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- 2021-05-13 发布
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（分类）滚动小专题（十一）与圆有关的计算与证明
类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明
（2018·安徽）20.如图,⊙O 为锐角△ABC 的外接圆,半径为 5.
（1）用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹,不写作法)；
（2）若（1）中的点 E 到弦 BC 的距离为 3,求弦 CE 的长.
解：（1）画图略
（2）∵AE 平分∠BAC
∴弧 BE=弧 EC，连接 OE
则 OE⊥BC 于点 F，EF=3
连接 OC、EC
在 Rt△OFC 中，由勾股定理可得 FC= 21
在 Rt△EFC 中，由勾股定理可得 CE= 30
（2018 湖州）
21．（8 分）（2018•湖州）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，OC∥BD，交 AD 于点
E，连结 BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若 AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
（2018 无锡）24、（本题满分 8 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆心 O，AB=17，CD=10，∠A=90°，
cos B=
5
3 ，求 AD 的长。
【解答】
DA⊥AB
∠DAB=90°
在圆 O 中
∠DCB=90°
延长 AD、BC 交于点 E，易证∠B=∠EDC
5
3
ED
DC
3
50ED
5
3cos B
3
4tan B
在△EAB 中，EA=
3
68
3
417
DA=EA-ED=
3
50
3
68 =6
25．（10 分）如图，AB 是以 O 为圆心的半圆的直径，半径 CO⊥AO，点 M 是 上的动点，且不与
点 A、C、B 重合，直线 AM 交直线 OC 于点 D，连结 OM 与 CM．
（1）若半圆的半径为 10．
①当∠AOM=60°时，求 DM 的长；
②当 AM=12 时，求 DM 的长．
（2）探究：在点 M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说
明理由．
【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，
∵OM=OA，
∴△AMO 是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②过点 M 作 MF⊥OA 于点 F，
设 AF=x，
∴OF=10﹣x，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2
∴x= ，
∴AF= ，
∵MF∥OD，
∴△AMF∽△ADO，
∴ ，
∴ ，
∴AD=
∴MD=AD﹣AM=
（2）当点 M 位于 之间时，
连接 BC，
∵C 是 的重点，
∴∠B=45°，
∵四边形 AMCB 是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，
当点 M 位于 之间时，
连接 BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
综上所述，∠CMD=45°
（2018 温州）22.（本题 10 分）如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作△ABD 的外接圆，
将△ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在上.
（1）求证：AE=AB.
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= 1
3
，BE=2，求 BC 的长.
（2018 台州）24.如图， ABC 是 O 的内接三角形，点 D 在 BC 上，点 E 在弦 AB 上（ E 不
与 A 重合），且四边形 BDCE 为菱形.
（1）求证： AC CE ；
（2）求证： 2 2BC AC AB AC ；
（3）已知 O 的半径为 3.
①若 5
3
AB
AC
，求 BC 的长；
②当 AB
AC
为何值时， AB AC 的值最大？
（2018 南通）28.如图， O 的直径 26AB ，P 是 AB 上（不与点 A B、 重合）的任一点，点 C D、
为 O 上的两点.若 APD BPC ，则称 CPD 为直径 AB 的“回旋角”.
（1）若 60BPC DPC ，则 CPD 是直径 AB 的 “回旋角”吗？并说明理由；
（2）若 CD 的长为 13
4
，求“回旋角” CPD 的度数；
（3）若直径 AB 的“回旋角”为120 ，且 PCD 的周长为 24 13 3 ，直接写出 AP 的长.
解：28．（1）是；
（2）45°；
（3）3 或 23．
（2018 湘潭）
（2018 南京）26.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE .过点 A 作 AF DE ，
垂足为 F . O 经过点C 、 D 、 F ，与 AD 相交于点G .
（1）求证 AFG DFC∽△ △ ；
（ 2 ） 若 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 4 ， 1AE ， 求 O 的 半 径
（2018 黄冈）18. 如图， AD 是 O 的直径， AB 为 O 的弦，OP AD ，OP 与 AB 的延长
线交于点 P ，过 B 点的切线交OP 于点 C .
（1）求证： CBP ADB .
（2）若 2OA ， 1AB ，求线段 BP 的长.
（2018 宜昌）21. 如图，在 ABC 中，AB AC . 以 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D ，交 BC
于点 E .延长 AE 至点 F，使 EF AE ,连接 FB FC， .
(1)求证:四边形 ABFC 是菱形；
(2) 若 AD 7 BE 2 ， ，求半圆和菱形 ABFC 的面积.
21.(1)证明： AB 为半圆的直径，
90AEB ,
AB AC ,
CE BE ,
又 EF AE ,
∴四边形 ABFC 是平行四边形.
又 AB AC ,（或 90AEB ，）
∴平行四边形 ABFC 是菱形.
