轴对称图形与等腰三角形 沪科版 安徽 八年级上 中考 数学 知识点 习题集 19页

第16章 轴对称图形与等腰三角形 要点一、轴对称图形及其性质的应用 一、 选择题 ‎1、（2009·黄冈中考）如图，△ABC与△A`B`C`关于直线l对称，且∠A=78°，∠C`=48°，则∠B的度数为（ ）‎ A．48° B．54° C．74° D．78°‎ ‎【解析】选B． ∵△ABC与△A`B`C`关于直线l对称，∴∠C=∠C`=48°，‎ ‎∠B=180°-∠A-∠C=180°-78°-48°=54°.‎ ‎2、（2009·株洲中考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选D. A、B、C项沿某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.‎ ‎3、（2009·邵阳中考）下列图形是轴对称图形是　　　　　　　　（　　　）‎ ‎　　‎ 答案：选A ‎4.（2009·宜昌中考）如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是( )．‎ A． 　 B． 　 C. D.‎ 答案：选B 18‎ ‎5、（2009·济宁中考）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形 将留下的纸片展开，得到的图形是（ ）‎ ‎ A． B．　　　　　C．　　　　　Ｄ．‎ ‎【解析】选A.本题可以通过操作得答案，也可以通过轴对称作图得答案 ‎6、（2008·青岛中考）下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选B.第二幅、第三幅图形是轴对称图形.‎ ‎7、（2008·台州中考）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）‎ A．对应点连线与对称轴垂直 B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平行 答案：选B 18‎ 一、 填空题 ‎8、（2009·柳州中考）请写出一个是轴对称图形的图形名称．答： ．‎ 答案：圆、矩形等 ‎9、（2010·临沂中考）正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．‎ ‎【解析】运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积 的一半即a2.‎ 答案：a2‎ ‎10、（2010·巴中中考）从下列图形中任意选一个恰好是轴对称图形的概率为 。‎ ‎【解析】6个图形中，是轴对称图形的有②、④、⑤，所以P（轴对称图形）=‎ 答案：‎ ‎11、 (2009·杭州中考)如图，镜子中号码的实际号码是___________ .‎ ‎【解析】因为镜子中的号码关于镜面对称，所以实际号码应为3265.‎ 答案：3265‎ ‎12、（2008·赤峰中考）星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是 ．（按12小时制填写）______________________________________________________________________________________________________________________________‎ 18‎ 答案：1时30分 一、 解答题 ‎13、（2009·清远中考）已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图所示，请用图形A与B合拼成一个轴对称图形，并把它画在答题卡的表格中．‎ 答案： ‎ ‎14、（2009·眉山中考）在的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF.‎ 答案：‎ 18‎ 要点二、线段的垂直平分线的性质 一、 选择题 ‎1、（2009·怀化中考）如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选B．由，得∠AEB=80°，由是的垂直平分线得EA=EC，所以∠EAC=∠ECA=∠AEB=×80°=40°.‎ ‎2、（2009·钦州中考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）‎ ‎ A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB ‎【解析】选 A。线段垂直平分线判定定理：“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选A。‎ ‎3、（2009·云南中考）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，‎ 交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ A D E B C ‎【解析】选A.∵△ABC周长等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，∵DE是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AE=BE，∴AE+EC=BE+EC=AC=8, ∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13；‎ 二、 填空题 18‎ ‎4、（2009·泉州中考）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，‎ 若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ；‎ ‎【解析】∵△ABC周长与四边形AEDC周长差等于12，∵DE是线段BC的垂直平分线∴△EDB≌△EDC，‎ ‎∴BD+BE-DE=12，又∵BD+BE+DE=24，∴DE=6.‎ 答案：6.‎ ‎5、（2009·黄冈中考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，‎ 则∠B等于_____________度．‎ ‎【解析】如图（1）因为DE是AB的垂直平分线，又因为∠AED＝50°，所以∠A=40°，因为AB=AC，所以 ‎∠B=70°；‎ 如图（2）因为DE是AB的垂直平分线，∠E＝50°，所以∠EAD=40°，因为AB=AC，所以∠B=20°；‎ 答案：70或20；‎ ‎6、（2008·孝感中考）如图，AB=AC，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么 ；‎ 答案：60°‎ ‎7、（2008·徐州中考）如图，Rt△ABC中，，cm，cm．将△ABC折叠，使点C与A 重合，得折痕DE，则△ABE的周长 = cm．‎ 答案：7‎ 18‎ ‎8、（2007·陕西中考）如图，垂直平分线段于点的 平分线交于点，连结，则的度数是 ． ‎ 答案：‎ 一、 解答题 ‎9、.（2009·铁岭中考）如图所示，在中，．‎ ‎（1）尺规作图：作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在已作的图形中，若分别交及的延长线于点，连结．‎ 求证：．‎ ‎【解析】（1）直线即为所求．