中考数学试卷分类汇编四边形综合 13页

四边形综合 ‎1、（2013•湘西州）下列说法中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 同位角相等 B．‎ 对角线相等的四边形是平行四边形 ‎　‎ C．‎ 四条边相等的四边形是菱形 D．‎ 矩形的对角线一定互相垂直 考点：‎ 菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．‎ 分析：‎ 根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．‎ 解答：‎ 解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；‎ B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；‎ C、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；‎ D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．‎ ‎2、（2013陕西）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 .（结果保留根号）‎ A B D C O H G 第14题图文并茂 考点：三角形面积的求法及特殊角的应用。‎ 解析：BD平分AC，所以OA=OC=3，因为∠BOC=120°，‎ 所以∠DOC=∠A0B=60°，过C作CH⊥BD于H，‎ 过A作AG⊥BD于G，在△CHO中，∠C0H=60°，‎ OC=3，所以CH=，同理：AG=， ‎ 所以四边形ABCD的面积=。‎ ‎3、(2013河南省)如图，在等边三角形中，,射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为 ‎（1）连接，当经过边的中点时，求证：‎ ‎ 证明：∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵是边的中点 ‎ ∴‎ 又∵‎ ‎ ∴‎ ‎（2）填空：‎ ‎ ①当为 s时，四边形是菱形；‎ ‎ ②当为 s时，以为顶点的四边形是直角梯形。‎ ‎【解析】①∵当四边形是菱形时，∴‎ ‎ 由题意可知：，∴‎ ‎ ②若四边形是直角梯形，此时 ‎ 过作于M，，可以得到，‎ ‎ 即，∴，‎ ‎ 此时，重合，不符合题意，舍去。‎ ‎ 若四边形若四边形是直角梯形，此时，‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，‎ ‎ ∴，得到 ‎ 经检验，符合题意。‎ ‎【答案】① ②‎ ‎4、（2013• 德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；‎ ‎（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=‎100米，AC=AE，求BE的长．‎ 考点：‎ 四边形综合题．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接 AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；‎ ‎（2）BE=CD，理由与（1）同理；‎ ‎（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．‎ 解答：‎ 解：（1）完成图形，如图所示：‎ 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，‎ ‎∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，‎ ‎∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，‎ ‎∵在△CAD和△EAB中，‎ ‎，‎ ‎∴△CAD≌△EAB（SAS），‎ ‎∴BE=CD；‎ ‎（2）BE=CD，理由同（1），‎ ‎∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，‎ ‎∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，‎ ‎∴∠CAD=∠EAB，‎ ‎∵在△CAD和△EAB中，‎ ‎，‎ ‎∴△CAD≌△EAB（SAS），‎ ‎∴BE=CD；‎ ‎（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，‎ 则AD=AB=‎100米，∠ABD=45°，‎ ‎∴BD=‎100‎米，‎ 连接CD，则由（2）可得BE=CD，‎ ‎∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，‎ 在Rt△DBC中，BC=‎100米，BD=‎100‎米，‎ 根据勾股定理得：CD==‎100‎米，‎ 则BE=CD=‎100‎米．‎ 点评：‎ 此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎5、（2013•绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．‎ ‎（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．‎ ‎（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．‎ ‎①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？‎ ‎②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．‎ 考点：‎ 四边形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）答案不唯一，根据已知举出即可；‎ ‎（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；‎ ‎②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；‎ ‎（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．‎ 理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，‎ ‎∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，‎ ‎∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，‎ ‎∴=，==，==，==，‎ ‎∵AM=20，BC=25，‎ ‎∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，‎ ‎∴MN=GN=GH=HE=4，‎ ‎∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，‎ 即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，‎ ‎∴以B1C1为一边的矩形不是方形；‎ ‎②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，‎ ‎∴△ABC∽△AB3C3，‎ ‎∴==，‎ 则AG=h，‎ ‎∴MN=GN=GH=HE=h，‎ 当B3C3=2×h，时，=；‎ 当B3C3=×h时，=．‎ 综合上述：BC与BC边上的高之比是或．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．‎ ‎6、（2013•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．‎ ‎（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；‎ ‎（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；‎ ‎①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．‎ ‎②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 四边形综合题 分析：‎ ‎（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；‎ ‎（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；‎ ‎②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，‎ ‎∴∠ADF=∠DCN．‎ 在△ADF与△DNC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△DNC（ASA），‎ ‎∴DF=MN．‎ ‎（2）解：①该命题是真命题．‎ 理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．‎ ‎∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，‎ ‎∴，‎ ‎∴AE=EC，则AE=AC=a，‎ ‎∴t==a．‎ 则CM=1•t=a=CD，‎ ‎∴点M为边CD的三等分点．‎ ‎②能．理由如下：‎ 易证AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．‎ 易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．