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  • 2021-05-13 发布

中考数学试题分类汇编考点36:相似三角形

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中考数学试题分类汇编:考点 36 相似三角形 一.选择题(共 28 小题) 1.(2018•重庆)制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元,在每平方 米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,那么扩大 后长方形广告牌的成本是( ) A.360 元 B.720 元 C.1080 元 D.2160 元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求 出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可. 【解答】解:3m×2m=6m2, ∴长方形广告牌的成本是 120÷6=20 元/m2, 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍, 则面积扩大为原来的 9 倍, ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2, ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20=1080m2, 故选:C. 2.(2018•玉林)两三角形的相似比是 2:3,则其面积之比是( ) A. : B.2:3 C.4:9 D.8:27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可. 【解答】解:∵两三角形的相似比是 2:3, ∴其面积之比是 4:9, 故选:C. 3.(2018•重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长 分别为 5cm,6cm 和 9cm,另一个三角形的最短边长为 2.5cm,则它的最长边为 ( ) A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得. 【解答】解:设另一个三角形的最长边长为 xcm, 根据题意,得: = , 解得:x=4.5, 即另一个三角形的最长边长为 4.5cm, 故选:C. 4.(2018•内江)已知△ABC 与△A1B1C1 相似,且相似比为 1:3,则△ABC 与△ A1B1C1 的面积比为( ) A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可. 【解答】解:已知△ABC 与△A1B1C1 相似,且相似比为 1:3, 则△ABC 与△A1B1C1 的面积比为 1:9, 故选:D. 5.(2018•铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为 2,且△ABC 的面积为 16, 则△DEF 的面积为( ) A.32 B.8 C.4 D.16 【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为 2,根据相似三角形的面积的比等于相似比 的平方,即可得△ABC 与△DEF 的面积比为 4,又由△ABC 的面积为 16,即可求 得△DEF 的面积. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比为 2, ∴△ABC 与△DEF 的面积比为 4, ∵△ABC 的面积为 16, ∴△DEF 的面积为:16× =4. 故选:C. 6.(2017•重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2,则△ABC 与△DEF 的 面积比为( ) A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2, ∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1:4, 故选:A. 7.(2018•临安区)如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影 部分)与△ABC 相似的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可. 【解答】解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°, A、C、D 图形中的钝角都不等于 135°, 由勾股定理得,BC= ,AC=2, 对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 , ∵ = , ∴图 B 中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似, 故选:B. 8.(2018•广东)在△ABC 中,点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点,则△ADE 与 △ABC 的面积之比为( ) A. B. C. D. 【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点,可得出 DE 为△ABC 的中位线,进 而可得出 DE∥BC 及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与 △ABC 的面积之比. 【解答】解:∵点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点, ∴DE 为△ABC 的中位线, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ =( )2= . 故选:C. 9.(2018•自贡)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,若△ADE 的面积为 4,则△ABC 的面积为( ) A.8 B.12 C.14 D.16 【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE∥BC,DE= BC,再利用相似三角形 的判定与性质得出答案. 【解答】解:∵在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点, ∴DE∥BC,DE= BC, ∴△ADE∽△ABC, ∵ = , ∴ = , ∵△ADE 的面积为 4, ∴△ABC 的面积为:16, 故选:D. 10.