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- 2021-05-13 发布
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中考数学试题分类汇编:考点 36 相似三角形
一.选择题(共 28 小题)
1.(2018•重庆)制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元,在每平方
米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,那么扩大
后长方形广告牌的成本是( )
A.360 元 B.720 元 C.1080 元 D.2160 元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求
出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.
【解答】解:3m×2m=6m2,
∴长方形广告牌的成本是 120÷6=20 元/m2,
将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,
则面积扩大为原来的 9 倍,
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,
∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20=1080m2,
故选:C.
2.(2018•玉林)两三角形的相似比是 2:3,则其面积之比是( )
A. : B.2:3 C.4:9 D.8:27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:∵两三角形的相似比是 2:3,
∴其面积之比是 4:9,
故选:C.
3.(2018•重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长
分别为 5cm,6cm 和 9cm,另一个三角形的最短边长为 2.5cm,则它的最长边为
( )
A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.
【解答】解:设另一个三角形的最长边长为 xcm,
根据题意,得: = ,
解得:x=4.5,
即另一个三角形的最长边长为 4.5cm,
故选:C.
4.(2018•内江)已知△ABC 与△A1B1C1 相似,且相似比为 1:3,则△ABC 与△
A1B1C1 的面积比为( )
A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.
【解答】解:已知△ABC 与△A1B1C1 相似,且相似比为 1:3,
则△ABC 与△A1B1C1 的面积比为 1:9,
故选:D.
5.(2018•铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为 2,且△ABC 的面积为 16,
则△DEF 的面积为( )
A.32 B.8 C.4 D.16
【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为 2,根据相似三角形的面积的比等于相似比
的平方,即可得△ABC 与△DEF 的面积比为 4,又由△ABC 的面积为 16,即可求
得△DEF 的面积.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比为 2,
∴△ABC 与△DEF 的面积比为 4,
∵△ABC 的面积为 16,
∴△DEF 的面积为:16× =4.
故选:C.
6.(2017•重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2,则△ABC 与△DEF 的
面积比为( )
A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2,
∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1:4,
故选:A.
7.(2018•临安区)如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影
部分)与△ABC 相似的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.
【解答】解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,
A、C、D 图形中的钝角都不等于 135°,
由勾股定理得,BC= ,AC=2,
对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 ,
∵ = ,
∴图 B 中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似,
故选:B.
8.(2018•广东)在△ABC 中,点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点,则△ADE 与
△ABC 的面积之比为( )
A. B. C. D.
【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点,可得出 DE 为△ABC 的中位线,进
而可得出 DE∥BC 及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与
△ABC 的面积之比.
【解答】解:∵点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点,
∴DE 为△ABC 的中位线,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ =( )2= .
故选:C.
9.(2018•自贡)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,若△ADE
的面积为 4,则△ABC 的面积为( )
A.8 B.12 C.14 D.16
【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE∥BC,DE= BC,再利用相似三角形
的判定与性质得出答案.
【解答】解:∵在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,
∴DE∥BC,DE= BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵ = ,
∴ = ,
∵△ADE 的面积为 4,
∴△ABC 的面积为:16,
故选:D.
10.(2018•崇明县一模)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE:
EC=3:1,连接 AE 交 BD 于点 F,则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )
A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1
【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方
即可得出答案.
【解答】解:∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴DC∥AB,
∴△DFE∽△BFA,
∵DE:EC=3:1,
∴DE:DC=3:4,
∴DE:AB=3:4,
∴S△DFE:S△BFA=9:16.
故选:B.
11.(2018•随州)如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分,
则 的值为( )
A.1 B. C. 1 D.
【分析】由 DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合 S△ADE=S
四边形 BCED,可得出 = ,结合 BD=AB﹣AD 即可求出 的值,此题得解.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴( )2= .
∵S△ADE=S 四边形 BCED,
∴ = ,
∴ = = = ﹣1.
故选:C.
12.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,连接 AD,点 G 在线
段 AD 上,GE∥BD,且交 AB 于点 E,GF∥AC,且交 CD 于点 F,则下列结论一定
正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
【分析】由 GE∥BD、GF∥AC 可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似
三角形的性质即可找出 = = ,此题得解.
