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- 2021-05-13 发布
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2016年福建省莆田市仙游县溪尾中学中考数学模拟试卷(一)
一、选择题(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.﹣3的倒数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.
2.下列计算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.x2•x3=x6 C.(x2)3=x5 D.x5÷x3=x2
3.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.已知:如图,OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为( )
A.45° B.35° C.25° D.20°
5.一组数据:12,5,9,5,14,下列说法不正确的是( )
A.平均数是9 B.中位数是9 C.众数是5 D.方差是12
6.如图,由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是( )
A. B. C. D.
7.已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2,则a的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.某校幵展“文明小卫士”活动,从学生会“督查部”的3名学生(2男1女)中随机选两名进行督导,恰好选中两名男学生的概率是( )
A. B. C. D.
9.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为( )
A.50 B.64 C.68 D.72
10.如图,一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行,那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是( )
A. B. C. D.
二.填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
11.据报道,2011年重庆主城区私家车拥有量近380000辆.将数380000用科学记数法表示为 .
12.分解因式:a3﹣ab2= .
13.一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为 (结果保留π)
14.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为 km.
15.如图,平面直角坐标系中,OB在x轴上,∠ABO=90°,点A的坐标为(1,2).将△AOB绕点A逆时针旋转90°,点O的对应点C恰好落在双曲线y=(x>0)上,则k= .
16.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为 .
三.解答题(共6小题,共86分)
17.计算: +(π﹣)0﹣()﹣1+|﹣2|
18.先化简,再求值:(+)÷,其中a=+1.
19.解不等式组:.
20.如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE于F,连接DE.证明:DF=DC.
21.随着人们法制意识的加强,“开车不喝酒,喝酒不开车”的观念逐步深入人心.某记者随机选取了我县几个停车场对开车司机进行了相关调查,这次调查结果有四种情况:
A.醉酒后仍开车;
B.喝酒后不开车或请专业代驾;
C.不开车的时候会喝酒,喝酒的时候不开车;
D.从不喝酒.将这次调查情况绘制了如下尚不完整的统计图1和图2,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)该记者本次一共调查了 名司机;
(Ⅱ)图1中情况D所在扇形的圆心角为 °;
(Ⅲ)补全图2;
(Ⅳ)若我县约有司机20万人,其中30岁以下占30%,则30岁以下的司机朋友中不违反“酒驾”禁令的人数为多少万人?
22.如图,已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,﹣k+4).
(1)试确定这两个函数的表达式;
(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并求△AOB的面积.
(23和24题任意选做一题)
23.如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BC=6,tan∠CDA=,求CD的长.
24.如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
25.某数学兴趣小组,利用树影测量树高,如图(1),已测出树AB的影长AC为12米,并测出此太阳光线与地面成30°夹角.(1.4, 1.7)
(1)求出树高AB;
(2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线于地面夹角保持不变(用图(2)解答)
①求树与地面成45°角时的影长;
②求树的最大影长.
26.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
27.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3.
(1)求MP的值;
(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合.当AF等于多少时,△MEF的周长最小?
(3)若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2.当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)
2016年福建省莆田市仙游县溪尾中学中考数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.﹣3的倒数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.
【考点】倒数.
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可.
【解答】解:∵(﹣3)×(﹣)=1,
∴﹣3的倒数是﹣.
故选:D.
2.下列计算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.x2•x3=x6 C.(x2)3=x5 D.x5÷x3=x2
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘;同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减,分别进行计算,即可选出答案.
【解答】解:A、x2与x3不是同类项,不能合并,故此选项错误;
B、x2•x3=x2+3=x5,故此选项错误;
C、(x2)3=x6,故此选项错误;
D、x5÷x3=x2,故此选项正确;
故选:D.
3.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称,进而得出答案.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故A错误;
B、是轴对称图形,故B正确;
C、不是轴对称图形,故C错误;
D、不是轴对称图形,故D错误.
故选:B.
4.已知:如图,OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为( )
A.45° B.35° C.25° D.20°
【考点】圆周角定理.
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可.
【解答】解:∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴∠ACB=∠AOB=45°.
故选A.
5.一组数据:12,5,9,5,14,下列说法不正确的是( )
A.平均数是9 B.中位数是9 C.众数是5 D.方差是12
【考点】方差;算术平均数;中位数;众数.
【分析】根据众数、中位数的概念和算术平均数、方差的计算解答即可.
【解答】解:(12+5+9+5+14)=9,A正确;
5,5,9,12,14,中位数是9,B正确;
出现次数最多的数是5,所以众数是5,C正确;
S2= [(12﹣9)2+(5﹣9)2+(9﹣9)2+(5﹣9)2+(14﹣9)2]=,D不正确,
故选:D.
6.如图,由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.
【解答】解:从左面看易得第一层有2个正方形,第二层最左边有一个正方形.
