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- 2021-05-13 发布
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2016年天津市滨海新区中考数学一模试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.计算(﹣2)﹣(﹣6)的结果等于( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
2.2sin60°的值等于( )
A.1 B. C. D.
3.据中国电子商务研究中心监测数据显示,2015年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27 800 000 000元,将27 800 000 000用科学记数法表示为( )
A.2.78×1010 B.2.78×1011 C.27.8×1010 D.0.278×1011
4.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.若分式的值为零,则x的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
6.如图是由五个小正方体搭成的几何体,它的左视图是( )
A. B. C. D.
7.估计的值在( )
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3至4之间
8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于( )
A.69° B.42° C.48° D.38°
9.如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点C落在点A处,点D落在点G处,若∠CFE=60°,且DE=1,则边BC的长( )
A.3 B.4 C.3.5 D.6
10.若(x1,y1)(x2,y2)都是y=﹣的图象上的点,且x1<x2<0,则下列各式正确的是( )
A.y1>y2>0 B.y1<y2<0 C.y2>y1>0 D.y2<0<y1
11.如图,将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若AB=1,∠B=60°,则△ABD的面积为( )
A.2 B. C. D.
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法:①2a+b=0,②当﹣1≤x≤3时,y<0;③3a+c=0;④若(x1,y1)(x2、y2)在函数图象上,当0<x1<x2时,y1<y2,其中正确的是( )
A.①②④ B.①③ C.①②③ D.①③④
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.
13.计算﹣4x5÷2x3的结果等于 .
14.请你任意写出一个经过(0,3)点,且y随x的增大而减小的一次函数的解析式 .(写出一种即可)
15.从标有序号为1到9的九张卡片中任意抽取一张,抽到序号是3的倍数的概率是 .
16.如图Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,则AD的长为 .
17.如图,已知正方形ABCD,以AB为边向外作等边三角形ABE,CE与DB相交于点F,则∠AFD的度数 .
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,E(8,0),F(0,6).
(Ⅰ)当G(4,8)时,则∠FGE的度数为 .
(Ⅱ)在图中的网格区域内找一点P,使∠FPE=90°,且四边形OEFP被过P点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形,请写出P点坐标 ,并在网格中画出图形(要显示出过P点的分割线)
三、解答题:本大题共7小题,共66分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
19.解不等式组.
20.2014年1月,国家发改委出台指导意见,要求2015年底前,所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度.小明为了解市政府调整水价方案的社会反响,随机访问了自己居住小区的部分居民,就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查,并把调查结果整理绘制成下面的统计图(图1,图2).
小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间,有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓,不会考虑用水方式的改变,根据小明绘制的图表和发现的信息,完成下列问题:
(Ⅰ)n= ,小明调查了 户居民,并补全图2;
(Ⅱ)每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围?
(Ⅲ)如果小明所在小区有1800户居民,请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少?
21.已知AB为⊙O的直径,OC⊥AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.
(Ⅰ)如图1,求证ED为⊙O的切线;
(Ⅱ)如图2,直线ED与切线AG相交于G,且OF=1,⊙O的半径为3,求AG的长.
22.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=80米,为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)
(参考数据:)
23.某商店销售1台A型和3台B型电脑的利润为550元,销售2台A型和3台B型电脑的利润为650元.
(Ⅰ)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(Ⅱ)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y与x的关系式;
②该商店购进A型、B型各多少台,才能使销售利润最大?
24.如图1,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(Ⅰ)直接写出点E、F的坐标;
(Ⅱ)如图2,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关于x的代数式表示S;
(Ⅲ)如图3,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值.(直接写出结果即可)
25.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点(1,0),(﹣3,0),(0,﹣).
(Ⅰ)求二次函数的解析式;
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的二次函数,当x取a,b(a≠b)时函数值相等,求x取a+b时的函数值;
(Ⅲ)若反比例函数y2=(k>0,x>0)的图象与(Ⅰ)中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A,点A的横坐标为x0满足2<x0<3,试求实数k的取值范围.
