2017年度中考数学（操作探究）押轴题专练1 15页

‎ 操作探究 一、选择题 ‎11.如图，菱形OABC的一边OA在x 轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA'B'C'的位置，若OB=2 ，∠C=120°，则点B'的坐标为 ‎ A.（3，） B.（3，—） C.（，） D. （，—）‎ ‎【解题思路】根据∠C=120°得到∠AOB=30°,再根据将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA'B'C'的位置可知∠AO B'=45°,而OB=2 ，所以,过点B'作B'M与x轴垂直，则可以求出点B'的坐标.A,C在第一象限,故不对,而B是计算错误.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【点评】主要考查旋转的性质,解直角三角形以及点的坐标的求法.是一道小知识点的综合题.但是解题思路简单,容易上手．难度中等．‎ ‎1. （2011安徽芜湖，9，4分）如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题思路】由动态的操作过程，不难得到：所求的面积=原正方形面积－减去的正方形面积=( a+4) 2－( a+1) 2=(‎6 a+15) cm2，故选D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【点评】由图形的变化其求图形的面积，是常用的解决数形结合问题的手段，本题的求解关键是在变化的过程中抓住不变的因素，而正确运用乘法公式也是非常重要的环节.难度中等.‎ ‎2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）‎ ‎ ‎C D B(A)‎ A B A B C D 图1‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎ 图形(1) 图形 (2) 图形(3)‎ ‎【解题思路】先画出中的图形(1)(2)(3)关于直线CD的轴对称图形图形 (2)，再画出图形(2) 直线AB的轴对称图形图形(3),根据图形可知选择答案D。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查的是轴对称图形。认真观察图形的特点，理清图形之间的关系是解题的关键，本题难度中等。‎ ‎3.‎ 图(三)的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为 ‎(1,0)、(2,0) 。若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，‎ 下列何者会经过点(75 , 0)？‎ ‎(A) A (B) B (C) C (D) D ‎ ‎【分析】：由于是正五边形，所以在滚动过程中，这个五边形会重复以前的过程，五次一循 环，75是5的倍数，易知此种循环落在点B.‎ ‎【答案】：B ‎【点评】：可以认为是规律循环，动手操作将极易发现特点。难度较小 图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格 线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？‎ ‎(A) 11 (B) 12‎ ‎(C) 13 (D) 14‎ ‎【分析】：通过割补法化不规则图形为规则图形.‎ ‎【答案】：B ‎【点评】：本题关键是如何割补进行转化，见下图。难度较小.‎ 如图(七),将某四边形纸片ABCD的向　方向折过去（其中 ‎＜），使得A点落在　上，展开后出现折线，如图(八)。将B点折向D，使得 B、D两点重迭，如图(九),展开后出现折线，如图(十)。根据图(十)，判断下列关系何 者正确？‎ ‎ ‎ ‎(A) // (B) // (C)∠ADB＝∠BDC (D)∠ADB＞∠BDC ‎【分析】：有折叠可以知道BD是∠ABC的角平分线，BC=CD，∴∠ABD=∠DBC ∠DBC=∠BCD ‎ ‎∴∠ABD=∠BDC , ∴AB∥CD ‎ ‎【答案】：B ‎【点评】：本题考察了角平分线定义、等边对等角、平行线的判定。难度中等 二、填空题 如图，平面内4条直线l1、l2、 l3、 l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 平方单位。‎ ‎【解题思路】如图所示，根据题意，构造的正方形应该有两种情况，左图的面积为3×3=9个平方单位，右图的面积为4个小直角三角形的面积与中间正方形面积的和，即。‎ ‎【答案】9或5‎ ‎【点评】本题设计了利用一组平行线构造正方形的问题，主要考查学生的作图能力和思维的严密性，其中也涉及到全等、勾股定理、面积的计算等有关知识。题目构思巧妙，设计新颖，是一道不可多得的好题。难度中等。‎ C D A B A B C D 把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 。‎ ‎【解题思路】由所分割正方体的棱长是正整数，所以棱长可能为1,2,3，不可能是4.设棱长为1的正方体的个数为x个，分三种情况：（1）棱长为3的正方体0个时，根据题意得，x+8(29-x)=64,x=24;（2）棱长为3的正方体1个时，根据题意得，x+8(28-x)+27=64,x无正整数解；（3）棱长为3的正方体2个时，根据题意得，x+8(27-x)+54=64,x无正整数解。综上所述，棱长为1的正方体的个数为24.‎ ‎【答案】填24.‎ ‎【点评】解答本题的关键是分类讨论和建立方程的思想来解决问题.‎ 三、解答题 ‎4.请将含顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形.