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  • 2021-05-13 发布

2016苏州中考数学试卷附答案解析

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‎2016年江苏省苏州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.的倒数是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,0.0007用科学记数法表示为(  )‎ A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5‎ ‎3.下列运算结果正确的是(  )‎ A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1‎ C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b ‎4.一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12、10、6、8,则第5组的频率是(  )‎ A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4‎ ‎5.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为(  )‎ A.58° B.42° C.32° D.28°‎ ‎6.已知点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1、y2的大小关系为(  )‎ A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.无法确定 ‎7.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费,某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:‎ 用水量(吨)‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 户数 ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是(  )‎ A.25,27 B.25,25 C.30,27 D.30,25‎ ‎8.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为(  )‎ A.2m B.2m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m ‎9.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(  )‎ A.(3,1) B.(3,) C.(3,) D.(3,2)‎ ‎10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎11.分解因式:x2﹣1=      .‎ ‎12.当x=      时,分式的值为0.‎ ‎13.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛,对这两名运动员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是      运动员.(填“甲”或“乙”)‎ ‎14.某学校计划购买一批课外读物,为了了解学生对课外读物的需求情况,学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查,设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别,规定每人必须并且只能选择其中一类,现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计,并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,则在扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是      度.‎ ‎15.不等式组的最大整数解是      .‎ ‎16.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A=∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为      .‎ ‎17.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为      .‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共10小题,满分76分)‎ ‎19.计算:()2+|﹣3|﹣(π+)0.‎ ‎20.解不等式2x﹣1>,并把它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎21.先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=.‎ ‎22.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆,现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆?‎ ‎23.在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字﹣1、0、2,它们除了数字不同外,其他都完全相同.‎ ‎(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率为      ;‎ ‎(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标,请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.‎ ‎24.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;‎ ‎(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.‎ ‎25.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.‎ ‎26.如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.‎ ‎(1)证明:∠E=∠C;‎ ‎(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;‎ ‎(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=,E是的中点,求EG•ED的值.‎ ‎27.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t<).‎ ‎(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为      ;‎ ‎(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;‎ ‎(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:‎ ‎①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;‎ ‎②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.