2020中考数学试题分类汇编 知识点12 一元二次方程 19页

一元二次方程 一、选择题 ‎1. （2018四川泸州，9题，3分）已知关于x的一元一次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 　 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知，△＞0，即 (-2)2-4(k-1)＞0，解得k＜2‎ ‎【知识点】一元二次方程跟的判别式，解不等式 ‎2. （2018安徽省，7，4分）若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为（ ）‎ A. ‎ B‎.1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．‎ 解：原方程可变形为x+（a+1）x=0．‎ ‎∵该方程有两个相等的实数根，‎ 19‎ ‎∴△=（a+1）﹣4×1×0=0，‎ 解得：a=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况 ‎3. （2018甘肃白银，7，3） 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】:∵方程有两个实数根，∴，解得：。‎ 故选C ‎【知识点】一元二次方程根的判别式。一元二次方程有两个不相等的实数根，则，一元二次方程有两个相等的实数根，则，一元二次方程没实数根，则。这里题干中说有两个实数根，则根的判别式应是大于或等于0.这是不少同学易错之处。‎ ‎4. （2018湖南岳阳，11，4分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】k＜1.‎ ‎【解析】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=22-4k＞0，解得k＜1.‎ 故答案为k＜1..‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式的应用 ‎5. （2018山东潍坊，11，3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 19‎ x1，x2．若 则m的值是（ ） ‎ A．2 B．－‎1 ‎ C．2或－1 D．不存在 ‎【答案】A ‎【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，从而求出m的取值范围，结合一元二次方程根与系数的关系代入求出m的值，再根据取值范围进行取舍即可.‎ ‎【解题过程】解：由题意得:,‎ 解得：m＞－1.‎ ‎.‎ 解得：m1=2，m2=－1(舍去)‎ 所以m的值为2，故选择A.‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 ‎6.（2018江苏泰州，5，3分）已知、是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是( )‎ A. B. C. D.，‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵△=，∴无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”得，∴异号，故选A.‎ ‎【知识点】根的判别式，根与系数的关系 ‎7. （2018江苏省盐城市，8，3分）已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一根为1，则k的值为（ ）．‎ A．－2 B．‎2 C．－4 D．4‎ ‎【答案】B 19‎ ‎【解析】把x＝1代入一元二次方程，得12＋k－3＝0，解得k＝2．故选B．‎ ‎【知识点】一元二次方程的根 ‎8. （2018山东临沂，4，3分）一元二次方程配方后可化为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由y2－y－=0得y2－y=，配方得y2－y＋=＋，∴(y－)2=1，故选B.‎ ‎【知识点】一元二次方程的解法 配方法 ‎9.（2018四川省宜宾市，4，3分）一元二次方程x2 –2x=0的两根分别为x1和x2 , 则为x1 x2为（ ）‎ A.-2 B‎.1 C.2 D.0‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据根于系数的关系可知x1+x2==0，故选择D.‎ ‎【知识点】一元二次方程根于系数的关系 ‎1. (2018山东菏泽，5，3分)关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C．且 D．且 ‎【答案】D ‎【解析】△=b2－4ac=(－2)2－4(k+1)≥0，解得k≤0，又∵k+1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1．故选D．‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式 ‎2. （2018贵州遵义，9题，3分）已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为 19‎ A.4 B.‎-4 C.3 D.-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2=-b，x1x2=-3，又因为x1+x2-3x1x2=5，代入可得-b-3×(-3)=5，解得b=4，故选A ‎【知识点】一元二次方程根与系数的关系 ‎3. （2018江苏淮安，7，3） 若关于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是 A.-1 B‎.0 ‎C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析： 本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式为零，进而可得k的值.