【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,
∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,
∴ = , = ,
∴ = = .
故选:D.
13.(2018•遵义)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,
连接 AC、BD,以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E.若 DE=3,则 AD 的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【分析】先求出 AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设 DF=x,AD= x,利用
勾股定理求出 BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.
【解答】解:如图,在 Rt△ABC 中,AB=5,BC=10,
∴AC=5
过点 D 作 DF⊥AC 于 F,
∴∠AFD=∠CBA,
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠ACB,
∴△ADF∽△CAB,
∴ ,
∴ ,
设 DF=x,则 AD= x,
在 Rt△ABD 中,BD= = ,
∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,
∴△DEF∽△DBA,
∴ ,
∴ ,
∴x=2,
∴AD= x=2 ,
故选:D.
14.(2018•扬州)如图,点 A 在线段 BD 上,在 BD 的同侧作等腰 Rt△ABC 和等
腰 Rt△ADE,CD 与 BE、AE 分别交于点 P,M.对于下列结论:
①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是( )
A.①②③ B.① C.①② D.②③
【分析】(1)由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证;
(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD 即可;
(3)2CB2 转化为 AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.
【解答】解:由已知:AC= AB,AD= AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A 四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC= AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选:A.
15.(2018•贵港)如图,在△ABC 中,EF∥BC,AB=3AE,若 S 四边形 BCFE=16,则 S
△ABC=( )
A.16 B.18 C.20 D.24
【分析】由 EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则
S△ABC 的值.
【解答】解:∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∵AB=3AE,
∴AE:AB=1:3,
∴S△AEF:S△ABC=1:9,
设 S△AEF=x,
∵S 四边形 BCFE=16,
∴ = ,
解得:x=2,
∴S△ABC=18,
故选:B.
16.(2018•孝感)如图,△ABC 是等边三角形,△ABD 是等腰直角三角形,∠
BAD=90°,AE⊥BD 于点 E,连 CD 分别交 AE,AB 于点 F,G,过点 A 作 AH⊥CD
交 BD 于点 H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△
CBG;⑤AF=( ﹣1)EF.其中正确结论的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角∠
CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP 和∠FAG 度数,从而得出∠AGF 度数,据
此可判断;③证△ADF≌△BAH 即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB
即可得证;⑤设 PF=x,则 AF=2x、AP= = x,设 EF=a,由△ADF≌△
BAH 知 BH=AF=2x,根据△ABE 是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x,据此得出 EH=a,
证△PAF∽△EAH 得 = ,从而得出 a 与 x 的关系即可判断.
【解答】解:∵△ABC 为等边三角形,△ABD 为等腰直角三角形,
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,
∴△CAD 是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,
∴∠ADC=15°,故①正确;
∵AE⊥BD,即∠AED=90°,
∴∠DAE=45°,
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,
∴∠AGF=75°,
由∠AFG≠∠AGF 知 AF≠AG,故②错误;
记 AH 与 CD 的交点为 P,
由 AH⊥CD 且∠AFG=60°知∠FAP=30°,
则∠BAH=∠ADC=15°,
在△ADF 和△BAH 中,
∵ ,
∴△ADF≌△BAH(ASA),
∴DF=AH,故③正确;
∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,
∴△AFG∽△CBG,故④正确;
在 Rt△APF 中,设 PF=x,则 AF=2x、AP= = x,
设 EF=a,
∵△ADF≌△BAH,
∴BH=AF=2x,
△ABE 中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,
∴BE=AE=AF+EF=a+2x,
∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,
∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,
∴△PAF∽△EAH,
∴ = ,即 = ,
整理,得:2x2=( ﹣1)ax,
由 x≠0 得 2x=( ﹣1)a,即 AF=( ﹣1)EF,故⑤正确;
故选:B.