2016年天津市滨海新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.计算(﹣2)﹣(﹣6)的结果等于( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
【考点】有理数的减法.
【分析】根据有理数的减法法则,求出(﹣2)﹣(﹣6)的结果等于多少即可.
【解答】解:(﹣2)﹣(﹣6)
=(﹣2)+6
=4,
故计算(﹣2)﹣(﹣6)的结果等于4.
故选:A.
2.2sin60°的值等于( )
A.1 B. C. D.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据sin60°=解答即可.
【解答】解:2sin60°=2×=.
故选C.
3.据中国电子商务研究中心监测数据显示,2015年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27 800 000 000元,将27 800 000 000用科学记数法表示为( )
A.2.78×1010 B.2.78×1011 C.27.8×1010 D.0.278×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将27 800 000 000用科学记数法表示为2.78×1010.
故选:A.
4.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
D、是轴对称图形,是中心对称图形.故正确.
故选:D.
5.若分式的值为零,则x的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】分式的值是0的条件是:分子为0,分母不为0,由此条件解出x.
【解答】解:由x2﹣1=0,
得x=±1.
①当x=1时,x﹣1=0,
∴x=1不合题意;
②当x=﹣1时,x﹣1=﹣2≠0,
∴x=﹣1时分式的值为0.
故选:C.
6.如图是由五个小正方体搭成的几何体,它的左视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可.
【解答】解:从左面可看到从左往右2列小正方形的个数为:2,1,故选A.
7.估计的值在( )
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3至4之间
【考点】估算无理数的大小.
【分析】先估算的范围,再求出﹣2的范围,即可得出选项.
【解答】解:∵2<<3,
∴0<﹣2<1,
即﹣2在0到1之间,
故选A.
8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于( )
A.69° B.42° C.48° D.38°
【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.
【分析】由∠BOD=138°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠A的度数,又由圆的内接四边四边形的性质,求得∠BCD的度数,继而求得∠DCE的度数.
【解答】解:∵∠BOD=138°,
∴∠A=∠BOD=69°,
∴∠BCD=180°﹣∠A=111°,
∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°.
故选A.
9.如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点C落在点A处,点D落在点G处,若∠CFE=60°,且DE=1,则边BC的长( )
A.3 B.4 C.3.5 D.6
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°,由折叠可得∠2=60°,从而求得∠4的度数,得到AE=EC,在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度,即可得到答案.
【解答】解:∵矩形ABCD,
∴BC∥AD,
∴∠1=∠CFE=60°,
∵EF为折痕,
∴∠2=∠1=60°,AE=EC,
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°,
Rt△CDE中,∠4=90°﹣60°=30°,
∴EC=2×DE=2×1=2,
∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3.
故选:A.
10.若(x1,y1)(x2,y2)都是y=﹣的图象上的点,且x1<x2<0,则下列各式正确的是( )
A.y1>y2>0 B.y1<y2<0 C.y2>y1>0 D.y2<0<y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再根据x1<x2<0,判断出两点所在的象限,根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论.
【解答】解:∵反比例函数y=﹣中,k=﹣5<0,
∴此函数图象的两个分支在二、四象限,
∵x1<x2<0,
∴两点在第二象限,
∵在第二象限内y的值随x的增大而增大,
∴0<y1<y2.
故选C.
11.如图,将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若AB=1,∠B=60°,则△ABD的面积为( )
A.2 B. C. D.
【考点】旋转的性质.
【分析】根据旋转的性质得AD=AB,则根据等边三角形的判定方法可判断△ABD为等边三角形,然后根据等边三角形的面积公式求解.
【解答】解:∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,
∴AD=AB,
∵∠B=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴△ABD的面积=AB2=×12=.
故选D.
