九年级中考复习圆专题 13页

九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。‎ 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 ‎1. （2013•武汉四月调考）在圆O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC.‎ ‎（1）如图1，求证：OP//BC；‎ ‎（2）如图2，DE切圆O于点C，若DE//AB，求tan∠A的值。‎ ‎2. （2013•武汉中考）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是弧AB的中点，连接PA、PB、PC ‎（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；‎ ‎（2）如图②，若sin∠BPC=,求tan∠PAB的值。‎ ‎3. （2014•武汉四月调考）已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．‎ ‎（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；‎ ‎（2）如图2，若sin∠P=，求tan∠C的值．‎ ‎　‎ ‎4.（2014•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5‎ ‎(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长 ‎(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长 ‎5.（2015•武汉四月调考）已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD＝AO．‎ ‎（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；‎ ‎（2）如图2，点F在边BC上，BF＝BO，若OD＝2，OF＝3，求⊙O的直径．‎ ‎6.（2015•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．‎ ‎（1）求证：AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．‎ ‎7.（2016•武汉四月调考） 已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．‎ ‎ (1)如图1，求证：BD= ED；‎ ‎ (2)如图2,AO为⊙O的直径，若BC= 6,sin∠BAC=，求OE的长．‎ ‎8.（2016•武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．‎ ‎(1) 求证：AC平分∠DAB；‎ ‎(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．‎ ‎9.（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切 ‎(1) 求证：弧AB＝弧AC ‎(2) 如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E＝，求tan∠D的值 ‎ ‎ 归纳：‎ ‎1.从知识上归纳：‎ ‎（1）已知三角函数求三角函数的有：（2017•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2014•武汉四月调考）‎ ‎（2）已知三角函数求比值的：（2016•武汉中考）（2015•武汉中考）‎ ‎（3）已知三角函数求长度：（2016•武汉四月调考）‎ ‎（5）求三角函数：（2013•武汉四月调考）、（2015•武汉中考）‎ ‎（6）已知勾股定理求长度：（2014•武汉中考）（2015•武汉四月调考）‎ ‎2.从题型上归纳：‎ ‎（1）考查圆周角转到圆心角一半的位置及圆中等腰三角型有： ‎ ‎（2014•武汉四月调考）、（2016•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2017•武汉四月调考）‎ ‎（2）考查1，2，三角型的有：（2015•武汉中考）‎ ‎（3）考查垂径定理和勾股定理的有：（2014•武汉中考）‎ ‎（4）考查旋转型相似与圆中构矩形的有：（2016•武汉中考）‎ 预测：近几年的四调和中考，对圆中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有2014年中考和2015年四调，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四调更是已知三角函数求三角函数。‎ ‎ 纵观2016年全国各地中考题对圆的考查，逐步在降低难度，主要集中在圆的第2问。而第2问主要考查学生转化、计算的能力和方程思想。‎ ‎ 那么三角函数不管作为条件，还是结论，不管是计算还是证明，学生都知道要有直角，原处作垂直还是转化？怎么转？往哪个方向转？转了之后有什么意义？怎么打通条件和结论的连接点。这恰恰时学生的难点，也是我们教师需要传递给学生的地方。如果教师能够引导学生将第21题第（2）问考查的题型结构归纳为几个重要的熟悉的题型，那么学生就非常自信，相信按照老师的指导方法一定能够做出这道题来，让考生百分百在道题上能得分，是我们老师需要研究的。‎ ‎ ‎ 二、几种重要的题型和结构 ‎（一）圆中等腰三角形的结构及其类似结构 知识储备：等腰三角形的顶角与底角之间的三角函数是可以任意切换的。只需要作底上的高和腰上的高即可。‎ ‎（1）已知顶角三角函数求底角三角函数，顶角半角的三角函数 例1.1.如图，已知在等腰中，， ，求，‎ ‎（2）已知底角三角函数求顶角三角函数，顶角半角的三角函数。‎ 例1.2.如图，已知在等腰中，， ，求，‎ ‎（3）已知顶角半角的三角函数，求顶角的三角函数和底角的三角函数 例1.3．如图，如图，已知在等腰中，，，‎ 求，‎ 转化一：圆中没有等腰三角形可以观察是否可以转化到一个等腰三角形中，变成熟悉的题型 例1.4．（2014•武汉四月调考）已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．