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- 2021-05-13 发布
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2020年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分,满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的.
1.(3分)(2020•烟台)4的平方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.2
2.(3分)(2020•烟台)下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)(2020•烟台)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是( )
A.a B.b C.c D.无法确定
4.(3分)(2020•烟台)如图,是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A. B.
C. D.
5.(3分)(2020•烟台)如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据( )
A.众数改变,方差改变
B.众数不变,平均数改变
C.中位数改变,方差不变
D.中位数不变,平均数不变
6.(3分)(2020•烟台)利用如图所示的计算器进行计算,按键操作不正确的是( )
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A.按键即可进入统计计算状态
B.计算8的值,按键顺序为:
C.计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D.计算器显示结果为13时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333
7.(3分)(2020•烟台)如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1=1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OAn的长度为( )
A.(2)n B.(2)n﹣1 C.(22)n D.(22)n﹣1
8.(3分)(2020•烟台)量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为( )
A.60° B.70° C.80° D.85°
第26页(共26页)
9.(3分)(2020•烟台)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上,小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”,其中阴影部分的面积为5cm2的是( )
A. B.
C. D.
10.(3分)(2020•烟台)如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则EF的长度为( )
A.1.7 B.1.8 C.2.2 D.2.4
11.(3分)(2020•烟台)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( )
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A.12 B.920 C.25 D.13
12.(3分)(2020•烟台)如图,正比例函数y1=mx,一次函数y2=ax+b和反比例函数y3=kx的图象在同一直角坐标系中,若y3>y1>y2,则自变量x的取值范围是( )
A.x<﹣1 B.﹣0.5<x<0或x>1
C.0<x<1 D.x<﹣1或0<x<1
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.(3分)(2020•烟台)5G是第五代移动通信技术,其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上,正常下载一部高清电影约需1秒.将1300000用科学记数法表示为 .
14.(3分)(2020•烟台)已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为 .
15.(3分)(2020•烟台)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .
16.(3分)(2020•烟台)按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为﹣3,则输出y的结果为 .
17.(3分)(2020•烟台)如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6
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),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为 .
18.(3分)(2020•烟台)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①ab>0;②a+b﹣1=0;③a>1;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为-1a.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)
19.(6分)(2020•烟台)先化简,再求值:(yx-y-y2x2-y2)÷xxy+y2,其中x=3+1,y=3-1.
20.(8分)(2020•烟台)奥体中心为满足暑期学生对运动的需求,欲开设球类课程,该中心随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项.根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了多少名学生?
(2)将条形统计图补充完整;
(3)我们把“羽毛球”“篮球”,“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A,B,C,D,E
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表示.小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练,利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率.
21.(9分)(2020•烟台)新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2:3.已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍.
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润;
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这1000只口罩的销售总利润为W元.该药店如何进货,才能使销售总利润最大?
22.(9分)(2020•烟台)如图,在▱ABCD中,∠D=60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.
(1)求证:EC是⊙O的切线;
(2)若AD=23,求AM的长(结果保留π).
23.(9分)(2020•烟台)今年疫情期间,针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题,清华大学牵头研制一款“测温机器人”,如图1
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,机器人工作时,行人抬手在测温头处测量手腕温度,体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行,不合格时机器人不抬臂杆并报警,从而有效阻隔病原体.
(1)为了设计“测温机器人”的高度,科研团队采集了大量数据.下表是抽样采集某一地区居民的身高数据:
测量对象
男性(18~60岁)
女性(18~55岁)
抽样人数(人)
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高(厘米)
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识,若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高,男性应采用 厘米,女性应采用 厘米;
(2)如图2,一般的,人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适,由此利用(1)中的数据得出测温头点P距地面105厘米.指示牌挂在两臂杆AB,AC的连接点A处,A点距地面110厘米.臂杆落下时两端点B,C在同一水平线上,BC=100厘米,点C在点P的正下方5厘米处.若两臂杆长度相等,求两臂杆的夹角.
(参考数据表)
计算器按键顺序
计算结果(近
计算器按键顺序
计算结果(近
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似值)
似值)
0.1
78.7
0.2
84.3
1.7
5.7
3.5
11.3
24.(12分)(2020•烟台)如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;
【类比探究】
如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
25.(13分)(2020•烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=12,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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2020年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分,满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的.
