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- 2021-05-13 发布
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B
F
A
P
E
O
x
y
(第24题图)
24. (金华卷)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合;
(3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?
② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1);………4分 (2)(0,),;……4分(各2分)B
F
A
P
E
O
x
y
G
P′
P′
(图1)
(3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1)
∵,,∠∠90°
∴△≌△,∴﹒
又∵,∠60°,∴
B
F
A
P
E
O
x
y
M
P′
H
(图2)
而,∴,
由得 ;…………………1分
当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形;
当点P在线段上时,
过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2)
∵,∴,∴
∴, 又∵
在Rt△中,
即,解得.…………………………………………………1分
B
F
A
P
E
O
x
Q′
B′
Q
C
C1
D1
(图3)
y
②存在﹒理由如下:
∵,∴,,
将△绕点顺时针方向旋转90°,得到
△(如图3)
∵⊥,∴点在直线上,
C点坐标为(,-1)
过作∥,交于点Q,
则△∽△
由,可得Q的坐标为(-,)………………………1分
根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件.……1分
24.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.
第24题图
(1)求的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的
直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2),求点N的横坐标;
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1.
∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) .
(2)①如图1,
∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,
第24题图1
∴ ME=4.
设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为.
第24题图2
② 当点D移到与点A重合时,如图2,
直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.
过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,
设N(x,0),
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF,
∴ ,
第24题图3
图4
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3,
直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),
设N(x,0),
∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,
∴ , ∴ .
∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
24. (丽水市卷)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.
O
y
x
C
B
A
(第24题)
1
1
-1
-1
(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;
(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:
① 当,,时,A,B两点是否都
在这条抛物线上?并说明理由;
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不
可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;
若不存在,请说明理由.
解:
O
y
x
C
B
A
(甲)
1
1
-1
-1
. ……1分
由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分
点A的坐标为(,),
∵ A,B两点关于原点对称,
O
y
x
C
B
A
(乙)
1
1
-1
-1
∴ 点B的坐标为(,).
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.
∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上. ……2分
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),
点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上. ……1分
(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在.m的值是1或-1. ……2分
(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)
20.(益阳市)如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;
(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.
解:⑴ 由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为,则,
解得
∴抛物线的解析式为 ……………………………4分
⑵ 的坐标为 ……………………………5分
直线的解析式为
直线的解析式为
由
求得交点的坐标为 ……………………………8分
⑶ 连结交于,的坐标为
又∵,
∴,且
∴四边形是菱形 ……………………………12分
26.(丹东市)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
解:(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分
∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,
∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分
(写错一个点的坐标扣1分)
O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
-8
(-6,-4)
x
y
(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,
∵抛物线过点A(0,4),
∴.则抛物线关系式为. 4分
将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得
5分
解得 6分
所求抛物线关系式为:. 7分
(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分
∴
OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA
( 0<<4) 10分
∵. ∴当时,S的取最小值.
又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分
(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG. 14分
25.(威海市12分)
(1)探究新知:
①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.
A
B
D
C
M
N
图 ①
求证:△ABM与△ABN的面积相等.
②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由.
(2)结论应用:
如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由.
﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚
解:﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F.
A
B
D
C
M
N
图 ①
E
F
∵ AD∥BC,AD=BC,
∴ 四边形ABCD为平行四边形.
∴ AB∥CD.
∴ ME= NF.
∵S△ABM=,S△ABN=,
∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1分
②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.
H
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
K
则∠DHA=∠EKB=90°.
∵ AD∥BE,
∴ ∠DAH=∠EBK.
∵ AD=BE,
∴ △DAH≌△EBK.
∴ DH=EK. ……………………………2分
∵ CD∥AB∥EF,
∴S△ABM=,S△ABG=,
∴ S△ABM= S△ABG. …………………………………………………………………3分
﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4分
解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得.
∴ 该抛物线的表达式为,即. ………………………5分
∴ D点坐标为(0,3).
设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得.
∴ 直线AD的表达式为.
过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为.
∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6分
设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为.
过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为,EF∥CG.
A
图 ③-1
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等.
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,
则PF=,EF=.
∴ EP=EF-PF==.
∴ .
解得,. ……………………………7分
当时,PF=3-2=1,EF=1+2=3.
∴ E点坐标为(2,3).
同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ………………………………8分
②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚,
则. ……………………………………………9分
∴.解得,. ………………………………10分
当时,E点的纵坐标为;
当时,E点的纵坐标为.