17.(2018•泸州)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别在边 AD,CD 上,AF,BE
相交于点 G,若 AE=3ED,DF=CF,则 的值是( )
A. B. C. D.
【分析】如图作,FN∥AD,交 AB 于 N,交 BE 于 M.设 DE=a,则 AE=3a,利用
平行线分线段成比例定理解决问题即可;
【解答】解:如图作,FN∥AD,交 AB 于 N,交 BE 于 M.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB∥CD,∵FN∥AD,
∴四边形 ANFD 是平行四边形,
∵∠D=90°,
∴四边形 ANFD 是解析式,
∵AE=3DE,设 DE=a,则 AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,
∵AN=BN,MN∥AE,
∴BM=ME,
∴MN= a,
∴FM= a,
∵AE∥FM,
∴ = = = ,
故选:C.
18.(2018•临安区)如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB,AC 相交于点
D,E,若 AD=4,DB=2,则 DE:BC 的值为( )
A. B. C. D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三
角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ = = = .
故选:A.
19.(2018•恩施州)如图所示,在正方形 ABCD 中,G 为 CD 边中点,连接 AG
并延长交 BC 边的延长线于 E 点,对角线 BD 交 AG 于 F 点.已知 FG=2,则线段
AE 的长度为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【分析】根据正方形的性质可得出 AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相
似三角形的性质可得出 = =2,结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度,由 CG∥AB、
AB=2CG 可得出 CG 为△EAB 的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的
长度,此题得解.
【解答】解:∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,
∴△ABF∽△GDF,
∴ = =2,
∴AF=2GF=4,
∴AG=6.
∵CG∥AB,AB=2CG,
∴CG 为△EAB 的中位线,
∴AE=2AG=12.
故选:D.
20.(2018•杭州)如图,在△ABC 中,点 D 在 AB 边上,DE∥BC,与边 AC 交于
点 E,连结 BE.记△ADE,△BCE 的面积分别为 S1,S2( )
A.若 2AD>AB,则 3S1>2S2 B.若 2AD>AB,则 3S1<2S2
C.若 2AD<AB,则 3S1>2S2 D.若 2AD<AB,则 3S1<2S2
【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的
平方解答.
【解答】解:∵如图,在△ABC 中,DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ =( )2,
∴若 2AD>AB,即 > 时, > ,
此时 3S1>S2+S△BDE,而 S2+S△BDE<2S2.但是不能确定 3S1 与 2S2 的大小,
故选项 A 不符合题意,选项 B 不符合题意.
若 2AD<AB,即 < 时, < ,
此时 3S1<S2+S△BDE<2S2,
故选项 C 不符合题意,选项 D 符合题意.
故选:D.
21.(2018•永州)如图,在△ABC 中,点 D 是边 AB 上的一点,∠ADC=∠ACB,
AD=2,BD=6,则边 AC 的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】只要证明△ADC∽△ACB,可得 = ,即 AC2=AD•AB,由此即可解决
问题;
【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB,
∴ = ,
∴AC2=AD•AB=2×8=16,
∵AC>0,
∴AC=4,
故选:B.
22.(2018•香坊区)如图,点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、AC、BC 上的点,
若 DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ ,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ ,
∵EF∥AB,
∴ ,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴ ,
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形 BDEF 是平行四边形,
∴DE=BF,EF=BD,
∴ , , , ,
∴ 正确,
故选:C.
23.(2018•荆门)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,E、F 为 CD 边的两个三
等分点,连接 AF、BE 交于点 G,则 S△EFG:S△ABG=( )
A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;
【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB,
∵DE=EF=FC,
∴EF:AB=1:3,
∴△EFG∽△BAG,
∴ =( )2= ,
故选:C.
24.(2018•达州)如图,E,F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点,AE=CF= AC.连
接 DE,DF 并延长,分别交 AB,BC 于点 G,H,连接 GH,则 的值为( )
A. B. C. D.1
【分析】首先证明 AG:AB=CH:BC=1:3,推出 GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,
可得 = =( )2=( )2= , = ,由此即可解决问题.
【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD=BC,DC=AB,
∵AC=CA,
∴△ADC≌△CBA,
∴S△ADC=S△ABC,
∵AE=CF= AC,AG∥CD,CH∥AD,
∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3,
∴AG:AB=CH:BC=1:3,
∴GH∥AC,
∴△BGH∽△BAC,
∴ = =( )2=( )2= ,
∵ = ,
∴ = × = ,
故选:C.
