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- 2021-05-13 发布
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1.在平面直角坐标系xOy中,对于线段MN的“三等分变换”,给出如下定义:如图1,点P,Q为线段MN的三等分点,即MP=PQ=QN,将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′,将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′,则称线段MN进行了三等分变换,其中M′,N′记为点M,N三等分变换后的对应点.
例如:如图2,线段MN,点M的坐标为(1,5),点N的坐标为(1,2),则点P的坐标为(1,4),点Q的坐标为(1,3),那么线段MN三等分变换后,可得:M′的坐标为(2,4),点N′的坐标为(0,3).
(1)若点P的坐标为(2,0),点Q的坐标为(4,0),直接写出点M′与点N′的坐标;
(2)若点Q的坐标是(0,﹣),点P在x轴正半轴上,点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时,求OP的长;
(3)若点Q的坐标为(0,0),点M′的坐标为(﹣3,﹣3),直接写出点P与点N的坐标;
(4)点P是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个定点,点P的坐标为(,﹣)当点N′在圆O内部或圆上时,求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标.
2.在平面直角坐标系中,点Q为坐标系上任意一点,某图形上的所有点在∠Q的内部(含角的边),这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角.如图1,矩形ABCD,作射线OA,OB,则称∠AOB为矩形ABCD的视角.
(1)如图1,矩形ABCD,A(﹣,1),B(,1),C(,3),D(﹣,3),直接写出视角∠AOB的度数;
(2)在(1)的条件下,在射线CB上有一点Q,使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°,求点Q的坐标;
(3)如图2,⊙P的半径为1,点P(1,),点Q在x轴上,且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°,若Q(a,0),求a的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P与点Q不重合,以点P为圆心作经过Q的圆,则称该圆为点P、Q的“相关圆”
(1)已知点P的坐标为(2,0)
①若点Q的坐标为(0,1),求点P、Q的“相关圆”的面积;
②若点Q的坐标为(3,n),且点P、Q的“相关圆”的半径为,求n的值;
(2)已知△ABC为等边三角形,点A和点B的坐标分别为(﹣,0)、(,0),点C在y轴正半轴上,若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上,求点Q的坐标.
(3)已知△ABC三个顶点的坐标为:A(﹣3,0)、B(,0),C(0,4),点P的坐标为(0,),点Q的坐标为(m,),若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点,直接写出m的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义:
将|x1﹣x2|,|x2﹣x3|,|x3﹣x1|中的最大值,称为△ABC的横长,记作Dx;将|y1﹣y2|,|y2﹣y3|,|y3﹣y1|中的最大值,称为△ABC的纵长,记作Dy;将叫做△ABC的纵横比,记作λ=.
例如:如图1,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,3),B(2,1),C(﹣1,﹣2),则Dx=|2﹣(﹣1)|=3,Dy=|3﹣(﹣2)|=5,
所以λ==.
(1)如图2,点A(1,0),
①点B(2,1),E(﹣1,2),
则△AOB的纵横比λ1=
△AOE的纵横比λ2= ;
②点F在第四象限,若△AOF的纵横比为1,写出一个符合条件的点F的坐标;
③点M是双曲线y=上一个动点,若△AOM的纵横比为1,求点M的坐标;
(2)如图3,点A(1,0),⊙P以P(0,)为圆心,1为半径,点N是⊙P上一个动点,直接写出△AON的纵横比λ的取值范围.
5.在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:
对于⊙C及⊙C外一点P,M,N是⊙C上两点,当∠MPN最大时,称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”.
(1)如图,⊙O的半径为1,
①已知点A(0,2),画出点A关于⊙O的“视角”;
若点P在直线x=2上,则点P关于⊙O的最大“视角”的度数 ;
②在第一象限内有一点B(m,m),点B关于⊙O的“视角”为60°,求点B的坐标.
(2)若点P在直线y=﹣x+2上,且点P关于⊙O的“视角”大于60°,求点P的横坐标xP的取值范围.
(3)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,点E的坐标为(0,1),点F的坐标为(0,﹣1),若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°,直接写出点C的横坐标xC的取值范围.
6.如图,在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知点A(2,3),点B(6,3),连接AB.如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1,那么称点P是线段AB的“环绕点”.
(1)已知点C(3,1.5),D(4,3.5),E(1,3),则是线段AB的“环绕点”的点是 ;
(2)已知点P(m,n)在反比例函数y=的图象上,且点P是线段AB的“环绕点”,求出点P的横坐标m的取值范围;
(3)已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”,且点M(4,1),求⊙M的半径r的取值范围.
7.(1)在图①,②,③中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标(如图),写出图①,②,③中的顶点C的坐标,它们分别是 , , ;(可用含a,b,c,d,e,f的代数式表示)
(2)在图④中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标(如图),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);
★归纳与发现
(3)通过对图①②③④的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b)、B(c,d)、C(m,n)、D(e,f)(如图④)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 ;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 (不必证明);
★运用与推广
(4)在同一直角坐标系中有抛物线y=﹣x2﹣(5c﹣3)x﹣c和三个点G(﹣c,
c),S(c,c),H(2c,0)(其中c>0).问当c为何值时,该双曲线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).
(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果∠APB=45°,则称点P为线段AB的“等角点”.显然,线段AB的“等角点”有无数个,且A、B、P三点共圆.
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和⊙C的半径;
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有,求出“等角点”的坐标;如果没有,请说明理由;
(2)当点P在y轴正半轴上运动时,∠APB是否有最大值?如果有,说明此时∠APB最大的理由,并求出点P的坐标;如果没有请说明理由.
9.我们规定:平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D,定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d.
(1)①如图1,在平面直角坐标系xOy中,图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,直接写出以下各点到图形G1的距离跨度:
A(1,0)的距离跨度 ;
B(﹣,)的距离跨度 ;
C(﹣3,﹣2)的距离跨度 ;
②根据①中的结果,猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,图形G2为以D(﹣1,0)为圆心,2为半径的圆,直线y=k(x﹣1)上存在到G2的距离跨度为2的点,求k的取值范围.
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,射线OP:y=x(x≥0),⊙E是以3为半径的圆,且圆心E在x轴上运动,若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2,直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围 .
10.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:
“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.
例如:三点坐标分别为A(1,2),B(﹣3,1),C(2,﹣2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.
(1)已知点A(1,2),B(﹣3,1),P(0,t).
①若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标;
②直接写出A,B,P三点的“矩面积”的最小值.
(2)已知点E(4,0),F(0,2),M(m,4m),N(n,),其中m>0,n>0.
①若E,F,M三点的“矩面积”为8,求m的取值范围;
②直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围.
11.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),如果点Q(x,y′)的纵坐标满足y′=,那么称点Q为点P的“关联点”.
(1)请直接写出点(3,5)的“关联点”的坐标 ;
(2)如果点P在函数y=x﹣2的图象上,其“关联点”Q与点P重合,求点P的坐标;
(3)如果点M(m,n)的“关联点”N在函数y=2x2的图象上,当0≤m≤2时,求线段MN的最大值.
12.在平面直角坐标系xOy中,对于双曲线y=(m>0)和双曲线y=(n>0),如果m=2n,则称双曲线y=(m>0)和双曲线y=(n>0)为“倍半双曲线”,双曲线y=(m>0)是双曲线y=(n>0)的“倍双曲线”,双曲线y=(n>0)是双曲线y=(m>0)的“半双曲线”,
(1)请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是 ;双曲线y=的“半双曲线”是 ;
(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点,过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B,求△AOB的面积;
(3)如图2,已知点M是双曲线y=(k>0)在第一象限内任意一点,过点M与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点P,若△MNP的面积记为S△MNP,且1≤S△MNP≤2,求k的取值范围.
13.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C,给出如下定义:
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形.例如,下图中的矩形A1B1C1D1,A2B2C2D2,AB3C3D3都是点A,B,C的覆盖矩形,其中矩形AB3C3D3是点A,B,C的最优覆盖矩形.
(1)已知A(﹣2,3),B(5,0),C(t,﹣2).
①当t=2时,点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为 ;
②若点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,求直线AC的表达式;
(2)已知点D(1,1).E(m,n)是函数y=(x>0)的图象上一点,⊙P是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆,求出⊙
P的半径r的取值范围.
14.在平面直角坐标系xOy中,对“隔离直线”给出如下定义:
点P(x,m)是图形G1上的任意一点,点Q(x,n)是图形G2上的任意一点,若存在直线l:kx+b(k≠0)满足m≤kx+b且n≥kx+b,则称直线l:y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“隔离直线”.
如图1,直线l:y=﹣x﹣4是函数y=(x<0)的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”.
(1)在直线y1=﹣2x,y2=3x+1,y3=﹣x+3中,是图1函数y=(x<0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为 ;
请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式: ;
(2)如图2,第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行,直角顶点D的坐标是(,1),⊙O的半径为2.是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的表达式;若不存在,请说明理由;
(3)正方形A1B1C1D1的一边在y轴上,其它三边都在y轴的右侧,点M(1,t)是此正方形的中心.若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3(0≤x≤4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”,请直接写出t的取值范围.
15.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d,等边三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R.对于一个点与等边三角形,给出如下定义:满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点.
在平面直角坐标系xOy中,等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(﹣,﹣1),C(,﹣1).
(1)已知点D(2,2),E(,1),F(﹣,﹣1).在D,E,F中,是等边△ABC的中心关联点的是 ;
(2)如图1,过点A作直线交x轴正半轴于M,使∠AMO=30°.
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P(m,n),求m的取值范围;
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b,当b满足什么条件时,直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点;(直接写出答案,不需过程)
(3)如图2,点Q为直线y=﹣1上一动点,⊙Q的半径为.当Q从点(﹣4,﹣1)出发,以每秒1个单位的速度向右移动,运动时间为t秒.是否存在某一时刻t,使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点?如果存在,请直接写出所有符合题意的t的值;如果不存在,请说明理由.
16.在平面直角坐标系xOy中,若点P和点P1关于y轴对称,点P1和点P2关于直线l对称,则称点P2是点P关于y轴,直线l的二次对称点.
(1)如图1,点A(﹣1,0).
①若点B是点A关于y轴,直线l1:x=2的二次对称点,则点B的坐标为 ;
②若点C(﹣5,0)是点A关于y轴,直线l2:x=a的二次对称点,则a的值为 ;
③若点D(2,1)是点A关于y轴,直线l3的二次对称点,则直线l3的表达式为 ;
(2)如图2,⊙O的半径为1.若⊙O上存在点M,使得点M'是点M关于y轴,直线l4:x=b的二次对称点,且点M'在射线y=x(x≥0)上,b的取值范围是 ;
(3)E(t,0)是x轴上的动点,⊙E的半径为2,若⊙E上存在点N,使得点N'是点N关于y轴,直线l5:y=x+1的二次对称点,且点N'在y轴上,求t的取值范围.
17.在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个菱形相邻的两个顶点,且该菱形的两条对角线分别与x轴,y轴平行,则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”.图1为点P,Q的“相关菱形”的一个示意图.
已知点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(b,0),
(1)若b=3,则R(﹣1,0),S(5,4),T(6,4)中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是 ;
(2)若点A,B的“相关菱形”为正方形,求b的值;
(3)⊙B的半径为,点C的坐标为(2,4).若⊙B上存在点M,在线段AC上存在点N,使点M,N的“相关菱形”为正方形,请直接写出b的取值范围.