1.(3分)(2020•烟台)4的平方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.2
【解答】解:4的平方根是±2.
故选:C.
2.(3分)(2020•烟台)下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项符合题意;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不符合题意;
C、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项不符合题意.
故选:A.
3.(3分)(2020•烟台)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是( )
A.a B.b C.c D.无法确定
【解答】解:有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,
这三个数中,实数a离原点最远,所以绝对值最大的是:a.
故选:A.
4.(3分)(2020•烟台)如图,是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
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A. B.
C. D.
【解答】解:结合三个视图发现,这个几何体是长方体和圆锥的组合图形.
故选:B.
5.(3分)(2020•烟台)如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据( )
A.众数改变,方差改变
B.众数不变,平均数改变
C.中位数改变,方差不变
D.中位数不变,平均数不变
【解答】解:如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5,方差不变,
故选:C.
6.(3分)(2020•烟台)利用如图所示的计算器进行计算,按键操作不正确的是( )
A.按键即可进入统计计算状态
B.计算8的值,按键顺序为:
C.计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D.计算器显示结果为13时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333
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【解答】解:A、按键即可进入统计计算状态是正确的,故选项A不符合题意;
B、计算8的值,按键顺序为:,故选项B符合题意;
C、计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的,故选项C不符合题意;
D、计算器显示结果为13时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333是正确的,故选项D不符合题意;
故选:B.
7.(3分)(2020•烟台)如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1=1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OAn的长度为( )
A.(2)n B.(2)n﹣1 C.(22)n D.(22)n﹣1
【解答】解:∵△OA1A2为等腰直角三角形,OA1=1,
∴OA2=2;
∵△OA2A3为等腰直角三角形,
∴OA3=2=(2)2;
∵△OA3A4为等腰直角三角形,
∴OA4=22=(2)3.
∵△OA4A5为等腰直角三角形,
∴OA5=4=(2)4,
……
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∴OAn的长度为(2)n﹣1.
故选:B.
8.(3分)(2020•烟台)量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为( )
A.60° B.70° C.80° D.85°
【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=140°,
∴∠A=∠B=12(180°﹣140°)=20°,
∵∠AOC=60°,
∴∠ADC=∠A+∠AOC=20°+60°=80°,
故选:C.
9.(3分)(2020•烟台)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上,小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”,其中阴影部分的面积为5cm2的是( )
A. B.
C. D.
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【解答】解:最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42=1(cm2),平行四边形面积为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,则
A、阴影部分的面积为2+2=4(cm2),不符合题意;
B、阴影部分的面积为1+2=3(cm2),不符合题意;
C、阴影部分的面积为4+2=6(cm2),不符合题意;
D、阴影部分的面积为4+1=5(cm2),符合题意.
故选:D.
10.(3分)(2020•烟台)如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则EF的长度为( )
A.1.7 B.1.8 C.2.2 D.2.4
【解答】解:∵点G为△ABC的重心,
∴AE=BE,BF=CF,
∴EF=12AC=1.7,
故选:A.
11.(3分)(2020•烟台)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( )
A.12 B.920 C.25 D.13
【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=5,AB=CD=3,
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∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,
∴AF=AD=5,EF=DE,
在Rt△ABF中,BF=AF2-AB2=25-9=4,
∴CF=BC﹣BF=5﹣4=1,
设CE=x,则DE=EF=3﹣x
在Rt△ECF中,∵CE2+FC2=EF2,
∴x2+12=(3﹣x)2,解得x=43,
∴DE=EF=3﹣x=53,
∴tan∠DAE=DEAD=535=13,
故选:D.
12.(3分)(2020•烟台)如图,正比例函数y1=mx,一次函数y2=ax+b和反比例函数y3=kx的图象在同一直角坐标系中,若y3>y1>y2,则自变量x的取值范围是( )
A.x<﹣1 B.﹣0.5<x<0或x>1
C.0<x<1 D.x<﹣1或0<x<1
【解答】解:由图象可知,当x<﹣1或0<x<1时,双曲线y3落在直线y1上方,且直线y1落在直线y2上方,即y3>y1>y2,
所以若y3>y1>y2,则自变量x的取值范围是x<﹣1或0<x<1.