故选B.
7.已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2,则a的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】一元一次方程的解.
【分析】根据方程的解的定义,把x=2代入方程,解关于a的一元一次方程即可.
【解答】解;∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2,
∴2×2+a﹣9=0,
解得a=5.
故选:D.
8.某校幵展“文明小卫士”活动,从学生会“督查部”的3名学生(2男1女)中随机选两名进行督导,恰好选中两名男学生的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,恰好选中两名男学生的有2种情况,
∴恰好选中两名男学生的概率是: =.
故选A.
9.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为( )
A.50 B.64 C.68 D.72
【考点】规律型:图形的变化类.
【分析】先根据题意求找出其中的规律,即可求出第⑥个图形中五角星的个数.
【解答】解:第①个图形一共有2个五角星,
第②个图形一共有:2+(3×2)=8个五角星,
第③个图形一共有8+(5×2)=18个五角星,
…
第n个图形一共有:
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2(2n﹣1)
=2[1+3+5+…+(2n﹣1)],
=[1+(2n﹣1)]×n
=2n2,
则第(6)个图形一共有:
2×62=72个五角星;
故选:D.
10.如图,一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行,那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】从A1到A2蚂蚁是匀速前进,随着时间的增多,爬行的高度也将由0匀速上升,从A2到A3随着时间的增多,高度将不再变化,由此即可求出答案.
【解答】解:因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行,从A1⇒A2的过程中,高度随时间匀速上升,从A2⇒A3的过程,高度不变,从A3⇒A4的过程,高度随时间匀速上升,从A4⇒A5的过程中,高度不变,
所以蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象是B.
故选:B.
二.填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
11.据报道,2011年重庆主城区私家车拥有量近380000辆.将数380000用科学记数法表示为 3.8×105 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于380000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.
【解答】解:380 000=3.8×105.
故答案为:3.8×105.
12.分解因式:a3﹣ab2= a(a+b)(a﹣b) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式a,进而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:a3﹣ab2
=a(a2﹣b2)
=a(a+b)(a﹣b).
故答案为:a(a+b)(a﹣b).
13.一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为 3π (结果保留π)
【考点】扇形面积的计算.
【分析】根据扇形公式S扇形=,代入数据运算即可得出答案.
【解答】解:由题意得,n=120°,R=3,
故S扇形===3π.
故答案为:3π.
14.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为 1.2 km.
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可.
【解答】解:∵M是公路AB的中点,
∴AM=BM,
∵AC⊥BC,
∴CM=AM=BM,
∵AM的长为1.2km,
∴M,C两点间的距离为1.2km.
故答案为:1.2km.
15.如图,平面直角坐标系中,OB在x轴上,∠ABO=90°,点A的坐标为(1,2).将△AOB绕点A逆时针旋转90°,点O的对应点C恰好落在双曲线y=(x>0)上,则k= 3 .
【考点】反比例函数综合题.
【分析】由A(1,2)可知B0=1,AB=2,由旋转的性质可知AD=AB=2,CD=BO=1,△OAB旋转90°,可知AD∥x轴,CD⊥x轴,根据线段的长度求C点坐标,再求k的值.
【解答】解:∵点A的坐标为(1,2).Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°,
∴OB+AD=3,AB﹣CD=1,故C(3,1),
将C(3,1)代入y=中,得k=3×1=3.
故答案为:3.
16.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为 32 .
【考点】等边三角形的性质;等腰三角形的判定与性质.
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2…进而得出答案.
【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形,
∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,
∴∠2=120°,
∵∠MON=30°,
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°,
又∵∠3=60°,
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°,
∵∠MON=∠1=30°,
∴OA1=A1B1=1,
∴A2B1=1,
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,
∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,
∵∠4=∠12=60°,
∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,
∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,
∴A3B3=4B1A2=4,
A4B4=8B1A2=8,
A5B5=16B1A2=16,
以此类推:A6B6=32B1A2=32.
故答案是:32.
三.解答题(共6小题,共86分)
17.计算: +(π﹣)0﹣()﹣1+|﹣2|
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.
【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根的求法,在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果即可.
【解答】解: +(π﹣)0﹣()﹣1+|﹣2|
=4+1﹣3+2
=4
18.先化简,再求值:(+)÷,其中a=+1.
【考点】二次根式的化简求值;分式的化简求值.
【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为,代入a的值即可得出结论.
【解答】解:原式=(+)÷,
=•,
=•,
=.
当a=+1时,原式==.
19.解不等式组:.
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】首先把两个不等式化简,再解出解集,然后根据小小取小可得不等式组的解集.
【解答】解:由①得3(1+x)﹣2(x﹣1)≤6,
化简得x≤1.
由②得3x﹣3<2x+1,
化简得x<4.
