4﹣x)•x=(4x﹣x2)(0<x<4).‎ ‎(3)①直线AD与⊙N相切时,则AN=NC,‎ ‎∵△ABM∽△ACN,‎ ‎∴,∴AM=MB.‎ ‎∵∠B=30°∴∠α=30°,∠AMC=60°.‎ 又∵∠ACB=90°﹣30°=60°‎ ‎∴△AMC是等边三角形,有AM=MC=BM=BC=2,即x=2.‎ S△MNC=(4x﹣x2)=,∵S△ABC=AB•AC=2,‎ ‎∴S△MNC=S△ABC.‎ ‎②当S△MNC=S△ABC时 ‎∴S△MNC=(4x﹣x2)=解得x=1或x=3.‎ ‎(i)当x=1时,‎ 在Rt△MNC中,MC=4﹣x=3,∴MN==‎ ‎∵,即AN>NC,‎ ‎∴直线AD与⊙相离.‎ ‎(ii)当x=3时,‎ 同理可求出,NC=,MC=1,MN=2,AN=1‎ ‎∴NC>AN ‎∴直线AD与⊙相交.‎ 点评:本题利用了平行线的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式,直角三角形的性质求解,运用了分类讨论的思想.‎ ‎2.(10分)直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A′B′C,‎ ‎(1)如图,当A′B′边经过点B时,求旋转角α的度数;‎ ‎(2)在三角板旋转的过程中,边A′C与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E,连接BE.‎ ‎①当0°<α<90°时,设AD=x,BE=y,求y与x之间的函数解析式及定义域;‎ ‎②当时,求AD的长.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;旋转的性质;平行线分线段成比例。‎ 专题:压轴题;数形结合;分类讨论。‎ 分析:(1)由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°;‎ ‎(2)①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图).根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE;根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得(0<x<2);‎ ‎②先求得△ABC的面积,再由△CAD∽△CBE,求得BE,分情况讨论:当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x;当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x﹣2.‎ 解答:解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,‎ ‎∴∠ABC=60°.(1分)‎ 由旋转可知:B′C=BC,∠B′=∠ABC=60°,∠α=∠B′CB ‎∴△B′BC为等边三角形.(2分)‎ ‎∴∠α=∠B′CB=60°.(1分)‎ ‎(2)①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图).‎ ‎∵DE∥A'B',‎ ‎∴.(1分)‎ 由旋转性质可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴,(1分)‎ ‎∴.‎ ‎∴△CAD∽△CBE;(1分)‎ ‎∴.‎ ‎∵∠A=30°‎ ‎∴=.(1分)‎ ‎∴(0<x<2)(2分)‎ ‎②当0°<α<90°时,点D在AB边上.‎ AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x,‎ ‎∵DE∥A′B′,‎ ‎∴,‎ 由旋转性质可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴△CAD∽△CBE,‎ ‎∴∠EBC=∠A=30°,又∠CBA=60°,‎ ‎∴∠DBE=90°.‎ 此时,.‎ 当S=时,.‎ 整理,得x2﹣2x+1=0.‎ 解得x1=x2=1,即AD=1.(2分)‎ 当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图).‎ 仍设AD=x,则BD=x﹣2,∠DBE=90°,.‎ 当S=时,.‎ 整理,得x2﹣2x﹣1=0.‎ 解得,(负值,舍去).‎ 即.(2分)‎ 综上所述:AD=1或.‎ 点评:本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识.解决本题的关键是结合图形,分类讨论.‎ ‎3.(10分)将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)绕其直角顶点A逆时针旋转a角(0°∠a∠90°),得到Rt△ADE,AD与BC相交于点M,在AE上取点N,使∠MCN=90°.设AC=2,△MNC的面积为S△MNC,△ABC的面积为S△ABC.