18.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值时,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”;如果线段PQ的长度存在最大值时,就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”.
请你在学习,理解上述定义的基础上,解决下面问题:
在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣4,3),B(﹣4,﹣3),C(4,﹣3),D(4,3).
(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”.
(2)设直线y=(b>0)与x轴,y轴分别交于点E,F,若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1,求它们的“远距离”;
(3)在平面直角坐标系xOy中,有一个矩形GHMN,若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心,2为半径的圆上,其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周,在旋转的过程中,它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ;“近距离”的最小值是 .
19.对于⊙P及一个矩形给出如下定义:如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A的坐标为(,2),顶点C、D在x轴上,且OC=OD.
(1)当⊙P的半径为4时,
①在P1(0,﹣3),P2(2,3),P3(﹣2,1)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ;
②如果点P在直线上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,求点P的坐标;
(2)已知点P在y上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,如果⊙P与直线AD没有公共点,直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy中,图形W在坐标轴上的投影长度定义如下:设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.若|x1﹣x2|的最大值为m,则图形W在x轴上的投影长度lx=M;若|y1﹣y2|的最大值为n,则图形W在y轴上的投影长度ly=n.如图1,图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2;在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4.
(1)已知点A(3,3),B(4,1).如图2所示,若图形W为△OAB,则lx ,ly .
(2)已知点C(4,0),点D在直线y=﹣2x+6上,若图形W为△OCD.当lx=ly时,求点D的坐标.
(3)若图形W为函数y=x2(a≤x≤b)的图象,其中0≤a<b.当该图形满足lx=ly≤1时,请直接写出a的取值范围.
21.对于关于x的一次函数y=kx+b(k≠0),我们称函数y[m]=为它的m分函数(其中m为常数).
例如,y=3x+2的4分函数为:当x≤4时,y[4]=3x+2;当x>4时,y[4]=﹣3x﹣2.
(1)如果y=﹣x+1的2分函数为y[2],
①当x=4时,y[2]= ;②当y[2]=3时,x= .
(2)如果y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1],求双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标;
(3)从下面两问中任选一问作答:
①设y=﹣x+2的m分函数为y[m],如果抛物线y=x2与y[m]的图象有且只有一个公共点,直接写出m的取值范围.
②如果点A(0,t)到y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象的距离小于1,直接写出t的取值范围.
22.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(0,﹣1).点P是平面内任意一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆恰好经过点C(2,0),则称此时的点P为理想点.
(1)请判断P1(﹣4,0),P2(3,0)是否为理想点;
(2)若直线x=﹣3上存在理想点,求理想点的纵坐标;
(3)若动直线x=m(m≠0)上存在理想点,直接写出m的取值范围.
23.在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下:当a≥b时,Q点坐标为(b,﹣a);当a<b时,Q点坐标为(a,﹣b).
(1)求(﹣2,3),(6,﹣1)的变换点坐标;
(2)已知直线l与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2).若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形,记作图形W,请画出图形W,并简要说明画图的思路;
(3)若抛物线y=﹣x2+c与图形W有三个交点,请直接写出c的取值范围.
24.对于两个已知图形G1,G2,在G1上任取一点P,在G2上任取一点Q,当线段PQ的长度最小时,我们称这个最小长度为G1,G2的“密距”,用字母d表示;当线段PQ的长度最大时,我们称这个最大的长度为图形G1,G2的“疏距”,用字母f表示.例如,当M(1,2),N(2,2)时,点O与线段MN的“密距”为,点O与线段MN的“疏距”为2.
(1)已知,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,4),C(2,0),D(0,1),
①点O与线段AB的“密距”为 ,“疏距”为 ;
②线段AB与△COD的“密距”为 ,“疏距”为 ;
(2)直线y=2x+b与x轴,y轴分别交于点E,F,以C(0,﹣1)为圆心,1为半径作圆,当⊙C与线段EF的“密距”0<d<1时,求⊙
C与线段EF的“疏距”f的取值范围.
25.在平面直角坐标系xoy中,⊙C的半径为r,点P是与圆心C不重合的点,给出如下定义:如果点P′为射线CP上一点,满足CP•CP′=r2,那么称点P′为点P关于⊙C的反演点,图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图.
(1)如图2,当⊙O的半径为1时,分别求出点M(1,0),N(0,2),T(,)关于⊙O的反演点M′,N′,T′的坐标;
(2)如图3:已知点A(1,4),B(3,0),以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C,D(点C位于点D下方),E为CD的中点,如果点O,E关于⊙G的反演点分别为O′,E′,求∠E′O′G的大小.
26.设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,记作y=f(x).在函数y=f(x)中,当自变量x=a时,相应的函数值y可以表示为f(a).
例如:函数f(x)=x2﹣2x﹣3,当x=4时,f(4)=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐标系xOy中,对于函数的零点给出如下定义:
如果函数y=f(x)在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线,并且f(a).f(b)<0,那么函数y=f(x)在a≤x≤b的范围内有零点,即存在c(a
≤c≤b),使f(c)=0,则c叫做这个函数的零点,c也是方程f(x)=0在a≤x≤b范围内的根.
例如:二次函数f(x)=x2﹣2x﹣3的图象如图1所示.
观察可知:f(﹣2)>0,f(1)<0,则f(﹣2).f(1)<0.所以函数f(x)=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范围内有零点.由于f(﹣1)=0,所以,﹣1是f(x)=x2﹣2x﹣3的零点,﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根.
(1)观察函数y1=f(x)的图象2,回答下列问题:
①f(a)•f(b) 0(“<”“>”或“=”)
②在a≤x≤b范围内y1=f(x)的零点的个数是 .
(2)已知函数y2=f(x)=﹣的零点为x1,x2,且x1<1<x2.
①求零点为x1,x2(用a表示);
②在平面直角坐标xOy中,在x轴上A,B两点表示的数是零点x1,x2,点 P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,若a是整数,求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.
27.定义:y是一个关于x的函数,若对于每个实数x,函数y的值为三数x+2,2x+1,﹣5x+20中的最小值,则函数y叫做这三数的最小值函数.
(1)画出这个最小值函数的图象,并判断点A(1,3)是否为这个最小值函数图象上的点;
(2)设这个最小值函数图象的最高点为B,点A(1,3),动点M(m,m)
①直接写出△ABM的面积,其面积是 ;
②若以M为圆心的圆经过A,B两点,写出点M的坐标;
③以②中的点M为圆心,以为半径作圆,在此圆上找一点P,使PA+PB的值最小,直接写出此最小值.
28.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C给出如下定义:如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在正方形的内部或边界上,那么称该正方形为点A,B,C的外延正方形,在点A,B,C所有的外延正方形中,面积最小的正方形称为点A,B,C的最佳外延正方形.例如,图1中的正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3CD3都是点A,B,C的外延正方形,正方形A3B3CD3是点A,B,C的最佳外延正方形.
(1)如图1,点A(﹣1,0),B(2,4),C(0,t)(t为整数).
①如果t=3,则点A,B,C的最佳外延正方形的面积是 ;
②如果点A,B,C的最佳外延正方形的面积是25,且使点C在最佳外延正方形的一边上,请写出一个符合题意的t值 ;
(2)如图3,已知点M(3,0),N(0,4),P(x,y)是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点,求点M,N,P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围;
(3)如图4,已知点E(m,n)在函数y=(x>0)的图象上,且点D的坐标为(1,1),设点O,D,E的最佳外延正方形的边长为a,请直接写出a的取值范围.
29.对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如,下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
(1)分别判断函数y=x﹣1,y=,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;
(2)函数y=2x2﹣bx.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;
(3)记函数y=x2﹣2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为.
30.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2
上的任一点.当a≤x≤b时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.
31.P是⊙O内一点,过点P作⊙O的任意一条弦AB,我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”.
(1)⊙O的半径为5,OP=3.
①如图1,若点P恰为弦AB的中点,则点P关于⊙O的“幂值”为 ;
②判断当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围.
(2)若⊙O的半径为r,OP=d,请参考(1)的思路,用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围 ;
(3)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为4,若在直线y=x+b上存在点P,使得点P关于⊙O的“幂值”为13,请写出b的取值范围 .
32.在平面直角坐标系 xOy中,对于点P(x,y),以及两个无公共点的图形W1和W2,若在图形W1和W2上分别存在点M (x1,y1 )和N (x2,y2 ),使得P是线段MN的中点,则称点M 和N被点P“关联”,并称点P为图形W1和W2的一个“中位点”,此时P,M,N三个点的坐标满足x=,y=
(1)已知点A(0,1),B(4,1),C(3,﹣1),D(3,﹣2),连接AB,CD.
①对于线段AB和线段CD,若点A和C被点P“关联”,则点P的坐标为 ;
②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q (2,﹣),求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标;
(2)如图1,已知点R(﹣2,0)和抛物线W1:y=x2﹣2x,对于抛物线W1上的每一个点M,在抛物线W2上都存在点N,使得点N和M 被点R“关联”,请在图1 中画出符合条件的抛物线W2;
(3)正方形EFGH的顶点分别是E(﹣4,1),F(﹣4,﹣1),G(﹣2,﹣1),H(﹣2,1),⊙T的圆心为T(3,0),半径为1.请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示),并直接写出该图形的面积.
33.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的限距点的定义如下:若P′为直线PC与⊙C的一个交点,满足r≤PP′≤2r,则称P′为点P关于⊙C的限距点,如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(3,4),N(,0),T(1,)关于⊙O的限距点是否存在?若存在,求其坐标;
②点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切⊙O于点E,点F,点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在,求点P′的横坐标的取值范围;
(2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动,⊙C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r,请从下面两个问题中任选一个作答.
问题1
问题2
若点P关于⊙C的限距点P′存在,且P′随点P的运动所形成的路径长为πr,则r的最小值为
.
若点P关于⊙C的限距点P′不存在,则r的取值范围为
.
34.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.
小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
(1)请你回答:AP的最大值是 .
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.
提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把△ABP绕B点逆时针旋转60,得到△A′BP′.
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).
35.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A,B两点,在P,A,B三点中,位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时,则称点P为⊙C 的相邻点,直线l为⊙
C关于点P的相邻线.
(1)当⊙O的半径为1时,
①分别判断在点D(,),E(0,﹣),F(4,0)中,是⊙O的相邻点有 ;
②请从①中的答案中,任选一个相邻点,在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程;
③点P在直线y=﹣x+3上,若点P为⊙O的相邻点,求点P横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=﹣与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上存在⊙C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
2018年05月16日139****3005的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共35小题)
1.在平面直角坐标系xOy中,对于线段MN的“三等分变换”,给出如下定义:如图1,点P,Q为线段MN的三等分点,即MP=PQ=QN,将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′,将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′,则称线段MN进行了三等分变换,其中M′,N′记为点M,N三等分变换后的对应点.
例如:如图2,线段MN,点M的坐标为(1,5),点N的坐标为(1,2),则点P的坐标为(1,4),点Q的坐标为(1,3),那么线段MN三等分变换后,可得:M′的坐标为(2,4),点N′的坐标为(0,3).