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法:①2a+b=0,②当﹣1≤x≤3时,y<0;③3a+c=0;④若(x1,y1)(x2、y2)在函数图象上,当0<x1<x2时,y1<y2,其中正确的是( )
A.①②④ B.①③ C.①②③ D.①③④
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:∵函数图象的对称轴为:x=﹣==1,
∴b=﹣2a,即2a+b=0,①正确;
由图象可知,当﹣1<x<3时,y<0,②错误;
由图象可知,当x=1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,
∵b=﹣2a,
∴3a+c=0,③正确;
∵抛物线的对称轴为x=1,开口方向向上,
∴若(x1,y1)、(x2,y2)在函数图象上,当1<x1<x2时,y1<y2;当x1<x2<1时,y1>y2;
故④错误;
故选:B.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.
13.计算﹣4x5÷2x3的结果等于 ﹣2x2 .
【考点】整式的除法.
【分析】直接利用整式的除法的性质求解即可求得答案.
【解答】解:﹣4x5÷2x3=﹣2x2.
故答案为:﹣2x2.
14.请你任意写出一个经过(0,3)点,且y随x的增大而减小的一次函数的解析式 y=﹣x+3(答案不唯一) .(写出一种即可)
【考点】一次函数的性质.
【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b(k<0),再把(0,3)代入得出b的值即可得出结论.
【解答】解:设一次函数的解析式为y=kx+b(k<0),
∵函数图象经过点(0,3),
∴b=3,
∴一次函数的解析式可以为:y=﹣x+3.
故答案为:y=﹣x+3(答案不唯一).
15.从标有序号为1到9的九张卡片中任意抽取一张,抽到序号是3的倍数的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】看是3的倍数的情况数占总情况数的多少即可得出答案.
【解答】解:共有9张牌,是3的倍数的有3,6,9共3张,
∴抽到序号是3的倍数的概率是=;
故答案为:.
16.如图Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,则AD的长为 4 .
【考点】勾股定理.
【分析】先证明△ADE∽△ACB,得出对应边成比例,即可求出AD的长.
【解答】解:∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°=∠C,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴,
即,
解得:AD=4.
故答案为:4.
17.如图,已知正方形ABCD,以AB为边向外作等边三角形ABE,CE与DB相交于点F,则∠AFD的度数 60° .
【考点】正方形的性质;等边三角形的性质.
【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠AFE,∠BFE的度数,再根据三角形外角的性质即可求得答案.
【解答】解:∵∠CBA=90°,∠ABE=60°,
∴∠CBE=150°,
∵四边形ABCD为正方形,三角形ABE为等边三角形
∴BC=BE,
∴∠BEC=15°,
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°,
∴∠BFE=60°,
在△CBF和△ABF中,
,
∴△CBF≌△ABF(SAS),
∴∠BAF=∠BCE=15°,
又∵∠ABF=45°,且∠AFD为△AFB的外角,
∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°.
故答案为60°.
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,E(8,0),F(0,6).
(Ⅰ)当G(4,8)时,则∠FGE的度数为 90° .
(Ⅱ)在图中的网格区域内找一点P,使∠FPE=90°,且四边形OEFP被过P点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形,请写出P点坐标 (7,7) ,并在网格中画出图形(要显示出过P点的分割线)
【考点】图形的剪拼;坐标与图形性质.
【分析】(1)利用各点坐标进而得出△FQG∽△GRE,求出对应角相等,进而得出答案;
(2)利用网格结合已知得出当P点坐标为(7,7)时,符合题意.
【解答】解:(1)∵E(8,0),F(0,6).
当G(4,8)时,
∴FQ=4,GQ=2,GR=8,RE=4,
∴==,
又∵∠FQG=∠GRE=90°,
∴△FQG∽△GRE,
∴∠FGQ=∠REG,∠GFQ=∠RQE,
∴∠FGQ+∠RGE=90°,
∴∠FGE=90°,
故答案为:90;
(2)如图所示:P (7,7),PM是分割线;
故答案为(7,7).
三、解答题:本大题共7小题,共66分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
19.解不等式组.
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】先求出两个不等式的解集,再根据:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了求其公共解.
【解答】解:解不等式2x﹣1<3,得:x<2,
解不等式2x+5≤3(x+2),得:x≥﹣1,
故不等式组的解集为:﹣1≤x<2.
