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- 2021-05-13 发布
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中考数学函数与等腰三角形经典题型分析
例1
如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11湖州24”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上.双击按钮“第(3)题”, 拖动点P由O向C运动,可以体验到,点H在以OM为直径的圆上运动.双击按钮“第(2)题”可以切换.
思路点拨
1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备.
2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.
3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?Rt△OHM的斜边长OM是定值,以OM为直径的圆过点H、C.
满分解答
(1)因为PC//DB,所以.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以AD=4-m.于是得到点D的坐标为(2,4-m).
(2)在△APD中,,,.
①当AP=AD时,.解得(如图3).
②当PA=PD时,.解得(如图4)或(不合题意,舍去).
③当DA=DP时,.解得(如图5)或(不合题意,舍去).
综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为,或.
图3 图4 图5
(3)点H所经过的路径长为.
考点伸展
第(2)题解等腰三角形的问题,其中①、②用几何说理的方法,计算更简单:
①如图3,当AP=AD时,AM垂直平分PD,那么△PCM∽△MBA.所以.因此,.
②如图4,当PA=PD时,P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO.因此.解得.
第(2)题的思路是这样的:
如图6,在Rt△OHM中,斜边OM为定值,因此以OM为直径的⊙G经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P与O重合时,是点H运动的起点,∠COH=45°,∠CGH=90°.
图6 图7
例2
如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图像中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.
思路点拨
1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.
2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.
3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.
满分解答
(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).
令,得.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.
如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.
因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.
此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.
我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中, 为定值,,.
如图5,当AP=AQ时,解方程,得.
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.
如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.
综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解
.例3
如图1,在直角坐标平面内有点A(6, 0),B(0, 8),C(-4, 0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动,MN交OB于点P.
(1)求证:MN∶NP为定值;
(2)若△BNP与△MNA相似,求CM的长;
(3)若△BNP是等腰三角形,求CM的长.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”,拖动点M在CA上运动,可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变.双击按钮“△BNP∽△MNA”,可以体验到,此刻两个三角形都是直角三角形.分别双击按钮“BP=BN,N在AB上”、“NB=NP”和“BP=BN,N在AB的延长线上”,可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况.
思路点拨
1.第(1)题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计算提供了方便.
2.第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角,通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似.
3.第(3)题探求等腰三角形,要两级(两层)分类,先按照点N的位置分类,再按照顶角的顶点分类.注意当N在AB的延长线上时,钝角等腰三角形只有一种情况.
4.探求等腰三角形BNP,N在AB上时,∠B是确定的,把夹∠B
的两边的长先表示出来,再分类计算.
满分解答
(1)如图2,图3,作NQ⊥x轴,垂足为Q.设点M、N的运动时间为t秒.
在Rt△ANQ中,AN=5t,NQ=4t ,AQ=3t.
在图2中,QO=6-3t,MQ=10-5t,所以MN∶NP=MQ∶QO=5∶3.
在图3中,QO=3t-6,MQ=5t-10,所以MN∶NP=MQ∶QO=5∶3.
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角,因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形,要么是两个直角三角形.只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.
如图4,△BNP∽△MNA,在Rt△AMN中,,所以.解得.此时CM.
图2 图3 图4
(3)如图5,图6,图7中,,即.所以.
①当N在AB上时,在△BNP中,∠B是确定的,,.
(Ⅰ)如图5,当BP=BN时,解方程,得.此时CM.
(Ⅱ)如图6,当NB=NP时,.解方程,得.此时CM.
(Ⅲ)当PB=PN时,.解方程,得t的值为负数,因此不存在PB=PN的情况.
②如图7,当点N在线段AB的延长线上时,∠B是钝角,只存在BP=BN的可能,此时.解方程,得.此时CM.
图5 图6 图7
考点伸展
如图6,当NB=NP时,△NMA是等腰三角形,,这样计算简便一些.
例4
如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”,拖动点E在BC上运动,观察y随x变化的函数图像,可以体验到,y是x的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图像,可以看到,当E是BC的中点时,y取得最大值.双击按钮“m=8”,拖动E到BC
的中点,可以体验到,点F是AB的四等分点.
拖动点A可以改变m的值,再拖动图像中标签为“y随x” 的点到射线y=x上,从图形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.
思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF为等腰三角形,那么得到x=y;一段是计算,化简消去m,得到关于x的一元二次方程,解出x的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此,即.整理,得y关于x的函数关系为.
(2)如图2,当m=8时,.因此当x=4时,y取得最大值为2.
(3) 若,那么.整理,得.解得x=2或x=6.要使△DEF为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y =2代入,得m=6(如图3);将x=y =6代入,得m=2(如图4).
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:
由第(1)题得到,
那么不论m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第(2)题m=8是第(1)题一般性结论的一个特殊性.
再如,不论m为小于8的任何值,△DEF都可以成为等腰三角形,这是因为方程
总有一个根的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊
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