‎ ‎(1)求证:MN∥DE;‎ ‎(2)以点N为圆心,NC为半径作⊙N,‎ ‎①当直线AD与⊙N相切时,试S△MNC与S△ABC之间的关系;‎ ‎②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时,试探求直线AD与⊙N的各种位置.‎ 考点:切线的性质;圆周角定理;直线与圆的位置关系;旋转的性质。‎ 分析:(1)由题意推出∠B=∠NCA,通过求证△ABM∽△ACN,根据对应边成比例,通过等量代换推出AM:AD=AN:AE,即可得MN∥DE,(2)①当直线AD与⊙N相切时,利用AN=NC,通过求证△ABM∽△ACN,确定出CN,MC的值后,即可推出S△MNC与S△ABC之间的关系;②首先确定若S△MNC=S△ABC时,探求直线AD与⊙N的各种位置,设BE=x,根据题意求出x的值,然后讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系.‎ 解答:(1)证明:∵∠MCN=90°,∠BAC=90°,‎ ‎∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°,‎ ‎∴∠B=∠NCA,‎ ‎∵∠BAM=∠CAN,‎ ‎∴△ABM∽△ACN,‎ ‎∴AM:AB=AN:AC,‎ ‎∵AB=AD,AE=AC,‎ ‎∴AM:AD=AN:AE,‎ ‎∴MN∥DE,‎ ‎(2)解:①直线AD与⊙N相切时,则AN=NC,‎ ‎∵△ABM∽△ACN,‎ ‎∴BM:CN=AB:AC,AM:AN=MB:NC,‎ ‎∴AM=MB,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∵∠B=30°,‎ ‎∴∠α=30°,∠AMC=60°,‎ ‎∵AC=2,‎ ‎∴BC=4,AB=2,‎ ‎∵BM:CN=AB:AC,‎ 又∵∠ACB=90°﹣30°=60°,‎ ‎∴△AMC是等边三角形,‎ ‎∴AM=MC=AC=2,‎ ‎∴MB=2,‎ ‎∵BM:CN=AB:AC,‎ ‎∴CN=,‎ ‎∴S△MNC==,S△ABC=AB•AC=2,‎ ‎∴S△MNC=S△ABC,‎ ‎②若S△MNC=S△ABC时,探求直线AD与⊙N的各种位置,‎ 设BM=x,‎ ‎∴S△MNC=MC•NC=•2,‎ ‎∵BM:CN=AB:AC,‎ ‎∴CN=,‎ ‎∴(4﹣x)×=‎ ‎∴解得x=1或x=3.‎ ‎(i)当x=1时,‎ 在Rt△MNC中,MC=4﹣x=3,‎ ‎∴MN2=NC2+MC2,‎ ‎∴MN=,‎ ‎∵MN∥DE,‎ ‎∴AN:AE=MN:DE,‎ ‎∴AN=,‎ ‎∵CN=‎ ‎∵>,即AN>NC,‎ ‎∴直线AD与⊙相离.‎ ‎(ii)当x=3时,‎ ‎∴NC=3,‎ 在Rt△MNC中,MC=4﹣3=1,‎ ‎∴MN=2,‎ ‎∵MN∥DE,‎ ‎∴AN:AE=MN:DE,‎ ‎∴AN=1,‎ ‎∵3>1,‎ ‎∴NC>AN,‎ ‎∴直线AD与⊙相交.‎ 点评:本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式,直角三角形的性质、圆与直线的位置关系、切线的性质等知识点的综合运用能力,关键在于运用了分类讨论的思想进行分析、通过求证相关三角形相似,推出对应边成比例,熟练运用等量代换、认真求出相关线段的长度.‎ ‎4.(10分)含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E,连接BE.‎ ‎(1)如图1,当A'B'边经过点B时,α= 60 °;‎ ‎(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;‎ ‎(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系.‎ 考点:直线与圆的位置关系;旋转的性质;相似三角形的判定与性质。‎ 专题:证明题。‎ 分析:(1)有旋转可得出∠α;‎ ‎(2)①如图1,点D在AB边上时,m=2;②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4.由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°.从而得出m的值;‎ ‎(3)先求得△ABC的面积,再由△CAD∽△CBE,求得BE,分情况讨论:①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x,得出直线A′C与⊙E相切.②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x﹣2,得出直线A′C与⊙E相交.‎ 解答:解:(1)当A′B′过点B时,α=60°;‎ ‎(2)猜想:①如图1,点D在AB边上时,m=2;‎ ‎②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4.‎ 证明:①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图1).