故选:D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.(3分)(2020•烟台)5G是第五代移动通信技术,其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上,正常下载一部高清电影约需1秒.将1300000用科学记数法表示为 1.3×106 .
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【解答】解:将数据1300000用科学记数法可表示为:1.3×106.
故答案为:1.3×106.
14.(3分)(2020•烟台)已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为 1260° .
【解答】解:正n边形的每个外角相等,且其和为360°,
据此可得360°n=40°,
解得n=9.
(9﹣2)×180°=1260°,
即这个正多边形的内角和为1260°.
故答案为:1260°.
15.(3分)(2020•烟台)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 m>0且m≠1 .
【解答】解:根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0,
解得m>0且m≠1.
故答案为:m>0且m≠1.
16.(3分)(2020•烟台)按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为﹣3,则输出y的结果为 18 .
【解答】解:∵﹣3<﹣1,
∴x=﹣3代入y=2x2,得y=2×9=18,
故答案为:18.
17.(3分)(2020•烟台)如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C
第26页(共26页)
重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为 (4,2) .
【解答】解:平面直角坐标系如图所示,旋转中心是P点,P(4,2).
故答案为(4,2).
18.(3分)(2020•烟台)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①ab>0;②a+b﹣1=0;③a>1;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为-1a.
其中正确结论的序号是 ②③④ .
【解答】解:①由二次函数的图象开口向上可得a>0,对称轴在y轴的右侧,b<0,
∴ab<0,故①错误;
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②由图象可知抛物线与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,﹣1),
∴c=﹣1,
∴a+b﹣1=0,故②正确;
③∵a+b﹣1=0,
∴a﹣1=﹣b,
∵b<0,
∴a﹣1>0,
∴a>1,故③正确;
④∵抛物线与与y轴的交点为(0,﹣1),
∴抛物线为y=ax2+bx﹣1,
∵抛物线与x轴的交点为(1,0),
∴ax2+bx﹣1=0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为-1a,故④正确;
故答案为②③④.
三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)
19.(6分)(2020•烟台)先化简,再求值:(yx-y-y2x2-y2)÷xxy+y2,其中x=3+1,y=3-1.
【解答】解:(yx-y-y2x2-y2)÷xxy+y2,
=[y(x+y)(x+y)(x-y)-y2(x+y)(x-y)]÷xy(x+y),
=xy(x+y)(x-y)×y(x+y)x,
=y2x-y,
当x=3+1,y=3-1时,
原式=(3-1)22=2-3.
20.(8分)(2020•烟台)奥体中心为满足暑期学生对运动的需求,欲开设球类课程,该中心随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项.根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了多少名学生?
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(2)将条形统计图补充完整;
(3)我们把“羽毛球”“篮球”,“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A,B,C,D,E表示.小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练,利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率.
【解答】解:(1)此次共调查的学生有:40÷72°360°=200(名);
(2)足球的人数有:200﹣40﹣60﹣20﹣30=50(人),补全统计图如下:
(3)根据题意画树状图如下:
第26页(共26页)
共用25种等可能的情况数,其中他俩选择不同项目的有20种,
则他俩选择不同项目的概率是2025=45.
21.(9分)(2020•烟台)新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2:3.已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍.
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润;
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这1000只口罩的销售总利润为W元.该药店如何进货,才能使销售总利润最大?
【解答】解:设销售A型口罩x只,销售B型口罩y只,根据题意得:
x+y=90002000x×1.2=3000y,解答x=4000y=5000,
经检验,x=4000,y=5000是原方程组的解,
∴每只A型口罩的销售利润为:20004000=0.5(元),每只B型口罩的销售利润为:0.5×1.2=0.6(元).
答:每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元,0.6元.
(2)根据题意得,W=0.5m+0.6(10000﹣m)=﹣0.1m+6000,
10000﹣m≤1.5m,解得m≥4000,
∵0.1<0,
∴W随m的增大而减小,
∵m为正整数,
∴当m=4000时,W取最大值,则﹣0.1×4000+6000=5600,
即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只,才能使销售总利润最大,增大利润为5600元.