‎ ‎（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；‎ ‎（2）如图2，若sin∠P=，求tan∠C的值．‎ ‎　‎ 转化二：圆中有等腰三角形根据需要作底上的高（注意证明共线）和腰上的高 例1.5．如图，为的直径，为的内接三角形，，交于点，交的延长线于点。‎ ‎（1）求证：为的切线；‎ ‎（2）若，求的值。‎ 例1.6．.如图，是的直径，点是上一动点，点是优弧的中点，连接，若点为上任意一点（不与、重合），连接，当时，求的值。‎ 转化三：圆中等腰三角形顶角的三角函数通常可以转化到圆心角的一半处 例1.7．（2016•武汉四月调考） 已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．‎ ‎ (1)如图1，求证：BD= ED；‎ ‎ (2)如图2,AO为⊙O的直径，若BC= 6,sin∠BAC=，求OE的长．‎ 例1.8．如图，在中，过、、三点的交于，且与相切。‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若，，求 转化四：圆中非等腰三角形的结构中，圆周角的三角函数都可以放在圆心角的一半处 例1.9．（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切 ‎(1) 求证：弧AB＝弧AC ‎(2) 如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E＝，求tan∠D的值 ‎ ‎ 例1.10.如图，在中，，D为上任意一点，若，求的值 ‎（二）切线长定理与射影图结构 图形结构：‎ 方法归纳：‎ 切线长定理产生对称射影图，对称射影图中，任意知道两条线段，其他线段均可求。转化手段有，相似、三角函数，面积，勾股定理 例2如图，为的直径，且，点在上，交的延长线于点，为的中点，。‎ ‎（1）求证：为的切线。‎ ‎（2）点为上一点，求的值。‎ ‎（三）圆与1，2，的三角形 等腰直角三角形的一直角边作为直径作圆都可以归为1，2，型 例3.1（2015•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．‎ ‎（1）求证：AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．‎ 变式一：延长TO交于M，连接，求的值。‎ 变式二：延长TO交于M，连接，求的值 变式三：连TO交于，连接，求，的值。‎ 变式四：如图，是的直径，，。‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若是上一点，，连接，，求的值。‎ ‎（四）母子型结构 知识结构：‎ 结论：①‎ ‎②；‎ ‎③字母比=‎ 例4.1.如图，为上一点，过、两点交于，为的切线，若，求 ‎ ‎（五）弧（非半圆）的中点与赵州桥问题结构 条件的给法：①点为的中点；②平分。‎ 连接交于，‎ 如果给拱高FK和跨度BE的长，可以在中用勾股定理，‎ 如果给拱高和的长，则可以在和中用双勾股列方程。‎ 例5.1.如图，，平分。‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的值。‎ 例5.2.四边形内接于，为的直径，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）于，交的延长线于，若，求的值 ‎（六）旋转型相似与矩形结构 条件的给法：,平分（或者）点为的中点 转化手段：①；②连接、交于点，则得矩形；‎ ‎③连接,过点作垂直于点，则得矩形；‎ ‎④连接交于点，则可用型转化比例；‎ ‎⑤连接交于点，则可用型转化比例；‎ ‎⑥过点向直线作垂线则形成母子型相似。‎ 例6.1（2016•武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．‎ ‎(1) 求证：AC平分∠DAB；‎ ‎(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．‎ 例6.2（2016•南宁中考改编）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线于点.‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的值。‎ ‎（七）半圆的中点与直角三角形内心结构 条件的给法：①点为半圆的中点；②平分；③半径为5，；④点为的内心 常规结论：①求的长；②求；③求；④求的半径；⑤求证：、、三点共圆。‎ 例7.1如图，为的直径，点为的中点，弦交于点E，，，求的值。‎ ‎（八）方法总结和归纳：‎ ‎1、掌握这七种基本结构，有助于学生形成能力，增强信心。‎ ‎2、培养学生转化的意识。‎ ‎3、设未知数和运用方程思想解决计算问题。‎ ‎4、培养学生熟练的构造能力。 ‎ 三、典型例题分析 例1（2013•江苏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．‎ ‎（1）求∠CDE的度数；‎ ‎（2）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．‎ 例2（2013•四川）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△AEB；‎ ‎（2）当=时，求tanE；‎ ‎（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．‎ 例3.（2017·武汉二中5月模拟题）‎ 如图，是的外接圆，弧=弧，是的切线，交的延长线于点 ‎（1）求证：‎ ‎（2）若，求的值。‎ 四、配套习题训练 ‎1.如图，、为的切线，切点分别为、，为的直径，连接、。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值 ‎2.如图，、分别切于、，、的延长线交于点，连，若，求 ‎ ‎3.如图，内接于，为直径延长线上一点，若。‎ ‎（1）求证：为的切线 ‎（2）已知，，求的长。‎ ‎4.如图，、分别与相切于、,延长交直径的延长线于点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求的值 ‎5.如图，为的直径，，过点作 的切线交的延长线于，连接、、.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值。‎