‎ ‎【解题思路】从面积上看，菱形的面积为，所以必须保证每个图形的面积为；从图形上看，菱形网格一共有六行，可先将整个菱形分成三等分，再根据图形的特点从不同的角度将其分成两等分.‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】此类问题答案不唯一，画图时一定要满足题目给出的条件.‎ ‎5.）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.‎ 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A‎1A2为第1根小棒.‎ 数学思考：‎ ‎（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）‎ ‎（2）设AA1=A‎1A2=A‎2A3=1.‎ ‎①= 度；‎ ‎②若记小棒A2n‎-1A2n的长度为an（n为正整数，如A‎1A2=a1,A‎3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.‎ 活动二：‎ 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A‎1A2为第1根小棒，且A‎1A2= AA1.‎ 数学思考：‎ ‎（3）若已经向右摆放了3根小棒，则= ，= ，= ；（用含的式子表示）‎ ‎（4）若只能摆放4根小棒，求的范围. ‎ ‎【解题思路】活动一：（1）可以发现A‎1A2∥A‎3A4∥A‎5A6．．．．．．，角度不变，所以小棒能无限摆下去；（2）AA1=A‎1A2=A‎2A3=1，可知△A‎1A2A3是等腰直角形、△AA‎1A2是等腰三解形，所以∠A‎2A1A3=45°=2∠A，即=22.5°，A‎3A4= AA3= AA1+ A‎1A2，同理照此规律可以求出的A2n‎-1A2n长度，当然也可以利用三角形相似去解．活动二：（3）由等腰三角形和三角形外角的性质，很容易求出、、；（4）由（3）的规律（4）摆放4根小棒后=5，是等腰三角形△A‎5A4A6的一个底角，所以5≤90°，由题意只能摆4根小棒，所以又得6＞90°，解得15°＜≤18°．‎ ‎【答案】解：（1）能 ‎（2）①22.5°‎ ‎②方法一：‎ ‎∵AA1=A‎1A2=A‎2A3=1， A‎1A2⊥A‎2A3，∴A‎1A3=，AA3=1+.‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4，∴A‎1A2∥A‎3A4.同理：A‎3A4∥A‎5A6，∴∠A=∠AA‎2A1=∠AA‎4A3=∠AA‎6A5，‎ ‎∴AA3=A‎3A4，AA5=A‎5A6，∴a2= A‎3A4=AA3=1+,a3=AA3+A‎3A5=a2+A‎3A5.∵A‎3A5=a2,‎ ‎∴a3=A‎5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.‎ 方法二：‎ ‎∵AA1=A‎1A2=A‎2A3=1， A‎1A2⊥A‎2A3，∴A‎1A3=，AA3=1+.‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4，∴A‎1A2∥A‎3A4.同理：A‎3A4∥A‎5A6，∴∠A=∠AA‎2A1=∠AA‎4A3=∠AA‎6A5，‎ ‎∴a2=A‎3A4=AA3=1+,又∵∠A‎2A3A4=∠A‎4A5A6=90°，∠A‎2A4A3=∠A‎4A6A5，∴△A‎2A3A4∽△A‎4A5A6，‎ ‎∴，∴a3==(+1)2.‎ an=(+1)n-1.‎ ‎(3)‎ ‎(4)由题意得，∴15°＜≤18°.‎ ‎【点评】本题是一道以摆小棒活动的课题学习，通过学生的动手操作，探究，掌握数学的思维过程、以及数学中的有关内在规律，本题在活动中考查了等腰三角形、勾股定理、外角、相似等知识，阅读量相对较大，字母较多，书写有一定的困难，要求学生有较强的知识迁移能力，分析问题、转化问题的能力，难度较大．‎ 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．‎ 图1 图2‎ 观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．‎ 问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.‎ 图3‎ 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.‎ 图4‎ ‎【解题思路】第（1）题易知△ABC≌△A′C′D，所以BC=A′D，∠CAC′=180°-∠DAC′-∠BAC=90°；第（2）题可以利用（1）题思路证Rt△ABG≌Rt△EAP和Rt△ACG≌Rt△FAQ，可得EP、AQ都等于AG；第（3）题将全等迁移到相似，根据第（2）题图形暗示构造辅助线，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．证Rt△ABG∽Rt△EAP和Rt△ACG∽Rt△FAQ，得到EP=FQ，再证Rt△EPH≌Rt△FQH即可. ‎ ‎【答案】解：情境观察 AD（或A′D），90 ‎ 问题探究 结论：EP=FQ. ‎ 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.‎ 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. ‎ ‎ 拓展延伸 结论： HE=HF. ‎ 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.