20.2014年1月,国家发改委出台指导意见,要求2015年底前,所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度.小明为了解市政府调整水价方案的社会反响,随机访问了自己居住小区的部分居民,就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查,并把调查结果整理绘制成下面的统计图(图1,图2).
小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间,有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓,不会考虑用水方式的改变,根据小明绘制的图表和发现的信息,完成下列问题:
(Ⅰ)n= 210 ,小明调查了 96 户居民,并补全图2;
(Ⅱ)每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围?
(Ⅲ)如果小明所在小区有1800户居民,请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少?
【考点】众数;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图;中位数.
【分析】(1)首先根据圆周角等于360°,求出的值是多少即可;然后用“视水价格调价涨幅抱无所谓态度”的居民的户数除以它占被调查的居民户数的分率,求出小明调查了多少户居民;最后求出每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数,补全图1即可.
(2)根据中位数和众数的含义分别进行解答即可.
(3)根据分数乘法的意义,用小明所在小区居民的户数乘以“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数占被调查的居民户数的分率,求出“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少即可.
【解答】解:(1)n=360﹣30﹣120=210,
∵8÷=96(户)
∴小明调查了96户居民.
每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数是:
96﹣(15+22+18+16+5)
=96﹣76
=20(户).
(2)96÷2=48(户),15+12=37(户),15+22+20=57(户),
∵每月每户的用水量在5m3﹣15m3之间的有37户,每月每户的用水量在5m3﹣20m3之间的有57户,
∴把每月每户用水量这组数据从小到大排列后,第48个、第49个数在15﹣20之间,
∴第48个、第49个数的平均数也在15﹣20之间,
∴每月每户用水量的中位数落在15﹣20之间;
∵在这组数据中,10﹣15之间的数出现的次数最多,出现了22次,
∴每月每户用水量的众数落在10﹣15之间.
(3)∵1800×=1050(户),
视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有1050户.
21.已知AB为⊙O的直径,OC⊥AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.
(Ⅰ)如图1,求证ED为⊙O的切线;
(Ⅱ)如图2,直线ED与切线AG相交于G,且OF=1,⊙O的半径为3,求AG的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OD,由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD,由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO;由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF,结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°,即∠EDO=90°,由此证出ED为⊙O的切线;
(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,结合(1)的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度,结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度,根据切线的性质可知GA⊥EA,从而得出DM∥GA,根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度.
【解答】(1)证明:连接OD,如图1所示.
∵ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD,
∵∠EFD=∠CFO,
∴∠EDF=∠CFO.
∵OD=OC,
∴∠ODF=∠OCF.
∵OC⊥AB,
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°,
∴ED为⊙O的切线.
(2)解:连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,如图2所示.
由(1)可知△EDO为直角三角形,设ED=EF=a,EO=EF+FO=a+1,
由勾股定理得:EO2=ED2+DO2,即(a+1)2=a2+32,
解得:a=4,即ED=4,EO=5.
∵sin∠EOD==,cos∠EOD==,
∴DM=OD•sin∠EOD=3×=,MO=OD•cos∠EOD=3×=,
∴EM=EO﹣MO=5﹣=,EA=EO+OA=5+3=8.
∵GA切⊙O于点A,
∴GA⊥EA,
∴DM∥GA,
∴△EDM∽△EGA,
∴,
∴GA===6.
22.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=80米,为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)
(参考数据:)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD;根据AB=AD+BD=80米,即可求得居民楼与大厦的距离.
【解答】解:设CD=x米.
在Rt△ACD中,,
则,
∴;
在Rt△BCD中,
tan48°=,
则,
∴.
∵AD+BD=AB,
∴,
解得:x≈43.
答:小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米.
23.某商店销售1台A型和3台B型电脑的利润为550元,销售2台A型和3台B型电脑的利润为650元.
(Ⅰ)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(Ⅱ)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y与x的关系式;
②该商店购进A型、B型各多少台,才能使销售利润最大?