(2018•崇明县一模)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE: EC=3:1,连接 AE 交 BD 于点 F,则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( ) A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1 【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方 即可得出答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴DC∥AB, ∴△DFE∽△BFA, ∵DE:EC=3:1, ∴DE:DC=3:4, ∴DE:AB=3:4, ∴S△DFE:S△BFA=9:16. 故选:B. 11.(2018•随州)如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分, 则 的值为( ) A.1 B. C. 1 D. 【分析】由 DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合 S△ADE=S 四边形 BCED,可得出 = ,结合 BD=AB﹣AD 即可求出 的值,此题得解. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC, ∴( )2= . ∵S△ADE=S 四边形 BCED, ∴ = , ∴ = = = ﹣1. 故选:C. 12.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,连接 AD,点 G 在线 段 AD 上,GE∥BD,且交 AB 于点 E,GF∥AC,且交 CD 于点 F,则下列结论一定 正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 【分析】由 GE∥BD、GF∥AC 可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似 三角形的性质即可找出 = = ,此题得解. 【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC, ∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA, ∴ = , = , ∴ = = . 故选:D. 13.(2018•遵义)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10, 连接 AC、BD,以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E.若 DE=3,则 AD 的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】先求出 AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设 DF=x,AD= x,利用 勾股定理求出 BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论. 【解答】解:如图,在 Rt△ABC 中,AB=5,BC=10, ∴AC=5 过点 D 作 DF⊥AC 于 F, ∴∠AFD=∠CBA, ∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠ACB, ∴△ADF∽△CAB, ∴ , ∴ , 设 DF=x,则 AD= x, 在 Rt△ABD 中,BD= = , ∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°, ∴△DEF∽△DBA, ∴ , ∴ , ∴x=2, ∴AD= x=2 , 故选:D. 14.(2018•扬州)如图,点 A 在线段 BD 上,在 BD 的同侧作等腰 Rt△ABC 和等 腰 Rt△ADE,CD 与 BE、AE 分别交于点 P,M.对于下列结论: ①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是( ) A.①②③ B.① C.①② D.②③ 【分析】(1)由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证; (2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD 即可; (3)2CB2 转化为 AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证. 【解答】解:由已知:AC= AB,AD= AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A 四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90° ∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确 故选:A. 15.(2018•贵港)如图,在△ABC 中,EF∥BC,AB=3AE,若 S 四边形 BCFE=16,则 S △ABC=( ) A.16 B.18 C.20 D.24 【分析】由 EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则 S△ABC 的值. 【解答】解:∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∵AB=3AE, ∴AE:AB=1:3, ∴S△AEF:S△ABC=1:9, 设 S△AEF=x, ∵S 四边形 BCFE=16, ∴ = , 解得:x=2, ∴S△ABC=18, 故选:B. 16.(2018•孝感)如图,△ABC 是等边三角形,△ABD 是等腰直角三角形,∠ BAD=90°,AE⊥BD 于点 E,连 CD 分别交 AE,AB 于点 F,G,过点 A 作 AH⊥CD 交 BD 于点 H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△ CBG;⑤AF=( ﹣1)EF.其中正确结论的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角∠ CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP 和∠FAG 度数,从而得出∠AGF 度数,据 此可判断;③证△ADF≌△BAH 即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证;⑤设 PF=x,则 AF=2x、AP= = x,设 EF=a,由△ADF≌△ BAH 知 BH=AF=2x,根据△ABE 是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x,据此得出 EH=a, 证△PAF∽△EAH 得 = ,从而得出 a 与 x 的关系即可判断. 