上海市青浦区中考数学一模试卷 23页

2017 年上海市青浦区中考数学一模试卷 　 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．（4 分）在下列各数中，属于无理数的是（　　） A．4 B． C． D． 2．（4 分）已知 a＞b，下列关系式中一定正确的是（　　） A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 3．（4 分）一次函数 y=kx﹣1（常数 k＜0）的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（4 分）抛物线 y=2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4） 5．（4 分）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 6．（4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果 S△ACD：S△ABC=1：2，那么 S△AOD：S△BOC 是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 　 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．（4 分）函数 y= 的定义域是　　． 8．（4 分）方程 =2 的根是　　． 9．（4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围 是　　． 10．（4 分）从点数为 1、2、3 的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌 的点数之积为素数的概率是　　． 11 ．（ 4 分 ） 将 抛 物 线 y=x2+4x 向 下 平 移 3 个 单 位 ， 所 得 抛 物 线 的 表 达 式 是　　． 12．（4 分）如果点 A（﹣2，y1）和点 B（2，y2）是抛物线 y=（x+3）2 上的两点， 那么 y1　　y2．（填“＞”、“=”、“＜”） 13．（4 分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，那么这个多边形的 边数为　　． 14．（4 分）点 G 是△ABC 的重心，GD∥AB，交边 BC 于点 D，如果 BC=6，那么 CD 的长是　　． 15．（4 分）已知在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 AD：DC=2：1．设 = ， = ．那么 =　　．（用向量 、 的式子表示） 16．（4 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边 AB 的垂直平分线交 AC 边于点 D，交 AB 边于点 E，联结 DB，那么 tan∠DBC 的值是　　． 17．（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，联结 CE 并延长， 交对角线 BD 于点 F，交 BA 的延长线于点 G，如果 DE=2AE，那么 CF：EF： EG=　　． 18．（4 分）如图，已知△ABC，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 落在边 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，连接 BD，如果∠DAC=∠DBA，那么 的值 是　　． 　 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10 分）计算： ÷（a﹣1）+ ． 20．（10 分）解方程组： ． 21．（10 分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象与 正比例函数 y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为 2 的点 A，平移直线 OA，使它 经过点 B（3，0），与 y 轴交于点 C． （1）求平移后直线的表达式； （2）求∠OBC 的余切值． 22．（10 分）某校兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度．如图 6，大楼前有一段 斜坡 BC，已知 BC 的长为 12 米，它的坡度 i=1： ．在离 C 点 40 米的 D 处，用 测角仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37°，测角仪 DE 的高为 1.5 米，求大楼 AB 的高 度约为多少米？（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73．） 23．（12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC、BD 交于点 E，点 F 在边 AB 上，连接 CF 交线段 BE 于点 G，CG2=GE•GD． （1）求证：∠ACF=∠ABD； （2）连接 EF，求证：EF•CG=EG•CB． 24．（12 分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2﹣4ax+1 与 x 轴的正半轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且 OB=3OC，点 P 是第一象限内 的点，连接 BC，△PBC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形． （1）求这个抛物线的表达式； （2）求点 P 的坐标； （3）点 Q 在 x 轴上，若以 Q、O、P 为顶点的三角形与以点 C、A、B 为顶点的 三角形相似，求点 Q 的坐标． 25．（14 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，联结 BD，sin∠ABD= ．