中考数学应用题类型汇总 8页

中考方程的应用题 解应用题的一般步骤：‎ 解应用题的一般步骤可以归结为：“设、列、解、验、答” ．‎ ‎1、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．‎ ‎2、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．‎ ‎3、“解”就是解方程，求出未知数的值．‎ ‎4、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．‎ ‎5、“答”就是写出答案(包括单位名称)．‎ 应用题类型：‎ 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等．‎ 几种常见类型和等量关系如下：‎ ‎1、行程问题：‎ 基本量之间的关系：路程=速度×时间，即：．‎ 常见等量关系：‎ ‎(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程．‎ ‎(2)追及问题(设甲速度快)：‎ ①同时不同地：‎ 甲用的时间＝乙用的时间；‎ 甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．‎ ②同地不同时：‎ 甲用的时间＝乙用的时间－时间差；‎ 甲走的路程＝乙走的路程．‎ ‎2、工程问题：‎ 基本量之间的关系：工作量=工作效率×工作时间．‎ 常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．‎ ‎3、增长率问题：‎ 基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)．‎ ‎4、百分比浓度问题：‎ 基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度．‎ ‎5、水中航行问题：‎ 基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度；‎ ‎ 逆流速度＝船在静水中速度－水流速度．‎ ‎6、市场经济问题：‎ 基本量之间的关系：商品利润=售价－进价；‎ 商品利润率=利润÷进价；‎ 利息=本金×利率×期数；‎ 本息和=本金+本金×利率×期数．‎ 中考一元二次方程应用题例析 列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一，其主要类型有以下两种：‎ 一、有关增长率问题 例1（2016济南）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？‎ 解 设这种药品平均降价的百分率是x．‎ 由题意，有200(1﹣x)2=128，‎ 则(1﹣x)2=0.64 ∴1﹣x=+0.8，‎ ‎∴x1=0.2=20%， x2=1.8(不合题意，舍去)，‎ 答：这种药品平均每次降价20% ‎ 二、有关利润问题 例4 (2006济南) 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?‎ 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，‎ 根据题意得：‎ 解这个方程得： ‎ 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元 中考分式方程应用题的类型 ‎2015年济南 （本题满分8分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．‎ ‎（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？‎ ‎（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？‎ 关键词】分式方程 ‎【答案】解：（1）设乙队单独完成需天 ‎ 根据题意，得 解这个方程，得=90‎ ‎ 经检验，=90是原方程的解 ∴乙队单独完成需90天 ‎（2）设甲、乙合作完成需天，则有 解得（天）‎ 甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．‎ 甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）‎ 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．‎ ‎（2014年济南）.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．‎ ‎（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？‎ ‎（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？‎ ‎（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？‎ ‎【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式（组）‎ ‎【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价元 解得: ‎ 经检验: 是原方程的根,‎ 所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元. ‎ ‎(2)设购进甲种电脑台, ‎ 解得 因为的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案 ‎(3) 设总获利为元, ‎ ‎ 当时, (2)中所有方案获利相同. ‎ ‎ 此时, 购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利. ‎ ‎（2014年二模）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.