‎ ‎∵四边形ABME是矩形，‎ ‎∴∠BAE=90°，‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，‎ ‎∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵∠AGB=∠EPA=90°，‎ ‎∴△ABG∽△EAP，∴ = . ‎ 同理△ACG∽△FAQ，∴ = . ‎ ‎∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，‎ ‎∴ = . ∴EP=FQ. ‎ ‎ ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.‎ ‎【点评】此题属于探究型问题，考查了三角形全等、相似方面的知识。解决探究型问题时要认真审题，充分利用转化、类比等方法找到小题之间的内在联系，找到解题思路．难度中等．‎ 图15‎ 如图15，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．‎ ‎⑴求该抛物线的解析式；‎ ‎⑵抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解题思路】（1）把A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解出a、b、cj即可；因为A、B是抛物线与x轴的交点，也可以把抛物线设成y=a（x+1）（x-3），然后代入C得坐标。‎ ‎（2）若使△QMB与△PMB的面积相等，须等底等高，因此考虑和BC平行的直线PQ和l，求出它们的解析式，在求它们与二次函数的交点，就是点Q的坐标；‎ ‎（3）（图b）要使△RPM与△RMB的面积相等，须等底等高，MR要是底的话，点P、B到MR的距离PN抽查（图中没有画出来）=BD，易证三角形PNE与三角形BDE全等，因此PE=BE，点M为PF的中点，E为PB的中点，因此ME与x轴平行，点M与N重合，把y=2代入二次函数即可求点R的横坐标（舍掉不符合题意的那个）。‎ 图a 图b F F ‎【答案】（1）依题可知 解得 所以抛物线的解析式为y= -x2+2x+3‎ ‎（2）（图a）y= -x2+2x+3可变形为，所以顶点坐标P（1,4）‎ 设 BC的解析式为∵B（3，0）、C（0，3）∴ ∴ ∴‎ ‎∴点M的纵坐标y=-1+3=2，即M（1,2）设对称轴与x轴的交点为F，∴PM=MF，∴S△PMB=S△FMB ‎∵△QMB与△PMB的面积相等，∴点Q在过点P且平行于BC的直线a上或过点F且平行于BC的直线b上， ‎ 设a的解析式为，则，即，∴‎ 设b的解析式为，则，即，∴‎ 设a与抛物线相交于Q（m，-m+5），b与抛物线的交点Q’（n，-n+1），则 解得 解得 ‎，∴点Q’的坐标为 综上，满足条件的Q的坐标有三个，分别是（2，3）、、‎ ‎（3）存在，点R的坐标为（，2）．‎ ‎【点评】第一问灵活地考查二次函数解析式的求法——待定系数法，两种方法难度较小；第二问难度较大，不容易想到第二个和第三个Q，利用到等底等高的两个三角形面积相等，很自然地想到平行线间的距离相等．求BC的两条平行线的解析式时，要用到“在坐标系中，平行线的k值相等”．求交点的方法就是连方程组，解方程组．难度较大．第三问是拔高题．‎ 已知：如图1，图形① 满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）。记AB的长度为，BM的长度为 ‎⑴图形①中∠B= °，图形②中∠E= °；‎ ‎⑵小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”。‎ ‎①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为的正十边形，需要这种纸片 张；‎ ‎②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=，IQ=JQ。请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹不。（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）‎ ‎【解题思路】（1）连接AM，易证△ADM≌△ABM,得∠D=∠B,由∠D+∠B=3600-720-1440=1440,所以∠D=∠B=720，由平行线的性质可求∠E=360;(2)①用5个“风筝一号”纸片拼成一个边长为的正十边形；②这是一道操作题，可根据图形的特点找到拼接方法。‎ ‎【解答】（1）∠B=720，∠E=360;（2）①5；②如图 ‎【点评】本题的操作性较强，对于初中学生来说，难度较大。‎ 某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：‎ ‎（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；‎ ‎（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；‎ ‎…‎ 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）‎ 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知 A B C 图1‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ ‎，请证明．‎ A B C 图2‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ D Q1‎ Q2‎ 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．