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  • 2021-05-13 发布

中考数学专题复习模拟演练解直角三角形及其应用

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中考专题复习模拟演练:解直角三角形及其应用 一、选择题 ‎1.轮船在B处测得小岛A在其北偏东32°方向,从小岛A观测B处的方向为(    ) ‎ A. 北偏东32°                         B. 南偏西32°                         C. 南偏东32°                         D. 南偏西58°‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为(  ) ‎ A. 150o                               B. 135o                               C. 120o                               D. 120o或135o​‎ ‎【答案】B ‎ ‎3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(  )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) ‎ A.                  B.                  C.                  D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎4.已知在△ABC中,AB=14,BC=13,tanB= ,则sinA的值为(   ) ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎5.河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是(   ) ‎ A. 5 米                                B. 10米                                C. 15米                                D. 10 米 ‎【答案】A ‎ ‎6.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD= ;正确的是(   )‎ A. 4个                                       B. 3个                                       C. 2个                                       D. 1个 ‎【答案】B ‎ ‎7.如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是(   ) ‎ A. 20海里                           B. 40海里                           C. 20 海里                           D. 40 海里 ‎【答案】C ‎ ‎8.在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆,拉线与地面成60°的角,则拉线的长是( ) ‎ A. 米                                B. 米                                C. 米                                D. 10米 ‎【答案】A ‎ ‎9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是(   ) ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎10.如图,已知⊙O的半径为5,锐角△ABC内接于⊙O,AB=8,则tan∠ACB的值等于(   )‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎11.如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为(   ) ‎ A. 5m                                       B. 6m                                       C. 7m                                       D. 8m ‎【答案】A ‎ ‎12.如图,△ABC内接于⊙O,∠A的度数为60°,∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F.以下四个结论:①cos∠BFE= ;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的序号数是(   )‎ A. ①②                                     B. ①③                                     C. ③④                                     D. ②④‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ‎ ‎13.如果一段斜坡的坡角是30°,那么这段斜坡的坡度是 ________ .(请写成1:m的形式) ‎ ‎【答案】1:  ‎ ‎14.△ABC中,AB=12,AC= ,∠B=30°,则△ABC的面积是________. ‎ ‎【答案】21 或15 ‎ ‎15. 如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ= ,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为________. ‎ ‎【答案】4 ‎ ‎16.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AB=5,AC=3,则tan∠ADC =________. ‎ ‎【答案】‎ ‎17.在△ABC中,AB=12, AC=13,cos∠B=, 则BC边长为________ . ‎ ‎【答案】7或17 ‎ ‎18.(2019•东营)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A、B两点的距离为s米,则塔高为________米. ‎ ‎【答案】‎ ‎19.如图,把两块相同的含30°角的三角尺如图放置,若 cm,则三角尺的最长边长为________. ‎ ‎【答案】12cm ‎ 三、解答题 ‎ ‎20.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km,问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参考数据:sin15°≈0.25,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27, ) ‎ ‎【答案】解:由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°, ∵BC=CD, ∴△BCD是等边三角形. 过点B作BE⊥AD,垂足为E,如图所示: 由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°, ∵△BCD是等边三角形, ∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km, ∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°, ∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m, ∴AB= = ≈7m, ∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m. 答:从A地跑到D地的路程约为47m. ‎ ‎21.如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B,N,D在同一条直线上).求旗杆MN的高度.(参考数据: , ,结果保留整数) ‎ ‎【答案】解:过A作AE⊥MN,垂足为E,过C作CF⊥MN,垂足为F 设ME=x,Rt△AME中,∠MAE=45°, ∴AE=ME=x,Rt△MCF中,MF=x+0.2, CE= = (x+0.2), ∵BD=AE+CF, ‎ ‎∴x+ (x+0.2)=30 ∴x≈11.0,即AE=11.0, ∴MN=11.0+1.7=12.7≈13. ‎ ‎22.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=15,cos A=. (1)求线段CD的长; (2)求sin ∠DBE的值. ‎ ‎【答案】解:(1)∵AC=15, cos A=, ∴= ∴AB=25, ∵△ACB为直角三角形,D是边AB的中点, ∴CD=; (2)AD=BD=CD=,设DE=x,EB=y,则: 解得:x=, ∴sin ∠DBE==. ‎ ‎23. 如图1是一副创意卡通圆规,图2是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm. ‎ ‎(1)当∠AOB=18°时,求所作圆的半径;(结果精确到0.01cm) ‎ ‎(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm) (参考数据:sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器) ‎ ‎【答案】(1)解:作OC⊥AB于点C,如右图2所示, 由题意可得,OA=OB=10cm,∠OCB=90°,∠AOB=18°, ∴∠BOC=9° ∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm, 即所作圆的半径约为3.13cm; (2)解:作AD⊥OB于点D,作AE=AB,如下图3所示, ∵保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等, ∴折断的部分为BE, ∵∠AOB=18°,OA=OB,∠ODA=90°, ∴∠OAB=81°,∠OAD=72°, ‎ ‎∴∠BAD=9°, ∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm, 即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm. ‎ ‎24.如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒. ‎ ‎(1)当t=  时,则OP=________,S△ABP=________; ‎ ‎(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值; ‎ ‎(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQ·BP=3. ‎ ‎【答案】(1)1; (2)解:①∵∠A<∠BOC=60°,∴∠A不可能是直角 ②当∠ABP=90°时 ∵∠BOC=60°,∴∠OPB=30° ∴OP=2OB,即2t=2 ∴t=1 ③当∠APB=90°时 作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90° ∵OP=2t,∴OD=t,PD= t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形) ‎ ‎∴AP2=(2+t)2+3t2 , BP2=(1-t)2+3t2 ∵AP2+BP2=AB2 , ∴(2+t)2+3t2+(1-t)2+3t2=9 即4t2+t-2=0,解得t1 解得t1= ,t2= (舍去) 综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或 (3)解:连接PQ,设AP与OQ相交于点E ∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB ∵AP=AB,∴∠APB=∠B ∴∠QAP=∠B 又∵∠QOP=∠B,∴∠QAP=∠QOP ∵∠QEA=∠PEO,∴△QEA∽△PEO ∴ 又∵∠PEQ=∠OEA,∴△PEQ∽△OEA ∴∠APQ=∠AOQ ∵∠AOC=∠AOQ+∠QOP=∠B+∠BPO ∴∠AOQ=∠BPO, ∴∠APQ=∠BPO ∴△APQ∽△BPO, ∴ ∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3 ‎