‎ ‎28.如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.‎ ‎①写出点M′的坐标;‎ ‎②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).‎ ‎ ‎ ‎2016年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.的倒数是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】倒数.‎ ‎【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可.‎ ‎【解答】解:∵×=1,‎ ‎∴的倒数是.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,0.0007用科学记数法表示为(  )‎ A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数.‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.0007=7×10﹣4,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.下列运算结果正确的是(  )‎ A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1‎ C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b ‎【考点】整式的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.‎ ‎【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案.‎ ‎【解答】解:A、a+2b,无法计算,故此选项错误;‎ B、3a2﹣2a2=a2,故此选项错误;‎ C、a2•a4=a6,故此选项错误;‎ D、(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b,故此选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12、10、6、8,则第5组的频率是(  )‎ A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4‎ ‎【考点】频数与频率.‎ ‎【分析】根据第1~4组的频数,求出第5组的频数,即可确定出其频率.‎ ‎【解答】解:根据题意得:40﹣(12+10+6+8)=40﹣36=4,‎ 则第5组的频率为4÷40=0.1,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为(  )‎ A.58° B.42° C.32° D.28°‎ ‎【考点】平行线的性质.‎ ‎【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2,根据三角形内角和定理求出即可.‎ ‎【解答】解:∵直线a∥b,‎ ‎∴∠ACB=∠2,‎ ‎∵AC⊥BA,‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ ‎∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.已知点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1、y2的大小关系为(  )‎ A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.无法确定 ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案.‎ ‎【解答】解:∵点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,‎ ‎∴每个象限内,y随x的增大而增大,‎ ‎∴y1<y2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费,某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:‎ 用水量(吨)‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 户数 ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是(  )‎ A.25,27 B.25,25 C.30,27 D.30,25‎ ‎【考点】众数;中位数.‎ ‎【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题.‎ ‎【解答】解:因为30出现了9次,‎ 所以30是这组数据的众数,‎ 将这30个数据从小到大排列,第15、16个数据的平均数就是中位数,所以中位数是25,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为(  )‎ A.2m B.2m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ ‎【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD,然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.‎ ‎【解答】解:在Rt△ABD中,∵sin∠ABD=,‎ ‎∴AD=4sin60°=2(m),‎ 在Rt△ACD中,∵sin∠ACD=,‎ ‎∴AC==2(m).‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(  )‎ A.(3,1) B.(3,) C.(3,) D.(3,2)‎ ‎【考点】矩形的性质;坐标与图形性质;轴对称-最短路线问题.‎ ‎【分析】如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小,先求出直线CH解析式,再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.‎ ‎【解答】解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.‎ ‎∵D(,0),A(3,0),‎ ‎∴H(,0),‎ ‎∴直线CH解析式为y=﹣x+4,‎ ‎∴x=3时,y=,‎ ‎∴点E坐标(3,)‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎【考点】三角形的面积.‎ ‎【分析】连接AC,过B作EF的垂线,利用勾股定理可得AC,易得△ABC的面积,可得BG和△ADC的面积,三角形ABC与三角形ACD同底,利用面积比可得它们高的比,而GH又是△ACD以AC为底的高的一半,可得GH,易得BH,由中位线的性质可得EF的长,利用三角形的面积公式可得结果.