‎ ‎（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？‎ ‎（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）.‎ ‎【关键词】分式方程的应用 ‎【答案】21.解：（1） 设改进设备后平均每天耗煤x吨，根据题意，得：‎ ‎45x+10=45－10xx+5 ‎ 解得x=15 ‎ 经检验，x=15符合题意且使分式方程有意义 答：改进设备后平均每天耗煤15吨 ‎（2）略（只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可得分）‎ ‎（2011年中考）根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长‎300米的盲道.铺设了‎60米后，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加‎10米，结果共用了8天完成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米？‎ 解：设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米，则改进技术前每天铺设(x－10)米.‎ ‎　　根据题意，得. 整理，得2x2－95x+600=0. 解得x1=40 ,x2=7.5. ‎ ‎　　经检验x1=40 ,x2=7.5都是原方程的根，但x2=7.5不符合实际意义，舍去，‎ ‎　　∴x=40. 　答：该工程队改进技术后每天铺设盲道‎40米. ‎ 应用题汇总 ‎1. (2010年济南二模) ‎ 某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元。若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益（扣除修建和种植成本后），工作组应建议他修建多少公顷大棚。（结果用分数表示即可）‎ 解：设建议他修建公项大棚，根据题意 得 ‎ 即 解得， ‎ 从投入、占地与当年收益三方面权衡应舍去 ‎ 所以，工作组应建议修建公顷大棚. ‎ ‎2.（2010年济南中考）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元. ‎ ‎　（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？‎ ‎　（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？‎ 解：（1）解法一：设书包的单价为元，则随身听的单价为元 根据题意，得 　　　　‎ ‎　　解这个方程，得 ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。‎ ‎　　解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元 ‎　　根据题意，得……1分 ；解这个方程组，得 ‎　　答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 ‎ ‎　　（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：（元）‎ 因为，所以可以选择超市A购买。 ‎ 在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购 买书包，总计共花费现金:360+2=362（元）　 ‎ ‎　　因为，所以也可以选择在超市B购买。 ‎ ‎　　因为，所以在超市A购买更省钱 ‎3.（2010年一模）‎ 某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？‎ 设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品．‎ 答案：依题意有． ‎ 整理得．‎ 解得或． ‎ 时，，舍去．‎ ‎．‎ 答：改进操作方法后每天生产60件产品．‎ ‎4.（2010年三模）现有一批设备需由景德镇运往相距‎300千米的南昌，甲、乙两车分别以‎80千米/时和‎60千米/时的速度同时出发，甲车在距南昌‎130千米的A处发现有部分设备丢在B处, 立即以原速返回到B处取回设备，为了还能比乙车提前到达南昌，开始加速以‎100千米/时的速度向南昌前进，设AB的距离为a千米.‎ ‎（1）写出甲车将设备从景德镇运到南昌所经过的路程(用含a的代数式表示)；‎ 景德镇 甲 乙 B A 南昌 ‎(2)若甲车还能比乙车提前到达南昌,求a的取值范围.(不考虑其它因素)‎ 答案：解：(1)； ‎ ‎ (2)由题意得:‎ ‎ ‎ 解得 又∵ 所以，a的取值范围为 .‎ ‎5.（2011年中考）A,B两地相距‎18km，甲工程队要在A，B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A，B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每周比乙工程队少铺设‎1km，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙工程队每周各铺设多少管道？‎ 解：设甲工程队铺设xkm/周，则乙工程队铺设（x+1）/周，依题意得：‎ ‎ ‎ 解这个方程，得 x1=2,x2= -3． ‎ ‎ 经检验，x1=2,x2= -3都是原方程的解，但．x2= -3不符合题意，应舍去。‎ ‎ 答：甲工程队铺设‎2km/周，则乙工程队铺设‎3km/周 列二次方程解应用题 我们可以发现，可以列一次方程解决的问题有一个共同的特点，就是题目中经常出现两方。