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  • 2021-05-13 发布

中考第一轮复习二次根式专题训练

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第4讲 二次根式 考纲要求 命题趋势 ‎1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2=a(a≥0).‎ ‎2.能用二次根式的性质=|a|来化简根式.‎ ‎3.能识别最简二次根式、同类二次根式.‎ ‎4.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.‎ ‎  二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一,常常以客观题形式进行考查,重点要求熟练掌握基本运算.二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值,尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.‎ 知识梳理 一、二次根式 ‎1.概念 形如________的式子叫做二次根式.‎ ‎2.二次根式有意义的条件 要使二次根式有意义,则a≥0.‎ 二、二次根式的性质 ‎1.()2=a(______).‎ ‎2.=|a|= ‎3.=______(a≥0,b≥0).‎ ‎4.=______(a≥0,b>0).‎ 三、最简二次根式、同类二次根式 ‎1.概念 我们把满足被开方数不含分母,被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式,叫做最简二次根式.‎ ‎2.同类二次根式的概念 几个二次根式化成________________以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.‎ 四、二次根式的运算 ‎1.二次根式的加减法 合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,若有同类二次根式,可把同类二次根式合并成一个二次根式.‎ ‎2.二次根式的乘除法 ‎(1)二次根式的乘法:·=____(a≥0,b≥0).‎ ‎(2)二次根式的除法:=____(a≥0,b>0).‎ 自主测试 ‎1.使有意义的x的取值范围是(  )‎ A.x> B.x>- C.x≥ D.x≥- ‎2.已知y=+-3,则2xy的值为(  )‎ A.-15 B.15 C.- D. ‎3.下列二次根式中,与是同类二次根式的是(  )‎ A. B. C. D. ‎4.下列运算正确的是(  )‎ A.=±5 B.4-=1‎ C.÷=9 D.·=6‎ ‎5.估计的值(  )‎ A.在2到3之间 B.在3到4之间 C.在4到5之间 D.在5到6之间 ‎6.化简:-+.‎ 考点一、二次根式有意义的条件 ‎【例1】若使有意义,则x的取值范围是________.‎ 解析:x+1与2-x都是二次根式的被开方数,都要大于等于零.又因2-x不能为零,可得不等式组解得-1≤x<2.‎ 答案:-1≤x<2‎ 方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时,首先考虑被开方数为非负数,其次还要考虑其他限制条件,如分母不等于零,最后解不等式(组).‎ 触类旁通1 要使式子有意义,则a的取值范围为__________.‎ 考点二、二次根式的性质 ‎【例2】把二次根式a化简后,结果正确的是(  )‎ A. B.- C.- D. 解析:要使a有意义,必须->0,即a<0.‎ 所以a=a==-.‎ 答案:B 方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围,那么应在这个范围内对根式进行化简,如果题目中没有给出明确的取值范围,那么应注意对题目条件的挖掘,把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来,在允许的取值范围内进行化简.‎ 触类旁通2 如果=1-2a,则(  )‎ A.a< B.a≤ C.a> D.a≥ 考点三、最简二次根式与同类二次根式 ‎【例3】(1)下列二次根式中,最简二次根式是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)在下列二次根式中,与是同类二次根式的是(  )‎ A. B. C. D. 解析:(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式,C选项中的被开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故B选项正确;(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后,可得出=|a|,=a,=a2,结合同类二次根式的概念,可得出与是同类二次根式.‎ 答案:(1)B (2)C 方法总结 1.