‎ ‎【解答】解:连接AC,过B作EF的垂线交AC于点G,交EF于点H,‎ ‎∵∠ABC=90°,AB=BC=2,‎ ‎∴AC===4,‎ ‎∵△ABC为等腰三角形,BH⊥AC,‎ ‎∴△ABG,△BCG为等腰直角三角形,‎ ‎∴AG=BG=2‎ ‎∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4,‎ ‎∴S△ADC=2,‎ ‎∵=2,‎ ‎∴GH=BG=,‎ ‎∴BH=,‎ 又∵EF=AC=2,‎ ‎∴S△BEF=•EF•BH=×2×=,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎11.分解因式:x2﹣1= (x+1)(x﹣1) .‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法.‎ ‎【分析】利用平方差公式分解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:x2﹣1=(x+1)(x﹣1).‎ 故答案为:(x+1)(x﹣1).‎ ‎ ‎ ‎12.当x= 2 时,分式的值为0.‎ ‎【考点】分式的值为零的条件.‎ ‎【分析】直接利用分式的值为0,则分子为0,进而求出答案.‎ ‎【解答】解:∵分式的值为0,‎ ‎∴x﹣2=0,‎ 解得:x=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎13.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛,对这两名运动员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是 乙 运动员.(填“甲”或“乙”)‎ ‎【考点】方差.‎ ‎【分析】根据方差的定义,方差越小数据越稳定.‎ ‎【解答】解:因为S甲2=0.024>S乙2=0.008,方差小的为乙,‎ 所以本题中成绩比较稳定的是乙.‎ 故答案为乙.‎ ‎ ‎ ‎14.某学校计划购买一批课外读物,为了了解学生对课外读物的需求情况,学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查,设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别,规定每人必须并且只能选择其中一类,现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计,并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,则在扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度.‎ ‎【考点】条形统计图;扇形统计图.‎ ‎【分析】根据文学类人数和所占百分比,求出总人数,然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案.‎ ‎【解答】解:根据条形图得出文学类人数为90,利用扇形图得出文学类所占百分比为:30%,‎ 则本次调查中,一共调查了:90÷30%=300(人),‎ 则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°×=72°;‎ 故答案为:72.‎ ‎ ‎ ‎15.不等式组的最大整数解是 3 .‎ ‎【考点】一元一次不等式组的整数解.‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集,最后求其整数解即可.‎ ‎【解答】解:解不等式x+2>1,得:x>﹣1,‎ 解不等式2x﹣1≤8﹣x,得:x≤3,‎ 则不等式组的解集为:﹣1<x≤3,‎ 则不等式组的最大整数解为3,‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A=∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为  .‎ ‎【考点】切线的性质;圆周角定理;扇形面积的计算.‎ ‎【分析】连接OC,可求得△OCD和扇形OCB的面积,进而可求出图中阴影部分的面积.‎ ‎【解答】解:连接OC,‎ ‎∵过点C的切线交AB的延长线于点D,‎ ‎∴OC⊥CD,‎ ‎∴∠OCD=90°,‎ 即∠D+∠COD=90°,‎ ‎∵AO=CO,‎ ‎∴∠A=∠ACO,‎ ‎∴∠COD=2∠A,‎ ‎∵∠A=∠D,‎ ‎∴∠COD=2∠D,‎ ‎∴3∠D=90°,‎ ‎∴∠D=30°,‎ ‎∴∠COD=60°‎ ‎∵CD=3,‎ ‎∴OC=3×=,‎ ‎∴阴影部分的面积=×3×﹣=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为 2 .‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题).‎ ‎【分析】作DF⊥B′E于点F,作B′G⊥AD于点G,首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形,从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形,从而GD=B′F=2,然后根据勾股定理得到B′G=2,然后再次利用勾股定理求得答案即可.‎ ‎【解答】解:如图,作DF⊥B′E于点F,作B′G⊥AD于点G,‎ ‎∵∠B=60°,BE=BD=4,‎ ‎∴△BDE是边长为4的等边三角形,‎ ‎∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE,‎ ‎∴△B′DE也是边长为4的等边三角形,‎ ‎∴GD=B′F=2,‎ ‎∵B′D=4,‎ ‎∴B′G===2,‎ ‎∵AB=10,‎ ‎∴AG=10﹣6=4,‎ ‎∴AB′===2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2‎ ‎),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 (1,) .‎ ‎【考点】坐标与图形性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】先根据题意求得CD和PE的长,再判定△EPC∽△PDB,列出相关的比例式,求得DP的长,最后根据PE、DP的长得到点P的坐标.‎ ‎【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(8,0),(0,2)‎ ‎∴BO=,AO=8‎ 由CD⊥BO,C是AB的中点,可得BD=DO=BO==PE,CD=AO=4‎ 设DP=a,则CP=4﹣a 当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,∠FCP=∠DBP 又∵EP⊥CP,PD⊥BD ‎∴∠EPC=∠PDB=90°‎ ‎∴△EPC∽△PDB ‎∴,即 解得a1=1,a2=3(舍去)‎ ‎∴DP=1‎ 又∵PE=‎ ‎∴P(1,)‎ 故答案为:(1,)‎ ‎ ‎ 三、解答题(共10小题,满分76分)‎ ‎19.计算:()2+|﹣3|﹣(π+)0.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂.‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案.‎ ‎【解答】解:原式=5+3﹣1‎ ‎=7.‎ ‎ ‎ ‎20.解不等式2x﹣1>,并把它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎【考点】解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.