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  • 2021-05-13 发布

2012中考数学压轴题的解决策略

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中考数学压轴题的解决策略 ‎ 抛物线是初中数学中很重要的一个知识点,也是学好高中数学的基础。不但如此,它更是一根轴,能够把初中数学很多重要的知识点带动起来。因此,近些年,在全国各地的中考试题中,抛物线经常作为重点题和压轴题,来全面考察学生的数学知识和学习潜力。因此,针对这种情况,我们都必须引起高度的重视,认识抛物线,攻克压轴题。‎ 一、 熟悉抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。 ‎ 对称轴为直线x= -,顶点坐标(- , ) ‎ 2. a、b、c的几何含义。‎ a的符号确定抛物线的开口方向,|a|的大小确定抛物线的开口程度;a与b的符号共同确定对称轴的位置;c的符号确定抛物线与y轴交点的位置。‎ 3. 抛物线与X轴的交点(一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况)。‎ Δ= b2‎-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。   ‎ Δ= b2‎-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。   ‎ Δ= b2‎-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。‎ 4. 抛物线的增减性。‎ 当a>0时,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在x= -处取得最小值f(-)=,在对称轴的右侧y随x的增大而增大。‎ 当a<0时,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在x=-处取得最大值f(-)=,在对称轴的右侧y随x的增大而减小。‎ 二、 了解抛物线解析式的求法 1、 已知三点坐标,选择一般式y=ax2+bx+c 已知抛物线过A(1,-4)、B(2,-3)、C(4,5),求其解析式 分析:y=x2-2x-3‎ 2、 已知顶点坐标,选择顶点式 已知抛物线y=ax2-2ax+b的最低点纵坐标是-9,且过点(-2,0)‎ 分析:y=a(x-1)2-9过(-2,0) ∴a=1,即y=x2-2x-8‎ 3、 已知交点坐标,选择交点式 已知抛物线过A(1,0)、B(3,0)、C(0,6),求其解析式 分析:y=a(x-1)(x-3)过(0,6)‎ ‎∴a=2,即y=2x2-8x+6‎ 点评:这种题型主要考察学生对抛物线基础知识的掌握程度,并能够用待定系数法灵活地求出抛物线的解析式。‎ 一、 运用知识解决抛物线的综合问题 1、 抛物线与面积 如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交与A、B两点(A在B的左边),与y轴交与点C。P(4,5)在抛物线上。‎ ‎(1)、求S△ABC;‎ 分析:A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)‎ S△ABC=×4×3=6‎ ‎(2)、第四象限的抛物线上是否存在点M,使S△MBC=3?‎ 如图①,MD∥BC交x轴于点D,‎ ‎∴S△MBC=S△DBC=3‎ ‎∴D(5,0) ∴CD:y=x-5‎ ‎∴ 得 ‎(3)、第四象限的抛物线上是否存在点N,使S△NBC>?‎ 分析:如图②NE∥BC交x轴于E,‎ 若S△NBC=S△EBC=‎ 则E(,0)‎ ‎∴NE:y=x-‎ ‎∴ x2-3x+=0 △=0‎ 此时直线NE与抛物线仅一个公共点,‎ ‎∴当S△NBC>时,点N不存在.‎ ‎(4)、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=S△PQB?‎ 分析:如图③‎ ‎(i)A、B位于PQ同侧时,Q(-2,5)‎ ‎(ii)A、B位于PQ异侧时,AG=BF,H(1,0)‎ ‎∴PQ:y=x-‎ ‎∴Q(-,-)‎ ‎(5)、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=2S△PQB?‎ 如图④‎ ‎(i)A、B位于PQ同侧时,AM=2BN ‎∴,∴G(7,0),∴PQ:y=x+,‎ ‎∴Q(-,)‎ ‎(ii)A、B们于PQ异侧时,AS=2BT,∴,‎ ‎∴H(,0)‎ ‎∴PS:y=x-,∴Q2(,-)‎ 点评:这种类型的题主要考察面积的转化方法、全等相似的运用、数形结合思想、解析法的思想、分类讨论思想。‎ 1、 抛物线与图形变换 ‎①如图,已知抛物线C1:y=x2+bx+c交x轴与A(1,0),交y轴与B(0,2),顶点为D。将抛物线C1绕平面内某一点旋转 ‎180°得到抛物线C2,其顶点为E。若点D在C2上,点E在C1上。‎ ‎(1)、求抛物线C1的解析式;y=x2-3x+2‎ ‎(2)、若过A、B、E三点的圆的圆心在线段BE上,求抛物线C2的解析式。‎ ‎(3)、在②的条件下,直线x=m(m>0)分别交抛物线C1 、C2与M、N,抛物线C2交y轴与H点,且BM=HN,求m值。‎ 分析:①待定字数法求得C1:y=x2-3x+2 D()‎ 并求出旋转中心;y=—(x-5/2)2+3/4 (2,1/4)‎ ‎②过E点作EF⊥x轴于F,连AB、AE、BE,设E(m,n)‎ 由题意知BA⊥EA ‎∴△BOA∽△AFE ‎∴,即 ‎∴E(m,)在C1:y=x2-3x+2图象上 ‎∴m1=,m2=1舍 故C2:y=a()2+,过D()‎ ‎∴a=-1‎ 即C2:y=-()2+‎ ‎③分类讨论:(i)当四边形BMNH为平行四边形 ‎ △BMG≌△HNQ ‎ ∴MG=NQ,即m2-‎3m=-m2+‎‎5m ‎ ∴m1=4,m2=0舍 ‎ (ii)当四边形BMNH为等腰梯形时 ‎ △BMW≌△HNJ ‎ ∴BW=HJ 即-m2+‎3m=-m2+‎‎5m m=0舍 ‎②、(2011江西南昌)将抛物线C1:y=-x2+沿x轴翻折,得抛物线C2,如图所示.‎ ‎(1)请直接写出抛物线C2的表达式.‎ ‎(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E.