【解答】解:∵△ABC 为等边三角形,△ABD 为等腰直角三角形, ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°, ∴△CAD 是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°, ∴∠ADC=15°,故①正确; ∵AE⊥BD,即∠AED=90°, ∴∠DAE=45°, ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°, ∴∠AGF=75°, 由∠AFG≠∠AGF 知 AF≠AG,故②错误; 记 AH 与 CD 的交点为 P, 由 AH⊥CD 且∠AFG=60°知∠FAP=30°, 则∠BAH=∠ADC=15°, 在△ADF 和△BAH 中, ∵ , ∴△ADF≌△BAH(ASA), ∴DF=AH,故③正确; ∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB, ∴△AFG∽△CBG,故④正确; 在 Rt△APF 中,设 PF=x,则 AF=2x、AP= = x, 设 EF=a, ∵△ADF≌△BAH, ∴BH=AF=2x, △ABE 中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°, ∴BE=AE=AF+EF=a+2x, ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a, ∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE, ∴△PAF∽△EAH, ∴ = ,即 = , 整理,得:2x2=( ﹣1)ax, 由 x≠0 得 2x=( ﹣1)a,即 AF=( ﹣1)EF,故⑤正确; 故选:B. 17.(2018•泸州)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别在边 AD,CD 上,AF,BE 相交于点 G,若 AE=3ED,DF=CF,则 的值是( ) A. B. C. D. 【分析】如图作,FN∥AD,交 AB 于 N,交 BE 于 M.设 DE=a,则 AE=3a,利用 平行线分线段成比例定理解决问题即可; 【解答】解:如图作,FN∥AD,交 AB 于 N,交 BE 于 M. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB∥CD,∵FN∥AD, ∴四边形 ANFD 是平行四边形, ∵∠D=90°, ∴四边形 ANFD 是解析式, ∵AE=3DE,设 DE=a,则 AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a, ∵AN=BN,MN∥AE, ∴BM=ME, ∴MN= a, ∴FM= a, ∵AE∥FM, ∴ = = = , 故选:C. 18.(2018•临安区)如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB,AC 相交于点 D,E,若 AD=4,DB=2,则 DE:BC 的值为( ) A. B. C. D. 【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三 角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ = = = . 故选:A. 19.(2018•恩施州)如图所示,在正方形 ABCD 中,G 为 CD 边中点,连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点,对角线 BD 交 AG 于 F 点.已知 FG=2,则线段 AE 的长度为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【分析】根据正方形的性质可得出 AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相 似三角形的性质可得出 = =2,结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度,由 CG∥AB、 AB=2CG 可得出 CG 为△EAB 的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的 长度,此题得解. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF, ∴△ABF∽△GDF, ∴ = =2, ∴AF=2GF=4, ∴AG=6. ∵CG∥AB,AB=2CG, ∴CG 为△EAB 的中位线, ∴AE=2AG=12. 故选:D. 20.(2018•杭州)如图,在△ABC 中,点 D 在 AB 边上,DE∥BC,与边 AC 交于 点 E,连结 BE.记△ADE,△BCE 的面积分别为 S1,S2( ) A.若 2AD>AB,则 3S1>2S2 B.若 2AD>AB,则 3S1<2S2 C.若 2AD<AB,则 3S1>2S2 D.若 2AD<AB,则 3S1<2S2 【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的 平方解答. 【解答】解:∵如图,在△ABC 中,DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ =( )2, ∴若 2AD>AB,即 > 时, > , 此时 3S1>S2+S△BDE,而 S2+S△BDE<2S2.但是不能确定 3S1 与 2S2 的大小, 故选项 A 不符合题意,选项 B 不符合题意. 若 2AD<AB,即 < 时, < , 此时 3S1<S2+S△BDE<2S2, 故选项 C 不符合题意,选项 D 符合题意. 故选:D. 21.(2018•永州)如图,在△ABC 中,点 D 是边 AB 上的一点,∠ADC=∠ACB, AD=2,BD=6,则边 AC 的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】只要证明△ADC∽△ACB,可得 = ,即 AC2=AD•AB,由此即可解决 问题; 【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴△ADC∽△ACB, ∴ = , ∴AC2=AD•AB=2×8=16, ∵AC>0, ∴AC=4, 故选:B. 22.(2018•香坊区)如图,点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、AC、BC 上的点, 若 DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是( ) A. = B. = C. = D. = 【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴ , ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ , ∵EF∥AB, ∴ , ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴ , ∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四边形 BDEF 是平行四边形, ∴DE=BF,EF=BD, ∴ , , , , ∴ 正确, 故选:C. 23.