‎ ‎（2）证明：在中，‎ 又∵为线段的垂直平分线，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又∵，∴．‎ 在中，，‎ 18‎ ‎∴，∴．‎ ‎10、（2008·镇江中考）作图证明如图，在中，作的平分线，交于，作线段的垂直平分线，分别交于，交于，垂足为，连结．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎【解析】（1）画角平分线，线段的垂直平分线． ‎ ‎（2）‎ ‎11、（2007·成都中考）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．‎ ‎【解析】（1）证明：，，‎ 是等腰直角三角形．‎ ‎．‎ 在和中，‎ ‎，，‎ 且，‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）证明：在和中 18‎ 平分，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ 又由（1），知，‎ ‎．‎ ‎（3）．‎ 证明：连结．‎ 是等腰直角三角形，‎ ‎．‎ 又是边的中点，‎ 垂直平分．‎ ‎．‎ 在中，‎ 是斜边，是直角边，‎ ‎．‎ ‎．‎ 要点三、等腰三角形的性质及判定 一、 选择题 ‎1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；‎ 18‎ ‎2、（2009·威海中考）如图，，若，则的度数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选B.由AB=AC, ,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=, =∠ABC-∠DBC =70°-=.‎ ‎3.（2009·聊城中考）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（ ）‎ A．62º B．38º C．28º D．26º ‎【解析】选C.在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，又∠AED＝62º ,∴∠EAC=62º -45 º =17 º ,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.‎ ‎4、.(2009·黔东南中考)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）学科网 A、30o B、40o C、45o D、36o ‎ ‎【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD, ‎ ‎∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xo,则∠ABD=xo, ∠C=∠ABC=∠BDC=2xo,在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o ‎ ‎5、（2009· 武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）‎ 18‎ A．70° B．110 C．140° D．150°‎ B C O A D ‎【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°，所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°，所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；‎ ‎6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若 ‎∠APD＝60°，则CD的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ A D C P B ‎60°‎ ‎【解析】选B 因为∠APD＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD，又因为∠BPA＝60°＋∠PAD，所以∠PDC=‎ ‎∠BPA，又因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD，所以,所以CD＝.‎ ‎7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，‎ 则它的周长为（ ）‎ A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 答案：选C 一、 填空题 ‎8. (2009·达州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________.‎ ‎【解析】由AB＝AC得∠B=∠C=∠DAC=×80°=40°.‎ 答案：40°.‎ ‎9.（2009·云南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE 18‎ 交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形 是 .（写出一个即可）‎ ‎【解析】由∠ACB=90°，DE∥AC，得∠EDC=90°，又M为BE的中点，得MB=MD=ME,∴△MBD 和△MDE是等腰三角形，∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，∴∠EDA=∠EAD=∠DAC, ‎ ‎∴△EAD是等腰三角形.‎ 答案：△MBD或△MDE或△EAD ‎10.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：‎ ① AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．‎ ‎【解析】∵正三角形ABC和正三角形CDE ‎∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE ‎∴ΔACD≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE 又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ 又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º ∴PQ∥AE,∵∠AOB=∠OEA＋∠OAE=‎ ‎∠OEA＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC ∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE.‎ 故恒成立的有①②③⑤‎ 答案：①②③⑤‎ ‎11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为 。‎ 答案： ‎ ‎12、（2007·江西中考）如图，在中，点是上一点，，，则 度． ‎ 18‎ 答案：‎ 一、 解答题 ‎13、(2009·绍兴中考) 如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：． ‎ ‎ ‎ 答案：（1）ΔABD是等腰直角三角形，，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．