‎ 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．‎ 若S四边形ABCD＝1，求 ‎．‎ 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．‎ ‎【解题思路】对于问题1，由结论（2），可以分别求出＝，＝，两式相减可得结论；对于问题2，连接Q1R1，Q2R2，由问题1结论，可得＋＝S四边形ABCD，又可证＝，即得，＝S四边形ABCD；对于问题3，利用 问题2的结论，可探求其结果。对于问题4，由问题2的结论，知3 S2= S1＋S2＋S3，‎ ‎3 S3 = S2＋S3＋S4，两式相加，得S1＋S4＝S2＋S3．‎ ‎【答案】解：问题1：方法1：由结论（2），可得＝，＝， ‎ ‎∴＝S△ABC＝S△ABC 方法2：∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，‎ ‎∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为1:4:9．‎ A B C 图2‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ D Q1‎ Q2‎ ‎∴＝S△ABC＝S△ABC 问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，可知 ‎∴＝S△ABC ，＝S△ACD ‎∴＋＝S四边形ABCD 由∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC，‎ 可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1．‎ ‎∴∠P1R‎1A＝∠P2R‎2A，∠Q1R‎1A＝∠Q2R‎2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2．‎ 由结论（2），可知＝．‎ ‎∴＝＋＝S四边形ABCD．‎ 问题3：设＝A，＝B，设＝C，‎ ‎ 由问题2的结论，可知A＝，B＝．‎ ‎ A＋B＝(S四边形ABCD＋C)＝(1＋C)．‎ ‎ 又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．‎ ‎ 整理得C＝，即＝ 问题4：S1＋S4＝S2＋S3．‎ ‎【点评】本题是阅读探究型问题，考查学生用已知结论，研究问题、解决问题及发散思维等能力，问题中，渗透了等式的变化、三角形相似的判定及其性质、方程思想等知识，是一道难度较大的探究题。‎ 问题情境 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？‎ 数学模型 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．‎ 探索研究 ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎（第28题）‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ‎⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．‎ ① 填写下表，画出函数的图象：‎ ② x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎……‎ ‎②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；‎ ‎③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．‎ 解决问题 ‎⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．‎ ‎【解题思路】：利用数学模型解决问题的关键在于能数学模型的理解，会运用到具体问题之中，进行问题探究，从而解决问题，动手画图时要注意画图越准确就越能得到较为正确的判断。‎ ‎【答案】⑴①，，，2，，，．‎ 函数的图象如图．‎ ‎②本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．‎ ‎③‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 当=0，即时，函数的最小值为2． ‎ ‎⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．‎ ‎【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值，难道比较大。‎ 如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图(1)中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题: ‎ ‎(1)这三个图案都具有以下共同特征;都是_______对称图形，都不是_____对称图形.(4分) ‎ ‎(2)请在图(2)中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图(1)中给出的图案相同.(4分) ‎ ‎【解题思路】对于(1),结合两种对称,容易得到结论;(2)就是要设计一个有四个正方形的中心对称,又不是轴对称图形的图形来,方法很多.‎ ‎【答案】（1）中心,轴;（2）答案不唯一，如下图.‎ ‎ ‎ ‎【点评】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念,区别以及设计应用．易错在设计的图形有可能又是轴对称图形.难度中等．‎