‎ 解：由一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根 所以根的判别式，解得：k=0 ‎ 故选：B．‎ ‎【知识点】一元二次方程；一元二次方程根的判别式 ‎4. （2018福建A卷，10，4）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( )‎ A．1一定不是关于的方程的根 ‎ B.0一定不是关于的方程的根 ‎ C.1和-1都是关于的方程的根 ‎ D. 1和-1不都是关于的方程的根 19‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于、的等式，再逐一判断根的情况即可. 解：由关于的方程有两个相等的实数根，所以△=0，所以，，解得或，∴1是关于的方程的根，或-1是关于的方程的根；另一方面若1和-1都是关于的方程的根，则必有，解得，此时有，这与已知是关于的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于的方程的根，故选D.‎ ‎【知识点】一元二次方程；根的判别式 ‎5. （2018福建B卷，10，4）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( )‎ A．1一定不是关于的方程的根 ‎ B.0一定不是关于的方程的根 ‎ C.1和-1都是关于的方程的根 ‎ D. 1和-1不都是关于的方程的根 ‎【答案】D ‎【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于、的等式，再逐一判断根的情况即可. 解：由关于的方程有两个相等的实数根，所以△=0，所以，，解得或，∴1是关于的方程的根，或-1是关于的方程的根；另一方面若1和-1都是关于的方程的根，则必有，解得，此时有，这与已知 19‎ 是关于的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于的方程的根，故选D.‎ ‎【知识点】一元二次方程；根的判别式 ‎6.（2018河南，7，3分）下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 ‎ ‎（A） （B）　 　　（C）　 （D） ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac;当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根.‎ ‎ 选项A：Δ=b2‎-4ac=62-4×1×9=0；选项B：先将原方程转化为一般式：x2-x=0，则Δ=b2‎-4ac=（-1）2-4×1×0=1>0；选项C：将原方程转化为一般式：x2-2x+3=0，则Δ=b2‎-4ac=（-2）2-4×1×3= -8 < 0；选项D：将原方程转化为一般式：x2-2x+2=0，则Δ=b2‎-4ac=（-2）2-4×1×2= -4 < 0.故选项B正确.‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式 ‎7. （2018四川凉山州，7，4分）若n（n ≠ 0）是关于x的方程的一个根，则m＋n的值是（ ）‎ A.1 B‎.2 C.-1 D.-2 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵n（n ≠ 0）是关于x的方程的一个根，∴，∴，‎ ‎∵n ≠ 0，∴，∴故选择D.‎ ‎【知识点】方程的根，因式分解.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎ ‎11.‎ ‎12.‎ ‎13.‎ 19‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎19.‎ ‎20.‎ ‎21.‎ ‎22.‎ ‎23.‎ ‎24.‎ ‎25.‎ ‎26.‎ ‎27.‎ ‎28.‎ ‎29.‎ ‎30.‎ ‎31.‎ ‎32.‎ ‎33.‎ ‎34.‎ ‎35.‎ ‎36.‎ ‎37.‎ ‎38.‎ 19‎ ‎39. ‎ 二、填空题 ‎1.（2018四川泸州，题，3分） 已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由韦达定理可得x1+x2=2，x1x2=-1，‎ ‎【知识点】韦达定理，分式加减 ‎2.（2018山东滨州，17，5分）若关于x，y的二元二次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，对比两个方程组得出方程组，所以．‎ ‎【知识点】整体思想，二元一次方程组加减消元法 ‎3. （2018四川内江，15，5）关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有实数根，则k的取值范围是 ． ‎ ‎【答案】k≥－4‎ 19‎ ‎【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有实数根，∴△＝b2－4ac＝42－4×1×(－k)≥0，解得k≥－4．‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式 ‎4. （2018四川内江，22，6）已知关于x的方程＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，则方程＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【思路分析】将方程＋b（x＋1）＋1＝0中的（x＋1）换元成y，原方程化为ay2＋by＋1＝0，再由方程＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，可知ay2＋by＋1＝0的两根也分别为1和2，将y换回(x＋1)就可以求出原方程的两个根，从而得出两根之和． ‎ ‎【解题过程】解：令（x＋1）＝y，则原方程变形为ay2＋by＋1＝0，∵方程ax2＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，∴＝1，＝2，即x＋1＝1，x＋1＝2，∴＝0，＝1，∴＋＝1．