(1)若点P的坐标为(2,0),点Q的坐标为(4,0),直接写出点M′与点N′的坐标;
(2)若点Q的坐标是(0,﹣),点P在x轴正半轴上,点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时,求OP的长;
(3)若点Q的坐标为(0,0),点M′的坐标为(﹣3,﹣3),直接写出点P与点N的坐标;
(4)点P是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个定点,点P的坐标为(,﹣)当点N′在圆O内部或圆上时,求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标.
【解答】解:(1)∵PQ=2,根据“三等分变换”的定义,可知M(2,2 ),N′( 4,﹣2 ).
(2)①当PQ=1时,OQ=
在RT△OPQ中,如图1中,
∴OP=OQ
∴∠OQP=∠OPQ=45°
∵∠PQN′=90°PQ=Q N′
∴点N’在x轴负半轴上,不在第二象限
∴PQ=1不符合题意.
②当PQ=2时
OP===,
此时,点N′在第二象限符合题意.
(3)如图2中,由图象可知,P(0,﹣3 ),N( 0,3 ).
(4)如图3中,过点P作PA⊥x轴于点A.
在Rt△OAP中,由勾股定理,OP==1,
在△PQN′中,∠PQN′=90°,PQ=Q N'
点N'在⊙O内部或在⊙O上运动,当PN′为⊙O直径时,PN′最大
∠QPN′=45°
∴PQ=PN′=,
∴PQ的取值范围:0<PQ≤,
∵P(,﹣)
由对称性可知N′(﹣,)
过点N′作N′E⊥x轴于点E,过点Q作QF⊥x轴于点F
易证△ON′E≌△QOF,
∴OF=EN′=,FQ=OE=
∴Q(﹣,﹣)
∵∠N′QP=∠QP M′=90°
∴N′Q∥PM′,
又∵N′Q=PM′,
∴四边形PN′QM′是平行四边形,对角线的交点为J,设M′(m,n)
则J(,﹣),
则有=,=﹣,
解得m=,n=,
∴点M′的坐标为(,).
2.在平面直角坐标系中,点Q为坐标系上任意一点,某图形上的所有点在∠Q的内部(含角的边),这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角.如图1,矩形ABCD,作射线OA,OB,则称∠AOB为矩形ABCD的视角.
(1)如图1,矩形ABCD,A(﹣,1),B(,1),C(,3),D(﹣,3),直接写出视角∠AOB的度数;
(2)在(1)的条件下,在射线CB上有一点Q,使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°,求点Q的坐标;
(3)如图2,⊙P的半径为1,点P(1,),点Q在x轴上,且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°,若Q(a,0),求a的取值范围.
【解答】解:(1)如图1中,设AB交y轴于E.
∵A(﹣,1),B(,1),
∴OE⊥AB,EA=EB,
∴OA=OB,
在Rt△OAE中,tan∠OAE=,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠AOB=120°.
(2)如图2中,连结AC,在射线CB上截取CQ=CA,连结AQ.
∵AB=2,BC=2,
∴AC=4,
∴∠ACQ=60°.
∴△ACQ为等边三角形,
即∠AQC=60°,
∵CQ=AC=4,
∴Q(,﹣1).
(3)如图3中,当点Q与点O重合时,设⊙P与y轴相切于点E,OF是⊙P的切线,
∵P(1,),
∴PE=1,OE=,
∴tan∠POE=,
∴∠POE=∠POF=30°
∴∠EQF=60°,此时Q(0,0),
如图4,根据对称性可知,当FQ⊥x轴时,∠EQF=60°,
∴Q(2,0),
∴a的取值范围是0<a<2.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P与点Q不重合,以点P为圆心作经过Q的圆,则称该圆为点P、Q的“相关圆”
(1)已知点P的坐标为(2,0)
①若点Q的坐标为(0,1),求点P、Q的“相关圆”的面积;
②若点Q的坐标为(3,n),且点P、Q的“相关圆”的半径为,求n的值;
(2)已知△ABC为等边三角形,点A和点B的坐标分别为(﹣,0)、(,0),点C在y轴正半轴上,若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上,求点Q的坐标.
(3)已知△ABC三个顶点的坐标为:A(﹣3,0)、B(,0),C(0,4),点P的坐标为(0,),点Q的坐标为(m,),若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点,直接写出m的取值范围.
【解答】解:(1)①∵PQ===,
∴S=π•r2=5π.
②过点Q作QH⊥x轴于H.
∵HQ==2,
∴Q点坐标为(3,2)或(3,﹣2).
∴n=2或﹣2.
(2)如图,
在Rt△OAC中,∠ACO=30°,
∴OC=OA=3,
∴C点坐标为(0,3),
∴△ABC的内切圆的圆心的坐标为(0,1),半径为1,
∴P(0,1),
设Q(x,2x),则有x2+(2x﹣1)2=1,
解得x=或0,
∴Q(,)或(0,0).
(3)如图3中,
①当相关圆与AC、AB相切时半径有最小值.
②当相关圆经过点B时,半径有最大值,
∴﹣≤m≤﹣,≤m≤.
4.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义:
将|x1﹣x2|,|x2﹣x3|,|x3﹣x1|中的最大值,称为△ABC的横长,记作Dx;将|y1﹣y2|,|y2﹣y3|,|y3﹣y1|中的最大值,称为△ABC的纵长,记作Dy;将叫做△ABC的纵横比,记作λ=.
例如:如图1,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,3),B(2,1),C(﹣1,﹣2),则Dx=|2﹣(﹣1)|=3,Dy=|3﹣(﹣2)|=5,
所以λ==.
(1)如图2,点A(1,0),
①点B(2,1),E(﹣1,2),
则△AOB的纵横比λ1=
△AOE的纵横比λ2= 1 ;
②点F在第四象限,若△AOF的纵横比为1,写出一个符合条件的点F的坐标;
③点M是双曲线y=上一个动点,若△AOM的纵横比为1,求点M的坐标;
(2)如图3,点A(1,0),⊙P以P(0,)为圆心,1为半径,点N是⊙P上一个动点,直接写出△AON的纵横比λ的取值范围.
【解答】解:(1)
由题意△AOB的纵横比λ1=,△AOE的纵横比λ2==1,
故答案为,1.
②由点F在第四象限,若△
AOF的纵横比为1,则F(1,﹣1)(在第四象限的角平分线上即可).
③如图设M(xM,yM).
a、当0<xM≤1时,点M在y=上,则yM>0,
此时△AOM的横长Dx=1,△AOM的纵长为Dy=yM,
∵△AOM的纵横比为1,
∴Dy=1,
∴yM=1或﹣1(舍弃),
∴xM=,
∴M(,1).
b、当xM>1时,点M在y=上,则yM>0,
此时△AOM的横长Dx=xM,△AOM的纵长为Dy=yM,
∵△AOM的纵横比为1,
∴Dy=Dx,
∴xM=yM
∴yM=±(舍弃),
c、当xM<0时,点M在y=上,则yM<0,
此时△AOM的横长Dx=1﹣xM,△AOM的纵长为Dy=﹣yM,
∵△AOM的纵横比为1,
∴1﹣xM=﹣yM,
∴xM=或(舍弃),
∴yM=﹣,
∴M′(,﹣),
综上所述,点M坐标为(,1)或(,﹣).
(2)如图3中,当N(0,1+)时,可得△AON的纵横比λ的最大值==1+,
当AN′与⊙P相切时,切点在第二象限时,可得△AON的纵横比λ的最小值,
∵OP=,OA=1,
∴PA=2.AN′==,
∴tan∠APN′=,
∴∠APN′=60°,易知∠APO=30°,作N′H⊥OP于H.
∴∠HPN′=30°,
∴N′H=,PH=,
此时△AON的纵横比λ==,
∴≤λ≤1+.
5.在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:
对于⊙C及⊙C外一点P,M,N是⊙C上两点,当∠MPN最大时,称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”.
(1)如图,⊙O的半径为1,
①已知点A(0,2),画出点A关于⊙O的“视角”;
若点P在直线x=2上,则点P关于⊙O的最大“视角”的度数 60° ;
②在第一象限内有一点B(m,m),点B关于⊙O的“视角”为60°,求点B的坐标.
(2)若点P在直线y=﹣x+2上,且点P关于⊙O的“视角”大于60°,求点P的横坐标xP的取值范围.
(3)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,点E的坐标为(0,1),点F的坐标为(0,﹣1),若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°,直接写出点C的横坐标xC的取值范围.
【解答】解:(1)①画如图1所示,
如图2,当∠MPN最大时,此时PM与PN与⊙O相切,
∵⊙O的半径为r=1,
∴sin∠MPO=,
当OP最小时,此时sin∠MPO最大,即∠MPO最大,
∴sin∠MPO=,
∴∠MPO=30°
∴∠MPN=2∠MPO=60°;
故答案为:60°
②∵点B关于⊙O的视角为60°,
∴BM与⊙O相切,且∠MBO=30°,
∴点B在以O为圆心,2为半径的圆上,即OB=2,
∵B(m,m) (m>0),
∴OB==m=2,
∴m=
∴B(,);
(2)如图3,
∵点P关于⊙O的“视角”大于60°,
∴∠MPO>30°,
∴sin∠MPO=>sin30°,
∴OP<2,
∵点P不在⊙C上,
∴1<OP<2
∴点P在以O为圆心,1为半径与2为半径的圆环内,
∵点P在直线y=x+2上,
由图4,
可得xp=0或xP=
∴0<xP<
(3)如图5,
①当点C在x轴正半轴时,
在线段EF上取一点P,当PM,PN都与⊙C相切时,∠MPN最大,当∠MPN=120°时,连接CP,
∴∠CPM=60°,
在Rt△PCM中,CM=1,sin∠CPM===,
∴CP=,
∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°,
∴点P和原点O重合时,视角只要小于120°时,即可,OP最大=CP=,
此时,满足条件的xC
②当点C在x轴负半轴时,同①可得,xC<﹣,
即:满足条件的xC或xC<﹣.
6.如图,在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知点A(2,3),点B(6,3),连接AB.如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1,那么称点P是线段AB的“环绕点”.
(1)已知点C(3,1.5),D(4,3.5),E(1,3),则是线段AB的“环绕点”的点是 点D和E ;
(2)已知点P(m,n)在反比例函数y=的图象上,且点P是线段AB的“环绕点”,求出点P的横坐标m的取值范围;
(3)已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”,且点M(4,1),求⊙
M的半径r的取值范围.
【解答】解:(1)由“环绕点”的定义可知:点P到直线AB的距离d应满足:d≤1,
∵A、B两点的纵坐标都是3,
∴AB∥x轴,
∴点C到直线AB的距离为|1.5﹣3|=1.5>1,
点D到直线AB的距离为|3.5﹣3|=0.5<1,
点E到直线AB的距离为|3﹣3|=0<1,
∴点D和E是线段AB的环绕点;
故答案为:点D和E;
(2)当点P在线段AB的上方,点P到线段AB的距离为1时,m=2;
当点P在线段AB的下方,点P到线段AB的距离为1时,m=4;
所以点P的横坐标m的取值范围为:2≤m≤4;
(3)当点P在线段AB的下方时,且到线段AB的最小距离是1时,r=1;
当点P在线段AB的上方时,且到点A的距离是1时,如图,过M作MC⊥AB,
则CM=2,AC=2,
连接MA并延长交⊙M于P,
则PA=1,
∴MP=2+1,即r=2+1.