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;. ………………12分
﹙其他解法可酌情处理﹚
24.(荆门市本题满分12分)已知:如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
第24题图
解:(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=x2+bx+c得
得解析式y=x2-x+1……………………………………………………3分
(2)设C(x0,y0),则有
解得∴C(4,3).……………………………………………6分
由图可知:S=S△ACE-S△ABD.又由对称轴为x=可知E(2,0).
∴S=AE·y0-AD×OB=×4×3-×3×1=…………………………………8分
第24题图
当P为直角顶点时,如图:过C作CF⊥x轴于F.
∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴.即.
整理得a2-4a+3=0.解得a=1或a=3
∴所求的点P的坐标为(1,0)或(3,0)
综上所述:满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分
(3)设符合条件的点P存在,令P(a,0):
当P为直角顶点时,如图:过C作CF⊥x轴于F.
∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴.即.
整理得a2-4a+3=0.解得a=1或a=3
∴所求的点P的坐标为(1,0)或(3,0)
综上所述:满足条件的点P共有二个
23.(济宁市10分)
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(第23题)
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.
解:(1)设抛物线为.
∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分
证明:当时,,.
∴为(2,0),为(6,0).∴.
设⊙与相切于点,连接,则.
∵,∴.
又∵,∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分
(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.…………………………………………8分
设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).
∴.
∵,
∴当时,的面积最大为.
此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分
22.(中山市)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
24.(青岛市本小题满分12分)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
A
D
B
C
F
(
E
)
图(1)
A
D
B
C
F
E
图(2)
P
Q
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)
解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,
∴∠EQC = 45°.
图(2)
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知:CE = t,BP =2 t,
∴CQ = t.
∴AQ = 8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = 10 cm .
则AP = 10-2 t.
∴10-2 t = 8-t.
解得:t = 2.
答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
(2)过P作,交BE于M,
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中,,
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.
∴y = S△ABC-S△BPE =-= -
= = .
∵,∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时,y最小=.
答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2. 8分
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作,交AC于N,
C
E
A
D
B
F
图(3)
P
Q
N
∴.
∵,∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴,.
∵NQ = AQ-AN,
∴NQ = 8-t-() = .
∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得:t = 1.
答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
22、(南充市)已知抛物线上有不同的两点E和F.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.
B
A
M
C
D
O
P
Q
x
y
解:(1)抛物线的对称轴为. ……..(1分)
∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同,
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称,则 ,且k≠-2.
∴ 抛物线的解析式为. ……..(2分)
(2)抛物线与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4),
∴ AB=,AM=BM=. ……..(3分)
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°.
∴ ∠BCM=∠AMD.
故 △BCM∽△AMD. ……..(4分)
∴ ,即 ,.
故n和m之间的函数关系式为(m>0). ……..(5分)
(3)∵ F在上,
∴ ,
化简得,,∴ k1=1,k2=3.
即F1(-2,0)或F2(-4,-8). ……..(6分)
①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为,
则 解得, ∴ 直线MF的解析式为.
直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).
若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=;
若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=. ……..(7分)
②MF过M(2,2)和F1(-4,-8),设MF为,
则 解得, ∴ 直线MF的解析式为.
直线MF与x轴交点为(,0),与y轴交点为(0,).
若MP过点F(-4,-8),则n=4-()=,m=;
若MQ过点F(-4,-8),则m=4-=,n=. ……..(8分)
故当 或时,∠PMQ的边过点F.
24.(莱芜市本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;
(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
解:(1)∵抛物线经过点,,.
∴, 解得.
∴抛物线的解析式为:. …………………………3分
(2)易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).
∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. …………………………4分
连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.
在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=.
∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. …………………………6分
∴劣弧EF的长为:. …………………………7分
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴,解得.∴直线AC的解析式为:. ………8分
设点,PG交直线AC于N,
则点N坐标为.∵.
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M
∴①若PN︰GN=1︰2,则PG︰GN=3︰2,PG=GN.
即=.
解得:m1=-3, m2=2(舍去).
当m=-3时,=.
∴此时点P的坐标为. …………………………10分
②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.
即=.
解得:,(舍去).当时,=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分. …………………12分
25.(2010.十堰)(本小题满分10分)已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0
(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.
(2)若关于x的二次函数y= mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.
(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b
与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.
解:(1)分两种情况讨论:
①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式
△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0
不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根
综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.
(2)设x1,x2为抛物线y= mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=,x1·x2=
由| x1-x2|====,
由| x1-x2|=2得=2,∴=2或=-2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=x2+2x-
即y1= x(x-2)或y2=(x-2)(x-4)其图象如右图所示.
(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围.
,当y1=y时,得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-;
同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.
观察函数图象可知当b<-或b>-时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时,有x=2或x=1
当x=1时,y=-1
所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,
综上所述可知:当b<-或b>-或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.