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- 2021-05-13 发布
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2009中考数学专题讲座 几何综合题
概述:
几何综合题一般以圆为基础,涉及相似三角形等有关知识;这类题虽较难,但有梯度,一般题目中由浅入深有1~3个问题,解答这种题一般用分析综合法.
典型例题精析
例1.如图,已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q,OA⊥BD.
(1)求证:AB2=AQ·AC:
(2)若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P,求证:PC=PQ.
分析:要证AB2=AQ·AC,一般都证明△ABQ∽△ACB.∵有一个公共角∠QAB=∠BAC,∴只需再证明一个角相等即可.
可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明,以便转化,题目中有垂直于弦的直径,可知AB=AD,AD和AB所对的圆周角相等.
(2)欲证PC=PQ,
∵是具有公共端点的两条线段,
∴可证∠PQC=∠PCQ(等角对等边)
将两角转化,一般原地踏步是不可能证明出来的,没有那么轻松愉快的题目给你做,因为数学是思维的体操.
∠BQC=∠AQD=90°-∠1(充分利用直角三角形中互余关系)
∵∠PCA是弦切角,易发现应延长AO与⊙交于E,再连结EC,利用弦切角定理得∠PCA=∠E,同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°,
∴∠PCA=∠E=90°-∠1.
做几何证明题大家要有信心,拓展思维,不断转化,寻根问底,不断探索,充分发挥题目中条件的总体作用,总能得到你想要的结论,同时也要做好一部分典型题,这样有利于做题时发生迁移,联想.
例2.如图,⊙O1与⊙O2外切于点C,连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1,⊙O2于A、E,过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B,切点为D,过点E作⊙O2的切线与AD交于F,连结BC、CD、DE.
(1)如果AD:AC=2:1,求AC:CE的值;
(2)在(1)的条件下,求sinA和tan∠DCE的值;
(3)当AC:CE为何值时,△DEF为正三角形?
分析:(1)根据题的结构实质上证明△ADC∽△AED,进而可求AC,CE,设CD=2x,则AC=x,易证△ADC∽△AED,
∴,
∴,
∴AE=4x,
∴CE=AE-AC=3x,
∴AC:CE=x:3x=1:3(此题凭经验而做)
(2)求sinA,必须在直角三角形中,现存的有Rt△ABC和Rt△AEF,但都只知一边无法求sinA
∴另想办法,连结DO2,则DO2=x,
且∠ADO2=90°,AO2=x+x=x,
∴sinA=.
欲求tan∠DCE即求,易证△ADC∽△AED,
∴==2,
∴tan∠DCE=2.
(3)假设△DEF为等边△,则∠FED=∠DCE=60°,
∴tan60°==,∴设DE=x,则DC=x,CE=2x,易证△BDC∽△DEC,
∴,
∴BC=x,连DO2,易证BC∥DO2,
∴即,
∴AC=x, ∴AC:CE=1:2.
中考样题训练
1.如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E,C为⊙O外一点,CB⊥AB,G是直线CD上一点,∠ADG=∠ABD,求证:AD·CE=DE·DF.
说明:(1)如果你经过反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步).(2)在你经过说明(1)的过程之后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.
①∠CDB=∠CEB;②AD∥EC;③∠DEC=∠ADF,且∠CDE=90°.
2.已知,如图,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连结DE,DE=.
(1)求EM的长;(2)求sin∠EOB的值.
3.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.
(1)求证:DE是⊙O切线;
(2)若AB=6,AE=,求BD和BC的长.
4.如图:⊙O1与⊙O2外切于点P,O1O2的延长线交⊙O2于点A,AB切⊙O1于点B,交⊙O2于点C,BE是⊙O1的直径,过点B作BF⊥O1P,垂足为F,延长BF交PE于点G.
(1)求证:PB2=PG·PE;(2)若PF=,tan∠A=,求:O1O2的长.
考前热身训练
1.如图,P是⊙O外一点,割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点,PT切⊙O于点T,点E、F分别在PB、PA上,且PE=PT,∠PFE=∠ABP.
(1)求证:PD·PF=PC·PE;
(2)若PD=4,PC=5,AF=,求PT的长.
2.如图,BC是半圆O的直径,EC是切线,C是切点,割线EDB交半圆O于D,A是半圆O上一点,AD=DC,EC=3,BD=2.5
(1)求tan∠DCE的值;(2)求AB的长.
3.如图,已知矩形ABCD,以A为圆心,AD为半径的圆交AC、AB于M、E,CE的延长线交⊙A于F,CM=2,AB=4.