(2)解：∵ 7, 2AD BE CE ,
设CD x ，则 7AB AC x ，
解法一：连接 BD ，（如图）
图 1
∵ AB 为半圆的直径，
90ADB ,
2 2 2 2AB AD CB CD
2 2 2 2(7 ) 7 4x x
1 1x 或 2 8x （舍去）
解法二：连接 DE .（如图）
图 2
∵四边形 ABED 是圆内接四边形
180ADE ABC
180ADE CDE
CDE ABE
DCE BCA
CDE CBA ∽
CD CB
CE CA
4
2 7
x
x
2 7 8 0x x
1 1x 或 2 8x （舍去）
解法三：如图 1，连接 BD ，
AB 为半径的直径，
90ADB
可证 CDB CEA ∽
CD CB
CE CA
4
2 7
x
x
1 1x 或 2 8x （舍去）
21= 4 =82S 半圆
15BD ,
=8 15S 菱形
（2018 福建）
（2018 张家界）20、（本小题满分 6 分）
如图，点 P 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,且 AB =4,点 M 为 上一个动点(不与 BA、
重合),射线 PM 与⊙O 交于点 N (不与 M 重合)
(1) 当 M 在什么位置时, MAB 的面积最大,并求岀这个最大值；
(2)求证: PAN ∽ PMB .
20.解：（1）当点 M 在 AB 弧的中点处时， 最大 ………………1 分
（其它表述合理均给分）
因为此时：
242
1
2
1 ABOM
………………2 分
4242
1
2
1 OMABS ABM
……………3 分
（2） PANPMB …………4 分
PP …………5 分
PMB∽ PAM …………6 分
（2018 贵阳）
23.（本题满分 10 分）如图，AB 为⊙ O 的直径，,，且，AB 4 ，点 C 在半圆上，OC AB ， 垂足为点O ，P
为半圆上任意一点，过 P 点作 PE OC 于点 E，设 OPE 的内心
为 M ,连接OM、PM .
（1）求 OMP 的度数；
（2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长.
ABMS
【解】（1）∵ PE OC ∴ PEO
90
∴ EPO EOP 90
∵ M 是 OPE 的内心 ∴ EOM POM， EPM OPM
∴ POM OPM 1 ( EPO EOP) 45
2
在 POM 中， OMP 180 ( POM OPM ) 180 45 135
（2）连接CM ，作过O、M、C 三点的外接圆，即⊙ N ，连接 NC、NO ，在⊙ N
的优弧上任取一点 H ，连接 HC、HO .如图所示：
由题意知：OP OC， POM COM，OM OM
∴ POM ≌ COM
∴ OMP OMC 135
在⊙ N 的内接四边形CMOH 中， H 180 OMC 180 135 45
∴ N 2 45 90
由题意知：OC 1 AB 1 4 2
2 2
在等腰直角三角形CNO 中， NC NO
由勾股定理得： NC 2 NO 2 OC 2 即 2 NC 2 22 NC 2
当点 P 在 上运动时，点 M 在 上运动
90∴ 的长为：
180
∵ 与 关于 OC 对称
2 2
2
∴当点 P 在 上运动时，点 M 所在弧上的运动路径长与当点 P 在 上运动时，点 M 在
上运动的路径长相等
∴当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长为：
2 2 2
2
（2018 遵义）
25. (12 分)如图，AB 是半圆O 的直径，C是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点
D，交 AC 于点 E，连接 DA，DC.已知半圆 0 的半径为 3，BC=2.
(1) 求AD 的长.
(2) 点P 是线段AC 上一动点，连接 DP，作∠DPF=∠DAC，PF 交线段CD 于点F.当∆DPF 为等腰三角形时，求 AP 的长.
（2018 哈尔滨）
类型 2 与切线有关的计算与证明
（2018 十堰）23.如图， ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E ，过点 D 作
FG AC 于点 F ，交 AB 的延长线于点G .
（1）求证： FG 是 O 的切线；
（2）若 tan 2C ，求 GB
GA
的值.
（2018·德州）22.如图, AB 是 O 的直径,直线CD 与 O 相切于点C ,且与 AB 的延长线交于点 E .点C 是 BF 的
中点.
(1)求证: AD CD
(2)若 30CAD . O 的半径为 3，一只蚂蚁从点 B 出发，沿着 BE CEC B 爬回至点 B ,求蚂蚁爬过的路程
3.14 3 1.73 ， 结果保留一位小数.
（2018·绵阳）如图，AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上（点 D 不与 A，B 重合），直线 AD 交过点 B 的切线于点 C，
过点 D 作 O 的切线 DE 交 BC 于点 E。
（1）求证：BE=CE；
（2）若 DE 平行 AB，求 ACOsin 的值。
（2018·滨州）22.如图，AB 为 O 的直径,点C 在 O 上, AD CD 于点 D ,且 AC 平分 DAB .求证;(1)直线
DC 是 O 的切线;(2) 2 2AC AD AO .
（2018 内江）26.如图，以 Rt ABC 的直角边 AB 为直径作 O 交斜边 AC 于点 D ，过圆心O 作 / /OE AC ，交 BC
于点 E ，连接 DE .
（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由；
（2）求证： 22DE CD OE ；
（3）若 4tan 3C ， 5
2DE ，求 AD 的长.
