中考数学压轴题目后冲刺分类强化训练2抛物线与三角形 14页

中考数学压轴题最后冲刺分类强化训练2‎ 抛物线与三角形 ‎1．y A B O C ‎-1‎ ‎1‎ x 第1题图 P D 如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。‎ ‎（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；‎ ‎（2）求△AOC和△BOC的面积比；‎ ‎（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。‎ 若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。‎ 解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3)‎ y A B O C ‎-1‎ ‎1‎ x 第25题图 P D 又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3) ‎ ‎∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，‎ 即y=x2-2x-3 ‎ ‎（2）依题意，得OA=1,OB=3,‎ ‎∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB ‎=1∶3 ‎ ‎（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。‎ 解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。‎ ‎∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。‎ ‎∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）‎ ‎∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。‎ 设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。‎ ‎∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2） ‎ 解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D ‎∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。‎ ‎∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）‎ ‎∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。‎ ‎∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即 ‎ ‎∴DP=2‎ ‎∴点P的坐标为（1，-2）‎ ‎2、已知直线y＝kx＋6（k<0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．‎ ‎　　（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．‎ ‎　　①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；‎ ‎　　②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．‎ ‎　　（2）当时，设以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)2＋n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？‎ 解：（1）①C（2，4），Q（4，0）‎ ‎　　②由题意得：P（2t，0），C（2t，－2t＋6），Q（6－2t，0）‎ ‎　　分两种情况讨论：‎ ‎　　情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA．‎ ‎　　∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即6－2t＝2t，∴t＝1.5‎ ‎　　情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3，‎ ‎　　∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即2t＝2（－2t＋6），∴t＝2，∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．‎ ‎　　（2）①由题意得：C（2t，），‎ ‎　　∴以C为顶点的抛物线解析式是，‎ ‎　　由 ‎ ‎　　解得 ‎ ‎　　过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°．‎ ‎　　∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，‎ ‎　　∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO＝8，AB＝10，‎ ‎　　DE＝，∴CD＝．‎ ‎　　②∵，CD边上的高＝，‎ ‎　　∴S△COD为定值．要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，‎ ‎　　∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°﹣∠BOC＝∠OBA，‎ ‎　　又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB．‎ ‎　　‎ ‎　　∴当t为秒时，h的值最大．‎ 第3题 ‎3. 如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，‎ 当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是 否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个 动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M 的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系 式，并求l取最大值时，点M的坐标．‎ 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 ‎ ‎ ∴ ∴ ∴所求函数关系式为： （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴‎ ‎∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5 ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． ‎ 当时， 当时，‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上． ‎ ‎（3）设直线CD对应的函数关系式为，则 解得：．∴ ‎ ‎∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t．‎ 则， ， ‎ ‎∴‎ ‎∵， ∴当时，，此时点M的坐标为（，）． ‎ ‎4．已知：m、n是方程的两个实数根，且m