‎ ‎(2)因为AB＝AC,,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．‎ ‎14.（2009·河南中考）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.‎ ‎【解析】OE⊥AB．　　　　　　　　　　　‎ 证明：在△BAC和△ABD中，‎ AC=BD，‎ ‎∠BAC=∠ABD，‎ AB=BA．‎ ‎ ∴△BAC≌△ABD．　　　∴∠OBA=∠OAB,，∴OA=OB．　　　　　　　　　　‎ 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB．‎ ‎15、.(2009·泸州中考)如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD， AD与BE相交于点F．‎ 18‎ ‎ (1)求证：≌△CAD； ‎ ‎ (2)求∠BFD的度数．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵为等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA 在△ABE和△CAD中，‎ AB=CA，∠BAE=∠C,AE=CD,‎ ‎∴△ABE≌△CAD ‎(2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，‎ ‎ 又∵△ABE≌△CAD ‎ ∴∠ABE=∠CAD ‎ ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°‎ ‎16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，‎ 以AD为一边向右作正三角形ADE。‎ ‎（1）求△ABC的面积S；‎ ‎（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。‎ ‎【解析】（1）在正中，，‎ ‎．‎ ‎（2）的位置关系：．‎ 在中，，‎ ‎，‎ 18‎ ‎．‎ ‎17、（2008·龙岩中考）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .‎ ‎【解析】我所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB）‎ 证明：在△ABC中，‎ ‎∵∠A=36°，∠C=72°，‎ ‎∴∠ABC=180°－（72°＋36°）=72°. ‎ ‎∵∠C=∠ABC，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形. 我所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB） ‎ 要点四、角平分线的性质与应用 一、 选择题 ‎1、（2009·温州中考）如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不 一定成立的是（ ）‎ A. B.平分 C. D.垂直平分 ‎【解析】选D.由OP平分，，，可得，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，所以可得平分，.‎ ‎2、(2009·牡丹江中考)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、‎ 于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由 作法得的根据是（ ）‎ A．SAS B．ASA C．AAS　　D．SSS ‎ O D P C A B ‎【解析】选D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP,所以 18‎ ‎，因此依据为SSS；‎ ‎3、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）‎ ‎（Ａ）三条中线的交点 （Ｂ）三条高的交点 ‎（Ｃ）三条边的垂直平分线的交点 （Ｄ）三条角平分线的交点 答案：D ‎4、（2007·义乌中考）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．‎ 已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）.‎ ‎（A）3　 （B）4　　 （C）5　 （D）6‎ ‎【解析】选A.由角平分线的性质可得.‎ 一、 填空题 ‎5、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，‎ BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。‎ ‎ ‎ ‎【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得 答案：6.‎ ‎6、（2010·珠海中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_____cm. ‎ 18‎ ‎【解析】因为，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，有BD为∠ABC的角平分线，所以P到BC的距离等于PE的长等于4.‎ 答案：4‎ ‎7、（2008·肇庆中考）如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .‎ 答案：PC=PD（答案不唯一）‎ 一、 解答题 ‎8、（2009·怀化中考）如图，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）点P在∠BAC的角平分线上．‎ ‎【证明】（1）如图，连结AP， ‎ ‎∴∠AEP=∠AFP=，‎ 又AE=AF，AP=AP，‎ ‎∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF．‎ ‎（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，‎ ‎∴AP是∠BAC的角平分线，‎ 故点P在∠BAC的角平分线上 18‎ ‎9、(2008·青岛中考)如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1 000米．‎ ‎（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；‎ ‎（2）在图中画出物流中心的位置．‎ ‎【解析】（1）（1）1 000米=100 000厘米，‎ ‎100 000÷50 000=2（厘米）；‎ ‎(2)‎ ‎10、（2008·衢州中考）如图，AB∥CD ‎(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。‎ ‎【解析】(1)作图略；‎ ‎(2)取点F和画AF正确(如图)；‎ 18‎ 添加的条件可以是：F是CE的中点；‎ AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)‎ ‎∴，，‎ 18‎