∴⊙M的半径r的取值范围是1≤r≤2+1.
7.(1)在图①,②,③中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标(如图),写出图①,②,③中的顶点C的坐标,它们分别是 (5,2) , (e+c,d) , (c+e﹣a,d) ;(可用含a,b,c,d,e,f的代数式表示)
(2)在图④中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标(如图),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);
★归纳与发现
(3)通过对图①②③④的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b)、B(c,d)、C(m,n)、D(e,f)(如图④)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 m=c+e﹣a ;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 n=d+f﹣b (不必证明);
★运用与推广
(4)在同一直角坐标系中有抛物线y=﹣x2﹣(5c﹣3)x﹣c和三个点G(﹣c,c),S(c,c),H(2c,0)(其中c>0).问当c为何值时,该双曲线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.
【解答】解:(1)由题意可得出:
①,②,③中的顶点C的坐标,它们分别是(5,2),(e+c,d),(c+e﹣a,d).
故答案为:(5,2),(e+c,d),(c+e﹣a,d).
(2)如图所示:
分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,
分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.
在平行四边形ABCD中,CD=BA,
又∵BB1∥CC1,
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度.
∴∠EBA=∠FCD.
在△BEA和△CFD中
∴△BEA≌△CFD(AAS).
∴AE=DF=a﹣c,BE=CF=d﹣b.
设C(x,y).
由e﹣x=a﹣c,得x=e+c﹣a.
由y﹣f=d﹣b,得y=f+d﹣b.
∴C(e+c﹣a,f+d﹣b).
(此问解法多种,可参照评分)
(3)由图①②③④可得出:m=c+e﹣a,n=d+f﹣b.或m+a=c+e,n+b=d+f.
故答案为:m=c+e﹣a,n=d+f﹣b.
(4)若GS为平行四边形的对角线,由(3)可得P1(﹣2c,7c).
要使P1在抛物线上,
则有7c=4c2﹣(5c﹣3)×(﹣2c)﹣c,
即c2﹣c=0.
∴c1=0(舍去),c2=1.此时P1(﹣2,7).
若SH为平行四边形的对角线,由(3)可得P2(3c,2c),
同理可得c=1,此时P2(3,2).
若GH为平行四边形的对角线,由(3)可得(c,﹣2c),
同理可得c=1,此时P3(1,﹣2).
综上所述,当c=1时,抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形.
符合条件的点有P1(﹣2,7),P2(3,2),P3(1,﹣2).
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).
(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果∠APB=45°,则称点P为线段AB的“等角点”.显然,线段AB的“等角点”有无数个,且A、B、P三点共圆.
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和⊙C的半径;
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有,求出“等角点”的坐标;如果没有,请说明理由;
(2)当点P在y轴正半轴上运动时,∠APB是否有最大值?如果有,说明此时∠APB最大的理由,并求出点P的坐标;如果没有请说明理由.
【解答】解:(1)①如图1中,
在x轴的上方,作以AB为斜边的直角三角形△ACB,易知A、B、P三点在⊙C上,
圆心C的坐标为(4,3),半径为3,
根据对称性可知点C(4,﹣3)也满足条件.
②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“.
如图2所示:当圆心为C(4,3)时,过点C作CD⊥y轴于D,则D(0,3),CD=4
∵⊙C的半径r=>4,
∴⊙C与y轴相交,
设交点为P1、P2,此时P1、P2在y轴的正半轴上
连接CP1、CP2、CA,则CP1=CP2=CA=r=
∵CD⊥y轴,CD=4,CP1=,
∴DP1==DP2,
∴P1(0,3+) P2(0,3﹣).
(2)当过点A,B的圆与y轴正半轴相切于点P时,∠APB最大.
理由如下:如果点P在y轴的正半轴上,设此时圆心为E,则E在第一象限,
在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合),
连接MA,MB,PA,PB,设MB交于⊙E于点N,连接NA,
∵点P,点N在⊙E上,∴∠APB=∠ANB,
∵∠ANB是△MAN的外角,
∴∠ANB>∠AMB,即∠APB>∠AMB,
此时,过点E作EF⊥x轴于F,连接EA,EP,则AF=AB=3,OF=4,
∵⊙E与y轴相切于点P,则EP⊥y轴,
∴四边形OPEF是矩形,OP=EF,PE=OF=4.
∴⊙E的半径为4,即EA=4,
∴在Rt△AEF中,EF=,
∴OP=即 P(0,).
9.我们规定:平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D,定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d.
(1)①如图1,在平面直角坐标系xOy中,图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,直接写出以下各点到图形G1的距离跨度:
A(1,0)的距离跨度 2 ;
B(﹣,)的距离跨度 2 ;
C(﹣3,﹣2)的距离跨度 4 ;
②根据①中的结果,猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 圆 .
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,图形G2为以D(﹣1,0)为圆心,2为半径的圆,直线y=k(x﹣1)上存在到G2的距离跨度为2的点,求k的取值范围.
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,射线OP:y=x(x≥0),⊙E是以3为半径的圆,且圆心E在x轴上运动,若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2,直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围 ﹣1≤xE≤2 .
【解答】解:(1)①∵图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,
∴直径为4,
∵A(1,0),OA=1,
∴点A到⊙O的最小距离d=1,
点A到⊙O的最大距离D=3,
∴点A到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2;
∵B(﹣,),
∴OB==1,
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG﹣OB=1,
点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3,
∴点B到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2;
∵C(﹣3,﹣2),
∴OC==,
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC﹣OD=﹣2,
点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+,
∴点C到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+﹣( ﹣2)=4;
故答案为2,2,4.
②a、设⊙O内一点P的坐标为(x,y),
∴OP=,
∴点P到⊙O的最小距离d=2﹣OP,点P到⊙O的最大距离D=2+OP,
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+OP﹣(2﹣OP)=2OP;
∵图形G1的距离跨度为2,
∴2OP=2,
∴OP=1,
∴=1,
∴x2+y2=1,
即:到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心,1为半径的圆.
b、设⊙O外一点Q的坐标为(x,y),
∴OQ=,
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ﹣2,点P到⊙O的最大距离D=OQ+2,
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=OQ+2﹣(OQ﹣2)=4;
∵图形G1的距离跨度为2,
∴此种情况不存在,
所以,到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心,1为半径的圆.
故答案为:圆;
(2)设直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P(m,k(m+1)),
∴OP=,
由(1)②
知,圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍,圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径,
∵图形G2为以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,到G2的距离跨度为2的点,
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4,
∴点P在图形G2⊙C内部,
∴R=2OP=2 ,
∵直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P,
∴2 =2,
∴(k2+1)m2+2(k2﹣1)m+k2=0①,
∵存在点P,
∴方程①有实数根,
∴△=4(k2﹣1)2﹣4×(k2+1)k2=﹣12k2+4≥0,
∴﹣≤k≤.
(3)如图,作EC⊥OP于C,交⊙E于D、H.
由题意:⊙E是以3为半径的圆,且圆心E在x轴上运动,若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2,此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切,当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时,满足条件,
∴CD=2,CH=4,CE=1,
∵射线OP的解析式为y=,
∴∠COE=30°,OE=2CE=2,
当E′(﹣1,0)时,点O到⊙E的距离跨度为2,
观察图象可知,满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围:﹣1≤xE≤2.
故答案为:﹣1≤xE≤2.
10.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:
“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.
例如:三点坐标分别为A(1,2),B(﹣3,1),C(2,﹣2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.
(1)已知点A(1,2),B(﹣3,1),P(0,t).
①若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标;
②直接写出A,B,P三点的“矩面积”的最小值.
(2)已知点E(4,0),F(0,2),M(m,4m),N(n,),其中m>0,n>0.
①若E,F,M三点的“矩面积”为8,求m的取值范围;
②直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围.
【解答】解:(1)由题意:a=4.
①当t>2时,h=t﹣1,
则4(t﹣1)=12,可得t=4,故点P的坐标为(0,4);
当t<1时,h=2﹣t,
则4(2﹣t)=12,可得t=﹣1,故点P 的坐标为(0,﹣1);
②∵根据题意得:h的最小值为:1,
∴A,B,P三点的“矩面积”的最小值为4;
(2)①∵E,F,M三点的“矩面积”为8,
∴a=4,h=2,
∴.
∴0≤m≤.
∵m>0,
∴0<m≤;
②∵当n≤4时,a=4,h=,此时S=ah=,
∴当n=4时,取最小值,S=16;
当4<n<8时,a=n,h=,此时S=ah=16;
当n≥8时,a=n,h=2,此时S=ah=2n,
∴当n=8时,取最小值,S=16;
∴E,F,N三点的“矩面积”的最小值为16,此时n的取值范围为4≤n≤8.
11.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),如果点Q(x,y′)的纵坐标满足y′=,那么称点Q为点P的“关联点”.
(1)请直接写出点(3,5)的“关联点”的坐标 (3,2) ;
(2)如果点P在函数y=x﹣2的图象上,其“关联点”Q与点P重合,求点P的坐标;
(3)如果点M(m,n)的“关联点”N在函数y=2x2的图象上,当0≤m≤2时,求线段MN的最大值.
【解答】解:(1)∵3<5,根据关联点的定义,
∴y′=5﹣3=2,
点(3,5)的“关联点”的坐标(3,2),
故答案为:(3,2);
(2)∵点P在函数y=x﹣2的图象上,
∴点P的坐标为(x,x﹣2).
∵x>x﹣2,根据关联点的定义,点Q的坐标为(x,2).
又∵点P与点Q重合,
∴x﹣2=2,解得x=4,
∴点P的坐标是(4,2);
(3)点M(m,n)的“关联点”N,由关联点的定义,得
第一种情况:当m≥n时,点N的坐标为(m,m﹣n),
∵N在函数y=2x2的图象上,
∴m﹣n=2m2,n=﹣2m2+m,即yM=﹣2m2+m,yN=2m2,
∴MN=|yM﹣yN|=|﹣4m2+m|,
①当0≤m≤,﹣4m2+m>0,
MN=﹣4m2+m=﹣4(m﹣)2+,
∴当m=时,线段MN的最大值是;
②当<m≤2时,﹣4m2+m<0,
MN=4m2﹣m=4(m﹣)2﹣,当m=2时,线段MN的最大值是14;
第二种情况:当m<n时,点N的坐标为(m,n﹣m),
∵N在函数y=2x2的图象上,
∴n﹣m=2m2,即n=2m2+m,
∴yM=2m2+m,yN=2m2,
∴MN=|yM﹣yN|=|m|,
∵0≤m≤2,
∴MN=m,
∴当m=2时,线段MN的最大值是2;
综上所述:当m≥n时,线段MN的最大值是14;当m<n时,线段MN的最大值是2.