‎ ‎∵DE∥A′B′,‎ ‎∴.‎ 由旋转性质可知,CA=CA′,CB=CB′,∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴.‎ ‎∴△CAD∽△CBE.‎ ‎∴∠A=∠CBE=30°.‎ ‎∵点D在AB边上,∠CBD=60°,‎ ‎∴∠CBD=2∠CBE,即m=2.‎ ‎②当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图2).‎ 与①同理可得∠A=∠CBE=30°.‎ ‎∵点D在AB的延长线上,∠CBD=180°﹣∠CBA=120°,‎ ‎∴∠CBD=4∠CBE,‎ 即m=4;‎ ‎(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,‎ ‎∴AB=2,,.‎ 由△CAD∽△CBE得.‎ ‎∵AD=x,‎ ‎∴,.‎ ‎①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB﹣AD=2﹣x,∠DBE=90°.‎ 此时,.‎ 当S=时,.‎ 整理,得x2﹣2x+1=0.‎ 解得x1=x2=1,即AD=1.‎ 此时D为AB中点,∠DCB=60°,∠BCE=30°=∠CBE.(如图3)‎ ‎∴EC=EB.‎ ‎∵∠A′CB′=90°,点E在CB′边上,‎ ‎∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB.‎ ‎∴直线A′C与⊙E相切.‎ ‎②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x﹣2,∠DBE=90°.(如图2)..‎ 当S=时,.‎ 整理,得x2﹣2x﹣1=0.‎ 解得,(负值,舍去).‎ 即.‎ 此时∠BCE=α,而90°<α<120°,∠CBE=30°,‎ ‎∴∠CBE<∠BCE.‎ ‎∴EC<EB,即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB.‎ ‎∴直线A′C与⊙E相交.‎ 点评:本题考查了直线和圆的位置关系,相似三角形的判定和性质以及旋转的性质,是一道综合题,难度较大.‎ ‎5.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,D是AB中点,等腰直角三角板的直角顶点落在点D上,使三角板绕点D旋转.‎ ‎(1)如图1,当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时,线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明.‎ ‎(2)如图1,设AF=x,四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围.‎ ‎(3)在旋转过程中,当三角板一边DM经过点C时,另一边DN交CB延长线于点E,连接AE与CD延长线交于H,如图2,求DH的长.‎ 考点:等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形。‎ 专题:计算题。‎ 分析:(1)延长ED至DG,使DG=DE,连接AG,FG,证明△BED≌△AGD,可以得出∠GAD=∠B,AG=BE,由∠BAC+∠B=90°,得出∠GAF=90°,得出△GAF是直角三角形,∵MD⊥DN,GD=DE,得出FG=EF,由勾股定理就可以得出AG2+AF2=FG2,从而得出结论.‎ ‎(2)作FR⊥AB,ES⊥AB分别于R、S,再Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR,从而可以表示出△FAD的面积,由勾股定理,得CF2+CE2=EF2,再由(1)的结论建立等量关系表示出BE,从而求出ES,就可以表示出△EDB的面积,进而可以表示出y的值.‎ ‎(3)作AP⊥MD,交MD的延长线于点P,由条件可以求出AP=,DE=2,EC=4,可以求出△ACE的面积,然后用S△AHC+S△CHE=S△AEC建立等量关系可以求出CH的值,再减去CD的值就求出了DH.‎ 解答:解:(1)线段EF与AF、BE的关系为:EF2=AF2+BE2.理由如下:‎ 延长ED至DG,使DG=DE,连接AG,FG,如图1,‎ ‎∵FD⊥GN,‎ ‎∴FG=EF.‎ ‎∵D是AB中点,‎ ‎∴AD=BD,‎ ‎∵∠ADG=∠EDB,‎ ‎∴△BED≌△AGD,‎ ‎∴AG=BE,∠GAD=∠B.‎ ‎∵△ABC是直角三角形,‎ ‎∴∠BAC+∠B=90°,‎ ‎∴∠BAC+∠DAG=90°,‎ ‎∴AG2+AF2=FG2.‎ ‎∴EF2=AF2+BE2.‎ ‎(2)作FR⊥AB,ES⊥AB,(如图3)‎ ‎∴∠FRA=∠ESB=90°.‎ ‎∵∠A=30°,‎ ‎∴∠B=60°,‎ ‎∴∠SEB=30°,‎ ‎∴SB=BE,SE=SB.