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  • 2021-05-11 发布

中考数学试题及答案分类汇编压轴题

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‎2012中考数学试题及答案分类汇编:压轴题 一、解答题 ‎1.(北京8分)如图,在平面直角坐标系O中,我把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注:不含AB线段).已知A(﹣1,0),B(1,0),AE∥BF,且半圆与轴的交点D在射线AE的反向延长线上.‎ ‎(1)求两条射线AE,BF所在直线的距离;‎ ‎(2)当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围;当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围;‎ ‎(3)已知AMPQ(四个顶点A,M,P,Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)连接AD、DB,则点D在直线AE上,如图1。‎ ‎ ∵点D在以AB为直径的半圆上,‎ ‎∴∠ADB=90°。∴BD⊥AD。‎ ‎ 在Rt△DOB中,由勾股定理得,BD=。∵AE∥BF,‎ ‎ ∴两条射线AE、BF所在直线的距离为。‎ ‎ (2)当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,‎ ‎ b的取值范围是b=或﹣1<b<1;‎ ‎ 当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,b的取值范围是1<b<‎ ‎ (3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ,根据点M的位置,分以下四种情况讨论:‎ ‎ ①当点M在射线AE上时,如图2.‎ ‎ ∵AMPQ四点按顺时针方向排列,∴直线PQ必在直线AM的上方。‎ ‎ ∴PQ两点都在弧AD上,且不与点A、D重合。 ∴0<PQ<。‎ ‎ ∵AM∥PQ且AM=PQ,∴0<AM<。∴﹣2<<﹣1。‎ ‎ ‎ ‎ ②当点M不在弧AD上时,如图3,‎ ‎ ∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列,‎ ‎ ∴直线PQ必在直线AM的下方,此时,不存在满足题意的平行四边形。‎ ‎ ③当点M在弧BD上时,设弧DB的中点为R,则OR∥BF,‎ ‎ 当点M在弧DR上时,如图4,‎ 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q,垂足为点S,可得S是MQ的中点.‎ ‎ ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。∴0≤<。‎ ‎ 当点M在弧RB上时,如图5,‎ 直线PQ必在直线AM的下方,此时不存在满足题意的平行四边形。‎ ‎ ④当点M在射线BF上时,如图6,‎ 直线PQ必在直线AM的下方,此时,不存在满足题意的平行四边形。‎ ‎ 综上,点M的横坐标x的取值范围是﹣2<<﹣1或0≤<。 ‎【考点】一次函数综合题,勾股定理,平行四边形的性质,圆周角定理。‎ ‎【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,从而判定三角形ADB为等腰直角三角形,其直角边的长等于两直线间的距离。‎ ‎ (2)利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量的取值范围即可。‎ ‎ (3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上,可能会出现四种情况,分类讨论即可。‎ ‎2.(天津10分)已知抛物线:.点F(1,1).‎ ‎ (Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标;‎ ‎ (Ⅱ) ①若抛物线与轴的交点为A.连接AF,并延长交抛物线于点B,求证:‎ ‎ ②抛物线上任意一点P())().连接PF.并延长交抛物线于点Q(),试判断是否成立?请说明理由;‎ ‎ (Ⅲ) 将抛物线作适当的平移.得抛物线:,若时.恒成立,求m的最大值.‎ ‎【答案】解: (I)∵,∴抛物线的顶点坐标为().‎ ‎(II)①根据题意,可得点A(0,1),‎ ‎∵F(1,1).∴AB∥轴.得 AF=BF=1,‎ ‎②成立.理由如下:‎ 如图,过点P作PM⊥AB于点M,则 ‎ FM=,PM=()。‎ ‎∴Rt△PMF中,有勾股定理,得 又点P()在抛物线上,得,即 ‎∴,即。‎ 过点Q()作QN⊥AB,与AB的延长线交于点N,‎ ‎ 同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°,∠MFP=∠NFQ,∴△PMF∽△QNF。‎ ‎ ∴,这里,。‎ ‎ ∴,即。‎ ‎ (Ⅲ) 令,设其图象与抛物线交点的横坐标为,,且<,‎ ‎ ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的,‎ ‎ 观察图象.随着抛物线向右不断平移,,的值不断增大,‎ ‎ ∴当满足,.恒成立时,m的最大值在处取得。‎ ‎ ∴当时.所对应的即为m的最大值。‎ ‎ ∴将带入,得。‎ 解得或(舍去)。‎ ‎∴。此时,,得 ‎。‎ 解得,。‎ ‎∴m的最大值为8。‎ ‎【考点】二次函数综合题,抛物线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,图象平移,解一元二次方程。‎ ‎【分析】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。