赤峰市2015年中考数学卷 19页

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  • 2021-05-13 发布

赤峰市2015年中考数学卷

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‎2015年内蒙古赤峰市中考数学试卷 一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑,每小题3分,共24分)‎ ‎1. (2015•赤峰)﹣2的相反数是(  )‎ ‎  A. 2 B. C. D. |﹣2|‎ 考点: 相反数.‎ 分析: 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.‎ 解答: 解:﹣2的相反数是2,‎ 故选A 点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.‎ ‎ ‎ ‎2. (2015•赤峰)为了加速内蒙古经济建设,国家计划投资204.4亿元修建赤峰市至喀左的“高铁”,204.4亿用科学记数法表示正确的是(  )‎ ‎  A. 0.2044×1011 B. 20.44×109 C. 2.044×108 D. 2.044×1010‎ 考点: 科学记数法—表示较大的数.‎ 分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答: 解:204.4亿=20440000000=2.044×1010,‎ 故选D.‎ 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎3. (2015•赤峰)下面四个“艺术字”中,轴对称图形的个数是(  )‎ ‎  A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点: 轴对称图形.‎ 分析: 根据轴对称图形的定义即可得出结论.‎ 解答: 解:由轴对称图形的性质可知,四个字中的轴对称图形有:美、赤.‎ 故选B.‎ 点评: 本题考查的是轴对称图形,熟知轴对称图形的定义是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4. (2015•赤峰)如图,直线AB∥CD,一个含60°角的直角三角板EFG(∠E=60°)的直角顶点F在直线AB上,斜边EG与AB相交于点H,CD与FG相交于点M.若∠AHG=50°,则∠FMD等于(  )‎ ‎  A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°‎ 考点: 平行线的性质.‎ 分析: 先根据平行线的性质求出∠CKG的度数,再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数,根据对顶角相等即可得出结论.‎ 解答: 解:∵直线AB∥CD,∠AHG=50°,‎ ‎∴∠AKG=∠XKG=50°.‎ ‎∵∠CKG是△KMG的外角,‎ ‎∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°.‎ ‎∵∠KMG与∠FMD是对顶角,‎ ‎∴∠FMD=∠KMG=20°.‎ 故选B.‎ 点评: 本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同位角相等.‎ ‎ ‎ ‎5. (2015•赤峰)解不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.‎ 分析: 分别求得不等式组中的两个不等式的解集,然后取其交集,并表示在数轴上.‎ 解答: 解:‎ 解不等式(1),得 x≤﹣1.‎ 解不等式(2),得 x>﹣3,‎ 则原不等式组的解集为:﹣3<x≤﹣1.‎ 表示在数轴上为:.‎ 故选:C.‎ 点评: 本题考查了解不等式组,在数轴上表示不等式的解集.把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.‎ ‎ ‎ ‎6. (2015•赤峰)为了了解某校学生的课外阅读情况,随机抽查了10学生周阅读用时数,结果如下表:‎ 周阅读用时数(小时) 4 5 8 12‎ 学生人数(人) 3 4 2 1‎ 则关于这10名学生周阅读所用时间,下列说法正确的是(  )‎ ‎  A. 中位数是6.5 B. 众数是12 C. 平均数是3.9 D. 方差是6‎ 考点: 方差;加权平均数;中位数;众数.‎ 分析: A:根据中位数的求法,把这10名学生周阅读所用时间从大到小排列,则中间两个数的平均数即是这10名学生周阅读所用时间的中位数.‎ B:根据众数的求法,这10名学生周阅读所用时间中出现次数最多的,即为这10名学生周阅读所用时间的众数.‎ C:根据算术平均数的求法,求出这10名学生周阅读所用时间的平均数是多少即可.‎ D:根据方差的计算方法,求出这10名学生周阅读所用时间的方差是多少即可.‎ 解答: 解:这10名学生周阅读所用时间从大到小排列,可得 ‎4、4、4、5、5、5、5、8、8、12,‎ ‎∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是:‎ ‎(5+5)÷2=10÷2=5,‎ ‎∴选项A不正确;‎ ‎∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时,‎ ‎∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5,‎ ‎∴选项B不正确;‎ ‎∵(4×3+5×4+8×2+12)÷10‎ ‎=60÷10‎ ‎=6‎ ‎∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6,‎ ‎∴选项C不正确;‎ ‎∵[(4﹣6)2+(4﹣6)2+(4﹣6)2+(5﹣6)2+(5﹣6)2+(5﹣6)2+(5﹣6)2+(8﹣6)2+(8﹣6)2+(12﹣6)2]‎ ‎=[4+4+4+1+1+1+1+4+4+36]‎ ‎=60‎ ‎=6‎ ‎∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6,‎ ‎∴选项D正确.‎ 故选:D.‎ 点评: (1)此题主要考查了算术平均数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.‎ ‎(2)此题还考查了方差的含义和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.‎ ‎(3)此题还考查了中位数、众数的含义和求法,要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎7. (2015•赤峰)如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ 考点: 简单组合体的三视图.