‎ ‎∵在Rt△FCE中,由勾股定理,得,CF2+CE2=EF2,‎ ‎∵EF2=AF2+BE2,‎ ‎∴CF2+CE2=AF2+BE2,‎ ‎∵∠A=30°,BC=2,‎ ‎∴AB=4,AC=2,‎ ‎∴CF=2﹣x,CE=2﹣BE.‎ ‎∴(2﹣x)2+(2﹣BE)2=x2+BE2∴BE=4﹣x,‎ ‎∴SB=2﹣x,‎ ‎∴SE=2﹣x,‎ ‎∴y=×2×2﹣2×x•﹣×2×(2﹣x),‎ y=2﹣x﹣2+x,‎ y=x 当E点与C点重合时,ED=CD=2,DF=,则CF=,‎ ‎∴x=;‎ 当E点与B点重合时,AF=,‎ ‎∴x的取值范围为:≤x≤‎ ‎(3)作AP⊥MD,(如图2)‎ ‎∴AP=,‎ ‎∵CD=2,‎ ‎∴DE=2,EC=4,‎ ‎∴S△AHC+S△CHE=S△AEC.‎ ‎∴×CH+×CH×2=×4×2,‎ ‎∴CH=,‎ ‎∴DH=﹣2=‎ 点评:本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的运用,含30°的直角三角形的性质.‎ ‎6.(10分)已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.‎ ‎(1)如图①,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果).‎ ‎(2)如图②,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.‎ ‎(3)若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F,另一条直角边交射线AB于点E.设CF=x(x>1),重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;根据实际问题列一次函数关系式;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质。‎ 分析:(1)由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半.‎ ‎(2)过点D作DM⊥AB,则(3﹣x)(0≤x≤3且x≠).‎ ‎(3)分两种情况:①如图①,连接AD,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为M,N.则y=x+(1<x≤2);‎ ‎②如图②,过点D作AC的垂线,垂足为N,则y=﹣x(2<x≤3).‎ 解答:解:(1).‎ ‎(2)过点D作DM⊥AB,垂足为点M,(3﹣x)(0≤x≤3且x≠).‎ ‎(3)①如图①,连接AD,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为M,N.‎ ‎∵AB=AC=3,∠BAC=90°,‎ ‎∴BC=3.‎ ‎∵BD=2CD,‎ ‎∴BD=2,CD=.‎ 易得DN=1,DM=2,‎ 易证∠EDM=∠FDN,‎ ‎∵∠DME=∠DNF=90°,‎ ‎∴△DME∽△DNF.‎ ‎∴.‎ ‎∴ME=2(x﹣1).‎ ‎∴AE=2(x﹣1)+1=2x﹣1.‎ ‎∴.‎ ‎②如图③,过点D作AC的垂线,垂足为N,‎ ‎∵AB=AC=3,∠BAC=90°,‎ ‎∴BC=3.‎ ‎∵BD=2CD,‎ ‎∴BD=2,CD=.‎ 易得DN=1,‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根据实际问题列一次函数的关系式.‎ ‎7.(10分)把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF长均为4.‎ ‎(1)当EG⊥AC于点K,GF⊥BC于点H时(如图①),求GH:GK的值;‎ ‎(2)现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:0°<α<30°(如图②),EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你发现的结论;‎ ‎(3)在②下,连接HK,在上述旋转过程中,设GH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(4)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时,0°<α≤90°,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形?若存在,请直接写出相应的旋转角α;若不存在,说明理由.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;旋转的性质。‎ 分析:(1)根据30°的直角三角形的三边关系,利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度,利用三角形的中位线可以求出GK,和GH的值,可以求出其比值.‎ ‎(2)作GM⊥AC于M,GN⊥BC于N,利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变.