‎ ‎ (II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。‎ ‎3.(河北省12分)如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为 A (1,0),B (1,﹣5),D (4,0).‎ ‎(1)求, (用含t的代数式表示):‎ ‎(2)当4<t<5时,设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.‎ ‎①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP的值;‎ ‎②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,;‎ ‎(3)在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)把=0,=0代入,得=0。‎ 把=t,=0代入,得t2+t=0,‎ ‎∵t>0,∴=﹣t。‎ ‎(2)①不变.‎ 如图,当=1时,=1﹣t,故M(1,1﹣t),‎ ‎∵tan∠AMP=1,∴∠AMP=45°。‎ ‎②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM ‎=(t﹣4)(4t﹣16)+[(4t﹣16)+(t﹣1)]×3﹣(t﹣1)(t﹣1)=t2﹣t+6。‎ 解t2﹣t+6=,得:t1=,t2=。‎ ‎∵4<t<5,∴t1=舍去。‎ ‎∴t=。‎ ‎(3)<t<。‎ ‎【考点】二次函数综合题。‎ ‎【分析】(1)由抛物线经过点O和点P,将点O与P的坐标代入方程即可求得,。‎ ‎(2)①当=1时,=1﹣t,求得M的坐标,则可求得∠AMP的度数。‎ ‎②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM,即可求得关于t的二次函数,列方程即可求得t的值。‎ ‎(3)当,经过(2,-3)时,“好点”(2,-2)和(2,-1)在抛物线上方,‎ 此时,,∴。‎ 当=3时,,在-1和-2之间,说明(3,-1)也在抛物线上方。‎ 因此,抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时,必须。‎ 当,经过(3,-2)时,“好点”(3,-1)在抛物线上方,‎ 此时,,∴。‎ 当=3时,,在-3和-4之间,说明“好点”(2,-3),(2,-2)和(2,-1)也在抛物线上方。‎ 因此,抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时,必须。‎ 综上所述,t的取值范围是<t<。‎ ‎4.(山西省14分)如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O-C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).△MPQ的面积为S.‎ ‎(1)点C的坐标为 ,直线l的解析式为 .‎ ‎(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.‎ ‎(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.‎ ‎(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.‎ ‎【答案】解:(1)(3,4);。‎ ‎ (2)根据题意,得OP=t,AQ=2t.分三种情况讨论:‎ ‎ ①当时,如图l,M点的坐标是()。‎ 过点C作CD⊥x轴于D,过点Q作QE⊥ x轴于E,‎ 可得△AEO∽△ODC。‎ ‎∴,即。‎ ‎∴,。‎ ‎∴Q点的坐标是()。∴PE=。‎ ‎∴S=。‎ ‎②当时,如图2,过点Q作QF⊥x轴于F,‎ ‎∵,∴OF=。‎ ‎∴Q点的坐标是(),‎ ‎∴PF=。‎ ‎∴S=。‎ ‎③当点Q与点M相遇时,,解得。‎ ‎∴当时,如图3,MQ=,MP=4。‎ ‎∴S=。‎ 综上所述,S=。‎ ‎ (3)① 当时,,‎ ‎∵,抛物线开口向上,对称轴为直线,‎ ‎∴当时,S随t的增大而增大。 ∴当时,S有最大值,最大值为。‎ ‎②当时,。‎ ‎∵,抛物线开口向下,∴当时,S有最大值,最大值为。 ‎ ‎③当时,,∵.∴S随t的增大而减小。‎ 又∵当时,S=14.当时,S=0.∴。‎ 综上所述,当时,S有最大值,最大值为。‎ ‎(4)当时,△QMN为等腰三角形。‎ ‎【考点】动点问题,平行四边形的性质, 待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,一、二次函数的增减性和最值,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)由点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),根据平行四边形对边平行且相等的性质,可得点C的坐标为(11-8,4),即(3,4)。‎ ‎ 由点C在直线l,根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法可求直线l的解析式。‎ ‎ (2)分①点Q在AB上,点M在OC上,②点Q在BC上,点M在OC上,③点Q在BC上,点M在BC上三种情况讨论即可。‎ ‎ (3)按(2)的分段情况,根据一、二次函数的增减性和最值讨论即可。‎ ‎ (4)易知,∠NMQ为直角,故要△QMN为等腰三角形只有MQ=MN。‎ ‎ ∵M(),N(),Q(),‎ ‎ ∴。‎ ‎ 当点M在点Q的左边,,解得,。‎ ‎ 当点M在点Q的右边,,解得,。超过,舍去。‎ ‎ ∴当时,△QMN为等腰三角形。‎ ‎5.(内蒙古呼和浩特12分)已知抛物线的图象向上平移个单位()得到的新抛物线过点(1,8).