25.(2018•南充)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,P 为 CD 的中点,连结 AP,
过点 B 作 BE⊥AP 于点 E,延长 CE 交 AD 于点 F,过点 C 作 CH⊥BE 于点 G,交
AB 于点 H,连接 HF.下列结论正确的是( )
A.CE= B.EF= C.cos∠CEP= D.HF2=EF•CF
【分析】首先证明 BH=AH,推出 EG=BG,推出 CE=CB,再证明△CEH≌△CBH,
Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断.
【解答】解:连接 EH.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB,
∵BE⊥AP,CH⊥BE,
∴CH∥PA,
∴四边形 CPAH 是平行四边形,
∴CP=AH,
∵CP=PD=1,
∴AH=PC=1,
∴AH=BH,
在 Rt△ABE 中,∵AH=HB,
∴EH=HB,∵HC⊥BE,
∴BG=EG,
∴CB=CE=2,故选项 A 错误,
∵CH=CH,CB=CE,HB=HE,
∴△ABC≌△CEH,
∴∠CBH=∠CEH=90°,
∵HF=HF,HE=HA,
∴Rt△HFE≌Rt△HFA,
∴AF=EF,设 EF=AF=x,
在 Rt△CDF 中,有 22+(2﹣x)2=(2+x)2,
∴x= ,
∴EF= ,故 B 错误,
∵PA∥CH,
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,
∴cos∠CEP=cos∠BCH= = ,故 C 错误.
∵HF= ,EF= ,FC=
∴HF2=EF•FC,故 D 正确,
故选:D.
26.(2018•临沂)如图.利用标杆 BE 测量建筑物的高度.已知标杆 BE 高 1.2m,
测得 AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物 CD 的高是( )
A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得 = ,
然后利用比例性质求出 CD 即可.
【解答】解:∵EB∥CD,
∴△ABE∽△ACD,
∴ = ,即 = ,
∴CD=10.5(米).
故选:B.
27.(2018•长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五
百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一
尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太
阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:
1 丈=10 尺,1 尺=10 寸),则竹竿的长为( )
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.
【解答】解:设竹竿的长度为 x 尺,
∵竹竿的影长=一丈五尺=15 尺,标杆长=一尺五寸=1.5 尺,影长五寸=0.5 尺,
∴ ,解得 x=45(尺).
故选:B.
28.(2018•绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转
到 AC 位置,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为 B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,
则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为( )
A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m
【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD 知△ABO∽△CDO,据此得 = ,
将已知数据代入即可得.
【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABO=∠CDO=90°,
又∵∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO,
则 = ,
∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,
∴ = ,
解得:CD=0.4,
故选:C.
二.填空题(共 7 小题)
29.(2018•邵阳)如图所示,点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点,
连接 AE,交 CD 于点 F,连接 BF.写出图中任意一对相似三角形: △ADF∽△
ECF .
【分析】利用平行四边形的性质得到 AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可
判断△ADF∽△ECF.
【解答】解:∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AD∥CE,
∴△ADF∽△ECF.
故答案为△ADF∽△ECF.
30.(2018•北京)如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点,连接 DE 交对角
线 AC 于点 F,若 AB=4,AD=3,则 CF 的长为 .
【分析】根据矩形的性质可得出 AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE=
∠CFD(对顶角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出
= =2,利用勾股定理可求出 AC 的长度,再结合 CF= •AC,即可求出
CF 的长.
【解答】解:∵四边形 ABCD 为矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,
∴∠FAE=∠FCD,
又∵∠AFE=∠CFD,
∴△AFE∽△CFD,
∴ = =2.
∵AC= =5,
∴CF= •AC= ×5= .
故答案为: .
31.(2018•包头)如图,在▱ ABCD 中,AC 是一条对角线,EF∥BC,且 EF 与
AB 相交于点 E,与 AC 相交于点 F,3AE=2EB,连接 DF.若 S△AEF=1,则 S△ADF 的值
为 .