（2018•内江）如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，
连接 DE．
（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若 tanC= ，DE= ，求 AD 的长．
【解答】解：（1）DE 是⊙O 的切线，理由：如图，
连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点 D 在⊙O 上，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知 DE=BE=CE= BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE 是△ABC 是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；
（3）∵DE= ，
∴BC=5，
在 Rt△BCD 中，tanC= = ，
设 CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=﹣1（舍）或 x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD•AC，
∴AC= = ，
∴AD=AC﹣CD= ﹣3= ．
（2018·甘肃）
（2018·南充）22.如图，C 是 O 上一点，点 P 在直径 AB 的延长线上， O 的半径为 3， 2PB ， 4PC .
（1）求证： PC 是 O 的切线.
（2）求 tan CAB 的值.
22.解：（1）证明：连接 OC .
∵ O 的半径为 3，∴ 3OC OB .
又∵ 2BP ，∴ 5OP .
在 OCP 中， 2 2 2 2 2 23 4 5OC PC OP ，
∴ OCP 为直角三角形， 90OCP .
∴OC PC ，故 PC 为 O 的切线.
（2）过C 作CD OP 于点 D ， 90ODC OCP .
∵ COD POC ，∴ OCD OPC .
∴ OC OP PC
OD OC CD
，∴ 2OC OD OP ，∴
2 9
5
OCOD OP
， 4 5
3DC
，∴ 12
5CD .
又∵ 24
5AD OA OD ，
∴在 Rt CAD 中， 1tan 2
CDCAB AD
.
（2018·金华/丽水）如图，在 Rt△ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC,AB 相交于
点 D,E，连结 AD.已知∠CAD=∠B.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线.
（2）若 BC=8，tanB= 1
2
,求⊙O 的半径.
（2018 宁波）
（2018 衢州）如图，已知 AB 为⊙O 直径，AC 是⊙O 的切线，连接 BC 交⊙O 于点 F，取弧 BF 的中点 D，连接 AD 交
BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB 于 H。
（1）求证：△HBE∽△ABC；
（2）若 CF＝4，BF＝5，求 AC 和 EH 的长。
（2018·枣庄）23．如图，在 Rt ACB 中， 090C ， cmBCcmAC 4,3 ，以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于
点 D .
（1）求线段 AD 的长度；
（2）点 F 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线 ED 与⊙O 相切？请说明理由.
解：（1）在 Rt△ACB 中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接 CD，∵BC 为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴ ，∴ ；
（2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与⊙O 相切；
证明：连接 OD，
∵DE 是 Rt△ADC 的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED 与⊙O 相切．
（2018 成都）20.如图，在 Rt ABC 中， 90C ，AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ，O 为 AB 上一点，经过点 A ，
D 的 O⊙ 分别交 AB ， AC 于点 E ， F ，连接OF 交 AD 于点G .
（1）求证： BC 是 O⊙ 的切线；
（2）设 AB x ， AF y ，试用含 ,x y 的代数式表示线段 AD 的长；
（3）若 8BE ， 5sin 13B ，求 DG 的长.
23．（10 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若⊙O 的直径为 5，BC=4；求 DE 的长．（如果用尺
规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
解：（1）⊙O 如图所示；
（2）作 OH⊥BC 于 H．
∵AC 是⊙O 的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形 ECHO 是矩形，
∴OE=CH= ，BH=BC﹣CH= ，
在 Rt△OBH 中，OH= =2，
∴EC=OH=2，BE= =2 ，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴ = ，
∴ = ，
∴DE= ．
（2018 泸州）24.如图 10，已知 AB，CD 是⊙O 的直径，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P，⊙O 的弦 DE 交
AB 于点 F，且 DF=EF.
（1）求证： 2CO OF OP ；
（2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH AB 于点 H，若 PC= 4 2 ，PB=4，求 GH 的长.
【解答】（1）证明：∵PC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB 是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴ = ，∵OD=OC，
∴OC2=OF•OP．
（2）解：如图作 CM⊥OP 于 M，连接 EC、EO．设 OC=OB=r．
在 Rt△POC 中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4 ）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM= = ，
∵DC 是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形 EFMC 是矩形，
∴EF=CM= ，
在 Rt△OEF 中，OF= = ，
∴EC=2OF= ，
∵EC∥OB，
∴ = = ，
∵GH∥CM，
∴ = = ，
∴GH= ．
（2018 宜宾）23．（10 分）（2018•宜宾）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，D 为 BC 延长线一点，且 BC=CD，
CE⊥AD 于点 E．
（1）求证：直线 EC 为圆 O 的切线；
（2）设 BE 与圆 O 交于点 F，AF 的延长线与 CE 交于点 P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求 sin∠PEF 的值．
【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD 于点 E
∴∠DEC=90°，
∵BC=CD，
∴C 是 BD 的中点，又∵O 是 AB 的中点，
∴OC 是△BDA 的中位线，
∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE，又∵点 C 在圆上，
∴CE 是圆 O 的切线．
（2）连接 AC
∵AB 是直径，点 F 在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×PA
∴PE=PC
在直角△PEF 中，sin∠PEF= = ．
（2018 衡阳）23.如图， O 是 ABC 的外接圆，AB 为直径， BAC 的平分线交 O 于点 D ，过点 D 作 DE AC
分别交 AC 、 AB 的延长线于点 E 、 F .