12.在平面直角坐标系xOy中,对于双曲线y=(m>0)和双曲线y=(n>0),如果m=2n,则称双曲线y=(m>0)和双曲线y=(n>0)为“倍半双曲线”,双曲线y=(m>0)是双曲线y=(n>0)的“倍双曲线”,双曲线y=(n>0)是双曲线y=(m>0)的“半双曲线”,
(1)请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是 y= ;双曲线y=的“半双曲线”是 y= ;
(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点,过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B,求△AOB的面积;
(3)如图2,已知点M是双曲线y=(k>0)在第一象限内任意一点,过点M与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点P,若△MNP的面积记为S△MNP,且1≤S△MNP≤2,求k的取值范围.
【解答】解:(1)由“倍双曲线”的定义
∴双曲线y=,的“倍双曲线”是y=;
双曲线y= 的“半双曲线”是y=.
故答案为y=,y=;
(2)如图1,
∵双曲线y=的“半双曲线”是y=,
∴△AOD的面积为2,△BOD的面积为1,
∴△AOB的面积为1.
(3)解法一:如图2,
依题意可知双曲线的“半双曲线”为,
设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),
∴CM=,CN=.
∴MN=﹣=.
同理PM=m﹣=.
∴S△PMN=MN•PM=
∵1≤S△PMN≤2,
∴1≤≤2.
∴4≤k≤8,
解法二:如图3,
依题意可知双曲线的“半双曲线”为,
设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),
∴点N为MC的中点,同理点P为MD的中点.
连接OM,
∵,
∴△PMN∽△OCM.
∴.
∵S△OCM=k,
∴S△PMN=.
∵1≤S△PMN≤2,
∴1≤≤2.
∴4≤k≤8.
13.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C,给出如下定义:
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形.例如,下图中的矩形A1B1C1D1,A2B2C2D2,AB3C3D3都是点A,B,C的覆盖矩形,其中矩形AB3C3D3是点A,B,C的最优覆盖矩形.
(1)已知A(﹣2,3),B(5,0),C(t,﹣2).
①当t=2时,点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为 35 ;
②若点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,求直线AC的表达式;
(2)已知点D(1,1).E(m,n)是函数y=(x>0)的图象上一点,⊙P是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆,求出⊙P的半径r的取值范围.
【解答】解:(1)①∵A(﹣2,3),B(5,0),C(2,﹣2),矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形,
∴最优覆盖矩形的长为:2+5=7,宽为3+2=5,
∴最优覆盖矩形的面积为:7×5=35;
②∵点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,
∴由定义可知,t=﹣3或6,即点C坐标为(﹣3,﹣2)或(6,﹣2),
设AC表达式为y=kx+b,
∴或
∴或
∴y=5x+13或;
(2)①OD所在的直线交双曲线于点E,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形,如图1所示:
∵点D(1,1),
∴OD所在的直线表达式为y=x,
∴点E的坐标为(2,2),
∴OE==,
∴⊙P的半径最小r=,
②当DE∥x轴时,即:点E的纵坐标为1,如图2所示:
∵点D(1,1).E(m,n)是函数y=(x>0)的图象上一点
∴1=,解得x=4,
∴OE═=,
∴⊙P的半径最大r=,
∴.
14.在平面直角坐标系xOy中,对“隔离直线”给出如下定义:
点P(x,m)是图形G1上的任意一点,点Q(x,n)是图形G2上的任意一点,若存在直线l:kx+b(k≠0)满足m≤kx+b且n≥kx+b,则称直线l:y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“隔离直线”.
如图1,直线l:y=﹣x﹣4是函数y=(x<0)的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”.
(1)在直线y1=﹣2x,y2=3x+1,y3=﹣x+3中,是图1函数y=(x<0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为 y1=﹣2x ;
请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式: y=﹣3x ;
(2)如图2,第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行,直角顶点D的坐标是(,1),⊙O的半径为2.是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的表达式;若不存在,请说明理由;
(3)正方形A1B1C1D1的一边在y轴上,其它三边都在y轴的右侧,点M(1,t)是此正方形的中心.若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3(0≤x≤4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”,请直接写出t的取值范围.
【解答】解:(1)根据的“隔离直线”的定义可知y1=﹣2x,是图1函数y=(x<0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”,
直线y=﹣3x也是图1函数y=(x<0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”,
故答案为y1=﹣2x,y=﹣3x.
(2)连接OD,过点D作DG⊥x轴于点G,如图.
在Rt△DGO中,OD==2,
sin∠1==,
∴∠1=30°,∠2=60°,
∵⊙O的半径为2,
∴点D在⊙O上.
过点D作DH⊥OD交y轴于点H,
∴直线DH是⊙O的切线,也是△EDF与⊙O的“隔离直线”.
在Rt△ODH中,OH==4,
∴点H的坐标是(0,4),
∴直线DH的表达式为y=﹣x+4,
即所求“隔离直线”的表达式为y=﹣x+4.
(3)如图,
由题意F(4,5),当直线y=2x+b经过点F时,5=8+b,
∴b=﹣3,
∴直线y=2x﹣3,即图中直线EF,
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1,t),
易知正方形正方形A1B1C1D1的边长为2,
当x=2时,y=1,
∴C1(2,1),直线EF是函数y=x2﹣2x﹣3(0≤x≤4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”,此时t=2,
当直线y=2x+b与y=x2﹣2x﹣3只有一个交点时,
消去y得到x2﹣4x﹣3+b=0,
由△=0,可得16﹣4(﹣3﹣b)=0,
解得b=﹣7,
此时易知M(1,﹣8),t=﹣8,
根据图象可知,当t≥2或t≤﹣8时,直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3(0≤x≤
4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”.
15.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d,等边三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R.对于一个点与等边三角形,给出如下定义:满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点.
在平面直角坐标系xOy中,等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(﹣,﹣1),C(,﹣1).
(1)已知点D(2,2),E(,1),F(﹣,﹣1).在D,E,F中,是等边△ABC的中心关联点的是 E、F ;
(2)如图1,过点A作直线交x轴正半轴于M,使∠AMO=30°.
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P(m,n),求m的取值范围;
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b,当b满足什么条件时,直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点;(直接写出答案,不需过程)
(3)如图2,点Q为直线y=﹣1上一动点,⊙Q的半径为.当Q从点(﹣4,﹣1)出发,以每秒1个单位的速度向右移动,运动时间为t秒.是否存在某一时刻t,使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点?如果存在,请直接写出所有符合题意的t的值;如果不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)由题意R=2,r=1,点O是△ABC的中心,
∵OD=2,OE=2,OF=,
∴点E、F是△ABC的中心关联点
故答案为E,F;
(2)①解:如图1中,由题意A(0,2),M(,0).
可求得直线AM的解析式为y=﹣x+2,
经验证E在直线AM上.
因为OE=OA=2,∠MAO=60°,
所以△OAE为等边三角形,
所以AE边上的高长为.
当点P在AE上时,≤OP≤2.
所以当点P在AE上时,点P都是等边△ABC的中心关联点.
所以0≤m≤;
②如图1﹣1中,设平移后的直线交y轴于G,作这条直线的垂线垂足为H.
当OH=2时,在Rt△OHG中,∵OH=2,∠HOG=30°,
∴cos30°=,
∴OG=,
∴满足条件的b的值为﹣≤b≤2;
(3)存在.理由:如图2中,设Q(m,﹣1).
由题意当OQ=时,⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点,
=,
解得m=,
∴t=.
16.在平面直角坐标系xOy中,若点P和点P1关于y轴对称,点P1和点P2关于直线l对称,则称点P2是点P关于y轴,直线l的二次对称点.
(1)如图1,点A(﹣1,0).
①若点B是点A关于y轴,直线l1:x=2的二次对称点,则点B的坐标为 (3.0) ;
②若点C(﹣5,0)是点A关于y轴,直线l2:x=a的二次对称点,则a的值为 ﹣2 ;
③若点D(2,1)是点A关于y轴,直线l3的二次对称点,则直线l3的表达式为 y=﹣x+2 ;
(2)如图2,⊙O的半径为1.若⊙
O上存在点M,使得点M'是点M关于y轴,直线l4:x=b的二次对称点,且点M'在射线y=x(x≥0)上,b的取值范围是 ﹣≤b≤1 ;
(3)E(t,0)是x轴上的动点,⊙E的半径为2,若⊙E上存在点N,使得点N'是点N关于y轴,直线l5:y=x+1的二次对称点,且点N'在y轴上,求t的取值范围.
【解答】解:(1).①如图1中,点A(﹣1,0)关于y轴的对称点A1(1,0),A1关于直线x=2的对称点B(3,0).
②如图2中,由题意C(﹣5,0),A1(1,0),∵A1、C关于直线x=a对称,
∴a=﹣2.
③如图3中,∵A1(1,0),D(2,1),
∴直线A1D的解析式为y=x﹣1,线段A1D的中垂线的解析式为y=﹣x+2,
∴直线l3的解析式为y=﹣x+2.
故答案分别为(3,0),a=﹣2.y=﹣x+2.
(2)如图4中,
由题意b=MM′,由此可知,当MM′的值最大时,可得b的最大值,
∵直线OM′的解析式为y=x,
∴∠MM′O=∠M′OD=30°,
∵OM=1,易知,OM⊥OM′时,MM′的值最大,最大值为2,
∴b的最大值为1,
如图5中,易知当点M在x轴的正半轴上时,可得b的最小值,最小值为﹣,
综上所述,满足条件的b取值范围为﹣≤b≤1.
故答案为﹣≤b≤1.
(3)如图6中,设点E关于y轴的对称点为E1,E1关于直线y=x+1的对称点为E′,易知当点N在⊙E上运动时,点N′在⊙E′上运动,由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件.
连接E1E′交直线y=x+1于K,易知直线E1E′的解析式为y=﹣x﹣t,
由解得,
∴K(,),
∵KE1=KE′,
∴E′(,),
当⊙E′与y轴相切时,||=2,解得t=﹣4或+4,
综上所述,满足条件的t的取值范围为﹣4≤t≤+4.
17.在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个菱形相邻的两个顶点,且该菱形的两条对角线分别与x轴,y轴平行,则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”.图1为点P,Q的“相关菱形”的一个示意图.
已知点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(b,0),
(1)若b=3,则R(﹣1,0),S(5,4),T(6,4)中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是 R,S ;
(2)若点A,B的“相关菱形”为正方形,求b的值;
(3)⊙B的半径为,点C的坐标为(2,4).若⊙B上存在点M,在线段AC上存在点N,使点M,N的“相关菱形”为正方形,请直接写出b的取值范围.
【解答】解:(1)如图1中,观察图象可知:R、S能够成为点A,B的“相关菱形”顶点.
故答案为R,S.
(2)如图2中,过点A作AH垂直x轴于H点.
∵点A,B的“相关菱形”为正方形,
∴△ABH为等腰直角三角形.
∵A(1,4),
∴BH=AH=4.
∴b=﹣3或5.
(3)如图3中,观察图象可知,满足条件的b的范围为:﹣5≤b≤0或3≤b≤8.
18.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值时,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”;如果线段PQ的长度存在最大值时,就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”.
请你在学习,理解上述定义的基础上,解决下面问题:
在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣4,3),B(﹣4,﹣3),C(4,﹣3),D(4,3).
(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”.
(2)设直线y=(b>0)与x轴,y轴分别交于点E,F,若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1,求它们的“远距离”;
(3)在平面直角坐标系xOy中,有一个矩形GHMN,若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心,2为半径的圆上,其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周,在旋转的过程中,它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 7 ;“近距离”的最小值是 1 .
