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- 2021-05-11 发布
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2017年陕西省中考数学模拟试卷(一)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.(3分)﹣3的相反数是( )
A. B. C.3 D.﹣3
2.(3分)如图所示的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
3.(3分)下列计算正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.a6÷a3=a2 C.4x2﹣3x2=1 D.(﹣2a2)3=﹣8a6
4.(3分)如图,直线a∥b,直线c分别与a、b相交于A、B两点,AC⊥AB于点A,交直线b于点C.已知∠1=42°,则∠2的度数是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
5.(3分)若正比例函数的图象经过点(﹣1,2),则这个图象必经过点( )
A.(1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(2,﹣1) D.(1,﹣2)
6.(3分)一组数据:3,4,5,6,6,的平均数、众数、中位数分别是( )
A.4.8,6,6 B.5,5,5 C.4.8,6,5 D.5,6,6
7.(3分)如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相似,则这样的P点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(3分)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则sin∠ECB为( )
A. B. C. D.
9.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′.若边A′B交线段CD于H,且BH=DH,则DH的值是( )
A. B. C. D.
10.(3分)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:
①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)
11.(3分)因式分解:(a+b)2﹣4b2= .
12.(3分)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.一个正n边形(n>4)的内角和是外角和的3倍,则n= ;
B.小明站在教学楼前50米处,测得教学楼顶部的仰角为20°,测角仪的高度为1.5米,则此教学楼的高度为 米.(用科学计算器计算,结果精确到0.1米)
13.(3分)如图,矩形ABCD中,AD=3,∠CAB=30°,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ+QP的最小值是 .
14.(3分)如图,在第一象限内,点P(2,3),M(a,2)是双曲线y=(k≠0)上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为 .
三、解答题(共11小题,计78分,解答应写出过程)
15.(5分)计算:(﹣2)0+()﹣1+4cos30°﹣|﹣|
16.(5分)先化简,再求值:(+)÷,其中a=﹣1.
17.(5分)已知:线段a及∠ACB.
求作:⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切.
18.(5分)某学校为了解七年级男生体质健康情况,随机抽取若干名男生进行测试,测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)本次接收随机抽样调查的男生人数为 人,扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 ;
(2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分;
(3)若该校七年级共有男生480人,请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数.
19.(7分)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC≌△DEC.
20.(7分)如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻,小明竖起1米高的直杆MN,量得其影长MF为0.5米,量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗?
21.(7分)暑假期间,小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
(2)求线段AB对应的函数解析式;
(3)小刚一家出发2.5小时时离目的地多远?
22.(7分)如图,小华和小丽两人玩游戏,她们准备了A、B两个分别被平均分成三个、四个扇形的转盘.游戏规则:小华转动A盘、小丽转动B盘.转动过程中,指针保持不动,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6,小华获胜.指针所指区域内的数字之和大于6,小丽获胜.
(1)用树状图或列表法求小华、小丽获胜的概率;
(2)这个游戏规则对双方公平吗?请判断并说明理由.
23.(8分)如图,C为以AB为直径的⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=5,求⊙O的半径长.
24.(10分)如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM周长最小时,求点M的坐标及△ACM的最小周长.
25.(12分)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AM⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a= ,b= ;
如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a= ,b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论.
【拓展证明】
(3)如图4,▱ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF与BE相交点G,AD=3,AB=3,求AF的长.
2017年陕西省中考数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.(3分)﹣3的相反数是( )
A. B. C.3 D.﹣3
【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可.
【解答】解:(﹣3)+3=0.
故选:C.
2.(3分)如图所示的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
【解答】解:从左向右看,得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形.
故选:D.
3.(3分)下列计算正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.a6÷a3=a2 C.4x2﹣3x2=1 D.(﹣2a2)3=﹣8a6
【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果,然后进行对照,即可得到哪个选项是正确的.
【解答】解:∵a2•a3=a5,故选项A错误;
∵a6÷a3=a3,故选项B错误;
∵4x2﹣3x2=x2,故选项C错误;
∵(﹣2a2)3=﹣8a6,故选项D正确;
故选:D.
4.(3分)如图,直线a∥b,直线c分别与a、b相交于A、B两点,AC⊥AB于点A,交直线b于点C.已知∠1=42°,则∠2的度数是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数,再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数.
【解答】解:∵直线a∥b,
∴∠1=∠CBA,
∵∠1=42°,
∴∠CBA=42°,
∵AC⊥AB,
∴∠2+∠CBA=90°,
∴∠2=48°,
故选:C.