点 P 是射线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 重合），联结 AP，与对角线 BD 相交于 点 E，联结 EC． （1）求证：AE=CE； （2）当点 P 在线段 BC 上时，设 BP=x，△PEC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解 析式，并写出它的定义域； （3）当点 P 在线段 BC 的延长线上时，若△PEC 是直角三角形，求线段 BP 的 长． 　 2017 年上海市青浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．（4 分）（2017•青浦区一模）在下列各数中，属于无理数的是（　　） A．4 B． C． D． 【解答】解：4 =2， ， 是有理数， 是无理数， 故选：B． 　 2．（4 分）（2017•阳谷县一模）已知 a＞b，下列关系式中一定正确的是（　　） A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 【解答】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则 22＞（﹣1）2； B、若 a＞b，则 2a＞2b，故本选项错误； C、若 a＞b，则 a+2＞b+2，故本选项错误； D、若 a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确； 故选：D． 　 3．（4 分）（2017•青浦区一模）一次函数 y=kx﹣1（常数 k＜0）的图象一定不经 过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵一次函数 y=kx﹣1（常数 k＜0），b=﹣1＜0， ∴一次函数 y=kx﹣1（常数 k＜0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第 ﹣象限． 故选：A． 　 4．（4 分）（2017•青浦区一模）抛物线 y=2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4） 【解答】解：把 x=0 代入抛物线 y=2x2+4 中， 解得：y=4， 则抛物线 y=2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（0，4）． 故选 C． 　 5．（4 分）（2017•青浦区一模）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是 （　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【解答】解：连接 AC、BD， 在△ABD 中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH= BD， 同理 FG= BD，HG= AC，EF= AC， 又∵在矩形 ABCD 中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形 EFGH 为菱形． 故选：A． 　 6．（4 分）（2017•青浦区一模）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果 S△ACD：S△ABC=1：2，那么 S△AOD：S△BOC 是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【解答】解：∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，而且 S△ACD：S△ABC=1：2， ∴AD：BC=1：2； ∵AD∥BC， ∴△AOD～△BOC， ∵AD：BC=1：2， ∴S△AOD：S△BOC=1：4． 故选：B． 　 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．（4 分）（2017•青浦区一模）函数 y= 的定义域是　x≠1　． 【解答】解：由题意得，x﹣1≠0， 解得 x≠1． 故答案为：x≠1． 　 8．（4 分）（2017•青浦区一模）方程 =2 的根是　x= 　． 【解答】解：∵ =2， ∴3x﹣1=4， ∴x= ， 经检验 x= 是原方程组的解， 故答案为： ． 　 9．（4 分）（2008•苏州）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是　m≤1　． 【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0， ∴m≤1 答：m 的取值范围是 m≤1． 　 10．（4 分）（2017•青浦区一模）从点数为 1、2、3 的三张扑克牌中随机摸出两 张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是　 　． 【解答】解：画树状图如下： 一共有 6 种等可能结果，其中和为素数的有 4 种， ∴点数之积为素数的概率是 = ， 故答案为： ． 　 11．（4 分）（2017•青浦区一模）将抛物线 y=x2+4x 向下平移 3 个单位，所得抛物 线的表达式是　y=x2+4x﹣3　． 【解答】解：∵抛物线 y=x2+4x 向下平移 3 个单位， ∴抛物线的解析式为 y=x2+4x﹣3， 故答案为 y=x2+4x﹣3． 　 12．（4 分）（2017•青浦区一模）如果点 A（﹣2，y1）和点 B（2，y2）是抛物线 y= （x+3）2 上的两点，那么 y1　＜　y2．（填“＞”、“=”、“＜”） 【解答】解：当 x=﹣2 时，y1=（﹣2+3）2=1， 当 x=2 时，y2=（2+3）2=25， y1＜y2， 故答案为＜． 　 13．（4 分）（2017•青浦区一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍， 那么这个多边形的边数为　6　． 【解答】解：设这个多边形的边数为 n， ∵n 边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为 360°， ∴（n﹣2）•180°=360°×2， 解得 n=8． ∴此多边形的边数为 6． 故答案为：6． 　 14．