【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(Ⅰ)设每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为x元、y元.列出方程组即可解决问题.
(Ⅱ)①根据总利润=A型利润+B型利润,即可解决问题.
②求出自变量x取值范围,利用一次函数增减性解决.
【解答】解:(Ⅰ)设每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为x元、y元.
由题意解得,
∴每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为100元、150元.
(Ⅱ)①y=100x+150=﹣50x+15000,
100﹣x≤2x,
x≥,
∴x≤34(x是整数).
②∵y=﹣50x+15000,
k=﹣50<0,
∴y随x增大而减小,
∴x=34时,y最大值=14830.
∴A型34台,B型66台时,销售利润最大.
24.如图1,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(Ⅰ)直接写出点E、F的坐标;
(Ⅱ)如图2,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关于x的代数式表示S;
(Ⅲ)如图3,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值.(直接写出结果即可)
【考点】几何变换综合题.
【分析】(Ⅰ)求出CF和AE的长度即可写出点的坐标;
(Ⅱ)用x表示出PD长度,结合三角函数进一步表示DH,PH的长度,运用三角形面积公式即可求解;
(Ⅲ)作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可求,AE=1,CF=1,
故:E(3,1),F(1,2);
(Ⅱ)如图2
∵将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,
∴BF=AB=2,
∴OD=CF=3﹣2=1,
若设OP的长为x,
则,PD=x﹣1,
在Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴∠ADB=45°,
在Rt△PDH中,PH=DH=DP×=(x﹣1),
∴S=×DH×PH=×(x﹣1)×(x﹣1)=﹣+;
(Ⅲ)如图3
作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,
可求,点F(1,2)关于y轴的对称点F′(﹣1,2),点E(3,1)关于x轴的对称点E′(3,﹣1),
用两点法可求直线E′F′的解析式为:y=,
当x=0时,y=,当y=0时,x=,
∴N(0,),M(,0),
此时,四边形MNFE的周长=E′F′+EF=+=5+;
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小,最小为:5+.
25.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点(1,0),(﹣3,0),(0,﹣).
(Ⅰ)求二次函数的解析式;
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的二次函数,当x取a,b(a≠b)时函数值相等,求x取a+b时的函数值;
(Ⅲ)若反比例函数y2=(k>0,x>0)的图象与(Ⅰ)中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A,点A的横坐标为x0满足2<x0<3,试求实数k的取值范围.
【考点】二次函数综合题;反比例函数综合题.
【分析】(Ⅰ)直接利用待定系数法求函数的解析式即可.
(Ⅱ)首先将x=a、b代入抛物线的解析式中,联立所得的两个方程即可求出a+b的值;再将x=a+b代入(Ⅰ)的抛物线解析式中即可求出此时的函数值.
(Ⅲ)首先大致画出y1、y2的函数图象,大致判断出2<x0<3中,两函数的增减性;然后根据x0=2或3时,两函数值的大小关系列出不等式组,由此求得k的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x+3)
将(0,﹣)代入,解得a=.
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣.
(Ⅱ)当x=a时,y1=a2+a﹣,当x=b时,y1=b2+b﹣,
∴a2+a﹣=b2+b﹣,
∴a2﹣b2+2(a﹣b)=0,即(a﹣b)(a+b+2)=0,
∵a≠b,∴a+b=﹣2.
∴y1=(a+b)2+(a+b)﹣=(﹣2)2﹣2﹣=﹣
即x取a+b时的函数值为.
(Ⅲ)当2<x<3时,函数y1=x2+x﹣,y1随着x增大而增大,对y2=(k>0),y2随着X的增大而减小.
∵A(x0,y0)为二次函数图象与反比例函数图象的交点,
∴当x0=2时,由反比例函数图象在二次函数上方得y2>y1,
即>×22+2﹣,解得k>5.
当x0=3时,二次函数数图象在反比例上方得y1>y2,
即×32+3﹣>,解得k<18.
所以k的取值范围为5<k<18.