【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2a、BE=3a,根据 EF∥BC 得 =( )2= ,
结合 S△AEF=1 知 S△ADC=S△ABC= ,再由 = = 知 = ,继而根据 S△ADF= S
△ADC 可得答案.
【解答】解:∵3AE=2EB,
∴可设 AE=2a、BE=3a,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴ =( )2=( )2= ,
∵S△AEF=1,
∴S△ABC= ,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴S△ADC=S△ABC= ,
∵EF∥BC,
∴ = = = ,
∴ = = ,
∴S△ADF= S△ADC= × = ,
故答案为: .
32.(2018•资阳)已知:如图,△ABC 的面积为 12,点 D、E 分别是边 AB、AC
的中点,则四边形 BCED 的面积为 9 .
【分析】设四边形 BCED 的面积为 x,则 S△ADE=12﹣x,由题意知 DE∥BC 且 DE= BC,
从而得 =( )2,据此建立关于 x 的方程,解之可得.
【解答】解:设四边形 BCED 的面积为 x,则 S△ADE=12﹣x,
∵点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴DE∥BC,且 DE= BC,
∴△ADE∽△ABC,
则 =( )2,即 = ,
解得:x=9,
即四边形 BCED 的面积为 9,
故答案为:9.
33.(2018•泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中
有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南
门几步面见木?”
用今天的话说,大意是:如图,DEFG 是一座边长为 200 步(“步”是古代的长度
单位)的正方形小城,东门 H 位于 GD 的中点,南门 K 位于 ED 的中点,出东门
15 步的 A 处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木(即点 D 在直
线 AC 上)?请你计算 KC 的长为 步.
【分析】证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得 = ,然后利用比
例性质可求出 CK 的长.
【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,
∵AH∥DK,
∴∠CDK=∠A,
而∠CKD=∠AHD,
∴△CDK∽△DAH,
∴ = ,即 = ,
∴CK= .
答:KC 的长为 步.
故答案为 .
34.(2018•岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有
勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直
角边)长为 5 步,股(长直角边)长为 12 步,问该直角三角形能容纳的正方形
边长最大是多少步?”该问题的答案是 步.
【分析】如图 1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式
可得结论;如图 2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值.
【解答】解:如图 1,∵四边形 CDEF 是正方形,
∴CD=ED,DE∥CF,
设 ED=x,则 CD=x,AD=12﹣x,
∵DE∥CF,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,
∴△ADE∽△ACB,
∴ ,
∴ ,
x= ,
如图 2,四边形 DGFE 是正方形,
过 C 作 CP⊥AB 于 P,交 DG 于 Q,
设 ED=x,
S△ABC= AC•BC= AB•CP,
12×5=13CP,
CP= ,
同理得:△CDG∽△CAB,
∴ ,
∴ ,
x= ,
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 (步),
故答案为: .
35.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE 与 BC 相交于点 D,∠B=∠C=90°,
测得 BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽 AB= 100 m.
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的
大致距离 AB.
【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ABD∽△ECD,
∴ , ,
解得:AB= (米).
故答案为:100.
三.解答题(共 15 小题)
36.(2018•张家界)如图,点 P 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,且 AB=4,点
M 为 上一个动点(不与 A,B 重合),射线 PM 与⊙O 交于点 N(不与 M 重合)
(1)当 M 在什么位置时,△MAB 的面积最大,并求岀这个最大值;
(2)求证:△PAN∽△PMB.
【分析】(1)当 M 在弧 AB 中点时,三角形 MAB 面积最大,此时 OM 与 AB 垂
直,求出此时三角形面积最大值即可;
(2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得
证.
【解答】解:(1)当点 M 在 的中点处时,△MAB 面积最大,此时 OM⊥AB,
∵OM= AB= ×4=2,
∴S△ABM= AB•OM= ×4×2=4;
(2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,
∴△PAN∽△PMB.
37.(2018•株洲)如图,在 Rt△ABM 和 Rt△ADN 的斜边分别为正方形的边 AB
和 AD,其中 AM=AN.
(1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND;
(2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T,若 AT= ,求 tan∠ABM 的值.