5.(3分)若正比例函数的图象经过点(﹣1,2),则这个图象必经过点( )
A.(1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(2,﹣1) D.(1,﹣2)
【分析】求出函数解析式,然后根据正比例函数的定义用代入法计算.
【解答】解:设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
因为正比例函数y=kx的图象经过点(﹣1,2),
所以2=﹣k,
解得:k=﹣2,
所以y=﹣2x,
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=﹣2x中,等号成立的点就在正比例函数y=﹣2x的图象上,
所以这个图象必经过点(1,﹣2).
故选:D.
6.(3分)一组数据:3,4,5,6,6,的平均数、众数、中位数分别是( )
A.4.8,6,6 B.5,5,5 C.4.8,6,5 D.5,6,6
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
【解答】解:按从小到大排列这组数据3,4,5,6,6,
众数为6,中位数为5,平均数为(3+4+5+6+6)÷5=4.8.
故选:AC.
7.(3分)如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相似,则这样的P点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】设AP=x,则有PB=AB﹣AP=7﹣x,分两种情况考虑:三角形PDA与三角形CPB相似;三角形PDA与三角形PCB相似,分别求出x的值,即可确定出P的个数.
【解答】解:设AP=x,则有PB=AB﹣AP=7﹣x,
当△PDA∽△CPB时,=,即=,
解得:x=1或x=6,
当△PDA∽△PCB时,=,即=,
解得:x=,
则这样的点P共有3个,
故选:C.
8.(3分)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则sin∠ECB为( )
A. B. C. D.
【分析】根据垂径定理得到AC=BC=AB=4,设AO=x,则OC=OD﹣CD=x﹣2,在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+(x﹣2)2,解得x=5,则AE=10,OC=3,再由AE是直径,根据圆周角定理得到∠ABE=90°,利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6,然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE,由三角函数的定义求出sin∠ECB即可.
【解答】解:连结BE,如图,
∵OD⊥AB,
∴AC=BC=AB=×8=4,
设AO=x,则OC=OD﹣CD=x﹣2,
在Rt△ACO中,∵AO2=AC2+OC2,
∴x2=42+(x﹣2)2,
解得:x=5,
∴AE=10,OC=3,
∵AE是直径,
∴∠ABE=90°,
∵OC是△ABE的中位线,
∴BE=2OC=6,
在Rt△CBE中,CE===2,
∴sin∠ECB===.
故选:B.
9.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′.若边A′B交线段CD于H,且BH=DH,则DH的值是( )
A. B. C. D.
【分析】设DH的值是x,那么CH=8﹣x,BH=x,在Rt△
BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程,解方程就可以求出DH.
【解答】解:设DH的值是x,
∵AB=8,AD=6,且BH=DH,
那么CH=8﹣x,BH=x,
在Rt△BCH中,DH=,
∴x2=(8﹣x)2+36,
∴x=,
即DH=.
故选:C.
10.(3分)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:
①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号.
【解答】解:①图象开口向下,能得到a<0;
②对称轴在y轴右侧,x==1,则有﹣=1,即2a+b=0;
③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;
④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.
故选:C.
二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)
11.(3分)因式分解:(a+b)2﹣4b2= (a+3b)(a﹣b) .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=(a+b+2b)(a+b﹣2b)=(a+3b)(a﹣b).
故答案为:(a+3b)(a﹣b)
12.(3分)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.一个正n边形(n>4)的内角和是外角和的3倍,则n= 8 ;
B.小明站在教学楼前50米处,测得教学楼顶部的仰角为20°,测角仪的高度为1.5米,则此教学楼的高度为 19.7 米.(用科学计算器计算,结果精确到0.1米)
【分析】A、根据题意列出方程,求出即可;
B、由题可知,在直角三角形中,知道已知角和邻边,直接根据正切求出对边即可解决.
【解答】解:A、根据题意得:(n﹣2)×180°=3×360°,
解得:n=8;
故答案为:8;
B、如图所示:
作图可得:AB=50米;∠CAB=20°,故CB=AB×tan20°≈18.2米,
∵AD=BF=1.5米,
∴这个建筑的高度AF=19.7米.
13.(3分)如图,矩形ABCD中,AD=3,∠CAB=30°,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ+QP的最小值是 3 .
【分析】作点A关于直线CD的对称点E,作EP⊥AC于P,交CD于点Q,此时QA+QP最短,由QA+QP=QE+PQ=PE可知,求出PE即可解决问题.
