中考数学考前冲刺必考知识点汇总 17页

初三数学应知应会的知识点 一元二次方程 ‎ ‎1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.‎ ‎2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.‎ ‎3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：‎ Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；‎ Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.‎ ‎4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：‎ ‎※ 5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：‎ ‎(以下等价关系要求会用公式 ；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)‎ ‎（1）两根互为相反数 Û = 0且Δ≥0 Û b = 0且Δ≥0；‎ ‎（2）两根互为倒数 Û =1且Δ≥0 Û a = c且Δ≥0；‎ ‎（3）只有一个零根 Û = 0且≠0 Û c = 0且b≠0；‎ ‎（4）有两个零根 Û = 0且= 0 Û c = 0且b=0；‎ ‎（5）至少有一个零根 Û =0 Û c=0；‎ ‎（6）两根异号 Û ＜0 Û a、c异号；‎ ‎（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û ＜0且＞0Û a、c异号且a、b异号；‎ ‎（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û ＜0且＜0Û a、c异号且a、b同号；‎ ‎（9）有两个正根 Û ＞0，＞0且Δ≥0 Û a、c同号， a、b异号且Δ≥0；‎ ‎（10）有两个负根 Û ＞0，＜0且Δ≥0 Û a、c同号， a、b同号且Δ≥0.‎ ‎6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.‎ ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.‎ ‎7．求一元二次方程的公式： ‎ x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.‎ ‎8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：‎ ‎ (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.‎ ‎（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.‎ ‎9．分式方程的解法：‎ ‎※11．几个常见转化：‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ 解三角形 ‎ ‎1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么 sinA=； cosA=；‎ tanA=； cotA=.‎ ‎2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：‎ sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB.‎ ‎3. 同角三角函数关系：‎ sin2A+cos2A =1； tanA·cotA =1. ※ tanA= ※ cotA=‎ ‎4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.‎ ‎5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数 值，要熟练记忆它们. ‎ ‎∠A ‎ 0°‎ ‎ 30°‎ ‎ 45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ sinA ‎ 0‎ ‎ 1‎ cosA ‎ 1‎ ‎ 0‎ tanA ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎ cotA 不存在 ‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ ※ 6. 函数值的取值范围： 在0° 90°时.‎ ‎ 正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0；‎ ‎ 正切函数值范围：0 无穷大； ‎ ‎ 余切函数值范围：无穷大 0.‎ ‎7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.‎ ‎※ 8. 关于直角三角形的两个公式： Rt△ABC中: 若∠C=90°,‎ ‎ ‎ ‎9．坡度： i = 1:m = h/l = tanα； 坡角: α.‎ ‎10. 方位角：‎ ‎11．仰角与俯角：‎ ‎12．解斜三角形：已知“SAS” “SSS” “ASA” “AAS” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.‎ ‎※ 13．解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）∠A≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.‎ ‎14．解三角形的基本思路：‎ ‎（1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据；‎ ‎（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想；‎ ‎（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.‎ 函数及其图象 一 函数基本概念 ‎1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.‎ ‎※ 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.‎ ‎※3. 函数的确定：对于 y=kx2 (k≠0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.‎ ‎4.平面直角坐标系：‎ ‎（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标； ‎ ‎（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图： ‎ ‎（3） x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也成立；‎ ‎（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:‎ x=y <=> M在一三象限角平分线上； ‎ ‎ x=-y <=> M在二四象限角平分线上.‎ ‎（5）对称两点M(x1,y1), N(x2,y2) 的坐标特征：‎ 关于y轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同；‎ 关于x轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同；‎ 关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反.‎ ‎5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”‎ ‎（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 . ‎ ‎（2）如图， 象限上的点M（x,y）:‎ 到y轴距离：dy=|x|； 到x轴距离: dx=|y|； ‎ ‎.‎ ‎（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离：‎ ‎ MO=|y|； NO=|x|.‎ ‎※（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离：‎ ‎ ‎ ‎※ 6. 几个直线方程 : ‎ y轴 <=> 直线 x=0 ； x 轴 <=> 直线 y=0 ；‎ 与y轴平行，距离为∣a∣的直线 <=> 直线 x=a；‎ 与x轴平行，距离为∣b∣的直线 <=> 直线 y=b.‎ ‎7. 函数的图象：‎ ‎(1) 把自变量x的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；‎ ‎(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入！‎ ‎(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；‎ ‎(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.‎ ‎8. 自变量取值范围与函数取值范围： ‎ 二次函数 ‎1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)‎ ‎2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.‎ ‎3. y=ax2 (a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：‎ ‎（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax2 (a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).‎ ‎4. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： ‎ ‎ ‎ ‎5. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：‎ ‎(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；‎ ‎(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；‎ c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；‎ ‎(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；‎ b=0 <=> 对称轴是y轴；‎ ‎(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； ‎ ‎ Δ=0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；‎ ‎ Δ＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.‎ ‎6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.‎ ‎8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k.‎ ‎9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -x0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）‎ ‎10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：‎ k值增大 <=> 图象向上平移； ‎ ‎ k值减小 <=> 图象向下平移；‎ ‎（x-h）值增大 <=> 图象向左平移； ‎ ‎ (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.