(2018•荆门)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,E、F 为 CD 边的两个三 等分点,连接 AF、BE 交于点 G,则 S△EFG:S△ABG=( ) A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1 【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题; 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴CD=AB,CD∥AB, ∵DE=EF=FC, ∴EF:AB=1:3, ∴△EFG∽△BAG, ∴ =( )2= , 故选:C. 24.(2018•达州)如图,E,F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点,AE=CF= AC.连 接 DE,DF 并延长,分别交 AB,BC 于点 G,H,连接 GH,则 的值为( ) A. B. C. D.1 【分析】首先证明 AG:AB=CH:BC=1:3,推出 GH∥AC,推出△BGH∽△BAC, 可得 = =( )2=( )2= , = ,由此即可解决问题. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC,DC=AB, ∵AC=CA, ∴△ADC≌△CBA, ∴S△ADC=S△ABC, ∵AE=CF= AC,AG∥CD,CH∥AD, ∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3, ∴AG:AB=CH:BC=1:3, ∴GH∥AC, ∴△BGH∽△BAC, ∴ = =( )2=( )2= , ∵ = , ∴ = × = , 故选:C. 25.(2018•南充)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,P 为 CD 的中点,连结 AP, 过点 B 作 BE⊥AP 于点 E,延长 CE 交 AD 于点 F,过点 C 作 CH⊥BE 于点 G,交 AB 于点 H,连接 HF.下列结论正确的是( ) A.CE= B.EF= C.cos∠CEP= D.HF2=EF•CF 【分析】首先证明 BH=AH,推出 EG=BG,推出 CE=CB,再证明△CEH≌△CBH, Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断. 【解答】解:连接 EH. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB, ∵BE⊥AP,CH⊥BE, ∴CH∥PA, ∴四边形 CPAH 是平行四边形, ∴CP=AH, ∵CP=PD=1, ∴AH=PC=1, ∴AH=BH, 在 Rt△ABE 中,∵AH=HB, ∴EH=HB,∵HC⊥BE, ∴BG=EG, ∴CB=CE=2,故选项 A 错误, ∵CH=CH,CB=CE,HB=HE, ∴△ABC≌△CEH, ∴∠CBH=∠CEH=90°, ∵HF=HF,HE=HA, ∴Rt△HFE≌Rt△HFA, ∴AF=EF,设 EF=AF=x, 在 Rt△CDF 中,有 22+(2﹣x)2=(2+x)2, ∴x= , ∴EF= ,故 B 错误, ∵PA∥CH, ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH, ∴cos∠CEP=cos∠BCH= = ,故 C 错误. ∵HF= ,EF= ,FC= ∴HF2=EF•FC,故 D 正确, 故选:D. 26.(2018•临沂)如图.利用标杆 BE 测量建筑物的高度.已知标杆 BE 高 1.2m, 测得 AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物 CD 的高是( ) A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m 【分析】先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得 = , 然后利用比例性质求出 CD 即可. 【解答】解:∵EB∥CD, ∴△ABE∽△ACD, ∴ = ,即 = , ∴CD=10.5(米). 故选:B. 27.(2018•长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五 百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一 尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太 阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示: 1 丈=10 尺,1 尺=10 寸),则竹竿的长为( ) A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论. 【解答】解:设竹竿的长度为 x 尺, ∵竹竿的影长=一丈五尺=15 尺,标杆长=一尺五寸=1.5 尺,影长五寸=0.5 尺, ∴ ,解得 x=45(尺). 故选:B. 28.(2018•绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转 到 AC 位置,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为 B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m, 则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为( ) A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m 【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD 知△ABO∽△CDO,据此得 = , 将已知数据代入即可得. 【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABO=∠CDO=90°, 又∵∠AOB=∠COD, ∴△ABO∽△CDO, 则 = , ∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m, ∴ = , 解得:CD=0.4, 故选:C. 二.填空题(共 7 小题) 29.(2018•邵阳)如图所示,点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点, 连接 AE,交 CD 于点 F,连接 BF.写出图中任意一对相似三角形: △ADF∽△ ECF . 【分析】利用平行四边形的性质得到 AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可 判断△ADF∽△ECF. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴AD∥CE, ∴△ADF∽△ECF. 故答案为△ADF∽△ECF. 30.(2018•北京)如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点,连接 DE 交对角 线 AC 于点 F,若 AB=4,AD=3,则 CF 的长为 . 