（1）求证： EF 是 O 的切线；
（2）若 4AC ， 2CE ，求 BD 的长度.（结果保留 ）
解：（1）如图，连接 OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分∠EAF，
∴∠DAE=∠DAO，
∴∠DAE=∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）如图，作 OG⊥AE 于点 G，连接 BD，
则 AG=CG= AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，
∴四边形 ODEG 是矩形，
∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，
∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，
∴△ADE∽△ABD，
∴ = ，即 = ，
∴AD2=48，
在 Rt△ABD 中，BD= =4，
在 Rt△ABD 中，∵AB=2BD，
∴∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°，
则 的长度为 = ．
（2018 聊城）
24.如图，在 Rt ABC 中， 90C ，BE 平分 ABC 交 AC 于点 E ，作 ED EB 交 AB 于点 D ， O 是 BED
的外接圆.
（1）求证： AC 是 O 的切线；
（2）已知 O 的半径为 2.5， 4BE ，求 BC ， AD 的长.
（2018 泰州）22.如图， AB 为 O☉ 的直径， C 为 O☉ 上一点， ABC∠ 的平分线交 O☉ 于点 D ， DE BC 于点 E .
(1)试判断 DE 与 O☉ 的位置关系，并说明理由.
(2)过点 D 作 DF AB 于点 F ，若 3 3BE ， 3DF ，求图中阴影部分的面积.
解：（1）DE 与⊙O 相切，
理由：连接 DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE 与⊙O 相切；
（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3 ，
∴BD= =6，
∵sin∠DBF= = ，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°= = = ，
∴DO=2 ，
则 FO= ，
故图中阴影部分的面积为： ﹣ × ×3=2π﹣ ．
（2018 白银、武威、张掖）20.如图，在 ABC 中， 90ABC .
（1）作 ACB 的平分线交 AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径作 O ；（要求：不写作法，保留作
图痕迹）
（2）判断（1）中 AC 与 O 的位置关系，直接写出结果.
20.解：（1）如图,作出角平分线 CO;
作出⊙O.
（2）AC 与⊙O 相切．
（2018 白银、武威、张掖）27.如图，点O 是 ABC 的边 AB 上一点， O 与边 AC 相切于点 E ，与边 BC ， AB
分别相交于点 D ， F ，且 DE EF .
（1）求证： 90C ；
（2）当 3BC ， 3sin 5A 时，求 AF 的长.
27．（1）证明：连接 OE,BE．
∵ DE=EF，∴ DE︵=EF︵,∴ ∠OBE=∠DBE.
∵ OE=OB,∴∠OEB=∠OBE,
∴∠OEB =∠DBE,∴OE∥BC.
∵⊙O 与边 AC 相切于点 E，∴ OE⊥AC．
∴BC⊥AC,∴∠C=90°.
（2）解：在△ABC 中，∠C=90°，BC=3， 3sin 5A ，
∴AB=5．
设⊙O 的半径为 r，则 AO=5-r，
在 Rt △AOE 中， 3sin 5 5
OE rA OA r
,
∴ 15
8r ．
∴ 15 55 2 8 4AF ．
（2018 常德）24.如图 12，已知 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在CD 的延长线上有一点 F ,使
DF DA , / /AE BC 交CF 于 E .
（1）求证： EA 是 O 的切线；
（2）求证： BD CF .
【解答】证明：（1）连接 OD，
∵⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE 是⊙O 的切线；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF 是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD 和△CAF 中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
（2018 娄底）25.如图， C D、 是以 AB 为直径的 Oe 上的点， » »AC BC= ，弦 CD 交 AB 于点 E .
(1)当 PB是 Oe 的切线时，求证: PBD DABÐ = Ð ；
(2)求证: 2 2BC CE CE DE- = × ；
(3)已知 OA=4 ， E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长.
解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，
∵PB 是⊙O 的切线，
∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠PBD；
（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ = ，即 DE•CE=AE•BE，
如图，连接 OC，
设圆的半径为 r，则 OA=OB=OC=r，
则 DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，
∵ = ，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，
则 BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2=DE•CE；
（3）∵OA=4，
∴OB=OC=OA=4，
∴BC= =4 ，
又∵E 是半径 OA 的中点，
∴AE=OE=2，
则 CE= = =2 ，
∵BC2﹣CE2=DE•CE，
∴（4 ）2﹣（2 ）2=DE•2 ，
解得：DE= ．
（2018 永州）24.如图，线段 AB 为 O 的直径，点C 、 E 在 O 上， BC CE ，CD AB ，垂足为点 D ，连
接 BE ，弦 BE 与线段CD 相交于点 F .
（1）求证：CF BF ；
（2）若 4cos 5ABE ，在 AB 的延长线上取一点 M ，使 4BM ， O 的半径为 6 ，求证：直线CM 是 O 的
切线.
25、(本题满分 10 分)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB=8，点 C 和点 D 是⊙O 上关于直线 AB 对称的两个点，连接
OC、AC，且∠BOC＜90°，直线 BC 和直线AD 相交于点 E，过点 C 作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线
AD 相交于点 G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线 CG 为⊙O 的切线；
（2）若点 H 为线段 OB 上一点，连接 CH，满足 CB＝CH，
①△CBH∽△OBC；
②求 OH＋HC 的最大值.