【解答】解:(1)如图1所示:
∵由点A、B、C、D的坐标可知;四边形ABCD为矩形.
∴AB与DC之间的近距离为BC或AD的长,近距离=8,AB与DC之间的近距离远距离等于BD或AC的长,远距离==10.
(2)①当EF在矩形ABCD的内部时.
∵线段EF与矩形ABCD的“近距离”=1,
∴线段GF=1.
∴OF=OG﹣FG=3﹣1=2.
∴F(0,2).
∴线段EF与矩形ABCD的“远距离”=FC==.
②当EF在矩形的外部时.如图3所示:过点A作AH⊥EF,垂足为H,延长DA交EF于点N.
∵线段EF与矩形ABCD的近距离=1,
∴AH=1.
∴AN=.
∴点N的坐标为(﹣5,3).
将点N的坐标代入y=+b得;+b=3,解得b=10.
∴点F的坐标为(0,10).
∴线段EF的与矩形ABCD的“远距离”=CF==.
综上所述EF与矩形的远距离为或.
(3)如图4所示:当OG⊥AD时,矩形GHMN与矩形ABCD的近距离有最小值,最小值=OE﹣OG=3﹣2=1.
如图5所示:当点A、G、O在一条直线上时,矩形GHMN与矩形ABCD的远距离有最大值,最大值=OC+OG=5+2=7.
故答案为:1;7.
19.对于⊙P及一个矩形给出如下定义:如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A的坐标为(,2),顶点C、D在x轴上,且OC=OD.
(1)当⊙P的半径为4时,
①在P1(0,﹣3),P2(2,3),P3(﹣2,1)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 P1(0,﹣3),P2(2,3) ;
②如果点P在直线上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,求点P的坐标;
(2)已知点P在y上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,如果⊙P与直线AD没有公共点,直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
【解答】解:(1)∵点A的坐标为(,2),顶点C、D在x轴上,且OC=OD,
∴点B的坐标为(﹣,2),点C的坐标为(﹣,0),点D的坐标为(,0),
∴矩形ABCD的中心E的坐标为(0,1),
当⊙P的半径为4时,
①若P1(0,﹣3),则PE=1+3=4,
若P2(2,3),则PE==4,
若P3(﹣2,1)则PE==2,
∴可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是:P1(0,﹣3),P2(2,3);
故答案为:P1(0,﹣3),P2(2,3).
②∵设P的坐标为(x,﹣x+1),
∵E为(0,1),
∴x2+(﹣x+1﹣1)2=42,
解得:x=±2,
当x=2时,y=﹣×2+1=﹣1;
当x=﹣2时,y=﹣×(﹣2)+1=3;
∴点P的坐标为(2,﹣1)或(﹣2,3);
(2)∵点P在y上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,且⊙
P与直线AD没有公共点,
∴|m﹣1|<,且|m﹣1|≠0,
解得:1﹣<m<1+且m≠1.
∴点P的纵坐标m的取值范围为:1﹣<m<1+且m≠1.
20.在平面直角坐标系xOy中,图形W在坐标轴上的投影长度定义如下:设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.若|x1﹣x2|的最大值为m,则图形W在x轴上的投影长度lx=M;若|y1﹣y2|的最大值为n,则图形W在y轴上的投影长度ly=n.如图1,图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2;在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4.
(1)已知点A(3,3),B(4,1).如图2所示,若图形W为△OAB,则lx 4 ,ly 3 .
(2)已知点C(4,0),点D在直线y=﹣2x+6上,若图形W为△OCD.当lx=ly时,求点D的坐标.
(3)若图形W为函数y=x2(a≤x≤b)的图象,其中0≤a<b.当该图形满足lx=ly≤1时,请直接写出a的取值范围.
【解答】解:(1)∵A(3,3),
∴点A在y轴上的正投影的坐标为(0,3).
∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3.
∵B(4,1),
∴点B在x轴上的正投影的坐标为(4,0).
∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4.
故答案为:4;3.
(2)如图1所示;过点P作PD⊥x轴,垂足为P.
设D(x,2x+6),则PD=2x+6.
∵PD⊥x轴,
∴P(x,0).
∴PC=4﹣x.
∵lx=ly,
∴2x+6=4﹣x,解得;x=﹣.
∴D(﹣,).
如图2所示:过点D作DP⊥x轴,垂足为P.
设D(x,2x+6),则PD=﹣2x﹣6.
∵PD⊥x轴,
∴P(x,0).
∴PC=4﹣x.
∵lx=ly,
∴﹣2x﹣6=4﹣x,解得;x=﹣10.
∴D(﹣10,﹣14).
综上所述,点D的坐标为(﹣,)或(﹣10,﹣14).
(3)如图3所示:
设A(a,a2)、B(b,b2).则CE=b﹣a,DF=b2﹣a2=(b+a)(b﹣a).
∵lx=ly,
∴(b+a)(b﹣a)=b﹣a,即(b+a﹣1)(b﹣a)=0.
∵b≠a,
∴b+a=1.
又∵0≤a<b,
∴a+a<1,
∴0≤a<.
21.对于关于x的一次函数y=kx+b(k≠0),我们称函数y[m]=为它的m分函数(其中m为常数).
例如,y=3x+2的4分函数为:当x≤4时,y[4]=3x+2;当x>4时,y[4]=﹣3x﹣2.
(1)如果y=﹣x+1的2分函数为y[2],
①当x=4时,y[2]= 3 ;②当y[2]=3时,x= 4或﹣2 .
(2)如果y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1],求双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标;
(3)从下面两问中任选一问作答:
①设y=﹣x+2的m分函数为y[m],如果抛物线y=x2与y[m]的图象有且只有一个公共点,直接写出m的取值范围.
②如果点A(0,t)到y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象的距离小于1,直接写出t的取值范围.
【解答】解:(1)y=﹣x+1的2分函数为:当x≤2时,y[2]=﹣x+1;当x>2时,y[2]=x﹣1.
当x=4时,y[2]=4﹣1=3,
当y[2]=3时,
如果x≤2,则有,﹣x+1=3,
∴x=﹣2,
如果x>2,则有,x﹣1=3,
∴x=4,
故答案为3,4或﹣2;
(2)当y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1],
∴当x≤﹣1时,y[﹣1]=x+1①,
当x>﹣1时,y[﹣1]=﹣x﹣1②,
∵双曲线y=③,
联立①③解得,(舍),
∴它们的交点坐标为(﹣2,﹣1),
联立②③时,方程无解,
∴双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标(﹣2,﹣1);
(3)①∵y=﹣x+2的m分函数为y[m],
∴x≤m时,y[m]=﹣x+2①,
当x>m时,y[m]=x﹣2②,
∵抛物线y=x2③与y[m]的图象有且只有一个公共点,
联立①③,则有x2=﹣x+2,
∴x=﹣2,或x=1,
∵只有一个公共点,
∴﹣2≤m<1
联立②③,则有x2=x﹣2,
∴此方程无解,
②∵y=﹣x+2的0分函数y[0],
∴Ⅰ、当x≤0时,y[0]=﹣x+2,
∴d=<1,
∴2﹣<t<2+,
∵x≤0,
∴2<t<2+,
当x>0时,y[0]=x﹣2,
∴d=<1,
∴﹣2﹣<t<﹣2+,
∵x>0,
∴﹣2<t<﹣2+,
∴点A(0,t)到y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象的距离小于1,t的取值范围2<t<2+,﹣2<t<﹣2+.
22.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(0,﹣1).点P是平面内任意一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆恰好经过点C(2,0),则称此时的点P为理想点.
(1)请判断P1(﹣4,0),P2(3,0)是否为理想点;
(2)若直线x=﹣3上存在理想点,求理想点的纵坐标;
(3)若动直线x=m(m≠0)上存在理想点,直接写出m的取值范围.
【解答】解:(1)①如图1中,O′是MN的中点,
∵AB∥MN,
∴△P1AB∽△P1MN,
∴=,
∴=,
∴MN=2,
∴O′M=O′N=2,
∵CO′=2,
∴点C在⊙O′上,
∴点P1是理想点.
②由图2可知,点P2不是理想点.
(2)存在,
如图3中,作PK⊥MN由H,交AB于G,假设P是理想点,MN与x轴的交点为H.
∵AB∥MN,
∴△PAB∽△PMN,
∴=,
∴=,
∴MN=,
∴O′M=,
在RT△CHO′中,O′H==,
∴MH=﹣=,
∴点M坐标(4,),
∴直线AM的解析式为y=x+1,
∴x=﹣3时,y=,
∴点P坐标(﹣4,),
根据对称性点P′(﹣4,﹣)也是理想点.
线x=﹣3上存在理想点,理想点的纵坐标为±.
(3)如图4中,假设点P在x轴的正半轴上,是理想点.
∵AB∥MN,AB=2,MN=4,
∴△PAB∽△PNM,
∴=,
∴=,
∴PO=,
∴点P坐标(,0),
∵点P1(﹣4,0)也是理想点,由图象可知,
若动直线x=m(m≠0)上存在理想点,则m的取值范围是﹣4≤m<0或0<m≤
.
23.在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下:当a≥b时,Q点坐标为(b,﹣a);当a<b时,Q点坐标为(a,﹣b).
(1)求(﹣2,3),(6,﹣1)的变换点坐标;
(2)已知直线l与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2).若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形,记作图形W,请画出图形W,并简要说明画图的思路;
(3)若抛物线y=﹣x2+c与图形W有三个交点,请直接写出c的取值范围.
【解答】解:(1)(﹣2,3)的变换点坐标是(﹣2,﹣3),
(6,﹣1)的变换点坐标是(﹣1,﹣6);
(2)直线AB的解析式为y=﹣x+2,
x=y时,x=,
所以,点C的坐标为(,),
点C′的变换点的坐标为(,﹣),
A的变换点的坐标为(0,﹣4),
B的变换点的坐标为(0,﹣2),
画图思路:①由点A、B的坐标求出直线l的解析式,
②求出直线l上横坐标与纵坐标相等的点C坐标,求出它的变换点C′的坐标,
③在直线l上点C两侧的点A、B确定出他们的变换点A′、B′,
④作射线C′A′、C′B′,
射线C′A′和C′B′组成的图形即为所求;
(3)抛物线经过点C′时,﹣=﹣×()2+c,
解得c=0,
抛物线与射线C′B′相切时,设直线C′B′解析式为y=kx+b,
则,
解得,
所以,直线C′B′的解析式为y=x﹣2,
与抛物线联立消掉y得,﹣x2+c=x﹣2,
整理得,3x2+2x﹣4c﹣8=0,
△=22﹣4×3(﹣4c﹣8)=0,
解得c=﹣,
综上所述,c的取值范围为c=﹣或c=0.
24.对于两个已知图形G1,G2,在G1上任取一点P,在G2上任取一点Q,当线段PQ的长度最小时,我们称这个最小长度为G1,G2的“密距”,用字母d表示;当线段PQ的长度最大时,我们称这个最大的长度为图形G1,G2的“疏距”,用字母f表示.例如,当M(1,2),N(2,2)时,点O与线段MN的“密距”为,点O与线段MN的“疏距”为2.