‎ ‎(1)求的值,并将平移后的抛物线解析式写成的形式;‎ ‎(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻 折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在≤时对应的函数值的取值范围;‎ ‎(3)设一次函数,问是否存在正 整数使得(2)中函数的函数值时,对应的的值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)由题意可得 又点(1,8)在图象上,∴ 。∴。‎ ‎∴ 。‎ ‎(2)。‎ 画图如下:‎ 当时, 。‎ ‎(3)不存在。理由如下:‎ 当且对应的时,,解得 ,,‎ 且 得。‎ ‎∴不存在正整数满足条件。‎ ‎【考点】二次函数综合题,平移的性质,二次函数的顶点式,函数的图象特征,解一元二次方程和一元一次不等式组。‎ ‎【分析】(1)根据抛物线的图象向上平移个单位,可得,再利用又点(1,8)在图象上,求出即可。‎ ‎(2)根据函数解析式画出图象,即可得出函数大小分界点。‎ ‎(3)根据当且对应的时,,得出取值范围即可得出答案。‎ ‎6.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分)如图(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N,FN⊥BC.‎ ‎(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?‎ ‎(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,△ECF的面积为y.‎ ‎①求y与x的函数关系式;‎ ‎②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案】解:(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE.‎ ‎∴AB﹣AG=BC﹣EC,即BG=BE。∴∠BGE=45°。‎ ‎∴∠AGE=135°。‎ ‎∵CP是外角平分线,‎ ‎∴∠DCF=45°。∴∠ECF=135°‎ ‎∴∠AGE=∠ECF。‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠CEF。‎ 在△AGE和△ECF中,,∴△AGE≌△ECF(ASA),∴AE=EF。‎ ‎(2)①与(1)同理可证,当E不是中点时,AE=EF,‎ ‎∴在△ABE和△ENF中,,∴△ABE≌△ENF(AAS)。∴FN=BE=x。‎ 又∵BE=x,BC=4,∴EC=4﹣x,∴y=·(4﹣x)x,‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=﹣x2+2x (0<x<4)。‎ ‎②∵y=﹣x2+2x=﹣(x2﹣4x)=﹣(x﹣2)2+2,‎ ‎∴当x=2,y最大值=2。‎ ‎【考点】正方形的性质,二次函数的最值,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE,利用ASA,易证得:△AGE≌△ECF,则可证得AE=EF。‎ ‎(2)同(1)可证明AE=EF,利用AAS证明△ABE≌△ENF,根据全等三角形对应边相等可得FN=BE,再表示出EC,然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y,然后整理再根据二次函数求解最值问题。‎ ‎7.(内蒙古包头12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式;‎ ‎(2)点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标;‎ ‎(3)设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E(t,n)是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S.当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?‎ ‎【答案】解:(1)将A,B,C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,得 ,解得。∴y=-x2+x-2=-(x-)2+。‎ ‎(2)设点P(,m),分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A′,C′。‎ ‎∵AP⊥CP,∴△AA′P∽△PC′C。‎ ‎∴,即,‎ 解得m1=,m2=。‎ ‎∴P(,)或(,)。‎ ‎(3)由B(6,1),C(0,-2),得直线BC的解析式为y=x-2,∴D(4,0)。‎ ‎∵四边形OEDC只能在x上方,∴n>0。‎ 又S=S△CDO+S△EDO=,∴。‎ ‎∵点E(t,n)在抛物线上,∴n =-t 2+t-2,代入,得 关于t的方程t 2-7 t+S=0,方程根的判别式△=49-4S。‎ 当△=0时,S=,,此时方程只有一解,满足条件的点E只有一个,位于抛物线顶点处(图1)。‎ 当△>0时,S<,由S>4,所以4<S<。此时点E的情况如下:‎ 设B′是抛物线上点B关于对称轴的对称点,即n =1,S=6。由t 2-7 t+6=0得 t=1或t=6。此时点E的坐标为(1,1)或(6,1),即满足条件的点E与点B′或B重合(图2)。‎ ‎①当6<S<时,方程有两个不相等的根,此时,1<t<6,1<n<,故满足 条件的点E位于直线B′B上方的抛物线上。。故此时满足条件的点E有两个(图3)。‎ ‎②当4<S<6时,方程有两个不相等的根,此时,0<n<1,而满足条件的点E只能在 点H与点B′之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个(图4)。‎ ‎ 综上所述,当4<S<6或S=时,满足条件的点E有一个;当6≤S<时,满足条件的点E有两个。