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- 2021-05-13 发布
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中考数学几何旋转综合题
1. 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
F
B
A
D
C
E
G
23题图①
F
B
A
D
C
E
G
第23题图②
F
B
A
C
E
第23题图③
D
2.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角a(0°<a<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于D,F两点.
(1)如图22-4(a),观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图23-4(b),当a=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长.
3.如图23-8(a),若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
图23-8
(1)当把△ADE绕A点旋转到图23-8(b)的位置时,D,E,B三点共线,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明;若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图23-8(c)的位置时,D,E,B三点不共线,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明;并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
4.如图23-9(a),在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a°得到四边形OA′B′C′,此时直线OA′,直线B′C′分别与直线BC相交于点P,Q.
图23-9
(1)四边形OABC的形状是______,
当a=90°时,的值是______;
(2)①如图23-9(b),当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时,求的值;
②如图23-9(c),当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求△OPB′的面积;
(3)在四边形OABC的旋转过程中,当0°<a≤180°时,是否存在这样的点P和点Q,使BP=?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
5. 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合).
(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);
探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.(4分)
(2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3);
探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.(5分)
(3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠AC C′=α(30°<α<90°=(图4);
E′
D′
图2
图3
D′
E′
图4
C/
(C/)
(C/)
探究:在图4中,线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N·E′M的值,如果有变化,请你说明理由.(4分)
6.如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得他们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3至图6中统一用F表示)
(图1) (图2) (图3)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决。
(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F 重合,请你求出平移的距离;
(2)将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH﹦DH
(图4) (图5) (图6)
7. 26.如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(4分)
(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.(6分)
图9 图10 图11
图8
[来源:学科网ZXXK]
8.如图(9)-1,抛物线经过A(,0),C(3,)两点,与轴交于点D,与轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线将四边形ABCD面积二等分,求的值;
(3)如图(9)-2,过点E(1,1)作EF⊥轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG⊥轴于点G,若线段MG︰AG=1︰2,求点M,N的坐标.
D
O
B
A
x
y
C
y=kx+1
图(9)-1
E
F
M
N
G
O
B
A
x
y
图(9)-2
Q