(1)已知,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,4),C(2,0),D(0,1),
①点O与线段AB的“密距”为 ,“疏距”为 4 ;
②线段AB与△COD的“密距”为 ,“疏距”为 2 ;
(2)直线y=2x+b与x轴,y轴分别交于点E,F,以C(0,﹣1)为圆心,1为半径作圆,当⊙C与线段EF的“密距”0<d<1时,求⊙C与线段EF的“疏距”f的取值范围.
【解答】解:(1)①如图1所示:过点O作OE⊥AB,垂足为E,DF⊥AB,垂足为F.
∵A(﹣2,0),B(0,4),
∴OA=2,OB=4.
∴点O与线段AB的疏距=OB=4.
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==2.
∵S△AOB=OA•OB=AB•OE,
∴OE===.
∵FD⊥AB,OE⊥AB,
∴DF∥OE.
∴△BFD∽△BEO.
∴,即DF=OE==.
∴△ODC与线段AB的密距为=.
在△OBC中,BC==2.
∴△ODC与AB的数据为2.
故答案为:①;4;②;2.
(2)①当点F在y轴的正半轴时,如图2.
当E在O时,密距时0,此时疏距是2.
CE'=2,OC=1,
则OE'==.
在直角△OE'F'中,OF'=2OE'=2,
则此时,疏距是2+2.
所以2<f<2+2.
②当点F在y轴的负半轴时,如图3所示.
∵EF的解析式为y=2x+b,
∴tan∠OEF=2,
∴OE:EF=1:.
当d=0时,MC=1,直线EF与圆C相切,则∠CMF=∠EOF=90°,
又∵∠OFE=∠CFM,
∴△CMF∽△EOF.
∴,即
当d=1时,
如图3,QH=1,则PH=2,
∵Rt△PHF∽Rt△OEF,
∴PF=2,
∴OF=2+1,
∴+1<f<2+1.
当点F在y轴的负半轴时,
当d=0时,如图2,f=+1;
当d=1时,
如图3,QH=1,则PH=2,
∵Rt△PHF∽Rt△OEF,
∴PF=2,
∴OF=2+1,
∴+1<f<2+1.
综上所述,当0<d<1时,f的取值范围,+1<f<2+1.
25.在平面直角坐标系xoy中,⊙C的半径为r,点P是与圆心C不重合的点,给出如下定义:如果点P′为射线CP上一点,满足CP•CP′=r2,那么称点P′为点P关于⊙C的反演点,图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图.
(1)如图2,当⊙O的半径为1时,分别求出点M(1,0),N(0,2),T(,)关于⊙O的反演点M′,N′,T′的坐标;
(2)如图3:已知点A(1,4),B(3,0),以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C,D(点C位于点D下方),E为CD的中点,如果点O,E关于⊙G的反演点分别为O′,E′,求∠E′O′G的大小.
【解答】解:(1)∵ON•ON′=1,ON=2,
∴ON′=,∴反演点N′坐标(0,),
∵OM•OM′=1,OM=1,
∴OM′=1
反演点M′坐标(1,0)
∵OT•OT′=1,OT=,
∴OT′=,
∵T′在第一象限的角平分线上,
∴反演点T′坐标(1,1)
(2)由题意:AB=2,r=,
∵E(0,2),G(2,2),EG=2,E′G•EG=5,
∴E′G=,
∵OG•O′G=5,OG=2,
∴O′G=,
∵E′(﹣,2),O′(,),
∴O′E′=,
∴E′G2=E′O′2+O′G2,
∴∠E′O′G=90°.
26.设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,记作y=f(x).在函数y=f(x)中,当自变量x=a时,相应的函数值y可以表示为f(a).
例如:函数f(x)=x2﹣2x﹣3,当x=4时,f(4)=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐标系xOy中,对于函数的零点给出如下定义:
如果函数y=f(x)在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线,并且f(a).f(b)<0,那么函数y=f(x)在a≤x≤b的范围内有零点,即存在c(a≤c≤b),使f(c)=0,则c叫做这个函数的零点,c也是方程f(x)=0在a≤x≤b范围内的根.
例如:二次函数f(x)=x2﹣2x﹣3的图象如图1所示.
观察可知:f(﹣2)>0,f(1)<0,则f(﹣2).f(1)<0.所以函数f(x)=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范围内有零点.由于f(﹣1)=0,所以,﹣1是f(x)=x2﹣2x﹣3的零点,﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根.
(1)观察函数y1=f(x)的图象2,回答下列问题:
①f(a)•f(b) < 0(“<”“>”或“=”)
②在a≤x≤b范围内y1=f(x)的零点的个数是 1 .
(2)已知函数y2=f(x)=﹣的零点为x1,x2,且x1<1<x2.
①求零点为x1,x2(用a表示);
②在平面直角坐标xOy中,在x轴上A,B两点表示的数是零点x1,x2,点 P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,若a是整数,求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.
【解答】解:(1)①由图象1,得f(a)•f(b)<0,
②在a≤x≤b范围内y1=f(x)的零点的个数是 1.
故答案为:<,1;
(2)①∵x1、x2是零点
∴当y=0时,即﹣=0.
方程可化简为 x2+2(a﹣1)x+(a2﹣2a)=0.
解方程,得x=﹣a或x=﹣a+2.
∵x1<1<x2,﹣a<﹣a+2,
∴x1=﹣a,x2=﹣a+2.
②∵x1<1<x2,
∴﹣a<1<﹣a+2.
∴﹣1<a<1.
∵a是整数,
∴a=0,所求抛物线的表达式为y=﹣x2+2.
此时顶点C的坐标为C(1,)如图2,
,
作CD⊥AB于D,连接CQ,
则AD=1,CD=,tan∠BAC=,
∴∠BAC=60°
由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形;
由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得,
点M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN的平行四边形,
C、Q、P三点共线,且PQ=PC;
∵点P线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,
DC≤PC<AC,DC=,AC=2,
即≤PQ<,
∴≤PQ<1;
线段PQ的长的取值范围为:≤PQ<1.
27.定义:y是一个关于x的函数,若对于每个实数x,函数y的值为三数x+2,2x+1,﹣5x+20中的最小值,则函数y叫做这三数的最小值函数.
(1)画出这个最小值函数的图象,并判断点A(1,3)是否为这个最小值函数图象上的点;
(2)设这个最小值函数图象的最高点为B,点A(1,3),动点M(m,m)
①直接写出△ABM的面积,其面积是 2 ;
②若以M为圆心的圆经过A,B两点,写出点M的坐标;
③以②中的点M为圆心,以为半径作圆,在此圆上找一点P,使PA+PB的值最小,直接写出此最小值.
【解答】解:(1)最小值函数的图象见图中实线,
∵x=1时,y=3,
∴点A(1,3)在这个最小值函数的图象上.
(2)①如图2中,作ON⊥AB于N.
∵AB∥OM,
∴S△ABM=S△ABO,
∵A(1,3),B(3,5),ON=,AB=2
∴S△ABM=××=2.
故答案为2.
②∵直线AB的解析式为y=x+2,
∴线段AB的中垂线的解析式为y=﹣x+6,
由解得,
∴点M坐标为(3,3).
③如图3中,取BM的中点D,连接PD、PM.
∵PM2=2=1×2=MD•BM,
∵∠PMD=∠BMP,
∴△PMD∽△BMP,
∴==,
∴PD=PB,
∴PA+PB=PA+PD≥AD,
∵AD==,
∴PA+PB≥,
∴PA+PB的最小值为.
28.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C给出如下定义:如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在正方形的内部或边界上,那么称该正方形为点A,B,C的外延正方形,在点A,B,C所有的外延正方形中,面积最小的正方形称为点A,B,C的最佳外延正方形.例如,图1中的正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3CD3都是点A,B,C的外延正方形,正方形A3B3CD3是点A,B,C的最佳外延正方形.
(1)如图1,点A(﹣1,0),B(2,4),C(0,t)(t为整数).
①如果t=3,则点A,B,C的最佳外延正方形的面积是 16 ;
②如果点A,B,C的最佳外延正方形的面积是25,且使点C在最佳外延正方形的一边上,请写出一个符合题意的t值 ﹣1(答案不唯一) ;
(2)如图3,已知点M(3,0),N(0,4),P(x,y)是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点,求点M,N,P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围;
(3)如图4,已知点E(m,n)在函数y=(x>0)的图象上,且点D的坐标为(1,1),设点O,D,E的最佳外延正方形的边长为a,请直接写出a的取值范围.
【解答】解:(1)①如图1所示:
∵t=3,
∴C(0,3).
∵A(﹣1,0)、B(2,4)、C(0,3),
∴点A,B,C的最佳外延正方形为正方形ADEF.
∴点A,B,C的最佳外延正方形的面积=AD2=42=16.
故答案为:16.
②如图2所示:
∵正方形的面积为25,
∴正方形的边长为5.
∵点B(2,4),正方形的边长为5,
∴点C的坐标为(0,﹣1).
故答案为:﹣1(答案不唯一).
(2)如图3所示:
如图3所示:当点M、N、P均在正方形的边上时,点M,N,P的最佳外延正方形的面积的有最小值.
∵此时正方形的边长为4,
∴点M,N,P的最佳外延正方形的面积的最小值为16.
∴点M,N,P的最佳外延正方形的面积的取值范围为S≥16.
令y=0得x2﹣2x﹣3=4,解得:x=1+2或x=1﹣2.
∴当3<x≤1+2时,点M,N,P的最佳外延正方形的面积有最小值.
x=﹣1时,PM=PN=4,点M,N,P的最佳外延正方形的面积也有最小值.
综上所述点P的横坐标x的取值范围是3<x≤1+2或x=﹣1.
(3)∵点E在反比例函数的图象上,
∴mn=6.
①当m=n时,m=,n=,此时点O,D,E的最佳外延正方形的边长为,
②当m>n时,则m>,即m2>6,
∵m>0,
∴m>.
∴点O,D,E的最佳外延正方形的边长大于.
③当m<n时,<n,即n2>6,
∵n>0,
∴n>.
∴点O,D,E的最佳外延正方形的边长大于.
综上所述,a的取值范围是a≥.
29.对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如,下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
(1)分别判断函数y=x﹣1,y=,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;
(2)函数y=2x2﹣bx.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;
(3)记函数y=x2﹣2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为.
【解答】解:(1)∵函数y=x﹣1,令y=x,则x﹣1=x,无解;
∴函数y=x﹣1没有不变值;
∵函数y=,令y=x,则x=,解得:x=±1,
∴函数y=的不变值为±1,q=1﹣(﹣1)=2,
∵函数y=x2,令y=x,则x=x2,解得:x1=0,x2=1,
∴函数y=x2的不变值为:0或1,q=1﹣0=1;
(2)①函数y=2x2﹣bx,令y=x,则x=2x2﹣bx,
整理得:x(2x﹣b﹣1)=0,
∵q=0,
∴x=0且2x﹣b﹣1=0,
解得:b=﹣1;
②由①知:x(2x﹣b﹣1)=0,
∴x=0或2x﹣b﹣1=0,
解得:x1=0,x2=,
∵1≤b≤3,
∴1≤x2≤2,
∴1﹣0≤q≤2﹣0,
∴1≤q≤2;
(3)∵记函数y=x2﹣2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.