（1）证明：∵C、D 关于 AB 对称
∴∠GAF=∠CAF
∵∠GAF=∠GCE,∴∠GCE=∠CAF
∵OA=OC,∴∠CAF=∠ACO,∴∠GCE=∠ACO
∵AB 为直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠GCE+∠OCB=90°
即∠OCG=90°，∴CG 为圆 O 的切线.
（2）①∵OC=OB,CH=BC
∴∠OCB=∠OBC,∠CHB=∠CBH
∠CBH=∠OBC=∠OCB=∠CHB
△CBH∽△OBC
②
4,
2BCBMOB
BC
BC
BH
设 BC=x，则 CH=x，BH=
4
2x
524
144
1 22 xxxHCOH
∴当 x=2 时，最大值为 5.
（2018 宿迁）26. （本题满分 10 分）
如图，AB、AC 分别是 O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作 O 的切线与 OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长
线交于点 F.
⑴ 求证：PC 是 O 的切线；
⑵ 若∠ABC=600,AB=10,求线段 CF 的长，
（2018 盐城）25.如图，在以线段 AB 为直径的 O 上取一点，连接 AC 、BC .将 ABC 沿 AB 翻折后得到 ABD .
（1）试说明点 D 在 O 上；
（2）在线段 AD 的延长线上取一点 E ，使 2AB AC AE .求证： BE 为 O 的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 AE 、CB 相交于点 F ，若 2BC ， 4AC ，求线段 EF 的长.
（2018 扬州）25.如图，在 ABC 中， AB AC ， AO BC 于点O ，OE AB 于点 E ，以点O 为圆心，OE 为
半径作半圆，交 AO 于点 F .
（1）求证： AC 是 O 的切线；
（2）若点 F 是 AO 的中点， 3OE ，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE PF 取最小值时，直接写出 BP 的长.
（1）证明：作 OH⊥AC 于 H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC 于点 O，
∴AO 平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵点 F 是 AO 的中点，
∴AO=2OF=3，
而 OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE= OE=3 ，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S 扇形 EOF= ×3×3 ﹣ = ；
（3）解：作 F 点关于 BC 的对称点 F′，连接 EF′交 BC 于 P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时 EP+FP 最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3 ，
即 PE+PF 最小值为 3 ，
在 Rt△OPF′中，OP= OF′= ，
在 Rt△ABO 中，OB= OA= ×6=2 ，
∴BP=2 ﹣ = ，
即当 PE+PF 取最小值时，BP 的长为 ．
（2018 江西省卷）20.如图，在 ABC 中，O 为 AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径作圆，与 BC 相切于点C ，
过点 A 作 AD BO 交 BO 的延长线于点 D ，且 AOD BAD .
（1）求证： AB 为 O 的切线；
（2）若 6BC ， 4tan 3ABC ，求 AD 的长.
（2018 呼和浩特）
（2018 临沂）（2018•临沂）如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D，OB 与⊙O
相交于点 E．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 BD= ，BE=1．求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接 OD，作 OF⊥AC 于 F，如图，
∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，
∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC，
∵AB 与⊙O 相切于点 D，
∴OD⊥AB，
而 OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：在 Rt△BOD 中，设⊙O 的半径为 r，则 OD=OE=r，
∴r2+（ ）2=（r+1）2，解得 r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在 Rt△AOD 中，AD= OD= ，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S 扇形 DOF
=2× ×1× ﹣
= ﹣ ．
（2018 潍坊）
22．如图, BD 为 ABC 外接圆 O 的直径,且 BAE C ．
(1)求证: AE 与 O 相切于点 A ；
(2)若 , 2 7AE BC BC ∥ , 2 2AC ,求 AD 的长．
（2018 天津）21. 已知 AB 是 O 的直径，弦CD 与 AB 相交， 38BAC .
（Ⅰ）如图①，若 D 为 AB 的中点，求 ABC 和 ABD 的大小；
（Ⅱ）如图②，过点 D 作 O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P ，若 / /DP AC ，求 OCD 的大小.
（2018 武汉）21．（本题 8 分）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接 PB、PC，PC 交 AB 于
点 E，且 PA＝PB
(1) 求证：PB 是⊙O 的切线
(2) 若∠APC＝3∠BPC，求
CE
PE 的值
（2018 邵阳）21．如图（十二）所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD⊥CD，
垂足为点 D，连结 BC．BC 平分∠ABD．
求证：CD 为⊙O 的切线．
21．（8 分）
证 明 ： ∵ B C 平 分 ∠ A B D ， ∴ ∠ O B C ＝ ∠ D B C ． … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
∵ O B ＝ O C ， ∴ ∠ O B C ＝ ∠ O C B ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
∴ ∠ D B C ＝ ∠ O C B ． ∴ O C ∥ B D ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD．
又∵点 C 为⊙O 上一点，
∴CD 为⊙O 的切线．…………………………………………………………………8 分
（2018·淄博）22. （本小题满分 8 分）
如图，以 AB 为直径的 O 外接于 ABC ，过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P ， APB 的平分线分别交
,AB AC 于点 ,D E ，其中 ,AE BD AE BD 的长是一元二次方程 2 5 6 0x x 的两个实数根．
（1）求证： PA BD PB AE ；
（2）在线段 BC 上是否存在一点 M ，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，
说明理由.