则原不等式组的解是x≤1.
20.如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE于F,连接DE.证明:DF=DC.
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】求出∠AED=∠EDC,∠DFE=∠C,证△DFE≌△DCE,即可得出答案.
【解答】证明:∵DF⊥AE于F,
∴∠DFE=90°
在矩形ABCD中,∠C=90°,
∴∠DFE=∠C,
在矩形ABCD中,AD∥BC
∴∠ADE=∠DEC,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠AED=∠DEC,∠DFE=∠C=90°,
又∵DE是公共边,
∴△DFE≌△DCE(AAS),
∴DF=DC.
21.随着人们法制意识的加强,“开车不喝酒,喝酒不开车”的观念逐步深入人心.某记者随机选取了我县几个停车场对开车司机进行了相关调查,这次调查结果有四种情况:
A.醉酒后仍开车;
B.喝酒后不开车或请专业代驾;
C.不开车的时候会喝酒,喝酒的时候不开车;
D.从不喝酒.将这次调查情况绘制了如下尚不完整的统计图1和图2,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)该记者本次一共调查了 200 名司机;
(Ⅱ)图1中情况D所在扇形的圆心角为 162 °;
(Ⅲ)补全图2;
(Ⅳ)若我县约有司机20万人,其中30岁以下占30%,则30岁以下的司机朋友中不违反“酒驾”禁令的人数为多少万人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(Ⅰ)利用A组的人数除以对应的百分比即可求解;
(Ⅱ)利用360°乘以对应的百分比即可求解;
(III)利用百分比的意义求得B类的人数,然后利用总人数减去其它组的人数即可求得C组的人数;
(Ⅳ)利用总人数20万乘以30%,然后乘以不违反“酒驾”禁令的人数所占的比例即可求解.
【解答】解:(I)调查的总人数是:10÷5%=200(人),
故答案是200;
(II)情况D所在扇形的圆心角是:360×=162°;
(III)补全图2;
(IV)30岁以下的司机朋友中不违反“酒驾”禁令的人数为:20×30%×=5.7万人.
22.如图,已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,﹣k+4).
(1)试确定这两个函数的表达式;
(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并求△AOB的面积.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)首先把点A坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值,然后再把A点坐标代入一次函数解析式中求出b的值;
(2)两个解析式联立列出方程组,求得点B坐标即可,在求出点C坐标,把△A0B的面积转化成△A0C的面积+△C0B的面积即可.
【解答】解:(1)∵已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,﹣k+4),
∴﹣k+4=k,
解得k=2,
故反比例函数的解析式为y=,
又知A(1,2)在一次函数y=x+b的图象上,
故2=1+b,
解得b=1,
故一次函数的解析式为y=x+1;
(2)由题意得:,
解得x=﹣2或1,
∴B(﹣2,﹣1),
令y=0,得x+1=0,解得x=﹣1,
∴C(﹣1,0),
∴S△A0B=S△A0C+S△C0B
=×1×2+×1×1
=1+
=.
(23和24题任意选做一题)
23.如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BC=6,tan∠CDA=,求CD的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OD,如图,先证明∠CDA=∠ODB,再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°,则∠ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)由于∠CDA=∠ODB,则tan∠CDA=tan∠ABD=,根据正切的定义得到tan∠ABD==,接着证明△CAD∽△CDB,由相似的性质得,然后根据比例的性质可计算出CD的长.
【解答】(1)证明:连接OD,如图,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠BDO,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠CDA=∠ODB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO+∠CDA=90°,
即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∵∠CDA=∠ODB,
∴tan∠CDA=tan∠ABD=,
在Rt△ABD中,tan∠ABD==,
∵∠DAC=∠BDC,∠CDA=∠CBD,
∴△CAD∽△CDB,
∴,
∴CD=×6=4.
24.如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)由AD平分∠BAC,得到∠1=∠2,而OD=OA,∠2=∠3,所以∠1=∠3,则有OD∥AE,而DE⊥AC,所以OD⊥DE;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,则DP=DE=3,由⊙O的半径为5,在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,再由BF⊥AB,得DP∥FB,有=,即可求出BF.
【解答】(1)证明:连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2(等弦对等角),
又∵OD=OA,得∠2=∠3(等角对等边),
∴∠1=∠3(等量代换),
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=3,
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为5,
在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴=,即=,
∴BF=.
25.某数学兴趣小组,利用树影测量树高,如图(1),已测出树AB的影长AC为12米,并测出此太阳光线与地面成30°夹角.(1.4, 1.7)
(1)求出树高AB;
(2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线于地面夹角保持不变(用图(2)解答)
①求树与地面成45°角时的影长;
②求树的最大影长.