【分析】根据矩形的性质可得出 AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE= ∠CFD(对顶角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出 = =2,利用勾股定理可求出 AC 的长度,再结合 CF= •AC,即可求出 CF 的长. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD, ∴∠FAE=∠FCD, 又∵∠AFE=∠CFD, ∴△AFE∽△CFD, ∴ = =2. ∵AC= =5, ∴CF= •AC= ×5= . 故答案为: . 31.(2018•包头)如图,在▱ ABCD 中,AC 是一条对角线,EF∥BC,且 EF 与 AB 相交于点 E,与 AC 相交于点 F,3AE=2EB,连接 DF.若 S△AEF=1,则 S△ADF 的值 为 . 【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2a、BE=3a,根据 EF∥BC 得 =( )2= , 结合 S△AEF=1 知 S△ADC=S△ABC= ,再由 = = 知 = ,继而根据 S△ADF= S △ADC 可得答案. 【解答】解:∵3AE=2EB, ∴可设 AE=2a、BE=3a, ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴ =( )2=( )2= , ∵S△AEF=1, ∴S△ABC= , ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴S△ADC=S△ABC= , ∵EF∥BC, ∴ = = = , ∴ = = , ∴S△ADF= S△ADC= × = , 故答案为: . 32.(2018•资阳)已知:如图,△ABC 的面积为 12,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,则四边形 BCED 的面积为 9 . 【分析】设四边形 BCED 的面积为 x,则 S△ADE=12﹣x,由题意知 DE∥BC 且 DE= BC, 从而得 =( )2,据此建立关于 x 的方程,解之可得. 【解答】解:设四边形 BCED 的面积为 x,则 S△ADE=12﹣x, ∵点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥BC,且 DE= BC, ∴△ADE∽△ABC, 则 =( )2,即 = , 解得:x=9, 即四边形 BCED 的面积为 9, 故答案为:9. 33.(2018•泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中 有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南 门几步面见木?” 用今天的话说,大意是:如图,DEFG 是一座边长为 200 步(“步”是古代的长度 单位)的正方形小城,东门 H 位于 GD 的中点,南门 K 位于 ED 的中点,出东门 15 步的 A 处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木(即点 D 在直 线 AC 上)?请你计算 KC 的长为 步. 【分析】证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得 = ,然后利用比 例性质可求出 CK 的长. 【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15, ∵AH∥DK, ∴∠CDK=∠A, 而∠CKD=∠AHD, ∴△CDK∽△DAH, ∴ = ,即 = , ∴CK= . 答:KC 的长为 步. 故答案为 . 34.(2018•岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有 勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直 角边)长为 5 步,股(长直角边)长为 12 步,问该直角三角形能容纳的正方形 边长最大是多少步?”该问题的答案是 步. 【分析】如图 1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式 可得结论;如图 2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值. 【解答】解:如图 1,∵四边形 CDEF 是正方形, ∴CD=ED,DE∥CF, 设 ED=x,则 CD=x,AD=12﹣x, ∵DE∥CF, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B, ∴△ADE∽△ACB, ∴ , ∴ , x= , 如图 2,四边形 DGFE 是正方形, 过 C 作 CP⊥AB 于 P,交 DG 于 Q, 设 ED=x, S△ABC= AC•BC= AB•CP, 12×5=13CP, CP= , 同理得:△CDG∽△CAB, ∴ , ∴ , x= , ∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 (步), 故答案为: . 35.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE 与 BC 相交于点 D,∠B=∠C=90°, 测得 BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽 AB= 100 m. 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的 大致距离 AB. 【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°, ∴△ABD∽△ECD, ∴ , , 解得:AB= (米). 故答案为:100. 三.解答题(共 15 小题) 36.(2018•张家界)如图,点 P 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,且 AB=4,点 M 为 上一个动点(不与 A,B 重合),射线 PM 与⊙O 交于点 N(不与 M 重合) (1)当 M 在什么位置时,△MAB 的面积最大,并求岀这个最大值; (2)求证:△PAN∽△PMB. 【分析】(1)当 M 在弧 AB 中点时,三角形 MAB 面积最大,此时 OM 与 AB 垂 直,求出此时三角形面积最大值即可; (2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得 证. 【解答】解:(1)当点 M 在 的中点处时,△MAB 面积最大,此时 OM⊥AB, ∵OM= AB= ×4=2, ∴S△ABM= AB•OM= ×4×2=4; (2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P, ∴△PAN∽△PMB. 37.