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- 2021-05-13 发布
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广州市中考数学压轴题练习
23.(本小题满分12分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与AC交于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F,BD=BF.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若BC=12,AD=8,求的长.
第23题
24.(本小题满分14分)
已知四边形OABC的一边OA在轴上,O为原点,B点坐标为(4,2).
(1)如图①,若四边形OABC的顶点C(1,4),A(5,0),直线CD平分该四边形的面积且交x轴于点D,试求出△OAC的面积和D点坐标;
(2)如图②,四边形OABC是平行四边形,顶点C在第一象限,直线平分该四边形的面积,若关于的函数的图象与坐标轴只有一个交点,求的值.
第24题
图①
图②
25.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,A点坐标为(0,4),C点坐标为(10,0).
(1)如图25-①,若直线AB∥OC,AB上有一动点P,当PO=PC时,请直接写出P点坐标;
(2)如图25-②,若直线AB与OC不平行,在过点A的直线上是否存在点P,使
∠OPC=90°,若有这样的点P,求出它的坐标,若没有,请简要说明理由;
(3)若点P在直线上移动时,只存在一个点P使∠OPC=90°,试求出此时中的k值.
备用图
第25题
25-②
25-①
23. (本小题满分12分)如图所示,直线与反比例函数交于点A、B,与轴交于点C。
(1)若A(-3,)、B(1,)。直接写出不等式的解。
(2)求sin∠OCB的值。
(3)若CB — CA=5,求直线AB的解析式。
24.(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,).将抛物线C1向下平移h个单位(h>0)得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点(如图),且点A、C关于y轴对称,直线AB与x轴的距离是m2(m>0).
(1)求抛物线C1的解析式的一般形式; (2)当m=2时,求h的值;
(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F.求证:tan∠EDF—tan∠ECP=.
22.如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.
(1)求⊙M的半径;
(2)证明:BD为⊙M的切线;
(3)在直线MC上找一点P,使|DP﹣AP|最大.
23.如图,直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C(0,﹣4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线顶点沿着直线AB平移,此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,
①求当△BEF与△BAO相似时,E点坐标;
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系?若有请直接写出F点的坐标.
23.(本题满分12分)
(1)证法1:连接OE - ---------1分 证法2:连接OE ----------1分
∵BD=BF ∵BD=BF
∴∠BDF=∠F ∴∠BDF=∠F
∵OD=OE ∵OD=OE
∴∠ODE=∠0ED ∴∠ODE=∠0ED
∴∠OED=∠F ----------3分 ∴∠OED=∠F ----------3分
∴OE∥BF ∵∠BCA=90°
∴∠OEA=∠BCA=90° ∴∠F+∠FEC=90°
∴AC是⊙O的切线 ----------5分 ∵∠FEC=∠AED, ∠OED=∠F
∴∠OED+∠AED=90°
∴AC是⊙O的切线 --------5分
此题证明思路很多,学生可能会绕弯,按照踩分点相应给分。
(2)设⊙O的半径为r,
∵OE∥BF
∴△AOE∽△ABC ----------6分
∴
∵AB=12,AD=8
∴
解得:r=8 r=-6(舍去) -------9分
∴AD=OD=8
∵△AOE是Rt△
∴DE=OD=8
∴DE=OD=OE
∴∠DOE=60°
∴ ---------12分
24.解:(1)--------------------2分
D点坐标给出三种解法:
解法1:
如图1,分别过C、B作CE⊥OA,BF⊥OA,垂足分别为E,F,设点D(a,0)则有---3分
∴
----------6分
图1
∵,
∴
∴a=3,即点D坐标为(3,0)----------8分
解法2:
延长CB交x轴于点E,如图2,
先求出直线BC的解析式为,
图2
令y=0,得,得D(7,0)
得OE=7,AE=2, ,----------6分
设E(a,0),由,求得D(3,0). ----------8分
图3
解法3:如图3,连接AC,过B作BE∥AC交x轴于E,则有,直线AD平分四边形面积,则D为OE中点.易求直线AC解析式为y=-x+5, 则可设直线BD 解析式为
y=-x+b,把B(4,2)代入求得b=6,所以点E(6,0),求得D(3,0).
(2)∵设P为平行四边形OABC的对称中心,则过P点的直线平分四边形的面积.
∵P为OB的中点,而B(4,2)∴P点坐标为(2,1)
把P(2,1)代入y=kx-1得∴2k-1=1, ∴k=1----------------9分
又∵的图象与坐标轴只有两个交点,故
① 当m=0时,y=-x+1,其图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0)------10分
②当m≠0时,函数的图象为抛物线,且与y轴总有一个交点(0,2m+1)
若抛物线过原点时,2m+1=0,即m=,此时△=(3m+1)2-4m(2m+1)=>0
∴抛物线与x轴有两个交点且过原点,符合题意.
---------------------12分
若抛物线不过原点,且与x轴只有一个交点,也合题意,
此时△′=(3m+1)2-4m(2m+1)=0,解之得:m1=m2=-1
综上所述,m的值为m=0或或-1.-----------------14分
25.解:(1) ------------2分
(2) 设P(x,-x+4),如图,连接OP,PC,过P作PQ⊥OC,垂足为Q,则
P
解法1:
,,
---------------4分
∴+
解得:
∴点P的坐标为(1,3)或(8,-4)------------7分
解法2:在Rt△OPC中,PQ⊥OC,
∴ △OPQ∽△PCQ
∴---------------4分
∴ ,解得:
∴点P的坐标为(1,3)或(8,-4)------------7分
(3) 当直线AB经过点O时,∠OPC不存在。
当直线AB经过点C时,过点O作AB的垂线有且只有一条,即满足∠OPC=90°成立的点P是唯一的,将点C(10,0)代入中,解得 -----------------9分
当直线AB不经过点C时,由于点P唯一,所以k>0. 如图,给出两种解法:
解法1:设P(x,kx+4),显然0