‎ ‎【分析】根据分式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集,再根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来.‎ ‎【解答】解:去分母,得:4x﹣2>3x﹣1,‎ 移项,得:4x﹣3x>2﹣1,‎ 合并同类项,得:x>1,‎ 将不等式解集表示在数轴上如图:‎ ‎ ‎ ‎21.先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=.‎ ‎【考点】分式的化简求值.‎ ‎【分析】先括号内通分,然后计算除法,最后代入化简即可.‎ ‎【解答】解:原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=,‎ 当x=时,原式==.‎ ‎ ‎ ‎22.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆,现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆?‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用.‎ ‎【分析】先设中型车有x辆,小型车有y辆,再根据题中两个等量关系,列出二元一次方程组进行求解.‎ ‎【解答】解:设中型车有x辆,小型车有y辆,根据题意,得 解得 答:中型车有20辆,小型车有30辆.‎ ‎ ‎ ‎23.在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字﹣1、0、2,它们除了数字不同外,其他都完全相同.‎ ‎(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率为  ;‎ ‎(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标,请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;坐标与图形性质;概率公式.‎ ‎【分析】(1)直接利用概率公式求解;‎ ‎(2)先画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率=;‎ 故答案为;‎ ‎(2)画树状图为:‎ 共有9种等可能的结果数,其中点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数为6,‎ 所以点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率==.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;‎ ‎(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.‎ ‎【考点】菱形的性质;平行四边形的判定与性质.‎ ‎【分析】(1)根据平行四边形的判定证明即可;‎ ‎(2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB∥CD,AC⊥BD,‎ ‎∴AE∥CD,∠AOB=90°,‎ ‎∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,‎ ‎∴∠AOB=∠EDB,‎ ‎∴DE∥AC,‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形;‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,‎ ‎∴AO=4,DO=3,AD=CD=5,‎ ‎∵四边形ACDE是平行四边形,‎ ‎∴AE=CD=5,DE=AC=8,‎ ‎∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.‎ ‎ ‎ ‎25.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.‎ ‎【分析】将点B(2,n)、P(3n﹣4,1)代入反比例函数的解析式可求得m、n的值,从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标,过点P作PD⊥BC,垂足为D,并延长交AB与点P′.接下来证明△BDP≌△BDP′,从而得到点P′的坐标,最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式.‎ ‎【解答】解:∵点B(2,n)、P(3n﹣4,1)在反比例函数y=(x>0)的图象上,‎ ‎∴.‎ 解得:m=8,n=4.‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=.‎ ‎∵m=8,n=4,‎ ‎∴点B(2,4),(8,1).‎ 过点P作PD⊥BC,垂足为D,并延长交AB与点P′.‎ 在△BDP和△BDP′中,‎ ‎∴△BDP≌△BDP′.‎ ‎∴DP′=DP=6.‎ ‎∴点P′(﹣4,1).‎ 将点P′(﹣4,1),B(2,4)代入直线的解析式得:,‎ 解得:.‎ ‎∴一次函数的表达式为y=x+3.‎ ‎ ‎ ‎26.如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.‎ ‎(1)证明:∠E=∠C;‎ ‎(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;‎ ‎(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=,E是的中点,求EG•ED的值.‎ ‎【考点】圆的综合题.‎ ‎【分析】(1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC,劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC,即可得出∠E=∠C;‎ ‎(2)利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E,进而得出∠BDF=∠C+∠CFD,即可得出答案;‎ ‎(3)根据cosB=,得出AB的长,再求出AE的长,进而得出△AEG∽△DEA,求出答案即可.‎ ‎【解答】(1)证明:连接AD,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,‎ ‎∵CD=BD,‎ ‎∴AD垂直平分BC,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ 又∵∠B=∠E,‎ ‎∴∠E=∠C;‎ ‎(2)解:∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠AFD=180°﹣∠E,‎ 又∵∠CFD=180°﹣∠AFD,‎ ‎∴∠CFD=∠E=55°,‎ 又∵∠E=∠C=55°,‎ ‎∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;‎ ‎(3)解:连接OE,‎ ‎∵∠CFD=∠E=∠C,‎ ‎∴FD=CD=BD=4,‎ 在Rt△ABD中,cosB=,BD=4,‎ ‎∴AB=6,‎ ‎∵E是的中点,AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠AOE=90°,‎ ‎∵AO=OE=3,‎ ‎∴AE=3,‎ ‎∵E是的中点,‎ ‎∴∠ADE=∠EAB,‎ ‎∴△AEG∽△DEA,‎ ‎∴=,‎ 即EG•ED=AE2=18.