中考尺规作图及衍生题型 13页

尺规作图及衍生题型 1、 垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等 2、 角平分线上任意一点到角两边的距离相等 3、 轴对称 4、 旋转 5、 圆 6、 等腰三角形、直角三角形（等腰两圆一线，，直角画圆，点到直线的距离判断点的个数）‎ 7、 固定角（两定点，一动点形成固定角，常用手段确定圆心、半径画圆）‎ 8、 面积等分 9、 黄金分割 10、 相似及位似 类型一 ‎1、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．‎ 要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．‎ ‎2、如图，在平面直角坐标系中，点A（0,8），点B（6,8）.‎ ‎ (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）‎ ‎ ①点p到A，B两点的距离相等；‎ ‎ ②点P到∠xoy的两边的距离相等. ‎ ‎ (2)直接写出点P的坐标.‎ ‎3、尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树。如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎4、如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接.若的周长为10，，则的周长为（ ）‎ ‎ A.7 B.14 C.17 D.20‎ 类型二 A B C D ‎1、如图所示，AB//CD,∠ACD=．‎ ‎⑴用直尺和圆规作∠C的平分线CE,交AB于E,并在CD 上取一点F，使AC=AF，再连接AF,交CE于K；‎ ‎（要求保留作图痕迹，不必写出作法）‎ ‎⑵依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形﹒‎ ‎（图中不再增加字母和线段，不要求证明）‎ ‎2、（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）‎ ‎（2）如图2，在10×10的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），‎ ‎①依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是 ▲ .‎ ‎②在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；‎ 此时，点P的坐标为 ▲ ，最短周长为 ▲ .‎ ‎ A F 图1 图2‎ ‎ AO B x ‎ y ‎ ‎ ‎ ‎ D ‎ ‎ ‎ O E B C ‎ ‎ ‎3、已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．‎ ‎(1) 求点B的坐标；‎ ‎(2) 若点Q为直线OC上一点，且S△QAC＝3S△AOC，求点Q的坐标；‎ ‎(3) 如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．‎ ‎① 在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；‎ ‎(保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)‎ ‎② 求点P的坐标．‎ C O A D x y B ‎（备用图）‎ C O A D x y B ‎（图2）‎ C O A x y B ‎（图1）‎ 类型三 A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．‎ ‎（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．‎ ‎（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．‎ 类型四 ‎1、我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．‎ ‎（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①‎ ‎（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．‎ ‎ （保留必要的作图痕迹）‎ 图① 图②‎ ‎2、如图，在△BDE中，∠BDE=90º,BD=,点D的坐标是（5,0）∠BDO=15º,将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标是____________‎ 类型五 ‎1、如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．‎ ‎（1）请你用直尺圆规画出来(要求用直尺和圆规作用，保留作图痕迹，不要求写作法)．‎ ‎（2）若AC=BC=4，求半圆的半径. ‎ ‎2、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。‎ ‎（1）请完成如下操作：‎ ‎①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。‎ ‎（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：‎ ‎①写出点的坐标：C 、D ；‎ ‎②⊙D的半径= （结果保留根号）；‎ ‎③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；‎ ‎④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。‎ ‎3、如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．‎ ‎（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．‎ ‎4、如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠＝54°，则∠1的大小为C ‎（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°．‎ ‎5、如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________． ‎ ‎(第11题)‎ B A M O 类型六 ‎1、用尺规作图的方法(作垂线可用三角板)找出符合下列要求的点.(保留作图痕迹)‎ ‎(1)在图1中的直线m上找出所有能与A,B两点构成等腰三角形的点P,并用等表示;‎ ‎(2) 在图2中的直线m上找出所有能与A,B两点构成直角三角形的点Q,并用等表示;‎ ‎ ‎ ‎ ( 图1) ( 图2)‎ ‎ (备用图) (备用图)‎ ‎2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。‎ ‎（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°‎ ‎（第23题图①）‎ ‎①作图：‎ ‎②猜想：‎ ‎③验证：‎ ‎（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.‎ ‎（第23题图②）‎ ‎①作图：‎ ‎②猜想：‎ ‎③验证：‎ 类型七 ‎1、画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为.‎ ‎（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）.‎ 已知：‎ 求作：‎ ‎2、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．‎ ‎⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．‎ ‎⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．‎ ‎①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．‎ B B B C C C A A A D P E ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎(第27题)‎ ‎3、已知A(-2，0)，B(6,0)，点P为y轴上一点 （1） 当∠APB=90°，则点P的坐标是______‎ ‎（2）当∠APB=45°，则点P的坐标是______‎ ‎（3）当∠APB=135°，则点P的坐标是______‎ ‎4、如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为　 　米．‎ ‎5、如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　_________　．‎ 类型八 ‎1、操作与实践 （1） 如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线 （2） 如图2，已知L1∥L2,点E,F在L1上，点G,H在L2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等 （3） 如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线 ‎2、如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．‎ ‎(Ⅰ) 该正方形的边长为_________。(结果保留根号)‎ ‎(Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，‎ 并简要说明剪拼的过程：_________。‎ ‎3、阅读理解：如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，容易证明：△ABC面积=△ABD面积。‎ 根据上述内容解决以下问题：已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF． （1）如图（2），当点G与点D重合时，△BDF的面积为 （2）如图（3），当点G是CD的中点时，△BDF的面积为 ‎ 探索应用：小张家有一块正方形的土地如图（4），由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域．现决定在DP右侧补给小张一块土地，补偿后，土地变为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BP上，请你在图中画出M点的位置，并简要叙述作法．‎ ‎4、我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”‎ （1） 试说明直线AE是“好线”的理由； （2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）‎ ‎5、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．‎ 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”．‎ 尝试解决：‎ ‎ A B C ‎ A B C ‎ 图 1 图 2‎ ‎ （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．‎ ‎（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．‎ ‎（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．‎ 类型九 ‎（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）‎ ‎（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．‎ ‎（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）‎ 类型十 ‎1、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．‎ ‎(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则平移后点M的对应点M1的坐标为 ．‎ ‎(3)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标： ．‎ M A E B P ‎①‎ A B C O x y ‎2、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，‎ 点A、B、C均落在格点上. ‎ ‎（Ⅰ）△ABC的面积等于 ；‎ ‎（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正 方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正 方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）　　　　　　　.‎