中考攻略专题动态几何之定值问题探讨 36页

‎【2013年中考攻略】专题19：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。‎ 结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。‎ 一、线段（和差）为定值问题：‎ 典型例题：‎ 例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．‎ ‎（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）．‎ ‎（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．‎ ‎【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：‎ 连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。‎ 又∵CD=AB=3，BC=4，∴。‎ ‎∵S△BCD=BC•CD=BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK=。‎ ‎∵S△BCE=BE•CK，S△BEP=PR•BE，S△BCP=PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，‎ ‎∴BE•CK=PR•BE＋PQ•BC。‎ 又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。‎ 又∵CK=，∴PR＋PQ=。‎ ‎（3）图3中的结论是PR－PQ=．‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。‎ ‎【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。‎ ‎（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。‎ 连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=。‎ 例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．‎ ‎①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；‎ ③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线，‎ ‎∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。‎ ‎（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：‎ 对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。‎ ‎②存在实数k，使△ABP为等边三角形．‎ ‎∵，∴顶点P（2，－k）．‎ ‎∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2‎ 要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=，‎ ‎∴k=±。‎ ③线段EF的长度不会发生变化。‎ ‎∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，‎ ‎∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。‎ ‎∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。‎ ‎（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。‎ ‎ ②当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值。‎ ③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。‎ 例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。‎ 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。‎ ‎（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：‎ 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。‎ 由（1）知∠APB=∠BPH，‎ 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。‎ 又∵AB=BC，∴BC=BQ。‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，‎ ‎∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。‎ ‎∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。‎ ‎（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。‎ 又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。‎ 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。‎ ‎∴EM=AP=x．‎ ‎∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，‎ 即。‎ ‎∴。‎ 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴当x=2时，S有最小值6。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。‎ ‎（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。‎ ‎（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。‎ 例4：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.‎ ‎（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，‎ i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；‎ ‎ ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= ；‎ ‎（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由. ‎ ‎【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，‎ ‎ ∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。‎ 又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=。‎ ‎ ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。‎ ‎ 可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°），‎ ‎ 且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。‎ ‎ 故sin∠A=sin∠A=。‎ ‎ （2）保持不变。理由如下：‎ 如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，‎ 在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK。‎ 同理得：BK=AK=PK。‎ ‎∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。‎ ‎∴由（1）ii）sin∠A=可知sin60°=。‎ ‎∴AP=（为定值）。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。‎ ‎【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；‎ ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E= ，得出即可。‎ ‎（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A= ，得出AP=‎ ‎ （定值）即可。‎ 例5：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．‎ ‎ (1)求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎ (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；‎ ‎ (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．‎ ‎【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，‎ 则 解得。‎ ‎∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。‎ ‎ （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，‎ ‎ ∴，∴x22=4(y2+1)。‎ 又∵，∴。‎ 又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。‎ 设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，‎ ‎∴ON=2EF，‎ 即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，‎ ‎∴以ON为直径的圆与相切。‎ ‎（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则，‎ 又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。‎ 又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，‎ ‎∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。‎ ‎∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。‎ 延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，‎ 则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=‎ ‎ ∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。‎ ‎（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。‎ ‎（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。‎ 例6：（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．‎ 理解与作图：‎ ‎（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的 反射四边形EFGH．‎ 计算与猜想：‎ ‎（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？‎ 启发与证明：‎ ‎（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想．‎ ‎【答案】解：（1）作图如下： ‎ ‎（2）在图2中， ，‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。 ‎ 在图3中，，，‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。‎ 猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。‎ ‎（3）延长GH交CB的延长线于点N，‎ ‎∵，，‎ ‎∴。‎ 又∵FC=FC，‎ ‎∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。‎ ‎∴EF=MF，EC=MC。‎ 同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。‎ ‎∵，，，∴。‎ ‎∴GM=GN。‎ 过点G作GK⊥BC于K，则。‎ ‎∴。‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。‎ ‎【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。‎ ‎（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。‎ ‎（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。‎ 例7：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A 到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；‎ ‎（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.‎ ‎（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.‎ 练习题：‎ ‎1. （2011湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．‎ ‎（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点 G（G点不与D点重合）．‎ 求证：BH•GD=BF2‎ ‎（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．‎ 探究：FD+DG=　 　．请予证明．‎ ‎2. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；‎ ‎（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．‎ ‎3. （2011湖南郴州10分）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．‎ ‎（1）求证：△PQE∽△PMF；‎ ‎（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；‎ ‎（3）设BP=，△PEM的面积为，求y关于的函数关系式，当为何值时，有最大值，并将这个值求出来．‎ ‎4. （2011辽宁营口14分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．‎ ‎(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；‎ ‎(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；‎ ‎(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)‎ ‎ (1) (2) ‎ ‎5. （2011贵州遵义12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t ‎（单位：秒，0