‎ ‎ ‎ ‎27.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t<).‎ ‎(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为  ;‎ ‎(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;‎ ‎(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:‎ ‎①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;‎ ‎②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.‎ ‎【考点】圆的综合题.‎ ‎【分析】(1)先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ,再根据角平分线性质,列出方程解决问题.‎ ‎(2)由△QTM∽△BCD,得=列出方程即可解决.‎ ‎(3)①如图2中,由此QM交CD于E,求出DE、DO利用差值比较即可解决问题.‎ ‎②如图3中,由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H,QM与CD交于点E.由△OHE∽△BCD,得=,列出方程即可解决问题.利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切.‎ ‎【解答】(1)解:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,‎ ‎∴BD===10,‎ ‎∵PQ⊥BD,‎ ‎∴∠BPQ=90°=∠C,‎ ‎∵∠PBQ=∠DBC,‎ ‎∴△PBQ∽△CBD,‎ ‎∴==,‎ ‎∴==,‎ ‎∴PQ=3t,BQ=5t,‎ ‎∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,‎ ‎∴QP=QC,‎ ‎∴3t=6﹣5t,‎ ‎∴t=,‎ 故答案为.‎ ‎(2)解:如图2中,作MT⊥BC于T.‎ ‎∵MC=MQ,MT⊥CQ,‎ ‎∴TC=TQ,‎ 由(1)可知TQ=(8﹣5t),QM=3t,‎ ‎∵MQ∥BD,‎ ‎∴∠MQT=∠DBC,‎ ‎∵∠MTQ=∠BCD=90°,‎ ‎∴△QTM∽△BCD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴t=(s),‎ ‎∴t=s时,△CMQ是以CQ为底的等腰三角形.‎ ‎(3)①证明:如图2中,由此QM交CD于E,‎ ‎∵EQ∥BD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴EC=(8﹣5t),ED=DC﹣EC=6﹣(8﹣5t)=t,‎ ‎∵DO=3t,‎ ‎∴DE﹣DO=t﹣3t=t>0,‎ ‎∴点O在直线QM左侧.‎ ‎②解:如图3中,由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H,QM与CD交于点E.‎ ‎∵EC=(8﹣5t),DO=3t,‎ ‎∴OE=6﹣3t﹣(8﹣5t)=t,‎ ‎∵OH⊥MQ,‎ ‎∴∠OHE=90°,‎ ‎∵∠HEO=∠CEQ,‎ ‎∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,‎ ‎∵∠OHE=∠C=90°,‎ ‎∴△OHE∽△BCD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴t=.‎ ‎∴t=s时,⊙O与直线QM相切.‎ 连接PM,假设PM与⊙O相切,则∠OMH=PMQ=22.5°,‎ 在MH上取一点F,使得MF=FO,则∠FMO=∠FOM=22.5°,‎ ‎∴∠OFH=∠FOH=45°,‎ ‎∴OH=FH=0.8,FO=FM=0.8,‎ ‎∴MH=0.8(+1),‎ 由=得到HE=,‎ 由=得到EQ=,‎ ‎∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=,‎ ‎∴0.8(+1)≠,矛盾,‎ ‎∴假设不成立.‎ ‎∴直线MQ与⊙O不相切.‎ ‎ ‎ ‎28.如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.‎ ‎①写出点M′的坐标;‎ ‎②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)利用直线l的解析式求出B点坐标,再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值;‎ ‎(2)过点M作ME⊥y轴于点E,交AB于点D,所以△ABM的面积为DM•OB,设M的坐标为(m,﹣m2+2m+3),用含m的式子表示DM,然后求出S与m的函数关系式,即可求出S的最大值,其中m的取值范围是0<m<3;‎ ‎(3)①由(2)可知m=,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值;‎ ‎②过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,所以d1+d2=BF,所以求出BF的最小值即可,由题意可知,点F在以BM′为直径的圆上,所以当点F与M′重合时,BF可取得最大值.‎ ‎【解答】解:(1)令x=0代入y=﹣3x+3,‎ ‎∴y=3,‎ ‎∴B(0,3),‎ 把B(0,3)代入y=ax2﹣2ax+a+4,‎ ‎∴3=a+4,‎ ‎∴a=﹣1,‎ ‎∴二次函数解析式为:y=﹣x2+2x+3;‎ ‎(2)令y=0代入y=﹣x2+2x+3,‎ ‎∴0=﹣x2+2x+3,‎ ‎∴x=﹣1或3,‎ ‎∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3,‎ ‎∵M在抛物线上,且在第一象限内,‎ ‎∴0<m<3,‎ 过点M作ME⊥y轴于点E,交AB于点D,‎ 由题意知:M的坐标为(m,﹣m2+2m+3),‎ ‎∴D的纵坐标为:﹣m2+2m+3,‎ ‎∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴D的坐标为(,﹣m2+2m+3),‎ ‎∴DM=m﹣=,‎ ‎∴S=DM•BE+DM•OE ‎=DM(BE+OE)‎ ‎=DM•OB ‎=××3‎ ‎=‎ ‎=(m﹣)2+‎ ‎∵0<m<3,‎ ‎∴当m=时,‎ S有最大值,最大值为;‎ ‎(3)①由(2)可知:M′的坐标为(,);‎ ‎②过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,‎ 根据题意知:d1+d2=BF,‎ 此时只要求出BF的最大值即可,‎ ‎∵∠BFM′=90°,‎ ‎∴点F在以BM′为直径的圆上,‎ 设直线AM′与该圆相交于点H,‎ ‎∵点C在线段BM′上,‎ ‎∴F在优弧上,‎ ‎∴当F与M′重合时,‎ BF可取得最大值,‎ 此时BM′⊥l1,‎ ‎∵A(1,0),B(0,3),M′(,),‎ ‎∴由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,‎ 过点M′作M′G⊥AB于点G,‎ 设BG=x,‎ ‎∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2,‎ ‎∴﹣(﹣x)2=﹣x2,‎ ‎∴x=,‎ cos∠M′BG==,‎ ‎∵l1∥l′,‎ ‎∴∠BCA=90°,‎ ‎∠BAC=45°‎ ‎ ‎ ‎2016年6月30日