解：（1）∵DP 平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∵AP 与⊙O 相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，
∴∠EAP=∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴ ，
∴PA•BD=PB•AE；
（2）过点 D 作 DF⊥PB 于点 F，作 DG⊥AC 于点 G，
∵DP 平分∠APB，
AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD=DF，
∵∠EAP=∠B，
∴∠APC=∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC，
由于 AE，BD（AE＜BD）的长是 x2﹣5x+6=0，
解得：AE=2，BD=3，
∴由（1）可知： ，
∴cos∠APC= = ，
∴cos∠BDF=cos∠APC= ，
∴ ，
∴DF=2，
∴DF=AE，
∴四边形 ADFE 是平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形 ADFE 是菱形，
此时点 F 即为 M 点，
∵cos∠BAC=cos∠APC= ，
∴sin∠BAC= ，
∴ ，
∴DG= ，
∴在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形
其面积为：DG•AE=2× =
（2018 德阳）
（2018 广东省卷）24.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的⊙O 经过点 C，连接 AC、OD 交于点 E.
（1）证明：OD//BC；
（2）若 tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；
（3）在（2），连接 BD 交⊙O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长.
（2018 菏泽）22.如图， ABC 内接于 O ， AB AC ， 36BAC ，过点 A 作 / /AD BC ，与 ABC 的平分
线交于点 D ， BD 与 AC 交于点 E ，与 O 交于点 F .
（1）求 DAF 的度数；
（2）求证： 2AE EF ED ；
（3）求证： AD 是 O 的切线.
（2018 随州）
（2018 咸宁）
（2018 孝感）23.如图， ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E ，过点 D 作
DF AC 于点 F ，交 AB 的延长线于点G .
（1）求证： DF 是 O 的切线；
（2）已知 2 5BD ， 2CF ，求 AE 和 BG 的长.
（2018 巴中）26. 已知如图 9 所示， ABC 中 30A B ，CD 是 ABC 的角平分线，以C 为圆心，CD 为
半径画圆，交CA 所在直线于 E 、 F 两点，连接 DE 、 DF .
（1）求证：直线 AB 是 C 的切线.
（2）若 10AC cm ，求 DF 的长
（2018 郴州）23.已知 BC 是 O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB AD ，AE 是 O 的弦， 30AEC .
（1）求证：直线 AD 是 O 的切线；
（2）若 AE BC ，垂足为 M ， O 的半径为 4 ，求 AE 的长.
（2018 深圳）22．如图 9，⊙ O 是 ABC 的外接圆， AB AC , 2BC ， 10cos 10ABC 。点 D 为 AC 上的动点，
连接 AD 并延长，交 BC 的延长线于点 E 。
（1）试求 AB 的长；
（2）试判断 AD AE 的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值，若不为定值，请说明理由。
（3）如图 10，连接 BD ，过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ，连接CD ，求证： BH CD DH 。
22.解：(1)作 AM BC
, , 2AB AC AM BC BC
1 12BM CM BC
10cos 10
BMB AB
，在 Rt AMB 中， 1BM
10cos 1 1010AB BM B .
(2)连接 DC
AB AC
ACB ABC
∵四边形 ABCD 内接于圆O ，
图 10图 9
180ADC ABC ，
180ACE ACB ，
ADC ACE
CAE 公共
EAC CAD ∽
AC AE
AD AC
22 10 10AD AE AC .
（3）在 BD 上取一点 N ，使得 BN CD
在 ABN 和 ACD 中 3 1
AB AC
BN CD
( )ABN ACD SAS
AN AD
,AN AD AH BD
NH HD
,BN CD NH HD
BN NH CD HD BH .
（2018 黔东南、黔西南、黔南）22.如图，CE 是 O 的直径，BC 切 O 于点C ，连接 OB ，作 / /ED OB 交 O
于点 D ， BD 的延长线与CE 的延长线交于点 A .
（1）求证： AB 是 O 的切线；
（2）若 O 的半径为1， tan 2DEO ， 1tan 4A ，求 AE 的长.
（2018 恩施）23.如图， AB 为 O 直径， P 点为半径 OA 上异于O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直
的弦CD ，连接 AD ，作 BE AB ， / /OE AD 交 BE 于 E 点，连接 AE 、 DE 、 AE 交CD 于 F 点.
（1）求证： DE 为 O 切线；
（2）若 O 的半径为3 ， 1sin 3ADP ，求 AD ；
（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明.