(2018•株洲)如图,在 Rt△ABM 和 Rt△ADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD,其中 AM=AN. (1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND; (2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T,若 AT= ,求 tan∠ABM 的值. 【分析】(1)利用 HL 证明即可; (2)想办法证明△DNT∽△AMT,可得 由 AT= ,推出 ,在 Rt △ABM 中,tan∠ABM= . 【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90° ∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL). (2)由 Rt△ABM≌Rt△AND 易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90° ∴∠DAM=∠AND ∴ND∥AM ∴△DNT∽△AMT ∴ ∵AT= , ∴ ∵Rt△ABM ∴tan∠ABM= . 38.(2018•大庆)如图,AB 是⊙O 的直径,点 E 为线段 OB 上一点(不与 O,B 重合),作 EC⊥OB,交⊙O 于点 C,作直径 CD,过点 C 的切线交 DB 的延长线 于点 P,作 AF⊥PC 于点 F,连接 CB. (1)求证:AC 平分∠FAB; (2)求证:BC2=CE•CP; (3)当 AB=4 且 = 时,求劣弧 的长度. 【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可; (2)只要证明△CBE∽△CPB,可得 = 解决问题; (3)作 BM⊥PF 于 M.则 CE=CM=CF,设 CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用 相似三角形的性质求出 BM,求出 tan∠BCM 的值即可解决问题; 【解答】(1)证明:∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°, ∵∠BCP=∠BCE, ∴∠ACF=∠ACE,即 AC 平分∠FAB. (2)证明:∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∵PF 是⊙O 的切线,CE⊥AB, ∴∠OCP=∠CEB=90°, ∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°, ∴∠BCE=∠BCP, ∵CD 是直径, ∴∠CBD=∠CBP=90°, ∴△CBE∽△CPB, ∴ = , ∴BC2=CE•CP; (3)解:作 BM⊥PF 于 M.则 CE=CM=CF,设 CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a, ∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°, ∴∠MCB=∠PBM, ∵CD 是直径,BM⊥PC, ∴∠CMB=∠BMP=90°, ∴△BMC∽△PMB, ∴ = , ∴BM2=CM•PM=3a2, ∴BM= a, ∴tan∠BCM= = , ∴∠BCM=30°, ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120° ∴ 的长= = π. 39.(2018•江西)如图,在△ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD 是∠ ABC 的平分线,BD 交 AC 于点 E,求 AE 的长. 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出 BC=CD=4,证 △AEB∽△CED,得出比例式,求出 AE=2CE,即可得出答案. 【解答】解:∵BD 为∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠CBD, ∵AB∥CD, ∴∠D=∠ABD, ∴∠D=∠CBD, ∴BC=CD, ∵BC=4, ∴CD=4, ∵AB∥CD, ∴△ABE∽△CDE, ∴ = , ∴ = , ∴AE=2CE, ∵AC=6=AE+CE, ∴AE=4. 40.(2018•上海)已知:如图,正方形 ABCD 中,P 是边 BC 上一点,BE⊥AP, DF⊥AP,垂足分别是点 E、F. (1)求证:EF=AE﹣BE; (2)联结 BF,如课 = .求证:EF=EP. 【分析】(1)利用正方形的性质得 AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等 得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则 BE=AF,然后利用等线段代换可得到 结论; (2)利用 = 和 AF=BE 得到 = ,则可判定 Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4= ∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP. 【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°, ∵BE⊥AP,DF⊥AP, ∴∠BEA=∠AFD=90°, ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3, 在△ABE 和△DAF 中 , ∴△ABE≌△DAF, ∴BE=AF, ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE; (2)如图,∵ = , 而 AF=BE, ∴ = , ∴ = , ∴Rt△BEF∽Rt△DFA, ∴∠4=∠3, 而∠1=∠3, ∴∠4=∠1, ∵∠5=∠1, ∴∠4=∠5, 即 BE 平分∠FBP, 而 BE⊥EP, ∴EF=EP. 41.(2018•东营)如图,CD 是⊙O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上. (1)求证:∠CAD=∠BDC; (2)若 BD= AD,AC=3,求 CD 的长. 【分析】(1)连接 OD,由 OB=OD 可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直 径所对的圆周角等于 180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC; (2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB 可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质 结合 BD= AD、AC=3,即可求出 CD 的长. 【解答】(1)证明:连接 OD,如图所示. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵CD 是⊙O 的切线,OD 是⊙O 的半径, ∴∠ODB+∠BDC=90°. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠OBD+∠CAD=90°, ∴∠CAD=∠BDC. (2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB, ∴△CDB∽△CAD, ∴ = . ∵BD= AD, ∴ = , ∴ = , 又∵AC=3, ∴CD=2. 42.(2018•南京)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,连接 DE.过点 A 作 AF⊥DE,垂足为 F,⊙O 经过点 C、D、F,与 AD 相交于点 G. (1)求证:△AFG∽△DFC; (2)若正方形 ABCD 的边长为 4,AE=1,求⊙O 的半径. 【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD; (2)首先证明 CG 是直径,求出 CG 即可解决问题; 【解答】(1)证明:在正方形 ABCD 中,∠ADC=90°, ∴∠CDF+∠ADF=90°, ∵AF⊥DE, ∴∠AFD=90°, ∴∠DAF+∠ADF=90°, ∴∠DAF=∠CDF, ∵四边形 GFCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠FCD+∠DGF=180°, ∵∠FGA+∠DGF=180°, ∴∠FGA=∠FCD, ∴△AFG∽△DFC. (2)解:如图,连接 CG. ∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF, ∴△EDA∽△ADF, ∴ = ,即 = , ∵△AFG∽△DFC, ∴ = , ∴ = , 在正方形 ABCD 中,DA=DC, ∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3, ∴CG= =5, ∵∠CDG=90°, ∴CG 是⊙O 的直径, ∴⊙O 的半径为 . 43.(2018•滨州)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,AD⊥CD 于点 D, 且 AC 平分∠DAB,求证: (1)直线 DC 是⊙O 的切线; (2)AC2=2AD•AO. 【分析】(1)连接 OC,由 OA=OC、AC 平分∠DAB 知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据 此知 OC∥AD,根据 AD⊥DC 即可得证; (2)连接 BC,证△DAC∽△CAB 即可得. 【解答】解:(1)如图,连接 OC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵AC 平分∠DAB, ∴∠OAC=∠DAC, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD, 又∵AD⊥CD, ∴OC⊥DC, ∴DC 是⊙O 的切线; (2)连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴AB=2AO,∠ACB=90°, ∵AD⊥DC, ∴∠ADC=∠ACB=90°, 又∵∠DAC=∠CAB, ∴△DAC∽△CAB, ∴ = ,即 AC2=AB•AD, ∵AB=2AO, ∴AC2=2AD•AO. 44.(2018•十堰)如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D, 交 AC 于点 E,过点 D 作 FG⊥AC 于点 F,交 AB 的延长线于点 G. (1)求证:FG 是⊙O 的切线; (2)若 tanC=2,求 的值. 【分析】(1)欲证明 FG 是⊙O 的切线,只要证明 OD⊥FG; (2)由△GDB∽△GAD,设 BG=a.可得 = = = ,推出 DG=2a,AG=4a, 由此即可解决问题; 【解答】(1)证明:连接 AD、OD. ∵AB 是直径, ∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC, ∵AC=AB, ∴CD=BD, ∵OA=OB, ∴OD∥AC, ∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF, ∴FG 是⊙O 的切线. (2)解:∵tanC= =2,BD=CD, ∴BD:AD=1:2, ∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠GDB=∠GAD, ∵∠G=∠G, ∴△GDB∽△GAD,设 BG=a. ∴ = = = , ∴DG=2a,AG=4a, ∴BG:GA=1:4. 45.(2018•杭州)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,DE⊥AB 于点 E. (1)求证:△BDE∽△CAD. (2)若 AB=13,BC=10,求线段 DE 的长. 【分析】(1)想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题; (2)利用面积法: •AD•BD= •AB•DE 求解即可; 【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∠B=∠C, ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=∠ADC, ∴△BDE∽△CAD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, 在 Rt△ADB 中,AD= = =12, ∵ •AD•BD= •AB•DE, ∴DE= . 46.(2018•烟台)如图,已知 D,E 分别为△ABC 的边 AB,BC 上两点,点 A,C, E 在⊙D 上,点 B,D 在⊙E 上.F 为 上一点,连接 FE 并延长交 AC 的延长线于 点 N,交 AB 于点 M. (1)若∠EBD 为α,请将∠CAD 用含α的代数式表示; (2)若 EM=MB,请说明当∠CAD 为多少度时,直线 EF 为⊙D 的切线; (3)在(2)的条件下,若 AD= ,求 的值. 【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD= ∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论; (2)设∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知:∠DEF=90°, 所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°; (3)由(2)得:∠CAD=45°;根据(1)的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE 是 等边三角形,得 CD=CE=DE=EF=AD= ,求 EM=1,MF=EF﹣EM= ﹣1,根据三 角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE= ,代入化简可得结论. 