‎ ‎【知识点】一元二次方程根与系数关系 ‎5. （2018四川绵阳，17，3分） 已知a＞b＞0，且，则= ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由题意得：2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0，‎ 整理得：2()2+-1=0，‎ 解答=，‎ ‎∵a＞b＞0，‎ 19‎ ‎∴=‎ 故答案为 ‎【知识点】分式的加减法，解一元二次方程 ‎6.（2018山东聊城，13，3分）已知关于x的方程有两个相等的实根，则k的值是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵关于x的方程有两个相等的实根，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法 ‎7. （2018四川省南充市，第14题，3分）若是关于的方程的根，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：∵若是关于x的方程的根，∴，原方程整理得：，∴，∵n0，∴即，∴.故答案为：.‎ ‎【知识点】一元二次方程的概念；因式分解 19‎ ‎8. （2018湖南长沙，17题，3分）已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】该方程中，a=1，b=-3，设两根为x1,x2，其中x1=1,由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2==3,x1=1,所以x2=2‎ ‎【知识点】一元二次方程根与系数的关系 ‎9.（2018山东威海，14，3分）关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是______．‎ ‎【答案】m＝4‎ ‎【解析】因为关于x的二元一次方程有实数根，所以△＝22－4(m－5)·2＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5．5且m≠5，这样的最大整数解为4．‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的特殊解 ‎10. （2018山东烟台，17，3分）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m－1=0的实数根，满足，则m的取值范围是 .‎ ‎【答案】3＜m≤5‎ ‎【解析】∵是x2－4x+m－1=0的两根，∴，又∵，∴，∴∴．又∵△=b2－4ac=(－4)2－4(m－1)≥0，∴m≤5，∴3＜m≤5．‎ ‎【知识点】一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）；一元二次方程根的判别式.1. （2018湖南郴州，13，3）已知关于的一元二次方程有一个根为-3，则方程的另一个根为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根之积为－6，根据一个根是-3，即可求出方程的另一根．设方程的另一根为x2，则-3x2=－6，解得：x2=2．‎ ‎【知识点】一元二次方程根与系数的关系 19‎ ‎2. （2018湖南益阳，17，4分）规定，如：，若，则x= ． ‎ ‎【答案】－3或1‎ ‎【思路分析】根据规定的运算顺序，把化为熟悉的一元二次方程，然后再解方程即可．‎ ‎【解析】解：∵，∴，，解得：x1=－3，x2=1．‎ ‎【知识点】新定义型，一元二次方程 ‎3. （2018甘肃天水，T15，F4）关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0，则k的值是____. ‎ ‎【答案】0.‎ ‎【解析】∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0，‎ ‎∴k2-k=0，且k-1≠0，‎ 解得k=1或k=0，且k≠1，‎ 则k=0.‎ ‎【知识点】一元二次方程的根及定义 ‎4. （2018江苏淮安，10，3）—元二次方程x2-x=0的根是 .‎ ‎【答案】x1=0,x2=1‎ ‎【解析】分析：本题考查解一元二次方程，根据本题的特点，运用因式分解法较为简洁.‎ 解：x2-x=0‎ x(x-1)=0.‎ ‎∴x=0或x=1‎ 故答案为x1=0,x2=1‎ ‎【知识点】解一元二次方程---因式分解法 19‎ ‎5. （2018江西，11，3分）一元二次方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2则x－4x1＋2x1x2的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，∴x－4x1＋2＝0，即x－4x1＝－2，x1x2＝2，‎ ‎∴x－4x1＋2x1x2＝－2＋2×2＝2‎ ‎【知识点】一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系 ‎6.（2018山东德州，14，4分）若是一元二次方程的两个实数根，则= ．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】因为，，所以=-3.‎ ‎【知识点】一元二次方程根与系数的关系 ‎7. （2018湖北荆州，T16，F3）关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且,则的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【思路分析】①利用根与系数的关系，表示出两根之和，两根之积.