（4 分）（2017•青浦区一模）点 G 是△ABC 的重心，GD∥AB，交边 BC 于点 D，如果 BC=6，那么 CD 的长是　4　． 【解答】解：延长 AG 交 BC 与 F， ∵点 G 是△ABC 的重心，BC=6， ∴BF=3， ∵点 G 是△ABC 的重心， ∴AG：GF=2：1， ∵GD∥AB， ∴BD：DF=DG：GF=2：1， ∴BD=2，DF=1， ∴CD=3+1=4， 故答案为：4 　 15．（4 分）（2017•青浦区一模）已知在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 AD： DC=2：1．设 = ， = ．那么 =　 + 　．（用向量 、 的式子表示） 【解答】解：如图， ∵ =2， ∴ = ，即 AD= AC， 则 = = + = （ ）+ = + = + ， 故答案为： + ． 　 16．（4 分）（2017•青浦区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边 AB 的垂直平分线交 AC 边于点 D，交 AB 边于点 E，联结 DB，那么 tan∠DBC 的 值是　 　． 【解答】解：∵边 AB 的垂直平分线交 AC 边于点 D，交 AB 边于点 E， ∴AD=BD， 设 CD=x，则有 BD=AD=AC﹣CD=3﹣x， 在 Rt△BCD 中，根据勾股定理得：（3﹣x）2=x2+22， 解得：x= ， 则 tan∠DBC= = ， 故答案为： 　 17．（4 分）（2017•青浦区一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上， 联结 CE 并延长，交对角线 BD 于点 F，交 BA 的延长线于点 G，如果 DE=2AE，那 么 CF：EF：EG=　6：4：5　． 【解答】解：设 AE=x，则 DE=2x， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC， ∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF， ∴ = = ， = = ， ∴ = ， 设 EF=2y，则 CF=3y， ∴EC=EF+CF=5y， ∴GE= y， 则 CF：EF：EG=3y：2y： y=6：4：5， 故答案为：6：4：5． 　 18．（4 分）（2017•青浦区一模）如图，已知△ABC，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转， 使点 C 落在边 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，连接 BD，如果∠DAC=∠DBA， 那么 的值是　 　． 【解答】解：如图，由旋转的性质得到 AB=AD，∠CAB=∠DAB， ∴∠ABD=∠ADB， ∵∠CAD=∠ABD， ∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD， ∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°， ∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°， 过 D 作∠ADB 的平分线 DF， ∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°， ∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD， ∴△ABD∽△DBF， ∴ ，即 ， 解得 = ， 故答案为： ． 　 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10 分）（2017•青浦区一模）计算： ÷（a﹣1）+ ． 【解答】解：原式= × + = + = + = ． 　 20．（10 分）（2017•青浦区一模）解方程组： ． 【解答】解：由①得：x﹣2y=2 或 x﹣2y=﹣2． 原方程可化为 ， 解得，原方程的解是 ， ． 　 21．（10 分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比 例函数 y= 的图象与正比例函数 y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为 2 的点 A， 平移直线 OA，使它经过点 B（3，0），与 y 轴交于点 C． （1）求平移后直线的表达式； （2）求∠OBC 的余切值． 【解答】解：（1）当 x=2 时，y= =4， ∴点 A 的坐标为（2，4）． ∵A（2，4）在 y=kx（k≠0）的图象上， ∴4=2k，解得：k=2． 设直线 BC 的函数解析式为 y=2x+b， ∵点 B 的坐标为（3，0）， ∴0=2×3+b，解得：b=﹣6， ∴平移后直线的表达式 y=2x﹣6． （2）当 x=0 时，y=﹣6， ∴点 C 的坐标为（0，﹣6）， ∴OC=6． ∴ ． 　 22．（10 分）（2017•青浦区一模）某校兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度．如 图 6，大楼前有一段斜坡 BC，已知 BC 的长为 12 米，它的坡度 i=1： ．在离 C 点 40 米的 D 处，用测角仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37°，测角仪 DE 的高为 1.5 米，求大楼 AB 的高度约为多少米？（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73．） 【解答】解：延长 AB 交直线 DC 于点 F，过点 E 作 EH⊥AF，垂足为点 H． ∵在 Rt△BCF 中， =i=1： ， ∴设 BF=k，则 CF= ，BC=2k． 又∵BC=12， ∴k=6， ∴BF=6，CF= ． ∵DF=DC+CF， ∴DF=40+6 ． ∵在 Rt△AEH 中，tan∠AEH= ， ∴AH=tan37°×（40+6 ）≈37.8（米）， ∵BH=BF﹣FH， ∴BH=6﹣1.5=4.5． ∵AB=AH﹣HB， ∴AB=37.8﹣4.5=33.3． 