‎ ‎(3)△GKH是直角三角形,两直角边的比知道,可以把GK也用x的式子表示出来,最后直接利用三角形的面积公式就可以求出函数的解析式.‎ ‎(4)当逆时针旋转30°或90°时,如图就可以证明△EGH≌△FBH,得到∠GEK=∠GFB,从而得到∠FGB=∠GFB,得到边相等,得出结论,旋转90°时 也是得出∠BGF=∠F,而得到结论.‎ 解答:解:(1)∵∠ACB=∠EGF=90°,∠B=∠F=30°‎ ‎∴AC=AB,EG=EF ‎∵AB=EF=4‎ ‎∴AC=EG=2,在Rt△ACB和Rt△EGF中,由勾股定理得 BC=GF=2‎ ‎∵GE⊥AC,GF⊥BC ‎∴GE∥BC,GF∥AC ‎∵G是AB的中点 ‎∴K,H分别是AC、CB的中点 ‎∴GK,GH是△ABC的中位线 ‎∴GK=BC=‎ GH=AC=1‎ ‎∴GH:GK=1;‎ ‎(2)不变,‎ 作GM⊥AC于M,GN⊥BC于N,‎ ‎∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知:‎ ‎∠2=∠1‎ ‎∴△GMK∽△GNH ‎∴‎ ‎∵GN:GM=1:‎ ‎∴GH:GK=1:‎ ‎∴旋转角α满足条件:0°<α<30°时,GH:GK的值比值不变.‎ ‎(3)连接KH,∵∠EGH=90°‎ ‎∴S△EGH=‎ ‎∵GH=x,且GH:GK=1:‎ ‎∴x:GK=1:‎ ‎∴GK=x ‎∴y=‎ ‎(),‎ ‎(4)存在,如下图,当α=30°或α=90°时,△BFG是等腰三角形.‎ 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,旋转的性质以及勾股定理的运用.‎ ‎8.(10分)等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.‎ ‎(1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;‎ ‎(2)在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积;‎ ‎(3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长.‎ 考点:等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。‎ 分析:(1)要证三角形EPF是等边三角形,已知了∠EPF=60°,主要再证得PE=PF即可,可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论,再证明全等过程中,可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现;‎ ‎(2)由(1)不难得出∠CFG=90°,那么在三角形CFG中,有∠C的度数,可以根据CF的长求出GC的长,从而求出GB的长,下面的关键就是求GB边上的高,过E作EH⊥BC,那么EH就是所求的高,在直角三角形BEP中,有BP的长,有∠ABC的度数,可以求出BE、EP的长,再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长,这样有了底和高就能求出△GBE的面积;‎ ‎(3)可通过证明四边形EPFA是平行四边形来得出PE=AF,从而求出PE的长,证明平行四边形的关键是证∠AEP=∠AFP.可先通过证三角形BEP和CFP是等边三角形从而得出∠BEP=∠PFC=60°来实现.‎ 解答:解:(1)∵PE⊥AB,∠B=60°,‎ 因此直角三角形PEB中,BE=BP=BC=PC,‎ ‎∴∠BPE=30°,‎ ‎∵∠EPF=60°,‎ ‎∴FP⊥BC,‎ ‎∵∠B=∠C=60°,BE=PC,∠PEB=∠FPC=90°,‎ ‎∴△BEP≌△CPF,‎ ‎∴EP=PF,‎ ‎∵∠EPF=60°,‎ ‎∴△EPF是等边三角形.‎ ‎(2)过E作EH⊥BC于H,‎ 由(1)可知:FP⊥BC,FC=BP=BC=4,BE=CP=BC=2,‎ 在三角形FCP中,∠PFC=90﹣∠C=30°,‎ ‎∵∠PFE=60°,‎ ‎∴∠GFC=90°,‎ 直角三角形FGC中,∠C=60°,CF=4,‎ ‎∴GC=2CF=8,‎ ‎∴GB=GC﹣BC=2,‎ 直角三角形BEP中∠EBP=60°,BP=4,‎ ‎∴PE=2,BE=2,‎ ‎∴EH=BE•PE÷BP=,‎ ‎∴S△GBE=BG•EH=;‎ ‎(3)∵CF=2,AC=6,‎ ‎∴CF=AC=PC,‎ ‎∴△CPF是等边三角形,‎ ‎∴∠FPC=60°,‎ ‎∴∠BPE=180°﹣60°﹣60°=60°,‎ 又∵∠B=60°,‎ ‎∴△EBP是等边三角形,‎ ‎∴∠BEP=∠PFC=60°,‎ ‎∴∠PEA=∠PFA,‎ ‎∵∠A=∠EPF=60°,‎ ‎∴四边形EPFA是平行四边形,‎ ‎∴PE=AF=6﹣2=4.‎ 点评:本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质,注意对全等三角形和等边三角形的应用.‎ ‎9.