23．（10 分）（2018•恩施州）如图，AB 为⊙O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB
垂直的弦 CD，连接 AD，作 BE⊥AB，OE∥AD 交 BE 于 E 点，连接 AE、DE、AE 交 CD 于 F 点．
（1）求证：DE 为⊙O 切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，sin∠ADP= ，求 AD；
（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明．
【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD、BD，BD 交 OE 于 M，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE 为⊙O 切线；
（2）设 AP=a，
∵sin∠ADP= = ，
∴AD=3a，
∴PD= = =2 a，
∵OP=3﹣a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3﹣a）2+（2 a）2，
9=9﹣6a+a2+8a2，
a1= ，a2=0（舍），
当 a= 时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴ ，
∴PF= ，
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴ ，
∴PD= ，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．
（2018 黄石）21、（本小题 8 分）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径 2 3BE ,∠BCD=120°，
A 为 BE 的中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE
（1）求线段 BD 的长
（2）求证：直线 PE 是⊙O 的切线.
（2018 荆门）23.如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，经过点C 的切线交 AB 的延长线于点 E ，AD EC
交 EC 的延长线于点 D ， AD 交 O 于 F ， FM AB 于 H ，分别交 O 、 AC 于 M 、 N ，连接 MB ， BC .
（1）求证： AC 平方 DAE ；
（2）若 4cos 5M ， 1BE ，①求 O 的半径；②求 FN 的长.
23.（1）证明：连接 OC ，
∵直线 DE 与 O 相切于点C ，
∴OC DE ，
又∵ AD DE ，∴ / /OC AD .
∴ 1 3
∵OA OC ，∴ 2 3 ，
∴ 1 2 ，
∴ AC 平方 DAE .
（2）解：①∵ BF BF ，∴ DAE M
又∵ / /OC AD ，∴ COE DAE M ，
∵OC DE ，∴ 90OCE
设 O 的半径为 r ，
则 4cos 1 5
OC OC rOCE OE OB OE r
，解得 4r
②连接 BF ，
∵ AB 为 O 的直径，∴ 90AFB ，∴ 4 32cos 8 5 5AF AB DAE ，
在 Rt OCE 中， 4 1 5OE r BE ， 4OC ，∴ 2 2 2 25 4 3CE OE OC ，
∵ AB 为 O 的直径，∴ 2 90OBC ，
∵ 90OCE ，∴ 90OCB BCE ，
∵OB OC ，∴ OBC OCB ，∴ 2 1BCE ，
∵ AB FM ，∴ AM AF ，∴ 5 4 ，
∵ 90AFB D ，∴ / /FB DE ，∴ 5 4E ，
∴ AFN CEB ∽ ，
∴ AF FN
CE BE
，∴
32
325
3 15
AF BEFN CE
.
（2018 淮安）24．（本题满分 10 分）
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC 的中点．
（1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为 2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．
（1）先根据“SSS”证明△AEO≌△DEO，从而得到∠ODE＝∠OAE＝90°，即可判断出直线 DE 与⊙O 相切；
（2）阴影部分面积为： 24 10
5 9
．
22．（12 分）（2018 建设兵团）如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，
AO，并延长 AO 交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值．
（2018 河北）25. 如图 15，点 在数轴上对应的数为 26，以原点 为圆心， 为半径作优弧 ，使点 在
右下方，且 .在优弧 上任取一点 ，且能过 作直线 交数轴于点 ，设 在数轴上对
应的数为 ，连接 .
（1）若优弧 上一段 的长为 ，求 的度数及 的值；
（2）求 的最小值，并指出此时直线与 所在圆的位置关系；
（3）若线段 的长为 ，直接．．写出这时 的值.
（2018 北京）22. 如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP，
CD.
(1)求证:OP⊥CD;
(2)连接 AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA = 70°，OA=2，求 OP 的长.
（2018 安顺）
25.如图，在 ABC 中， AB AC ，O 为 BC 的中点， AC 与半圆O 相切于点 D .
（1）求证： AB 是半圆O 所在圆的切线；
（2）若 2cos 3ABC ， 12AB ，求半圆O 所在圆的半径.