(1)求⊙A的半径;(2)求CE的长和△AFC的面积.
4.如图,正方形ABCD是⊙O的内接正方形,延长BA到E,使AE=AB,连结ED.
(1)求证:直线ED是⊙O的切线;
(2)连结EO交AD于点F,求证:EF=2FO.
答案:
中考样题看台
1.证明:连结AF,则∠ABD=∠F.
∵∠ADG=∠ABD,∴∠ADG=∠F.
∵DF为⊙O的直径,∴∠DAF=90°,
∴∠ADF+∠F=90°,∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°,
∴∠DAF=∠CDE=90°,∵CB⊥AB,
∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°,
∴∠DAF=∠CDE=90°,∵CB⊥AB,
∴∠CBE=90°.取EC中点M,连结DM、BM,则DM=BM=CM=EM,
即D、E、B、C在以EC为直径的圆上,
∴∠ABD=∠DCE,∴∠DCE=∠F,
∴△DAF∽△EDC,∴,
∴AD·CE=DE·DF,以下略;
2.(1)DC为⊙O的直径,DE⊥EC,
EC==7.
设EM=x,由于M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,∴AM·MB=x·(7-x),即6×2=x(7-x),
解得x1=3,x2=4,∵EM>MC,∴EM=4.
(2)∵OE=EM=4,∴△OEM为等腰三角形,过E作EF⊥OM,垂足为F,
则OF=1,∴EF==.
∴sin∠EOB=.
3.(1)连结CO,则AO=BO=CO,
∴∠CAO=∠ACO,又∵∠EAC=∠CAO,
∠ACO=∠EAC,∴AE∥OC,
∴DE是⊙O的切线.
(2)∵AB=6,∴AO=BO=CO=3.
由(1)知,AE∥OC,
∴△DCO∽△DEA,
=.
又∵AE=,∴,
解得BD=2.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
又∵∠EAC=∠CAB,∴Rt△EAC∽Rt△CAB,
∴,即AC2=AB·AE=6×=.
在Rt△ABC中,
由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=36-=.
∵BC>0,BC==.
4.(1)∵BE是⊙O1的直径,∴∠BPE=90°.
∵BF⊥O1P,∴∠BPF+∠FBP=90°.
∵∠GPE+∠BPF=90°,∴∠GPF=∠BPF.
∵O1E=O1P,
∴∠E=∠GPF=∠PBF,又∠BPG=∠EPB=90°,
∴△GPB∽△BPE,∴PB2=PE·PG.
(2)∵AB是⊙O1的切线,∴O1B⊥AB,
∴△O1BF∽△O1AB,∴∠O1BF=∠A.
∵tan∠A=,∴tan∠O1BF=.
设O1F=3m,则BF=4m.
由勾股定理得:O1B=5m=O1P,∴PF=5m-3m=2m.
又∵PF=,∴m=,∴O1B=O1P,∴BF=×4=3.
由tan∠A=,∴AF==4,∴AP=4-=,
∴PO2= ,∴O1O2=++==5.
考前热身训练
1.(1)连CD,因A、B、D、C四点共圆,
∴∠DCP=∠ABP,而∠PFE=∠ABP,
∴∠DCP=∠PFE,CD∥EF,∴,即PD·PF=PC·PE.
(2)设PT长为x,∴PE=PT,由(1)结论得PF=x,
由PT2=PC·PA得x2=5(x+),解之得x1=7,x2=-,∴PT=7.
2.(1)由已知得EC2=ED(ED+), 解之得ED=2或ED=-(舍去).
∵BC为直径,∴CD⊥BE,由勾股定理得CD=,∴tan∠DCE=.
(2)连AC交BD于F,由(1)得,AD=DC=,BC=.
可证△ADF∽△BCF,∴=.
设DF=2x,则CF=3x.由CF-DF=CD,得9x-4x=5,x=1,∴DF=2,CF=3,∴BF=.
由相交弦定理得AF=, ∴AB== .
3.(1)由勾股定理,列方程可求AD=3.
(2)过A作AG⊥EF于G,由勾股定理得CE=,
由切割线定理得CF=,由△BCE∽△GAE,得AG=. S△AFC=.
4.证明:(1)连结OD易得∠EDA=45°,∠ODA=45°,
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°,∴直线ED是⊙O的切线
(2)作OM⊥AB于M,∴M为AB中点,
∴AE=AB=2AM,AF∥OM,∴=2,∴EF=2FO.