最简二次根式的判断方法:‎ 最简二次根式必须同时满足如下条件:‎ ‎(1)被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不应含有根号);‎ ‎(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式,即被开方数的因数或因式的指数都为1.‎ ‎2.判断同类二次根式的步骤:先把所有的二次根式化成最简二次根式;再根据被开方数是否相同来加以判断.要注意同类二次根式与根号外的因式无关.‎ 触类旁通3 若最简二次根式与是同类二次根式,则ab=__________.‎ 考点四、二次根式的运算 ‎【例4】计算:(-)÷.‎ 解:原式=(5-2)÷=3÷=3.‎ 方法总结 1.二次根式加减法运算的步骤:(1)将每个二次根式化成最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式.‎ ‎2.二次根式乘除法运算的步骤:先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式,再化简;最后结果要化为最简二次根式或整式或分式.‎ ‎1.(2012湖南株洲)要使二次根式有意义,那么x的取值范围是(  )‎ A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2‎ ‎2.(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在(  )‎ A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 ‎3.(2012浙江杭州)已知m=×(-2),则有(  )‎ A.5<m<6 B.4<m<5‎ C.-5<m<-4 D.-6<m<-5‎ ‎4.(2012广东)若x,y为实数,且满足|x-3|+=0,则2 012的值是__________.‎ ‎5.(2012四川德阳)有下列计算:①(m2)3=m6,②=2a-1,③m6÷m2=m3,④×÷=15,⑤2-2+3=14,其中正确的运算有__________.(填序号)‎ ‎1.下列各式计算正确的是(  )‎ A.+= B.2+=2 C.3-=2 D.=- ‎2.估计×+的运算结果在(  )‎ A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.4到5之间 ‎3.若a<1,化简-1等于(  )‎ A.a-2 B.2-a C.a D.-a ‎4.已知实数a满足|2 011-a|+=a,则a-2 0112的值是(  )‎ A.2 011 B.2 010‎ C.2 012 D.2 009‎ ‎5.计算2-6+的结果是(  )‎ A.3-2 B.5- C.5- D.2 ‎6.若+(y-2 012)2=0,则xy=__________.‎ ‎7.当-1<x<3时,化简:+=__________.‎ ‎8.如果代数式有意义,则x的取值范围是________.‎ ‎9.计算:(-3)0+×=__________.‎ ‎10.计算:-1-2-(π-)0+|-1|.‎ ‎11.计算:(+)(-)-|1-|.‎ ‎12.计算:(-3)0-+|1-|+ .‎ 参考答案 导学必备知识 自主测试 ‎1.C 由题意得3x-1≥0,所以x≥.‎ ‎2.A 由题意得2x-5≥0且5-2x≥0,解得x=,此时y=-3,所以2xy=2××(-3)=-15.‎ ‎3.B =3,=3,=,=.‎ ‎4.D =5,4-=4-3=,÷==3,·===6.‎ ‎5.B 因为3=,4=,<<,所以在3到4之间.‎ ‎6.解:原式=3-2+==.‎ 探究考点方法 触类旁通1.a≥-2且a≠0 由题意,得解得a≥-2且a≠0.‎ 触类旁通2.B 因为二次根式具有非负性,‎ 所以1-2a≥0,解得a≤,故选B.‎ 触类旁通3.1 由题意,得解得 ‎∴ab=1.‎ 品鉴经典考题 ‎1.C 因为二次根式有意义,则2x-4≥0,所以x≥2.‎ ‎2.B 因为面积是15,则边长为,则边长大小在3与4之间.‎ ‎3.A m=×(-2)==×3=2=,∵<<,∴5<<6,即5<m<6,故选A.‎ ‎4.1 由题意得x-3=0,y+3=0,则x=3,y=-3,所以2 012=(-1)2 012=1.‎ ‎5.①④⑤ ②==|2a-1|,③m6÷m2=m6-2=m4,这两个运算是错误的.‎ 研习预测试题 ‎1.C A项中与不是同类二次根式,B项中2与不是同类二次根式,C项中3-=(3-1)=2,D项中原式=-=-=-.‎ ‎2.C 原式=2+,1<<2,所以3<2+<4.‎ ‎3.D -1=|a-1|-1=1-a-1=-a.‎ ‎4.C 由算术平方根的意义知,a≥2 012,则2 011-a<0,‎ ‎∴a-2 011+=a.∴=2 011.‎ ‎∴a-2 012=2 0112,‎ ‎∴a-2 0112=2 012.‎ ‎5.A 原式=2×-6×+2=-2+2=3-2.‎ ‎6.1 因为由题意得x+1=0,y-2 012=0,所以x=-1,y=2 012,所以xy=(-1)2 012=1.‎ ‎7.4 原式=+=|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4.‎ ‎8.x>3‎ ‎9.解:原式=1+2×=1+6=7.‎ ‎10.解:原式=-2-1+1=-.‎ ‎11.解:原式=()2-()2-(-1)=3-2-+1=2-.‎ ‎12.解:原式=1-3+-1+-=-2.‎