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- 2021-05-13 发布
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中考专题复习模拟演练:解直角三角形及其应用
一、选择题
1.轮船在B处测得小岛A在其北偏东32°方向,从小岛A观测B处的方向为( )
A. 北偏东32° B. 南偏西32° C. 南偏东32° D. 南偏西58°
【答案】B
2.直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为( )
A. 150o B. 135o C. 120o D. 120o或135o
【答案】B
3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A. B. C. D.
【答案】A
4.已知在△ABC中,AB=14,BC=13,tanB= ,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是( )
A. 5 米 B. 10米 C. 15米 D. 10 米
【答案】A
6.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD= ;正确的是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
7.如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是( )
A. 20海里 B. 40海里 C. 20 海里 D. 40 海里
【答案】C
8.在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆,拉线与地面成60°的角,则拉线的长是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 10米
【答案】A
9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
10.如图,已知⊙O的半径为5,锐角△ABC内接于⊙O,AB=8,则tan∠ACB的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为( )
A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
【答案】A
12.如图,△ABC内接于⊙O,∠A的度数为60°,∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F.以下四个结论:①cos∠BFE= ;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的序号数是( )
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④
【答案】B
二、填空题
13.如果一段斜坡的坡角是30°,那么这段斜坡的坡度是 ________ .(请写成1:m的形式)
【答案】1:
14.△ABC中,AB=12,AC= ,∠B=30°,则△ABC的面积是________.
【答案】21 或15
15. 如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ= ,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为________.
【答案】4
16.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AB=5,AC=3,则tan∠ADC =________.
【答案】
17.在△ABC中,AB=12, AC=13,cos∠B=, 则BC边长为________ .
【答案】7或17
18.(2019•东营)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A、B两点的距离为s米,则塔高为________米.
【答案】
19.如图,把两块相同的含30°角的三角尺如图放置,若 cm,则三角尺的最长边长为________.
【答案】12cm
三、解答题
20.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km,问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参考数据:sin15°≈0.25,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27, )
【答案】解:由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°,
∵BC=CD,
∴△BCD是等边三角形.
过点B作BE⊥AD,垂足为E,如图所示:
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°,
∵△BCD是等边三角形,
∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km,
∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°,
∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m,
∴AB= = ≈7m,
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m.
答:从A地跑到D地的路程约为47m.
21.如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B,N,D在同一条直线上).求旗杆MN的高度.(参考数据: , ,结果保留整数)
【答案】解:过A作AE⊥MN,垂足为E,过C作CF⊥MN,垂足为F
设ME=x,Rt△AME中,∠MAE=45°,
∴AE=ME=x,Rt△MCF中,MF=x+0.2,
CE= = (x+0.2),
∵BD=AE+CF,
∴x+ (x+0.2)=30
∴x≈11.0,即AE=11.0,
∴MN=11.0+1.7=12.7≈13.
22.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=15,cos A=.
(1)求线段CD的长;
(2)求sin ∠DBE的值.
【答案】解:(1)∵AC=15,
cos A=,
∴=
∴AB=25,
∵△ACB为直角三角形,D是边AB的中点,
∴CD=;
(2)AD=BD=CD=,设DE=x,EB=y,则:
解得:x=,
∴sin ∠DBE==.
23. 如图1是一副创意卡通圆规,图2是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.
(1)当∠AOB=18°时,求所作圆的半径;(结果精确到0.01cm)
(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)
(参考数据:sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器)
【答案】(1)解:作OC⊥AB于点C,如右图2所示,
由题意可得,OA=OB=10cm,∠OCB=90°,∠AOB=18°,
∴∠BOC=9°
∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm,
即所作圆的半径约为3.13cm;
(2)解:作AD⊥OB于点D,作AE=AB,如下图3所示,
∵保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,
∴折断的部分为BE,
∵∠AOB=18°,OA=OB,∠ODA=90°,
∴∠OAB=81°,∠OAD=72°,
∴∠BAD=9°,
∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm,
即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm.
24.如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)当t= 时,则OP=________,S△ABP=________;
(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;
(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQ·BP=3.
【答案】(1)1;
(2)解:①∵∠A<∠BOC=60°,∴∠A不可能是直角
②当∠ABP=90°时
∵∠BOC=60°,∴∠OPB=30°
∴OP=2OB,即2t=2
∴t=1
③当∠APB=90°时
作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°
∵OP=2t,∴OD=t,PD= t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形)
∴AP2=(2+t)2+3t2 , BP2=(1-t)2+3t2
∵AP2+BP2=AB2 , ∴(2+t)2+3t2+(1-t)2+3t2=9
即4t2+t-2=0,解得t1
解得t1= ,t2= (舍去)
综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或
(3)解:连接PQ,设AP与OQ相交于点E
∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB
∵AP=AB,∴∠APB=∠B
∴∠QAP=∠B
又∵∠QOP=∠B,∴∠QAP=∠QOP
∵∠QEA=∠PEO,∴△QEA∽△PEO
∴
又∵∠PEQ=∠OEA,∴△PEQ∽△OEA
∴∠APQ=∠AOQ
∵∠AOC=∠AOQ+∠QOP=∠B+∠BPO
∴∠AOQ=∠BPO,
∴∠APQ=∠BPO
∴△APQ∽△BPO,
∴
∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3