【解答】解:作点A关于直线CD的对称点E,作EP⊥AC于P,交CD于点Q.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,
∴DQ⊥AE,∵DE=AD,
∴QE=QA,
∴QA+QP=QE+QP=EP,
∴此时QA+QP最短(垂线段最短),
∵∠CAB=30°,
∴∠DAC=60°,
在RT△APE中,∵∠APE=90°,AE=2AD=6,
∴EP=AE•sin60°=6×=3.
故答案为3.
14.(3分)如图,在第一象限内,点P(2,3),M(a,2)是双曲线y=(k≠0)上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为 .
【分析】由于点P(2,3)在双曲线y=(k≠0)上,首先利用待定系数法求出k的值,得到反比例函数的解析式,把y=2代入,求出a的值,得到点M的坐标,然后利用待定系数法求出直线OM的解析式,把x=2代入,求出对应的y值即为点C的纵坐标,最后根据三角形的面积公式求出△OAC的面积.
【解答】解:∵点P(2,3)在双曲线y=(k≠0)上,
∴k=2×3=6,
∴y=,
当y=2时,x=3,即M(3,2).
∴直线OM的解析式为y=x,
当x=2时,y=,即C(2,).
∴△OAC的面积=×2×=.
故答案为:.
三、解答题(共11小题,计78分,解答应写出过程)
15.(5分)计算:(﹣2)0+()﹣1+4cos30°﹣|﹣|
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
【解答】解:原式=1+3+4×﹣2
=4.
16.(5分)先化简,再求值:(+)÷,其中a=﹣1.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=[+]•=•=,
当a=﹣1时,原式==.
17.(5分)已知:线段a及∠ACB.
求作:⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切.
【分析】首先作出∠ACB的平分线CD,再截取CO=a得出圆心O,作OE⊥CA,由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可.
【解答】解:①作∠ACB的平分线CD,
②在CD上截取CO=a,
③作OE⊥CA于E,以O为圆心,OE长为半径作圆;
如图所示:⊙O即为所求.
18.(5分)某学校为了解七年级男生体质健康情况,随机抽取若干名男生进行测试,测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)本次接收随机抽样调查的男生人数为 40 人,扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 162° ;
(2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分;
(3)若该校七年级共有男生480人,请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数.
【分析】(1)合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数,用良好的人数除以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数;
(2)用40﹣2﹣8﹣18即可;
(3)用480乘以良好所占的百分比即可.
【解答】解:(1)8÷20%=40(人),
18÷40×360°=162°;
(2)“优秀”的人数=40﹣2﹣8﹣18=12,
如图,
(3)“良好”的男生人数:×480=216(人),
答:全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人.
19.(7分)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC≌△DEC.
【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,可求得∠DCE=∠ACB,且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°,可求得∠DEC=∠ABC,再结合条件可证明△ABC≌△DEC.
【解答】证明:
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠DCE+∠ECA=∠ECA+∠ACB,
∴∠DCE=∠ACB,且∠B+∠CEA=180°,
又∠DEC+∠CEA=180°,
∴∠B=∠DEC,
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC(ASA).
20.(7分)如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻,小明竖起1米高的直杆MN,量得其影长MF为0.5米,量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗?
【分析】把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形,由于太阳光线是平行的,就可以构造出相似三角形了.
【解答】解:过C点作CG⊥AB于点G,
∴GC=BD=3米,GB=CD=2米.
∵∠NMF=∠AGC=90°,NF∥AC,
∴∠NFM=∠ACG,
∴△NMF∽△AGC,
∴,
∴AG===6,
∴AB=AG+GB=6+2=8(米),故电线杆子的高为8米.
21.(7分)暑假期间,小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
(2)求线段AB对应的函数解析式;
(3)小刚一家出发2.5小时时离目的地多远?
【分析】(1)观察图形即可得出结论;
(2)设AB段图象的函数表达式为y=kx+b,将A、B两点的坐标代入,运用待定系数法即可求解;
(3)先将x=2.5代入AB段图象的函数表达式,求出对应的y值,进一步即可求解.
【解答】解:(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h时间;
(2)设AB段图象的函数表达式为y=kx+b.
∵A(1,80),B(3,320)在AB上,
∴,
解得.
∴y=120x﹣40(1≤x≤3);
(3)当x=2.5时,y=120×2.5﹣40=260,
380﹣260=120(km).
故小刚一家出发2.5小时时离目的地120km.
22.(7分)如图,小华和小丽两人玩游戏,她们准备了A、B两个分别被平均分成三个、四个扇形的转盘.游戏规则:小华转动A盘、小丽转动B盘.转动过程中,指针保持不动,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6,小华获胜.指针所指区域内的数字之和大于6,小丽获胜.