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的对称性,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】(1)将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,列方程组求抛物线解析式,再用配方法求顶点式。‎ ‎(2)当AP⊥CP时,分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A′,C′,利用互余关系得角相等,证明△AA′P∽△PC′C,利用相似比求P点坐标。‎ ‎(3)分别求出点E为抛物线顶点,E,B重合时,图形的面积,当E点为抛物线顶点时,即S=满足条件的点E只有一个;当6<S<时,满足条件的点E有两个;当4<S<6时,满足条件的点E只有一个。‎ ‎8.(内蒙古乌兰察布16分)如图,正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ,把直线 OA 向下平移后,与反比例函数的图象交于点B(6,m),与x轴、y轴分别交于C、D两点。‎ ‎ (1)求 m的值;‎ ‎( 2 )求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式;‎ ‎( 3 )若点E是抛物线上的一个动点,是否存在点 E ,使四边形 OECD 的面积S1 ,是四边形OACD 面积S的?若存在,求点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)设反比例函数为,‎ 把A(3,3)代入,得,∴。‎ ‎∴反比例函数为。‎ ‎∵B(6,m)在反比例函数上,∴。‎ ‎(2)设正比例函数为,‎ 把A(3,3)代入,得,∴。‎ ‎∴正比例函数为。‎ 设直线BD的解析式为,‎ ‎∵直线BD过,∴,∴。‎ ‎∴直线BD的解析式为。‎ 在中,令,得,∴D()。‎ 在中,令,得,∴C()。‎ 设过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为,得 ‎,解得:。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎(3)假设存在E()满足条件,‎ ‎,[来源:Z&xx&k.Com]‎ 在中,令,解得,‎ ‎∴E的坐标应满足,。‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ 解得:。‎ ‎∴,即。∴。‎ ‎∵,∴。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,解一次方程组和一元一次方程。 ‎ ‎【分析】(1)由于反比例函数的图象都经过点A(3,3),由此可以确定函数的解析式,又把直线OA向下平移后,与反比例函数的图象交于点B(6,m),把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值。‎ ‎ (2)由于直线OA向下平移后,与反比例函数的图象交于点B(6,m),与轴、轴分别交于C、D两点,由此首先确定直线BD的解析式,接着可以确定C,D的坐标,最后利用 待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式。‎ ‎ (3)如图,利用(1)(2)知道四边形OACD是梯形,利用已知条件可以求出其面积,设E的横坐标为,那么利用可以表示其纵坐标,也可以表示△OEC的面积,而△OCD的面积可以求出,所以根据四边形OECD的面积S1是四边形OACD面积S的 即可列出关于的方 程,利用方程即可解决问题。‎ ‎9.(内蒙古呼伦贝尔13分)如图,已知二次函数的图象与轴相交于点A、‎ C,与轴相交于点B,A,△AOB∽△BOC.‎ ‎⑴求C点的坐标、∠ABC的度数;‎ ‎⑵求二次函数的解析式;‎ ‎⑶在线段AC上是否存在点M,使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)由,令=0,得B(0,3)。‎ ‎ 又 A,∴OA=,OB=3。‎ ‎ ∵△AOB∽△BOC,∴,即,∴OC=4。∴C(4,0)。‎ ‎ ∵△AOB∽△BOC,∴∠OAB=∠OBC。‎ ‎ 又∵∠OAB+∠OBA=900,∴∠OBC+∠OBA=900,即∠ABC=900。‎ ‎(2)∵的图象经过A,C(4,0),‎ ‎∴ ,解得。 ‎ ‎∴二次函数的解析式为。‎ ‎(3) 过点P作PM⊥BC交AC于点M,‎ 则根据直径所对圆周角是直角的性质,知点P在以BM为直径的圆上 又∵∠ABC=900,∴PM∥BA。∴△CPM∽△CBA。‎ ‎∴。‎ 由A,B(0,3),C(4,0),可得OA=,OB=3,OC=4。‎ 则CA=+4=,CB=。‎ 由M,得CM=4-。‎ 分三种情况:‎ ‎①当PC=PO时,点P为BC的中点,得CP=2.5。‎ ‎ ∴ ,解得。‎ ‎②当CP=CO时,CP=4。‎ ‎∴ ,解得。‎ ‎ ③当OC=OP时,由于OP(=4)>OB(=3),从而点P在CB的延长线上,这样点M点不在线段AC上。‎ 综上所述,的值为。 ‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,解二元一次方程组,圆周角定理。勾股定理,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由△AOB∽△BOC,得对应边成比例,对应角相等,可得C(4,0)和∠ABC=900。‎ ‎ (2)由点A,C在二次函数的图象上,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系可求解析式。‎ ‎ (3)根据圆周角定理和相似三角形的性质可得。分PC=PO,CP=CO,OC=OP三种情况讨论即可。‎