例如，前面题目例1中的“乘车和骑车”，例2中的“由北京到天津和由天津返回北京”，例3中的“摩托车和抢救车”，例4中的“第一次和第二次”，例5中的“第一束花和第二束花”等，而下面的例题则没有这样的特点，这样的题目可能会用列二次方程来解。‎ 例6 某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．‎ ‎（1）该公司2006年盈利多少万元？ ‎ ‎（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？‎ 分析：‎ ‎（1）数量关系：在这个问题中有三个量：基数（原有部分），增长部分、增长率，其中，增长率=‎ ‎（2）列表：设年盈利平均增长率为x 基数 增长部分 总数 ‎2005‎ ‎/‎ ‎/‎ ‎1500‎ ‎2006‎ ‎1500‎ ‎1500x ‎1500+1500x=1500（1+x）‎ ‎2007‎ ‎1500（1+x）‎ ‎1500（1+x）x ‎2160‎ ‎（3）2007年的盈利为：‎ ‎1500（1+x）+1500（1+x）x =1500（1+x）（1+x）=1500（1+x）2‎ ‎（4）等量关系：2007年的盈利=2160即1500（1+x）2=2160，它是一元二次方程。‎ 解：（1）设年盈利的平均增长率为x ， ‎ 根据题意，得 解得（不合题意，舍去） ‎ ‎ 答：2006年该公司盈利1800万元． ‎ ‎（2） 答：预计2008年该公司盈利2592万元． ‎ 想一想：如果我们不设“年盈利平均增长率为x”，直接设“2006年该公司盈利x万元”行不行？‎ ‎2005年，2006年，2007年该公司的盈利数分别为：1500，1500（1+x），1500（1+x）2。我们发现这三个数很有意思，=1+x，=1+x，即 ‎=。也就是说：‎ ‎2006年盈利数：2005年盈利数=2007年盈利数：2006年盈利数 这样我们可以直接设：2006年该公司盈利x万元。‎ 新解：设2006年该公司盈利x万元 根据题意，得 ‎ ‎（注意：这个方程我们没有见过，但是可以利用我们学过的“比例的基本性质”去解。）‎ 整理，得 x2=1500×2160， 解得 x=±1800（负值舍去）‎ 经检验，x=±1800都是原方程的解 答：2006年该公司盈利1800万元。‎ 例7 某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店每天销售这种商品要获得200‎ 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？‎ ‎（1）题目中有4个量：进价、销售价、利润、销售量，这些量中存在的数量关系有：（销售价-进价）×销售量=利润。‎ ‎（2）题目中还给出了销售量p（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系：（其中x为正整数）．‎ ‎（3）设每件的销售价为x元，每天出售商品p件 ‎（4）两个等量关系：（销售价-进价）×销售量=利润、‎ 解法一：设每件的销售价为x元，每天出售商品p件 ‎ 根据题意，得 ‎ ‎（注意：这个方程组我们没有见过，但是可以利用我们学过的“代入消元法”去解。）‎ ‎ 将（2）代入（1），得 （3）‎ ‎ 整理，得 解得 x=40‎ ‎ 把x=40代入（2），得 p=20‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．‎ 解法二：设每件的销售价为x元，则每天出售商品（100-2x）件 根据题意，得 ‎ 整理，得 （元）（件） ‎ 答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件． ‎ ‎ 想一想：列方程解应用题时，一般问什么设什么，问几个设几个，这种方法叫做直接设元法。按照这个方法，我们列出的方程可能是没有见过和学过的，但是经过分析，有些是可以解的。我们也学过间接设未知数的方法，即间接设元法。使用间接设元法列出的方程一般是我们学过的方程。‎ 例8 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留‎3 m宽的空地，其它三侧内墙各保留‎1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是‎288 m2‎？‎ 前 侧 空 地 蔬 菜 种 植 区 域 分析：‎ 解法一：（直接设元）‎ ‎ 设矩形温室的长为x m，宽为y m 根据题意，得 ‎ 将（1）代入（2），得 （2y－4）（y－2）=288 （3）‎ 整理，得y2－4y－140=0‎ 解得 y1＝－10，y2＝14 将y1＝－10，y2＝14代入③，‎ 得 （不合题意，舍去），‎ 答：当矩形温室的长为‎28 m，宽为‎14 m时，蔬菜种植区域的面积是‎288 m2‎．‎ 解法二：（设一个未知数） 设矩形温室的宽为x m，则长为2 x m ‎ 根据题意，得 （x－2）（2x－4）＝288 整理，得x2－4x－140=0‎ 解得 x 1＝－10（不合题意，舍去），x2＝14． 所以x＝14，2x＝2×14＝28．‎ 答：当矩形温室的长为‎28 m，宽为‎14 m时，蔬菜种植区域的面积是‎288 m2‎． ‎ ‎ 在列方程（组）解应用题时，一般采用直接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的个数要与未知数的个数相同。‎ 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用学过的知识来判断是什么方程（组），然后，根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组）。‎ 解方程（组）时步骤可以少一些，但是应该有这类方程（组）的标准形式。‎ 对于这类方程（组）的解应该考虑它们是否符合题意。‎