(1)用树状图或列表法求小华、小丽获胜的概率;
(2)这个游戏规则对双方公平吗?请判断并说明理由.
【分析】(1)首先根据题意列出表格,然后由表格即可求得所有等可能的结果与小华、小丽获胜的情况,再利用概率公式即可求得答案;
(2)比较小华、小丽获胜的概率的大小,即可知这个游戏规则对双方公平.
【解答】解:列表如下:
B和A
3
4
5
6
0
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
∵共有12种等可能的结果,小华获胜的有6种情况、小丽获胜的有3情况,
∴P(小华获胜)==,P(小丽获胜)==;
(2)这个游戏规则对双方不公平,
∵P(小华获胜)>P(小丽获胜),
∴游戏规则对双方不公平.
23.(8分)如图,C为以AB为直径的⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=5,求⊙O的半径长.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质,可得∠ACO与∠CAO的关系,根据平行线的性质,可得∠DAC与∠ACO的关系,根据等量代换,可得答案;
(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性质即可解决问题.
【解答】(1)证明:连结OC(如图所示),
则∠ACO=∠CAO (等腰三角形,两底角相等),
∵CD切⊙O于C,∴CO⊥CD,
又∵AD⊥CD,
∴AD∥CO.
∴∠DAC=∠ACO (两直线平行,内错角相等),
∴∠DAC=∠CAO,
∴AC平分∠BAD.
(2)过点E画OE⊥AC于E(如图所示),
在Rt△ADC中,AD==4,
∵OE⊥AC,
∴AE=AC=,
∵∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=Rt∠,
∴△AEO∽△ADC,
∴,即:=,
∴AO=,即⊙O的半径为.
24.(10分)如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM周长最小时,求点M的坐标及△ACM的最小周长.
【分析】
(1)直接将(﹣1,0),代入解析式进而得出答案,再利用配方法求出函数顶点坐标;
(2)分别得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,进而利用勾股定理的逆定理得出即可;
(3)利用轴对称最短路线求法得出M点位置,再求△ACM周长最小值.
【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,
解得:b=﹣,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.
y=(x﹣)2﹣,
∴顶点D的坐标为:(,﹣);
(2)当x=0时y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.
当y=0时,x2﹣x﹣2=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴B (4,0),
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)如图所示:连接AM,
点A关于对称轴的对称点B,BC交对称轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,
MC+MA的值最小,即△ACM周长最小,
设直线BC解析式为:y=kx+d,则,
解得:,
故直线BC的解析式为:y=x﹣2,
当x=时,y=﹣,
∴M(,﹣),
△ACM最小周长是:AC+AM+MC=AC+BC=+2=3.
25.(12分)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AM⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a= 4 ,b= 4 ;
如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a= ,b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论.
【拓展证明】
(3)如图4,▱ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF与BE相交点G,AD=3,AB=3,求AF的长.
【分析】(1)①首先证明△APB,△PMN都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解决问题.
②连接MN,在RT△PAB,RT△PMN中,利用30°性质求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解决问题.
(2)结论a2+b2=5c2.设MP=x,NP=y,则AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题.
(3)取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,首先证明△ABF是中垂三角形,利用(2)中结论列出方程即可解决问题.
【解答】(1)解:如图1中,∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN=AB=2,
∵tan∠PAB=1,
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°,
∴PN=PM=2,PB=PA=4,
∴AN=BM==2.
∴b=AC=2AN=4,a=BC=4.
故答案为4,4,
如图2中,连接NM,
,∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN=AB=1,
∵∠PAB=30°,
∴PB=1,PA=,
在RT△MNP中,∵∠NMP=∠PAB=30°,
∴PN=,PM=,
∴AN=,BM=,
∴a=BC=2BM=,b=AC=2AN=,
故答案分别为,.
(2)结论a2+b2=5c2.
证明:如图3中,连接MN.
∵AM、BN是中线,
∴MN∥AB,MN=AB,
∴△MPN∽△APB,
∴==,
设MP=x,NP=y,则AP=2x,BP=2y,
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2,
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2,
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解:如图4中,在△AGE和△FGB中,
,
∴△AGE≌△FGB,
∴AG=FG,取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,
同理可证△APH≌△BFH,
∴AP=BF,PE=CF=2BF,
即PE∥CF,PE=CF,
∴四边形CEPF是平行四边形,
∴FP∥CE,
∵BE⊥CE,
∴FP⊥BE,即FH⊥BG,
∴△ABF是中垂三角形,
由(2)可知AB2+AF2=5BF2,
∵AB=3,BF=AD=,
∴9+AF2=5×()2,
∴AF=4.