②利用完全平方公式求出两根之积.③代入到要求的式子中.‎ ‎【解析】由根与系数的关系可知：x1+x2=2k, x1x2=k2-k, ∴，‎ ‎∴，把代入得，x1x2=，∴=.‎ ‎【知识点】根与系数的关系、完全平方公式、‎ ‎8. （2018 湖南张家界，13，3分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .‎ ‎【答案】‎ 19‎ ‎【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴. 解得k=.‎ ‎【知识点】根的判别式 ‎9.（2018湖北荆门，14，3分）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．‎ ‎【答案】-3.‎ ‎【解析】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，‎ ‎∴4k+2(k2-2)+2k+4=0，‎ ‎∴2k2+6k=0，‎ ‎∴k=-3.‎ 故答案为-3.‎ ‎【知识点】一元二次方程的解，解一元二次方程 ‎10. （2018浙江省台州市，12，5分） ‎ 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，所以 ‎，解得 ‎【知识点】一元二次方程根的判别式 19‎ 三、解答题 ‎1. （2018四川省成都市，16，6）若关于x的一元二次方程：－（‎2a＋1）x＋＝0有两个不相等的实数根，‎ 求a的取值范围．‎ ‎【思路分析】利用根的判别式△＝，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，代入得到关于a的不等式，解这个不等式便可求出a的取值范围． ‎ ‎【解题过程】解：由题意可知，△＝－4×1×＝－4＝4a＋1．‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4a＋1＞0，解得a＞－．‎ ‎【知识点】一元二次方程；根的判别式；‎ ‎2. （2018浙江绍兴，17②，4分）（2）解方程：.‎ ‎【思路分析】直接利用一元二次方程的求根公式，把、、的值代入即可 ‎【解题过程】‎ ‎，，‎ ‎＞0‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎【知识点】一元二次方程的解法-公式法。‎ 19‎ ‎1. （2018内蒙古呼和浩特，23，10分）已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根、，请你用配方法探索有实数根的条件，并推到求根公式，证明 。‎ ‎【思路分析】解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松. 证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理 ‎【解析】解：∵，把方程两边同时除以a，‎ 得：，‎ 配方，得：，‎ ‎∵，∴ ，‎ 当时，方程有两个实数根，，.‎ ‎∴=.‎ ‎【知识点】配方法解一元二次方程 ‎2. （2018四川遂宁，19，8分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两个实数根，满足，求a的取值范围.‎ ‎【思路分析】首先根据一元二次方程有两个实数根，可得出△=b2-4ac≥0，进而得出a的范围，然后根据根与系数的关系以及可得出a的范围，进而得出答案.‎ ‎【解析】‎ 解：∵该一元二次方程有两个实数根，‎ ‎∴△=b2-4ac≥0，‎ ‎∴（-2）2-4×1×a≥0，‎ 19‎ ‎∴4-4a≥0，‎ ‎∴a≤1.‎ 又由根与系数的关系可得：=a，=2，‎ 且，‎ ‎∴a+2＞0，‎ ‎∴a＞-2，‎ ‎∴-2＜a≤1.‎ ‎【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程跟与系数的关系，解一元一次不等式 ‎3. （2018·北京，20，5）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0．‎ ‎ （1）当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；‎ ‎ （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．‎ ‎【思路分析】（1）先算出该方程的根的判别式△的值，再将b＝a＋2代入并判断判别式的符号，最后根据一元二次方程的根的判别式定理，就能判断该方程的根的情况了；（2）本题答案不唯一，只要取一组a，b的值，使方程的根的判别式的值为0即可，然后再解此方程即可．‎ ‎【解题过程】解：（1）∵b＝a＋2，‎ ‎ ∴△＝b2－4×a×1＝(a＋2)2－‎4a＝a2＋4＞0．‎ ‎ ∴原方程有两个不相等的实数根．‎ ‎ （2）答案不唯一，如当a＝1，b＝2时，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1．‎ ‎【知识点】一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式 ‎4. （2018广西玉林，21题，6分）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根 ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）给k取一个负整数值，解这个方程。‎ ‎【思路分析】（1）因为原方程有两个不相等的实数根，所以△‎ 19‎ ‎>0，解得k>-3；（2）取k=-2，得到一元二次方程，解方程即可。‎ ‎【解题过程】（1）因为原方程有两个不相等的实数根，所以△>0，即4+4(k+2)>0，得k>-3；（2）取k=-2，原方程化为x2-2x=0，x(x-2)=0，所以x1=0，x2=2‎ ‎【知识点】根的判别式，一元二次方程 19‎