∴函数G的图象关于x=m对称,
∴G:y=,
∵当x2﹣2x=x时,x3=0,x4=3;
当(2m﹣x)2﹣2(2m﹣x)=x时,△=1+8m,
当△<0,即m<﹣时,q=x4﹣x3=3;
当△≥0,即m≥﹣时,x5=,x6=,
①当﹣≤m≤0时,x3=0,x4=3,
∴x6<0,
∴x4﹣x6>3(不符合题意,舍去);
②∵当x5=x4时,m=1,当x6=x3时,m=3;
当0<m<1时,x3=0(舍去),x4=3,
此时0<x5<x4,x6<0,q=x4﹣x6>3(舍去);
当1≤m≤3时,x3=0(舍去),x4=3,
此时0<x5<x4,x6>0,q=x4﹣x6<3;
当m>3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),
此时x5>3,x6<0,q=x5﹣x6>3(舍去);
综上所述:m的取值范围为1≤m≤3或m<﹣.
30.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.
【解答】解:(1)是“相邻函数”,
理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,
∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,
∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,
即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;
(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,
∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),
∴顶点坐标为:(1,a﹣1),
又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,
∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,
∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,
∴0≤a≤1;
(3)y1﹣y2=﹣(﹣2x+4)=+2x﹣4,构造函数y=+2x﹣4,
∵y=+2x﹣4
∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,
当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤,
∵函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,
∴1≤a≤2;
∴a的最大值是2,a的最小值1.
31.P是⊙O内一点,过点P作⊙O的任意一条弦AB,我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”.
(1)⊙O的半径为5,OP=3.
①如图1,若点P恰为弦AB的中点,则点P关于⊙O的“幂值”为 16 ;
②判断当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围.
(2)若⊙O的半径为r,OP=d,请参考(1)的思路,用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围 不填 ;
(3)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为4,若在直线y=x+b上存在点P,使得点P关于⊙O的“幂值”为13,请写出b的取值范围 ﹣2≤b≤2 .
【解答】解:(1)①如图1所示:连接OA、OB、OP.
∵OA=OB,P为AB的中点,
∴OP⊥AB.
∵在△PBO中,由勾股定理得:PB==4,
∴PA=PB=4.
∴⊙O的“幂值”=4×4=16.
故答案为:16.
②当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”为定值.
证明:如图,AB为⊙O中过点P的任意一条弦,且不与OP垂直.过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP,连接AA′、BB′.
∵在⊙O中,∠AA′P=∠B′BP,∠APA′=∠BPB′,
∴△APA′∽△B′PB.
∴.
∴PA•PB=PA′•PB′=16.
∴当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”为定值.
(2)如图3所示;连接OP、过点P作AB⊥OP,交圆O与A、B两点.
∵AO=OB,PO⊥AB,
∴AP=PB.
∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2.
在Rt△APO中,AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2.
∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2.
(3)如图4所示:过点O作OP⊥AB.
∵OP⊥AB,
∴直线OP的解析式为y=﹣x.
将y=x+b与y=﹣x联立得:,
解得:x=﹣b,y=.
∴点P的坐标为(﹣,).
∵点P关于⊙O的“幂值”为13,
∴r2﹣d2=13.
∴d2=3,即(﹣)2+()2=3.
整理得:b2=4.
∴b的取值范围是﹣2≤b≤2.
故答案为:﹣2≤b≤2.
32.在平面直角坐标系 xOy中,对于点P(x,y),以及两个无公共点的图形W1和W2,若在图形W1和W2上分别存在点M (x1,y1 )和N (x2,y2 ),使得P是线段MN的中点,则称点M 和N被点P“关联”,并称点P为图形W1和W2
的一个“中位点”,此时P,M,N三个点的坐标满足x=,y=
(1)已知点A(0,1),B(4,1),C(3,﹣1),D(3,﹣2),连接AB,CD.
①对于线段AB和线段CD,若点A和C被点P“关联”,则点P的坐标为 (,0) ;
②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q (2,﹣),求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标;
(2)如图1,已知点R(﹣2,0)和抛物线W1:y=x2﹣2x,对于抛物线W1上的每一个点M,在抛物线W2上都存在点N,使得点N和M 被点R“关联”,请在图1 中画出符合条件的抛物线W2;
(3)正方形EFGH的顶点分别是E(﹣4,1),F(﹣4,﹣1),G(﹣2,﹣1),H(﹣2,1),⊙T的圆心为T(3,0),半径为1.请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示),并直接写出该图形的面积.
【解答】解:(1)①∵点A和C被点P“关联”,
又∵=,=0,
∴点P坐标(,0),
故答案为(,0).
②设在线段AB和线段CD上分别存在K(x,1)和L(3,y)被点Q(2,﹣)“关联”,则点Q是KL中点,
∴2=,﹣=,
∴x=1,y=﹣2,
∴这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标分别是(1,1)和(3,﹣2).
(2)所求作的抛物线如图1所示,
(3)正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形如图2所示(影阴部分包括边界),
S阴=2×2﹣4[×﹣•π•()2]=3+.
33.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的限距点的定义如下:若P′为直线PC与⊙C的一个交点,满足r≤PP′≤2r,则称P′为点P关于⊙C的限距点,如图为点P及其关于⊙
C的限距点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(3,4),N(,0),T(1,)关于⊙O的限距点是否存在?若存在,求其坐标;
②点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切⊙O于点E,点F,点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在,求点P′的横坐标的取值范围;
(2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动,⊙C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r,请从下面两个问题中任选一个作答.
问题1
问题2
若点P关于⊙C的限距点P′存在,且P′随点P的运动所形成的路径长为πr,则r的最小值为
.
若点P关于⊙C的限距点P′不存在,则r的取值范围为
0<r< .
【解答】解:(1)①点M、点T关于⊙O的限距点不存在,点N关于⊙0的限距点存在,坐标为(1,0).
②∵点D坐标为(2,0),⊙O半径为1,DE、DF分别切⊙O于E、F,
∴切点坐标为(,),(,﹣),如图所示,不妨设点E(,),点F(,﹣),
EO、FO的延长线分别交⊙O于点E′、F′,则E′(﹣,﹣),F′(﹣,).
设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x,
①当点P在线段EF上时,直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2,故点P关于⊙O的限距点存在,其横坐标x满足﹣1≤x≤﹣.
②当点P在线段DE、DF(不包括端点)上时,直线PO与⊙O的交点P′满足0<PP′<1或2<PP′<3,故点P关于⊙O的限距点不存在.
③当点P与点D重合时,直线PO与⊙O的交点P′(1,0),满足PP′=1,故点P关于⊙O的限距点存在,其横坐标x=1.
综上所述点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为﹣1≤x≤﹣或x=1.
(2)问题1:如图2中,∵△DEF是等边三角形,点C是△DEF的外接圆的圆心,
∵若点P关于⊙C的限距点P′存在,且P′随点P的运动所形成的路径长为πr,
∴图中△PP′C是等边三角形,点P在PP′上运动时,有限距点,
∵PC∥ED,
∴==,
∴PC=,
由题意:r≤﹣r≤2r,
∴,
∴r的最小值为.
问题2:如图2中,当点H不存在限距点时,点P就不存在限距点,
∵HC=,
∴﹣r>2r,
∴r<,
∴0<r<时点P的限距点不存在.
故答案分别为,0<r<.
34.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.
小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△
A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
(1)请你回答:AP的最大值是 6 .
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.
提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把△ABP绕B点逆时针旋转60,得到△A′BP′.
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).
【解答】解:(1)∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,
∴∠A′BA=60°,A′B=AB,AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形,
∴A′A=AB=BA′=2,
在△AA′C中,A′C<AA′+AC,即AP<6,
则当点A′A、C三点共线时,A′C=AA′+AC,
即AP=6,
即AP的最大值是:6;
故答案是:6.
(2)①旋转后的图形如图1;
②如图2,
∵Rt△ABC是等腰三角形,∴AB=BC.
以B为中心,将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B.则A1B=AB=BC=4,PA=P1A1,PB=P1B,
∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC.
∵当A1、P1、P、C四点共线时,(P1A+P1B+PC)最短,即线段A1C最短,
∴A1C=PA+PB+PC,
∴A1C长度即为所求.
过A1作A1D⊥CB延长线于D.
∵∠A1BA=60°(由旋转可知),
∴∠A1BD=30°.
∵A1B=4,
∴A1D=2,BD=2
∴CD=4+2;
在Rt△A1DC中,A1C===2+2.
35.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A,B两点,在P,A,B三点中,位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时,则称点P为⊙C 的相邻点,直线l为⊙C关于点P的相邻线.
(1)当⊙O的半径为1时,
①分别判断在点D(,),E(0,﹣),F(4,0)中,是⊙O的相邻点有 D或E ;
②请从①中的答案中,任选一个相邻点,在图1中做出⊙
O关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程;
③点P在直线y=﹣x+3上,若点P为⊙O的相邻点,求点P横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=﹣与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上存在⊙C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
【解答】解:(1)由定义可知,
当点P在⊙C内时,
由垂径定理可知,点P必为⊙C的相邻点,
此时,0≤PC<1;
当点P在⊙C外时,
设点A是PB的中点,
连接PC交⊙C于点M,
延长PC交⊙C于点N,
连接AM,BN,
∵∠AMP+∠NMA=180°,
∠B+∠NMA=180°,
∴∠AMP=∠B,
∵∠P=∠P,
∴△AMP∽△NBP,
∴=,
∴PA•PB=PM•PN,
∵点A是PB的中点,
∴AB=PA,
又∵⊙C的半径为1,
∴2AB2=(PC﹣CM)(PC+CN),
∴2AB2=PC2﹣1,
又∵AB是⊙C的弦,
∴AB≤2,
∴2AB2≤8,
∴PC2﹣1≤8,
∴PC2≤9,
∴PC≤3,
∵点P在⊙C外,
∴PC>1,
∴1<PC≤3,
当点P在⊙C上时,
此时PC=1,但不符合题意,
综上所述,半径为1的⊙C,当点P与圆心C的距离满足:0≤PC≤3,且PC≠1时,点P为⊙C的相邻点;
①∵D(,),
∴DO==,
∵E(0,﹣),
∴OE=,
∵F(4,0),
∴OF=4,
∴D和E是⊙O的相邻点;
②连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点;
③令x=0代入y=﹣x+3,
∴y=3,
令y=0代入y=﹣x+3,
∴x=3,
∴y=﹣x+3与坐标轴的交点为(0,3)和(3,0)
∵由于点P在直线y=﹣x+3上,且点P是⊙O的相邻点,
∴0≤PO≤3,且PO≠1
又∵点P在⊙O外,
∴1<PO≤3,
∴p的横坐标范围为:0≤x≤3;
(2)令x=0代入y=﹣x+2,
∴y=2,
∴N(0,2),
令y=0代入y=﹣x+2,
∴x=6,
∴M(6,0),
∵点P是半径为1的⊙C的相邻点,
∴0≤PC≤3且PC≠1,
∴点C在以点P为圆心,半径为3的圆内,且不能在以点P为圆心,半径为1的圆上,
∵点C在x轴上,
∴点C的横坐标范围的取值范围:0≤x≤9.