（2018 遂宁）如图，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的切线 PA 切⊙O 于点 A，连接 PO 并延长，与⊙O 交于 C、D 两点，M 是半
圆 CD 的中点，连接 AM 交 CD 于点 N，连接 AC、CM。
（1）求证：CM2=MN•MA
（2）若∠P=300，PC=2，求 CM 的长
（2018 仙桃）22．（满分 8 分）
如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过 BC 延长线上一点 G，作 GD⊥AO 于点 D，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，
M 是 GE 的中点，连接 CF，CM．
（1）判断 CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF 2∠A，CM 6，CF 4，求 MF 的长．
（第 22 题图）
·
A
B
C
DEFMG
O
（2018 玉林）
（2018 河南）19.（9 分）如图，AB 是圆 0 的直径，DO 垂直于点 O，连接 DA 交圆 O 于点 C，过点 C 作圆 O 的切线交
DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F。
（1）求证：CE=EF；
（2）连接 AF 并延长，交圆 O 于点 G，填空：
①当∠D 的度数为______时，四边形 ECFG 为菱形；
②当∠D 的度数为______时，四边形 ECOG 为正方形。
（2018 广西北部湾经济区）
（2018 兰州）
（2018 齐齐哈尔）
（2018 大庆）
（2018 怀化）
（2018陕西）23．（本题满分8分）
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O，分别与 AC、BC 相交于点 M、N．
(1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NE⊥AB；
(2)连接 MD，求证：MD＝NB．
23 题图 23 题解图(1)
解：(1)如图，连接 ON
∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线
∴AD＝CD＝DB
∴∠DCB＝∠DBC
又∵∠DCB＝∠ONC
∴∠ONC＝∠DBC
∴ON∥AB
∵NE 是⊙O 的切线，ON 是⊙O 的半径
∴∠ONE＝90°
∴∠NEB＝90°，即 NE⊥AB；
(2)如解图(1)所示，由(1)可知 ON∥AB，
O 为⊙O 的圆心，∴OC＝OB，∠CMD＝90°
∴CN＝NB＝1
2
CB，MD∥CB
又∵D 是 AB 的中点，∴MD＝1
2
CB
∴MD＝NB．
（2018 长春）
（2018 沈阳）
（2018 东营）22．(本题满分 8 分)如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若 BD=
3
2 AD，AC=3，求 CD 的长．
22．(本题满分 8 分)
（1）证明：连接 OD
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB…………………………1 分
∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径
∴∠ODB+∠BDC=90°……………………2 分
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB=90°
∴∠OBD +∠CAD = 90°………………………………………3 分
∴∠CAD=∠BDC………………………………………………4 分
（2）解:∵∠C=∠C，∠CAD=∠BDC
∴△CDB ∽ △CAD………………………………………………5 分
∴
AC
CD
AD
BD …………………………………………………6 分
∵
3
2
AD
BD
∴
3
2
AC
CD …………………………………………………7 分
∵ AC=3
∴ CD=2…………………………………………………8 分
（2018 烟台）
（2018 陕西）
（2018 南京）27.结果如此巧合！
下面是小颖对一道题目的解答.
题目：如图， Rt ABC△ 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D ， 3AD ， 4BD ，求 ABC△ 的面积.
解：设 ABC△ 的内切圆分别与 AC 、 BC 相切于点 E 、 F ，CE 的长为 x .
根据切线长定理，得 3AE AD ， 4BF BD ，CF CE x .
根据勾股定理，得 2 2 23 4 3 4x x .
整理，得 2 7 12x x .
所以 1
2ABCS AC BC △
1 3 42 x x
21 7 122 x x
1 12 122
12 .
小颖发现12恰好就是3 4 ，即 ABC△ 的面积等于 AD 与 BD 的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮她完成下面的探索.
已知： ABC△ 的内切圆与 AB 相切于点 D ， AD m ， BD n .
可以一般化吗？
（1）若 90C ，求证： ABC△ 的面积等于 mn .
倒过来思考呢？
（2）若 2AC BC mn ，求证 90C .
改变一下条件……
（3）若 60C ，用 m 、 n 表示 ABC△ 的面积.
（2018 桂林）25.（本题满分 10 分）如图 1，已知⊙O 是ΔADB 的外接圆，∠ADB 的平分线 DC 交 AB 于点 M，交⊙O
于点 C，连接 AC，BC.
（1）求证：AC=BC；
（2）如图 2，在图 1 的基础上做⊙O 的直径 CF 交 AB 于点 E，连接 AF，过点 A 做⊙O 的切线 AH，若 AH//BC，求∠ACF
的度数；
（3）在（2）的条件下，若ΔABD 的面积为 36 ，ΔABD 与ΔABC 的面积比为 2：9，求 CD 的长.
25. （本题 10 分）
（1）∵DC 平 分 ∠ADB ∴∠ADC=∠BDC
∴AC=BC
（2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交⊙O 于 J
∵AH 是⊙O 的切线且 AH∥BC
∴AI⊥BC
∵垂径定理
∴BI=IC
∵AC=BC
∴IC=
2
1 AC
∴∠IAC=30°
∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB
∵FC 是直径
∴∠FAC=90°
∴∠ACF=180°-90°-60°=30°
（3）过点 D 作 ABDG ，连接 AO
由（1）（2）知 ABC 为等边三角形
∵∠ACF=30°
∴ CFAB
∴AE=BE
∴ 3274
3 2
ΔABC ABS
∴AB= 36
∴ 33AE
在 RtΔAEO 中，设 EO=x，则 AO=2x
∴ 222 OEAEAO
∴ 222 )33()2( xx
∴x=6，⊙O 的半径为 6
∴CF=12
∵ 362
1362
1
ΔABD DGDGABS
∴DG=2
过点 D 作 CFDG ' ,连接 OD
∵ CFAB , ABDG
∴CF//DG
∴四边形 G’DGE 为矩形
∴ 2' EG
11236'' CEEGCG
在 RtΔ DOG' 中
6,5' ODOG
∴ 11' DG
∴ 3321111 22'2' CGDGCD
(2018 通辽)
（2018 昆明）
（2018 云南）
（2018 曲靖）
（2018 毕节）26.(本题 14 分)如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 E,过点 E 作 AB 的垂线交 AB 于点 F,
交 CB 的延长线于点 G,且∠ABG=2∠G.
(1)求证:EG 是⊙O 的切线；
(2)若
2
1tan C ，AC=8，求⊙O 的半径。
（2018 铜仁）
（2018 广安）
（2018 资阳）
（2018 苏州）
（2018 赤峰）
（2018 上海）
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