【分析】(1)利用 HL 证明即可;
(2)想办法证明△DNT∽△AMT,可得 由 AT= ,推出 ,在 Rt
△ABM 中,tan∠ABM= .
【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).
(2)由 Rt△ABM≌Rt△AND 易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT= ,
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM= .
38.(2018•大庆)如图,AB 是⊙O 的直径,点 E 为线段 OB 上一点(不与 O,B
重合),作 EC⊥OB,交⊙O 于点 C,作直径 CD,过点 C 的切线交 DB 的延长线
于点 P,作 AF⊥PC 于点 F,连接 CB.
(1)求证:AC 平分∠FAB;
(2)求证:BC2=CE•CP;
(3)当 AB=4 且 = 时,求劣弧 的长度.
【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;
(2)只要证明△CBE∽△CPB,可得 = 解决问题;
(3)作 BM⊥PF 于 M.则 CE=CM=CF,设 CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用
相似三角形的性质求出 BM,求出 tan∠BCM 的值即可解决问题;
【解答】(1)证明:∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∵∠BCP=∠BCE,
∴∠ACF=∠ACE,即 AC 平分∠FAB.
(2)证明:∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵PF 是⊙O 的切线,CE⊥AB,
∴∠OCP=∠CEB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,
∴∠BCE=∠BCP,
∵CD 是直径,
∴∠CBD=∠CBP=90°,
∴△CBE∽△CPB,
∴ = ,
∴BC2=CE•CP;
(3)解:作 BM⊥PF 于 M.则 CE=CM=CF,设 CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,
∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,
∴∠MCB=∠PBM,
∵CD 是直径,BM⊥PC,
∴∠CMB=∠BMP=90°,
∴△BMC∽△PMB,
∴ = ,
∴BM2=CM•PM=3a2,
∴BM= a,
∴tan∠BCM= = ,
∴∠BCM=30°,
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°
∴ 的长= = π.
39.(2018•江西)如图,在△ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD 是∠
ABC 的平分线,BD 交 AC 于点 E,求 AE 的长.
【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出 BC=CD=4,证
△AEB∽△CED,得出比例式,求出 AE=2CE,即可得出答案.
【解答】解:∵BD 为∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB∥CD,
∴∠D=∠ABD,
∴∠D=∠CBD,
∴BC=CD,
∵BC=4,
∴CD=4,
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△CDE,
∴ = ,
∴ = ,
∴AE=2CE,
∵AC=6=AE+CE,
∴AE=4.
40.(2018•上海)已知:如图,正方形 ABCD 中,P 是边 BC 上一点,BE⊥AP,
DF⊥AP,垂足分别是点 E、F.
(1)求证:EF=AE﹣BE;
(2)联结 BF,如课 = .求证:EF=EP.
【分析】(1)利用正方形的性质得 AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等
得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则 BE=AF,然后利用等线段代换可得到
结论;
(2)利用 = 和 AF=BE 得到 = ,则可判定 Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=
∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP.
【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABE 和△DAF 中
,
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;
(2)如图,∵ = ,
而 AF=BE,
∴ = ,
∴ = ,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3,
而∠1=∠3,
∴∠4=∠1,
∵∠5=∠1,
∴∠4=∠5,
即 BE 平分∠FBP,
而 BE⊥EP,
∴EF=EP.
41.(2018•东营)如图,CD 是⊙O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
(2)若 BD= AD,AC=3,求 CD 的长.
【分析】(1)连接 OD,由 OB=OD 可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直
径所对的圆周角等于 180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC;
(2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB 可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质
结合 BD= AD、AC=3,即可求出 CD 的长.
【解答】(1)证明:连接 OD,如图所示.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵CD 是⊙O 的切线,OD 是⊙O 的半径,
∴∠ODB+∠BDC=90°.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠OBD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BDC.
(2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,
∴△CDB∽△CAD,
∴ = .
∵BD= AD,
∴ = ,
∴ = ,
又∵AC=3,
∴CD=2.
42.(2018•南京)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,连接 DE.过点 A
作 AF⊥DE,垂足为 F,⊙O 经过点 C、D、F,与 AD 相交于点 G.
