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  • 2021-05-13 发布

2012中考数学压轴题函数直角三角形问题三

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‎2012中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)‎ 例 5 ‎ 如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).‎ ‎(1)试说明△ABC是等腰三角形;‎ ‎(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.‎ ‎① 求S与t的函数关系式;‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;‎ ‎③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.‎ 图1‎ 动感体验 ‎ 请打开几何画板文件名“08河南23”,拖动点M从A向B运动,观察S随t变化的图象,可以体验到,当M在AO上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当M在OB上时,S随t的增大而增大.‎ 观察S的度量值,可以看到,S的值可以等于4.‎ 观察△MON的形状,可以体验到,△MON可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.‎ 思路点拨 ‎1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.‎ ‎2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.‎ ‎3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.‎ ‎4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.‎ 满分解答 ‎(1)直线与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4).Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5.点A的坐标是(-2,0),所以BA=5.因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.‎ ‎(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.在Rt△BNH中,BN=t,,所以.‎ 如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时 ‎.‎ 定义域为0<t≤2.‎ 如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时 ‎.‎ 定义域为2<t≤5.‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎②把S=4代入,得.解得,(舍去负值).因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4的情形,此时.‎ ‎③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM ,,所以.解得.‎ 如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,.不存在∠ONM=90°的可能.‎ 所以,当或者时,△MON为直角三角形.‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 考点伸展 在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.‎ 如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.‎ ‎ ‎ 图6 图7‎ 例6 ‎ 已知Rt△ABC中,,,有一个圆心角为,半径的长等于的扇形绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线交于点M,N.‎ ‎(1)当扇形绕点C在的内部旋转时,如图1,求证:;‎ 思路点拨:考虑符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△沿直线对折,得△,连,只需证,就可以了.请你完成证明过程.‎ ‎(2)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 动感体验 ‎ 请打开几何画板文件名“08天津25”,拖动点E绕点C任意旋转,可以体验到,△ACM≌△DCM,△BCN≌△DCN.观察度量值,可以看到∠MDN总是等于90°.‎ 思路点拨 ‎1.本题的证明思路是构造△ACM≌△DCM,证明△BCN≌△DCN.‎ ‎2.证明△BCN≌△DCN的关键是证明.‎ ‎3.证明的结论是勾股定理的形式,基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中,设法证明这个三角形是直角三角形.‎ 满分解答 ‎(1)如图3,将△沿直线对折,得△,连,则△≌△.因此,,,.‎ 又由,得 .由,,得.‎ 又,所以△≌△.因此,.‎ 所以.‎ 在Rt△中,由勾股定理,得.即.‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ ‎(2)关系式仍然成立.‎ 如图4,将△沿直线对折,得△,连,则△≌△.‎ 所以,,,.‎ 又由,得 .由,,得.‎ 又,所以△≌△.因此,.‎ 又由于 ‎,‎ 所以.‎ 在Rt△中,由勾股定理,得.即.‎ 考点伸展 当扇形CEF绕点C旋转至图5,图6,图7的位置时,关系式仍然成立.‎ 图5 图6 图7‎