答：大楼 AB 的高度约为 33.3 米． 　 23．（12 分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，对 角 线 AC 、 BD 交 于 点 E ， 点 F 在 边 AB 上 ， 连 接 CF 交 线 段 BE 于 点 G ， CG2=GE•GD． （1）求证：∠ACF=∠ABD； （2）连接 EF，求证：EF•CG=EG•CB． 【解答】证明：（1）∵CG2=GE•GD， ∴ ． 又∵∠CGD=∠EGC， ∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC=∠GCE． ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC． ∴∠ACF=∠ABD． （2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE， ∴△BGF∽△CGE． ∴ ． 又∵∠FGE=∠BGC， ∴△FGE∽△BGC． ∴ ． ∴FE•CG=EG•CB． 　 24．（12 分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物 线 y=ax2﹣4ax+1 与 x 轴的正半轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且 OB=3OC， 点 P 是第一象限内的点，连接 BC，△PBC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形． （1）求这个抛物线的表达式； （2）求点 P 的坐标； （3）点 Q 在 x 轴上，若以 Q、O、P 为顶点的三角形与以点 C、A、B 为顶点的 三角形相似，求点 Q 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2﹣4ax+1， ∴点 C 的坐标为（0，1）． ∵OB=3OC， ∴点 B 的坐标为（3，0）． ∴9a﹣12a+1=0， ∴ ． ∴ ． （2）如图， 过点 P 作 PM⊥y 轴，PN⊥x 轴，垂足分别为点 M、N． ∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN， ∴∠MPC=∠NPB． 在△PCM 和△PBN 中， ， ∴△PMC≌△PNB， ∴PM=PN． 设点 P（a，a）． ∵PC2=PB2， ∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2． 解得 a=2． ∴P（2，2）． （3）∵该抛物线对称轴为 x=2，B（3，0）， ∴A（1，0）． ∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1）， ∴PO= ，AC= ，AB=2． ∵∠CAB=135°，∠POB=45°， 在 Rt△BOC 中，tan∠OBC= ， ∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°， 在 Rt△OAC 中，OC=OA， ∴∠OCA=45°， ∴∠ACB＜45°， ∴当△OPQ 与△ABC 相似时，点 Q 只有在点 O 左侧时． （i）当 时，∴ ， ∴OQ=4， ∴Q（﹣4，0）． （ii）当 时，∴ ， ∴OQ=2， ∴Q（﹣2，0）． 当点 Q 在点 A 右侧时， 综上所述，点 Q 的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）． 　 25．（14 分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，联结 BD，sin∠ABD= ．点 P 是射线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 重合），联结 AP，与对角线 BD 相交于点 E，联结 EC． （1）求证：AE=CE； （2）当点 P 在线段 BC 上时，设 BP=x，△PEC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解 析式，并写出它的定义域； （3）当点 P 在线段 BC 的延长线上时，若△PEC 是直角三角形，求线段 BP 的 长． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BA=BC，∠ABE=∠CBE． 在△ABE 和△CBE 中， 又∵BE=BE， ∴△ABE≌△CBE ∴AE=CE． （2）连接 AC，交 BD 于点 O，过点 A 作 AH⊥BC，过点 E 作 EF⊥BC，如图 1 所 示： 垂足分别为点 H、F． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD． ∵AB=5， ， ∴AO=OC= ，BO=OD= ． ∵ ， ∴AH=4，BH=3． ∵AD∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵EF∥AH， ∴ ， ∴ ． ∴ ． （3）因为点 P 在线段 BC 的延长线上，所以∠EPC 不可能为直角．如图 2 所示： ①当∠ECP=90°时 ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAE=∠BCE=90°， ∵ ， ∴ ，∴BP= ． ②当∠CEP=90°时， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠AEB=∠CEB=45°， ∴ ， ∴ ， ． ∵AD∥BP， ∴ ， ∴ ， ∴BP=15． 综上所述，当△EPC 是直角三角形时，线段 BP 的长为 或 15． 　 参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；sdwdmahongye；733599； dbz1018；放飞梦想；星期八；zjx111；HLing；郝老师；三界无我；nhx600； sd2011；1987483819；sks；王学峰；caicl；曹先生；zhjh；CJX；星月相随；家有 儿女（排名不分先后） 菁优网 2017 年 4 月 8 日