(1)求证:△AFG∽△DFC;
(2)若正方形 ABCD 的边长为 4,AE=1,求⊙O 的半径.
【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;
(2)首先证明 CG 是直径,求出 CG 即可解决问题;
【解答】(1)证明:在正方形 ABCD 中,∠ADC=90°,
∴∠CDF+∠ADF=90°,
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DAF=∠CDF,
∵四边形 GFCD 是⊙O 的内接四边形,
∴∠FCD+∠DGF=180°,
∵∠FGA+∠DGF=180°,
∴∠FGA=∠FCD,
∴△AFG∽△DFC.
(2)解:如图,连接 CG.
∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,
∴△EDA∽△ADF,
∴ = ,即 = ,
∵△AFG∽△DFC,
∴ = ,
∴ = ,
在正方形 ABCD 中,DA=DC,
∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,
∴CG= =5,
∵∠CDG=90°,
∴CG 是⊙O 的直径,
∴⊙O 的半径为 .
43.(2018•滨州)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,AD⊥CD 于点 D,
且 AC 平分∠DAB,求证:
(1)直线 DC 是⊙O 的切线;
(2)AC2=2AD•AO.
【分析】(1)连接 OC,由 OA=OC、AC 平分∠DAB 知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据
此知 OC∥AD,根据 AD⊥DC 即可得证;
(2)连接 BC,证△DAC∽△CAB 即可得.
【解答】解:(1)如图,连接 OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC 平分∠DAB,
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
又∵AD⊥CD,
∴OC⊥DC,
∴DC 是⊙O 的切线;
(2)连接 BC,
∵AB 为⊙O 的直径,
∴AB=2AO,∠ACB=90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴ = ,即 AC2=AB•AD,
∵AB=2AO,
∴AC2=2AD•AO.
44.(2018•十堰)如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,
交 AC 于点 E,过点 D 作 FG⊥AC 于点 F,交 AB 的延长线于点 G.
(1)求证:FG 是⊙O 的切线;
(2)若 tanC=2,求 的值.
【分析】(1)欲证明 FG 是⊙O 的切线,只要证明 OD⊥FG;
(2)由△GDB∽△GAD,设 BG=a.可得 = = = ,推出 DG=2a,AG=4a,
由此即可解决问题;
【解答】(1)证明:连接 AD、OD.
∵AB 是直径,
∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,
∵AC=AB,
∴CD=BD,
∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴FG 是⊙O 的切线.
(2)解:∵tanC= =2,BD=CD,
∴BD:AD=1:2,
∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠GDB=∠GAD,
∵∠G=∠G,
∴△GDB∽△GAD,设 BG=a.
∴ = = = ,
∴DG=2a,AG=4a,
∴BG:GA=1:4.
45.(2018•杭州)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,DE⊥AB
于点 E.
(1)求证:△BDE∽△CAD.
(2)若 AB=13,BC=10,求线段 DE 的长.
【分析】(1)想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题;
(2)利用面积法: •AD•BD= •AB•DE 求解即可;
【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∠B=∠C,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=∠ADC,
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
在 Rt△ADB 中,AD= = =12,
∵ •AD•BD= •AB•DE,
∴DE= .
46.(2018•烟台)如图,已知 D,E 分别为△ABC 的边 AB,BC 上两点,点 A,C,
E 在⊙D 上,点 B,D 在⊙E 上.F 为 上一点,连接 FE 并延长交 AC 的延长线于
点 N,交 AB 于点 M.
(1)若∠EBD 为α,请将∠CAD 用含α的代数式表示;
(2)若 EM=MB,请说明当∠CAD 为多少度时,直线 EF 为⊙D 的切线;
(3)在(2)的条件下,若 AD= ,求 的值.
【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=
∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论;
(2)设∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知:∠DEF=90°,
所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;根据(1)的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE 是
等边三角形,得 CD=CE=DE=EF=AD= ,求 EM=1,MF=EF﹣EM= ﹣1,根据三
角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE= ,代入化简可得结论.