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】(1)在直角△ABC中,已知∠ACB=30°,AC=12米.利用三角函数即可求得AB的长;
(2)①在△AB1C1中,已知AB1的长,即AB的长,∠B1AC1=45°,∠B1C1A=30°.过B1作AC1的垂线,在直角△AB1N中根据三角函数求得AN,BN;再在直角△B1NC1中,根据三角函数求得NC1的长.即可求解;
②当树与地面成60°角时影长最大,根据三角函数即可求解.
【解答】解:(1)AB=ACtan30°=12×=4≈6.8(米).
答:树高约为6.8米.
(2)作B1N⊥AC1于N.
①如图(2),B1N=AN=AB1sin45°=(米).
NC1=NB1tan60°=2×≈8.5(米).
AC1=AN+NC1=5+8.5=13.5(米).
答:树与地面成45°角时的影长约为13.5米.
②如图(2),当树与地面成60°角时影长最大AC2(或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大)
AC2=2AB2≈14.
答:树的最大影长约为14米.
26.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】方法一:
(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.
(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点.
方法二:
(3)用参数表示点M坐标,分类讨论三种情况,利用两点间距离公式便可求解.
(4)列出点M的参数坐标,利用MO=MB求解.此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点.
【解答】解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOC=60°,
又∵OA=OB=4,
∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×=2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);
(2)∵抛物线过原点O和点A、B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得:
,
解得,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x;
(3)存在;
如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP,
则22+|y|2=42,
解得y=±2,
当y=2时,在Rt△P′OD中,∠P′DO=90°,sin∠P′OD==,
∴∠P′OD=60°,
∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°,
即P′、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为(2,﹣2)
②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2).
方法二:
(3)设P(2,t),O(0,0),B(﹣2,﹣2),
∵△POB为等腰三角形,
∴PO=PB,PO=OB,PB=OB,
(2﹣0)2+(t﹣0)2=(2+2)2+(t+2)2,∴t=﹣2,
(2﹣0)2+(t﹣0)2=(0+2)2+(0+2)2,∴t=2或﹣2,
当t=2时,P(2,2),O(0,0)B(﹣2,﹣2)三点共线故舍去,
(2+2)2+(t+2)2=(0+2)2+(0+2)2,∴t=﹣2,
∴符合条件的点P只有一个,∴P(2,﹣2).
(4)∵点B,点P关于y轴对称,
∴点M在y轴上,设M(0,m),
∵⊙M为△OBF的外接圆,
∴MO=MB,
∴(0﹣0)2+(m﹣0)2=(0+2)2+(m+2)2,
∴m=﹣,M(0,﹣).
27.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3.
(1)求MP的值;
(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合.当AF等于多少时,△MEF的周长最小?
(3)若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2.当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)
【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°,然后利用勾股定理可计算出MP=5;
(2)如图1,作点M关于AB的对称点M′,连接M′E交AB于点F,利用两点之间线段最短可得点F即为所求,过点E作EN⊥AD,垂足为N,则AM=AD﹣MP﹣PD=4,所以AM=AM′=4,再证明ME=MP=5,接着利用勾股定理计算出MN=3,所以NM′=11,然后证明△AFM′∽△NEM′,则可利用相似比计算出AF;
(3)如图2,由(2)知点M′是点M关于AB的对称点,在EN上截取ER=2,连接M′R交AB于点G,再过点E作EQ∥RG,交AB于点Q,易得QE=GR,而GM=GM′,于是MG+QE=M′R,利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小,于是四边形MEQG的周长最小,在Rt△M′RN中,利用勾股定理计算出M′R=5,易得四边形MEQG的最小周长值是7+5.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴CD=AB=4,∠D=90°,
∵矩形ABCD折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,
∴PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°,
∴MP==5;
(2)如图1,作点M关于AB的对称点M′,连接M′E交AB于点F,则点F即为所求,过点E作EN⊥AD,垂足为N,
∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4,
∴AM=AM′=4,
∵矩形ABCD折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,
∴∠CEP=∠MEP,
而∠CEP=∠MPE,
∴∠MEP=∠MPE,
∴ME=MP=5,
在Rt△ENM中,MN===3,
∴NM′=11,
∵AF∥NE,
∴△AFM′∽△NEM′,
∴=,即=,解得AF=,
即AF=时,△MEF的周长最小;
(3)如图2,由(2)知点M′是点M关于AB的对称点,在EN上截取ER=2,连接M′R交AB于点G,再过点E作EQ∥RG,交AB于点Q,
∵ER=GQ,ER∥GQ,
∴四边形ERGQ是平行四边形,
∴QE=GR,
∵GM=GM′,
∴MG+QE=GM′+GR=M′R,此时MG+EQ最小,四边形MEQG的周长最小,
在Rt△M′RN中,NR=4﹣2=2,
M′R==5,
∵ME=5,GQ=2,
∴四边形MEQG的最小周长值是7+5.