‎ ‎①当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值;‎ ‎②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.‎ 分析: (1)C2 y=x2-.‎ ‎(2)①令-x2+=0,得x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).∴A(-1-m,0),B(1+m,0).‎ 当AD=AE时,‎ 如图①,(-1+m)-(-1-m)=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=‎ 当AB=AE时,‎ 如图②,(1-m)-(-1-m)=[(1+m)-(-1-m)], ‎ ‎∴m=2.∴当m=或2时,B,D是线段AE的三等分点. ‎ ‎②存在.理由:‎ 依题意可得M,N关于原点O对称, ∴OM=ON.‎ ‎∵A(-1-m,0),E(1+m,0),∴OA=OE,‎ ‎∴四边形ANEM为平行四边形.‎ 当OM=OA,即m2+()2=[-(-1-m)]2, m=1.‎ ‎∴当m=1时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.‎ ‎ ③、如图:抛物线C1:y=顶点为M,与x轴负半轴交于点A,将抛物线C1沿X轴翻折,再向右平移2个单位得到抛物线C2顶点为N,与x轴正半轴交于点B,P为C1上一点,Q为C2上一点,是否存在点P、Q,使四边形PMQN为菱形?若存在,求P、Q坐标,若不存在,说明理由。‎ 分析:C2:y=-‎ 连结MN交x轴于E,‎ 易证ME=NE E(2,0)‎ 过E作直线PQ交C1于P,交C2于Q,‎ 交y轴于F,‎ ‎△MGE≌△EOF ∴F(0,1)‎ ‎∴PQ:y=‎ 又C1:y= ∴P1(-4,3) P2() ‎ C2:y= ∴Q1(8,-3) Q2() ‎ 计算验证MP2=MQ2‎ 点评:将平移、轴对称与中心对称运用于二次函数的图象,是新课标中考对抛物线性质考察的一种新题型,主要考察学生对图形变换的认识、数形结合的思想、分类讨论的思想。‎ 1、 抛物线与方程、不等式 ‎1、(2011武汉中考).(本题满分12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点,‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上,若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围;‎ ‎(3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。‎ 分析:(1)抛物线解析式为y=x2+4x+3‎ ‎ (2)抛物线的顶点M(-2,-1),直线OD的解析式为y=x. ‎ ‎ ∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)+ h ① 当抛物线经过点C时,∵C(0,9) 得h=‎ ‎∴当≤x<时,平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点 ② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组 得x+(-2h+2)x+ h+ h-9=0 ‎ ‎ ∴⊿=(-2h+2) -4(h+ h-9)=0 解得h=4 ‎ ‎ 此时抛物线y=(x-4)+2与射线CD只有唯一一个公共点为(3,3),符合题意综上所述,平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点时,顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤x<‎ ‎(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为(m,m),(n,n)由 得x-kx-3=0 ∴m+n=k m·n=-3 ‎ 作点E关于y轴的对称点R(-m, m),作直线FR交y轴于点P,‎ 由对称性知∠EPQ=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上 ∴点P即为所求的点。‎ 由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3,‎ 当x=0时,y=-3 ∴p(0,-3)‎ ‎∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3)使△PEF的内心在y轴上。‎ ‎2、变式:点Q为y轴正半轴上一点,过Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问是否存在一点Q,使△OEF的外心在EF上,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。‎ 分析:设EF:y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2)依题意有EO⊥OF,∴tan∠1=tan∠2,即,∴x1x2=-y1y2又x2-kx-b=0,‎ x1+x1=k, x1x2=-b,y1y2=(x1x2)2,‎ ‎∴b1=0(舍) b2=1, 即Q(0,1)‎ 点评:这种题型主要考察函数与方程(不等式)的思想、数形结合思想、重要概念(内心、外心)的运用、相似(三角函数)的运用、设而不求的思想以及韦达定理的运用。‎ 练习:‎ ‎1、(杭州市2012年中考数学模拟)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点,‎ ‎ (1)求该抛物线的解析式;[来源:~@中^&教*网]‎ ‎(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.‎ ‎[来源:*中#教&@网~]‎ ‎[来源:zzs*#~te^%p.com]‎ ‎2. (2012年,辽宁省营口市) (14分 )如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.‎ ‎(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;‎ ‎(2)求证:① CB=CE ;② D是BE的中点;‎ A B C O D E x y x=2‎ ‎(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.[中^国教#育出~版*&网]‎