【解答】解:(1)连接 CD、DE,⊙E 中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
⊙D 中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB 中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD= = ;
(2)设∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
当 EF 为⊙D 的切线时,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB 中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
由(1)得:∠CAD= ;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE 是等边三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD= ,
Rt△DEM 中,∠EDM=30°,DE= ,
∴EM=1,MF=EF﹣EM= ﹣1,
△ACB 中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE 中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE= ,
∴ = = =2+ .
47.(2018•陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测
量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点 A,在他们所在的岸
边选择了点 B,使得 AB 与河岸垂直,并在 B 点竖起标杆 BC,再在 AB 的延长线
上选择点 D,竖起标杆 DE,使得点 E 与点 C、A 共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所
示.请根据相关测量信息,求河宽 AB.
【分析】由 BC∥DE,可得 = ,构建方程即可解决问题.
【解答】解:∵BC∥DE,
∴△ABC∽△ADE,
∴ = ,
∴ = ,
∴AB=17(m),
经检验:AB=17 是分式方程的解,
答:河宽 AB 的长为 17 米.
48.(2018•济宁)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,
连接 DF,过点 E 作 EH⊥DF,垂足为 H,EH 的延长线交 DC 于点 G.
(1)猜想 DG 与 CF 的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点 H 作 MN∥CD,分别交 AD,BC 于点 M,N,若正方形 ABCD 的边长为
10,点 P 是 MN 上一点,求△PDC 周长的最小值.
【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF 即可;
(2)作点 C 关于 NM 的对称点 K,连接 DK 交 MN 于点 P,连接 PC,此时△PDC
的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK;
【解答】解:(1)结论:CF=2DG.
理由:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴ = = ,
∴CF=2DG.
(2)作点 C 关于 NM 的对称点 K,连接 DK 交 MN 于点 P,连接 PC,此时△PDC
的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG= ,EG= ,DH= = ,
∴EH=2DH=2 ,
∴HM= =2,
∴DM=CN=NK= =1,
在 Rt△DCK 中,DK= = =2 ,
∴△PCD 的周长的最小值为 10+2 .
49.(2018•聊城)如图,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一点,连接 AE,过 B 点
作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF.
(1)求证:AE=BF.
(2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF 的长.
【分析】(1)根据 ASA 证明△ABE≌△BCF,可得结论;
(2)根据(1)得:△ABE≌△BCF,则 CF=BE=2,最后利用勾股定理可得 AF 的
长.
【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵BH⊥AE,
∴∠BHE=90°,
∴∠AEB+∠EBH=90°,
∴∠BAE=∠EBH,
在△ABE 和△BCF 中,
,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF;
(2)解:∵AB=BC=5,
由(1)得:△ABE≌△BCF,
∴CF=BE=2,
∴DF=5﹣2=3,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=AD=5,∠ADF=90°,
由勾股定理得:AF= = = = .
50.(2018•乌鲁木齐)如图,AG 是∠HAF 的平分线,点 E 在 AF 上,以 AE 为直
径的⊙O 交 AG 于点 D,过点 D 作 AH 的垂线,垂足为点 C,交 AF 于点 B.
(1)求证:直线 BC 是⊙O 的切线;
(2)若 AC=2CD,设⊙O 的半径为 r,求 BD 的长度.
【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC,证明 OD⊥
CB,可得结论;
(2)在 Rt△ACD 中,设 CD=a,则 AC=2a,AD= a,证明△ACD∽△ADE,表示
a= ,由平行线分线段成比例定理得: ,代入可得结论.
【解答】(1)证明:连接 OD,
∵AG 是∠HAF 的平分线,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∵∠ACD=90°,
∴∠ODB=∠ACD=90°,即 OD⊥CB,
∵D 在⊙O 上,
∴直线 BC 是⊙O 的切线;(4 分)
(2)解:在 Rt△ACD 中,设 CD=a,则 AC=2a,AD= a,
连接 DE,
∵AE 是⊙O 的直径,
∴∠ADE=90°,
由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,
∴△ACD∽△ADE,
∴ ,
即 ,
∴a= ,
由(1)知:OD∥AC,
∴ ,即 ,
∵a= ,解得 BD= r.(10 分)