‎ ‎∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．‎ 若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：‎ ‎（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，‎ ‎∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意．‎ ‎∴此种情形不存在；‎ ‎（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，‎ ‎∴t=a，此时点F与点B重合；‎ ‎（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：‎ 易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；‎ 又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．‎ ‎∴=a﹣t，‎ ‎∴t=a，此时点F与点C重合．‎ 综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．‎ ‎7、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．‎ ‎（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；‎ ‎（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．‎ 考点：‎ 四边形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；‎ ‎（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，‎ ‎（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．‎ ‎∵∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=60°．‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴△ADB是等腰三角形．‎ 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，‎ ‎∴∠BDC=∠C=75°，‎ ‎∴△BCD为等腰三角形，‎ ‎∴BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）由题意作图为：图2，图3‎ ‎（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，‎ ‎∴△ACD是等腰三角形．‎ ‎∵AB=AD=BC，‎ 如图4，当AD=AC时，‎ ‎∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ‎∴△ABC是正三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=60°．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠CAD=30°，‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=75°，‎ ‎∴∠BCD=60°+75°=135°．‎ 如图5，当AD=CD时，‎ ‎∴AB=AD=BC=CD．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCD=90°‎ 如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，‎ ‎∵AC=CD．CE⊥AD，‎ ‎∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．‎ ‎∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，‎ ‎∴四边形ABFE是矩形．‎ ‎∴BF=AE．‎ ‎∵AB=AD=BC，‎ ‎∴BF=BC，‎ ‎∴∠BCF=30°．‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC．‎ ‎∵AB∥CE，‎ ‎∴∠BAC=∠ACE，‎ ‎∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，‎ ‎∴∠BCD=15°×3=45°．‎ 点评：‎ 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．‎ ‎8、(2013年武汉)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． ‎ ‎（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ‎ ‎（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； ‎ ‎（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ‎ ‎ ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．‎ ‎（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下： ‎ ‎ 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．‎ ‎ ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，‎ ‎ ∵∠B+∠EGC＝180°，‎ ‎∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．‎ ‎ ∴△ADE∽△DCM，‎ ‎∴，即．‎ ‎（3）．‎ ‎9、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．‎ ‎（1）求证：∠APE=∠CFP；‎ ‎（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．‎ ‎①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；‎ ‎②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．‎ 考点：四边形综合题．‎ 分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；‎ ‎（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．‎ ‎①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；‎ ‎②注意中心对称、轴对称的几何性质．‎ 解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，‎ ‎∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；‎ 而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，‎ 则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，‎ ‎∴∠APE=∠CFP．‎ ‎（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，‎ ‎∴△APE∽△CPF，则．‎ 而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，‎ 又∵P为对称中心，则AP=CP=，‎ ‎∴AE===．‎ 如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，‎ P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．‎ S△APE==×2×=，‎ ‎∵阴影部分关于直线AC轴对称，‎ ‎∴△APE与△APN也关于直线AC对称，‎ 则S四边形AEPN=2S△APE=；‎ 而S2=2S△PFC=2×=2x，‎ ‎∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x，‎ ‎∴y===+﹣1．‎ ‎∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，‎ ‎∴2≤x≤4．‎ 令=a，则y=﹣‎8a2+‎8a﹣1，当a==，即x=2时，y取得最大值．‎ 而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．‎ ‎∴y关于x的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．‎ ‎②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，‎ 而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，‎ 则EB=BF，即AE=FC，‎ ‎∴=x，解得x=，‎ 代入x=，得y=﹣2．‎ 点评：‎ 本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．　‎ ‎ ‎ 结束