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- 2021-05-13 发布
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中考二次函数专题复习
知识点归纳:
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
2. 的性质:
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
3. 的性质:
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
4. 的性质:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式:(,,为常数,);
3. 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:
3. 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与
轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
2. 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
3. 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
5. 关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.
② 当时,图象与轴只有一个交点;
③ 当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
师生共同学习过程:
知识梳理:
练习:
1.抛物线的对称轴是( )
A. B. C. D.
2.要得到二次函数的图象,需将的图象( ).
A.向左平移2个单位,再向下平移2个单位
B.向右平移2个单位,再向上平移2个单位
C.向左平移1个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位
最新考题
1.(2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)
2.(2009年泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为
A. B.
C. D.
知识点2:二次函数的图形与性质
例1:如图1所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴.
第(1)问:给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是 .
第(2)问:给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.
例2:抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点,(1)求出m的值并画出这条抛物线;(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时,y的值随x的增大而减小?
思路点拨:由已知点(0,3)代入y=-x2+(m-1)x+m即可求得m的值,即可知道二次函数解析式,并可画出图象,然后根据图象和二次函数性质可得(2)(3)(4).
解:(1)由题意将(0,3)代入解析式可得m=3,
∴ 抛物线为y=-x2+2x+3.
图象(图2):
(2)令y=0,则-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3;
∴ 抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴ 抛物线顶点坐标为(1,4);
(3)由图象可知:当-11时,y的值随x值的增大而减小.
练习:
1.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
2.函数y =ax+1与y =ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )
A B C D
最新考题
1.(2009深圳)二次函数的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()
A. B. C. D.不能确定
2.(2009北京)如图,C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=,DE=,下列中图象中,能表示与的函数关系式的图象大致是( )
3.(2009年台州)已知二次函数的与的部分对应值如下表:
…
0
1
3
…
…
1
3
1
…
则下列判断中正确的是( )
A.抛物线开口向上 B.抛物线与轴交于负半轴
C.当=4时,>0 D.方程的正根在3与4之间
知识点3:二次函数的应用
例1:如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度
(单位:米)与小球运动时间(单位:秒)的函数关系式是
,那么小球运动中的最大高度 .
随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上(如图6所示),则6楼房子的价格为 元/平方米.
思路点拨:观察函数图像得:图像关于对称,
当因为x=2到对称轴的距离
与x=6到对称轴的距离相等。
所以,当
练习:
1.出售某种文具盒,若每个获利元,一天可售出个,则当 元时,一天出售该种文具盒的总利润最大.
2.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20cm,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10cm.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥桥顶?
最新考题
1.(2009年台湾)向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?( )
A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
2.(2009年河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数(x>0),若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度为( )
A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s
中考压轴题分析:
例:.如图,直线分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.
(1)C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;
(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式:
(3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.
解:(1)连结EC交x轴于点N(如图).
∵ A、B是直线分别与x轴、y轴的交点.∴ A(3,0),B.
又∠COD=∠CBO. ∴ ∠CBO=∠ABC.∴ C是的中点. ∴ EC⊥OA.
∴ .
连结OE.∴ . ∴ .∴ C点的坐标为().
(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为.
∵ C(). ∴.∴ .
∴ 为所求.
(3)∵ , ∴ ∠BAO=30°,∠ABO=50°.
由(1)知∠OBD=∠ABD.∴ .
∴ OD=OB·tan30°-1.∴ DA=2.
∵ ∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.
∴ △ADP是等边三角形.∴ ∠DAP=60°.
∴ ∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即 PA⊥AB.
即直线PA是⊙E的切线.
课后检测:
一、选择题
1.抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为( )
(A)-3 (B)-4 (C)-5 (D)-1
2.将抛物线y=3x2向右平移两个单位,再向下平移4个单位,所得抛物线是( )
(A) y=3(x+2)2+4 (B) y=3(x-2)2+4 (C) y=3(x-2)2-4 (D)y=3(x+2)2-4
3.抛物线y =x2,y =-3x2,y =x2的图象开口最大的是( )
(A) y =x2 (B)y =-3x2 (C)y =x2 (D)无法确定
4.二次函数y =x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于( )
(A)4 (B)8 (C)-4 (D)16
5.抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是( )
(A)(-1,-5) (B)(1,-5) (C)(-1,-4) (D) (-2,-7)
6.过点(1,0),B(3,0),C(-1,2)三点的抛物线的顶点坐标是( )
(A)(1,2) (B)(1,) (C) (-1,5) (D)(2,)
7. 若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )
(A)a+c (B)a-c (C)-c (D)c
8. 在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为,则当物体经过的路程是88米时,该物体所经过的时间为( )
(A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒
9.如图2,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点, 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为,AE为,则关于的函数图象大致是( )
图2
(A) (B) (C) (D)
10.抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a>;
④b<1.其中正确的结论是( )
(A)①② (B)②③ (C)②④ (D)③④
二、填空题
1.已知函数y=ax2+bx+c,当x=3时,函数的最大值为4,当x=0时,y=-14,则函数关系式____.
2.请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 .
3.函数的图象与轴的交点坐标是________.
4.抛物线y= ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 .
5.二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____,对称轴_______,顶点坐标________.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5,0),(-2,0),则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______.
7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=a(x-h)2+k的形式为___________.
8.抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6的顶点在x轴上,则m=______.
9.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为8,且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同,则此函数关系式______.
10.如图1,直角坐标系中一条抛物线经过网格点A、B、C,其中,B点坐标为,则该抛物线的关系式__________.
三、解答题
21. 已知一次函的图象过点(0,5)
⑴ 求m的值,并写出二次函数的关系式;
⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.
22.已知抛物线 经过(-1,0),(0,-3),(2,-3)三点.
⑴求这条抛物线的表达式;
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
23.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系(如右图所示).
⑴请你直接写出O、A、M三点的坐标;
⑵一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?
24. 甲车在弯路作刹车试验,收集到的数据如下表所示:
速度x(千米/小时)
0
5
10
15
20
25
…
刹车距离y(米)
0
2
6
…
(1)请用上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,在右图所示的坐标系中画出甲车刹车距离y(米).
(2)在一个限速为40千米/时的弯路上,甲、乙两车相向速度x(千米/时)的函数图象,并求函数的解析式.
而行,同时刹车,但还是相撞了.事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米,又知乙车的刹车距离y(米)与速度x(千米/时)满足函数,请你就两车的速度方面分析相撞的原因.
25. 某企业投资100万元引进一条产品加工生产线,若不计维修、保养费用,预计投产后每年可创利33万.该生产线投产后,从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元),且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养费用为2万元,第2年为4万元.
(1)求y的解析式;
(2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资?