【解答】解:(1)连接 CD、DE,⊙E 中,∵ED=EB, ∴∠EDB=∠EBD=α, ∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α, ⊙D 中,∵DC=DE=AD, ∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α, △ACB 中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°, ∴∠CAD= = ; (2)设∠MBE=x, ∵EM=MB, ∴∠EMB=∠MBE=x, 当 EF 为⊙D 的切线时,∠DEF=90°, ∴∠CED+∠MEB=90°, ∴∠CED=∠DCE=90°﹣x, △ACB 中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°, ∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴, ∴∠CAD=45°; (3)由(2)得:∠CAD=45°; 由(1)得:∠CAD= ; ∴∠MBE=30°, ∴∠CED=2∠MBE=60°, ∵CD=DE, ∴△CDE 是等边三角形, ∴CD=CE=DE=EF=AD= , Rt△DEM 中,∠EDM=30°,DE= , ∴EM=1,MF=EF﹣EM= ﹣1, △ACB 中,∠NCB=45°+30°=75°, △CNE 中,∠CEN=∠BEF=30°, ∴∠CNE=75°, ∴∠CNE=∠NCB=75°, ∴EN=CE= , ∴ = = =2+ . 47.(2018•陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测 量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点 A,在他们所在的岸 边选择了点 B,使得 AB 与河岸垂直,并在 B 点竖起标杆 BC,再在 AB 的延长线 上选择点 D,竖起标杆 DE,使得点 E 与点 C、A 共线. 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所 示.请根据相关测量信息,求河宽 AB. 【分析】由 BC∥DE,可得 = ,构建方程即可解决问题. 【解答】解:∵BC∥DE, ∴△ABC∽△ADE, ∴ = , ∴ = , ∴AB=17(m), 经检验:AB=17 是分式方程的解, 答:河宽 AB 的长为 17 米. 48.(2018•济宁)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点, 连接 DF,过点 E 作 EH⊥DF,垂足为 H,EH 的延长线交 DC 于点 G. (1)猜想 DG 与 CF 的数量关系,并证明你的结论; (2)过点 H 作 MN∥CD,分别交 AD,BC 于点 M,N,若正方形 ABCD 的边长为 10,点 P 是 MN 上一点,求△PDC 周长的最小值. 【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF 即可; (2)作点 C 关于 NM 的对称点 K,连接 DK 交 MN 于点 P,连接 PC,此时△PDC 的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK; 【解答】解:(1)结论:CF=2DG. 理由:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°, ∵DE=AE, ∴AD=CD=2DE, ∵EG⊥DF, ∴∠DHG=90°, ∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°, ∴∠CDF=∠DEG, ∴△DEG∽△CDF, ∴ = = , ∴CF=2DG. (2)作点 C 关于 NM 的对称点 K,连接 DK 交 MN 于点 P,连接 PC,此时△PDC 的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG= ,EG= ,DH= = , ∴EH=2DH=2 , ∴HM= =2, ∴DM=CN=NK= =1, 在 Rt△DCK 中,DK= = =2 , ∴△PCD 的周长的最小值为 10+2 . 49.(2018•聊城)如图,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一点,连接 AE,过 B 点 作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF. (1)求证:AE=BF. (2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF 的长. 【分析】(1)根据 ASA 证明△ABE≌△BCF,可得结论; (2)根据(1)得:△ABE≌△BCF,则 CF=BE=2,最后利用勾股定理可得 AF 的 长. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵BH⊥AE, ∴∠BHE=90°, ∴∠AEB+∠EBH=90°, ∴∠BAE=∠EBH, 在△ABE 和△BCF 中, , ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF; (2)解:∵AB=BC=5, 由(1)得:△ABE≌△BCF, ∴CF=BE=2, ∴DF=5﹣2=3, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD=5,∠ADF=90°, 由勾股定理得:AF= = = = . 50.(2018•乌鲁木齐)如图,AG 是∠HAF 的平分线,点 E 在 AF 上,以 AE 为直 径的⊙O 交 AG 于点 D,过点 D 作 AH 的垂线,垂足为点 C,交 AF 于点 B. (1)求证:直线 BC 是⊙O 的切线; (2)若 AC=2CD,设⊙O 的半径为 r,求 BD 的长度. 【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC,证明 OD⊥ CB,可得结论; (2)在 Rt△ACD 中,设 CD=a,则 AC=2a,AD= a,证明△ACD∽△ADE,表示 a= ,由平行线分线段成比例定理得: ,代入可得结论. 【解答】(1)证明:连接 OD, ∵AG 是∠HAF 的平分线, ∴∠CAD=∠BAD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, ∴OD∥AC, ∵∠ACD=90°, ∴∠ODB=∠ACD=90°,即 OD⊥CB, ∵D 在⊙O 上, ∴直线 BC 是⊙O 的切线;(4 分) (2)解:在 Rt△ACD 中,设 CD=a,则 AC=2a,AD= a, 连接 DE, ∵AE 是⊙O 的直径, ∴∠ADE=90°, 由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°, ∴△ACD∽△ADE, ∴ , 即 , ∴a= , 由(1)知:OD∥AC, ∴ ,即 , ∵a= ,解得 BD= r.(10 分)