(10分)如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S.‎ ‎(1)当α=30°时,求x的值.‎ ‎(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;‎ ‎(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=时,判断⊙E与A′C的位置关系,并求相应的tanα值.‎ 考点:锐角三角函数的定义;根据实际问题列二次函数关系式;勾股定理;直线与圆的位置关系;旋转的性质;相似三角形的判定与性质。‎ 专题:综合题;压轴题;数形结合。‎ 分析:(1)根据等腰三角形的判定,∠A=∠α=30°,得出x=1;‎ ‎(2)由直角三角形的性质,AB=2,AC=,由旋转性质求得△ADC∽△BCE,根据比例关系式,求出S与x的函数关系式;‎ ‎(3)当S=时,求得x的值,判断⊙E和DE的长度大小,确定⊙E与A′C的位置关系,再求tanα值.‎ 解答:解:(1)∵∠A=a=30°,‎ 又∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠BCD=60°.‎ ‎∴AD=BD=BC=1.‎ ‎∴x=1.‎ ‎(2)∵∠DBE=90°,∠ABC=60°,‎ ‎∴∠A=∠CBE=30°.‎ ‎∴AC=BC=,AB=2BC=2.‎ 由旋转性质可知:AC=A′C,BC=B′C,‎ ‎∠ACD=∠BCE,‎ ‎∴△ADC∽△BEC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BE=x.‎ ‎∵BD=2﹣x,‎ ‎∴s=×x(2﹣x)=﹣x2+x.(0<x<2)‎ ‎(3)∵s=s△ABC ‎∴﹣+=,‎ ‎∴4x2﹣8x+3=0,‎ ‎∴,.‎ ‎①当x=时,BD=2﹣=,BE=×=.‎ ‎∴DE==.‎ ‎∵DE∥A′B′,‎ ‎∴∠EDC=∠A′=∠A=30°.‎ ‎∴EC=DE=>BE,‎ ‎∴此时⊙E与A′C相离.‎ 过D作DF⊥AC于F,则,.‎ ‎∴.‎ ‎∴. (12分)‎ ‎②当时,,.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴此时⊙E与A'C相交. ‎ 同理可求出.‎ 点评:本题考查的知识点:等腰三角形的判定,直角三角形的性质,相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定,是一道综合性较强的题目,难度大.‎ ‎10.(10分)操作:在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.‎ 探究:(1)如图①,PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,则重叠部分四边形DCEP的面积为 4 ,周长 8 .‎ ‎(2)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明.‎ ‎(3)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由.‎ 考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。‎ 专题:几何综合题。‎ 分析:(1)根据点P是AB的中点可判断出PD、PE是△ABC的中位线,继而可得出PD、PE的长度,也可得出四边形DCEP的周长和面积.‎ ‎(2)先根据图形可猜测PD=PE,从而连接CP,通过证明△PCD≌△PEB,可得出结论.‎ ‎(3)题目只要求是等腰三角形,所以需要分三种情况进行讨论,这样每一种情况下的CE的长也就不难得出.‎ 解答:解:(1)根据△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,‎ ‎∵PD⊥AC,PE⊥BC,‎ ‎∴PD∥BC,PE∥AC,‎ 又∵点P是AB中点,‎ ‎∴PD、PE是△ABC的中位线,‎ ‎∴PD=CE=2,PE=CD=2,‎ ‎∴四边形DCEP是正方形,面积为2×2=4,周长为2+2+2+4=8;‎ ‎(2)证明如下,AC=BC,∠C=90°,P为AB中点,连接CP,‎ ‎∴CP平分∠C,CP⊥AB,‎ ‎∵∠PCB=∠B=45°,‎ ‎∴CP=PB,‎ ‎∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°,‎ ‎∴∠DPC=∠EPB,‎ 在△PCD和△PEB中,,‎ ‎∴△PCD≌△PBE(ASA),‎ ‎∴PD=PE.‎ ‎(3)△PBE是等腰三角形,‎ ‎①当PE=PB时,此时点C与点E重合,CE=0;‎ ‎②1)当PB=BE时,E在线段BC上,,2)E在CB的延长线上,;‎ ‎③当PE=BE时,CE=1.‎ 点评:本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定,第三问的解答应分情况进行论证,不能漏解,有一定难度.‎