22.(9分)(2020•烟台)如图,在▱ABCD中,∠D=60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.
(1)求证:EC是⊙O的切线;
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(2)若AD=23,求AM的长(结果保留π).
【解答】(1)证明:连接OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=60°,
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=30°,
∵BE=AB,
∴∠E=∠BAE,
∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°,
∴∠E=∠BAE=30°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠OAB=30°,
∴∠OBC=30°+60°=90°,
∴OB⊥CE,
∴EC是⊙O的切线;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=23,
过O作OH⊥AM于H,
则四边形OBCH是矩形,
∴OH=BC=23,
∴OA=OHsin60°=4,∠AOM=2∠AOH=60°,
∴AM的长度=60⋅π×4180=4π3.
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23.(9分)(2020•烟台)今年疫情期间,针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题,清华大学牵头研制一款“测温机器人”,如图1,机器人工作时,行人抬手在测温头处测量手腕温度,体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行,不合格时机器人不抬臂杆并报警,从而有效阻隔病原体.
(1)为了设计“测温机器人”的高度,科研团队采集了大量数据.下表是抽样采集某一地区居民的身高数据:
测量对象
男性(18~60岁)
女性(18~55岁)
抽样人数(人)
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高(厘米)
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识,若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高,男性应采用 176 厘米,女性应采用 164 厘米;
(2)如图2,一般的,人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适,由此利用(1)中的数据得出测温头点P距地面105厘米.指示牌挂在两臂杆AB,AC的连接点A处,A点距地面110厘米.臂杆落下时两端点B,C在同一水平线上,BC=100厘米,点C在点P的正下方5厘米处.若两臂杆长度相等,求两臂杆的夹角.
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(参考数据表)
计算器按键顺序
计算结果(近似值)
计算器按键顺序
计算结果(近似值)
0.1
78.7
0.2
84.3
1.7
5.7
3.5
11.3
【解答】解:(1)用表格可知,男性应采用176厘米,女性应采用164厘米.
故答案为176,164.
(2)如图2中,∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=FC=50cm,∠FAC=∠FAB,
由题意FC=10cm,
∴tan∠FAC=FCAF=5010=5,
∴∠FAC=78.7°,
∴∠BAC=2∠FAC=157.4°,
答:两臂杆的夹角为157.4°
24.(12分)(2020•烟台)如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;
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【类比探究】
如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
【解答】【问题解决】证明:在CD上截取CH=CE,如图1所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ECH=60°,
∴△CEH是等边三角形,
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴∠DEH=∠FEC,
在△DEH和△FEC中,
DE=FE∠DEH=∠FECEH=EC,
∴△DEH≌△FEC(SAS),
∴DH=CF,
∴CD=CH+DH=CE+CF,
∴CE+CF=CD;
【类比探究】解:线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE;理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,
过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图2所示:
∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
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∴∠GDC=∠DGC=60°,
∴△GCD为等边三角形,
∴DG=CD=CG,∠GDC=60°,
∵△EDF为等边三角形,
∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,
∴∠EDG=∠FDC,
在△EGD和△FCD中,
ED=DF∠EDG=∠FDCDG=CD,
∴△EGD≌△FCD(SAS),
∴EG=FC,
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.
25.(13分)(2020•烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=12,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【解答】解:(1)设OB=t,则OA=2t,则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(﹣t,0),
则x=12=12(2t﹣t),解得:t=1,
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(﹣1,0),
则抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)(x+1)=ax2+bx+2,
解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2;
(2)对于y=﹣x2+x+2,令x=0,则y=2,故点C(0,2),
由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+2,
设点D的横坐标为m,则点D(m,﹣m2+m+2),则点F(m,﹣m+2),
则DF=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,
∵﹣1<0,故DF有最大值,此时m=1,点D(1,2);
(3)存在,理由:
点D(m,﹣m2+m+2)(m>0),则OD=m,DE=﹣m2+m+2,
以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,
则DEOE=OBOC或OCOB,即DEOE=2或12,即-m2+m+2m=2或12,
解得:m=1或﹣2(舍去)或1+334或1-334(舍去),
故m=1或1+334.
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