‎ ‎11. 二次函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)；由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.‎ ‎12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）‎ ‎13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.‎ 函数综合题 ‎1．数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.‎ ‎2．数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.‎ ‎3．函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k≠0)、一次函数y=kx+b (k≠0)‎ 都可以看作二元一次方程，而二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可以看作二元二次方程，反比例函数可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.‎ ‎4．二次函数与一元二次方程的关系：‎ ‎（1）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；‎ ‎（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.‎ ‎（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点 C(0,c),也有关系式: OC=|c|.‎ ‎5．二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：‎ Δ＞0 <=> 方程组有两个解； Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解. ‎ 初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )‎ 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）‎ ‎1.垂径定理及推论: ‎ ‎ 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. ‎ 几何表达式举例：‎ ‎∵ CD过圆心 ‎∵CD⊥AB ‎2.平行线夹弧定理：‎ 圆的两条平行弦所夹的弧相等.‎ 几何表达式举例：‎ ‎3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）‎ ‎“等角对等弦”； “等弦对等角”； ‎ ‎“等角对等弧”； “等弧对等角”；‎ ‎“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；‎ ‎“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵∠AOB=∠COD ‎∴ AB = CD ‎ ‎(2) ∵ AB = CD ‎∴∠AOB=∠COD ‎4．圆周角定理及推论:‎ ‎（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；‎ ‎（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)‎ ‎（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；‎ ‎（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)‎ ‎（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)‎ ‎（1） （2） （3） ‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵∠ACB=∠AOB ‎∴ ……………‎ ‎（2） ∵ AB是直径 ‎∴ ∠ACB=90°‎ ‎（3） ∵ CD=AD=BD ‎∴ ΔABC是RtΔ ‎ ‎5．圆内接四边形性质定理:‎ 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个 外角都等于它的内对角.‎ 几何表达式举例：‎ ‎∵ ABCD是圆内接四边形 ‎∴ ∠CDE =∠ABC ‎∠C+∠A =180°‎ ‎6．切线的判定与性质定理:‎ 如图：有三个元素，“知二可推一”；‎ 需记忆其中四个定理.‎ ‎（1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线；‎ ‎（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；‎ ‎※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；‎ ‎※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵OC是半径 ‎∵OC⊥AB ‎∴AB是切线 ‎（2） ∵OC是半径 ‎∵AB是切线 ‎∴OC⊥AB ‎（3） ……………‎ ‎7．切线长定理:‎ 从圆外一点引圆的两条切线，‎ 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角.‎ 几何表达式举例：‎ ‎∵ PA、PB是切线 ‎∴ PA=PB ‎∵PO过圆心 ‎∴∠APO =∠BPO ‎8．弦切角定理及其推论:‎ ‎（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；‎ ‎（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（如图）‎ ‎（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1）∵BD是切线，BC是弦 ‎∴∠CBD =∠CAB ‎（2）‎ ‎∵ ED，BC是切线 ‎∴ ∠CBA =∠DEF ‎（1） （2）‎ ‎9．相交弦定理及其推论:‎ ‎（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；‎ ‎（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.‎ ‎（1） （2）‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵PA·PB=PC·PD ‎∴………‎ ‎（2） ∵AB是直径 ‎∵PC⊥AB ‎∴PC2=PA·PB ‎10．切割线定理及其推论:‎ ‎（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；‎ ‎（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.‎ ‎（1） （2）‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵PC是切线，‎ PB是割线 ‎∴PC2=PA·PB ‎（2） ∵PB、PD是割线 ‎∴PA·PB=PC·PD ‎11．关于两圆的性质定理:‎ ‎（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵O1，O2是圆心 ‎（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.‎ ‎ ‎ ‎（1） （2）‎ ‎∴O1O2垂直平分AB ‎（2） ∵⊙1 、⊙2相切 ‎∴O1 、A、O2三点一线 ‎12．正多边形的有关计算:‎ ‎（1）中心角an ，半径RN ， 边心距rn ， ‎ ‎ 边长an ，内角bn ， 边数n；‎ ‎（2）有关计算在RtΔAOC中进行.‎ 公式举例：‎ ‎(1) an =；‎ ‎(2) ‎ 几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）‎ 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外）‎ 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角.‎ 二 定理：‎ ‎1．不在一直线上的三个点确定一个圆.‎ ‎2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.‎ ‎3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.‎ 三 公式：‎ ‎1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.‎ ‎（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）‎ ‎2.圆柱与圆锥的侧面展开图：‎ ‎（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)‎ ‎（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）‎ 四 常识：‎ ‎1． 圆是轴对称和中心对称图形.‎ ‎2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.‎ ‎3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；‎ 三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.‎ ‎4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）‎ 直线与圆相交 Û d＜r ； 直线与圆相切 Û d=r ； 直线与圆相离 Û d＞r.‎ ‎5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）‎ 两圆外离 Û d＞R+r； 两圆外切 Û d=R+r； 两圆相交 Û R-r＜d＜R+r；‎ 两圆内切 Û d=R-r； 两圆内含 Û d＜R-r.‎ ‎6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.‎ ‎7．关于圆的常见辅助线：‎ 已知弦构造弦心距.‎ 已知弦构造RtΔ.‎ 已知直径构造直角.‎ 已知切线连半径，出垂直.‎ 圆外角转化为圆周角.‎ 圆内角转化为圆周角.‎ 构造垂径定理.‎ 构造相似形.‎ 两圆内切，构造外公切线与垂直.‎ 两圆内切，构造外公切线与平行.‎ 两圆外切，构造内公切线与垂直.‎ 两圆外切，构造内公切线与平行.‎ 两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.‎ PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.‎ 相交弦出相似.‎ 一切一割出相似, 并且构造弦切角.‎ 两割出相似,并且构造圆周角.‎ 双垂出相似,并且构造直角.‎ 规则图形折叠出一对全等，一对相似.‎ 圆的外切四边形对边和相等.‎ 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.‎ 等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.‎ RtΔABC的内切圆半径：r=.‎ 补全半圆.‎ ‎ ‎ AB=.‎ AB=.‎ PC过圆心，PA是切线，构造 双垂、RtΔ.‎ O是圆心，等弧出平行和相似.‎ 作AN⊥BC，可证出:‎ ‎.‎