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 从几何体上方观察,得到俯视图即可.‎ 解答: 解:如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是.‎ 故选D 点评: 此题考查了简单组合体的三视图,俯视图即为从上方观察几何体得到的试图.‎ ‎ ‎ ‎8. (2015•赤峰)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.‎ 分析: 根据二次函数图象与系数的关系确定a>0,b<0,c<0,根据一次函数和反比例函数的性质确定答案.‎ 解答: 解:由抛物线可知,a>0,b<0,c<0,‎ ‎∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,‎ 反比例函数y=的图象在第二、四象限,‎ 故选:B.‎ 点评: 本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系,掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上,每小题3分,共24分)‎ ‎9. (2015•赤峰)因式分解:3a2﹣6a= 3a(a﹣2) .‎ 考点: 因式分解-提公因式法.‎ 分析: 直接提取公因式3a,进而分解因式即可.‎ 解答: 解:3a2﹣6a=3a(a﹣2).‎ 故答案为:3a(a﹣2).‎ 点评: 此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确得出公因式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎10. (2015•赤峰)若关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab= 4 .‎ 考点: 根与系数的关系.‎ 分析: 根据根与系数的关系得到,通过解该方程组可以求得a、b的值.‎ 解答: 解:∵关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别是2、b,‎ ‎∴由韦达定理,得,‎ 解得,.‎ ‎∴ab=1×4=4.‎ 故答案是:4.‎ 点评: 本题考查了根与系数的关系.x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=,反过来也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2.‎ ‎ ‎ ‎11. (2015•赤峰)在分别写有﹣1,0,1,2的四张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1的概率为  .‎ 考点: 概率公式.‎ 分析: 让所抽取的数字平方后等于1的卡片数除以总卡片数即为所求的概率,即可选出.‎ 解答: 解:因为﹣1,0,1,2的四张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1有2张,‎ 所以所抽取的数字平方后等于1的概率为,‎ 故答案为:‎ 点评: 本题考查随机事件概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.‎ ‎ ‎ ‎12. (2015•赤峰)如图,M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点,分别以AE、BF为折痕,使点D、点C落在MN的点G处,则△ABG是 等边 三角形.‎ 考点: 翻折变换(折叠问题);等边三角形的判定;正方形的性质.‎ 分析: 由折叠的性质可知AG=AD,BG=BC,然后根据正方形的性质可知:AD=AB=BC,从而可知:AG=AB=BC.‎ 解答: 解:由折叠的性质可知AG=AD,BG=BC,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=AB=BC.‎ ‎∴AG=AB=BC.‎ ‎∴△ABG是等边三角形.‎ 故答案为:等边.‎ 点评: 本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质,由折叠的性质证得:AG=AD,BG=BC是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13. (2015•赤峰)如图,AB是⊙O的直径,OB=3,BC是⊙O的弦,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接OD,若∠BAC=20°,则的长等于 π .‎ 考点: 弧长的计算;圆周角定理.‎ 分析: 根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°,再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC,然后根据角平分线的定义求出∠ABD,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD,然后根据弧长公式列式计算即可得解.‎ 解答: 解:∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵∠BAC=20°,‎ ‎∴∠ABC=90°﹣20°=70°,‎ ‎∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°,‎ ‎∴∠AOD=2∠ABD=2×35°=70°,‎ ‎∴的长==π.‎ 故答案为:π.‎ 点评: 本题考查了弧长的计算,圆周角定理,直角三角形两锐角互余的性质,比较简单,熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14. (2015•赤峰)如图,平行四边形ABCD中,AB=AC=4,AB⊥AC,O是对角线的交点,若⊙O过A、C两点,则图中阴影部分的面积之和为 4 .‎ 考点: 扇形面积的计算;平行四边形的性质.‎ 分析: 先根据∠AOB=∠COD可知S阴影=S△AOB,再由平行四边形的性质得出OA=AC,由三角形的面积公式即可得出结论.‎ 解答: 解:∵∠AOB=∠COD,‎ ‎∴S阴影=S△AOB.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OA=AC=×4=2.‎ ‎∵AB⊥AC,‎ ‎∴S阴影=S△AOB=OA•AB=×2×4=4.‎ 故答案为:4.‎ 点评: 本题考查的是扇形面积的计算,熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15. (2015•赤峰)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是DC上一点,连接BE并延长交AD延长线于点F,请你只添加一个条件: BD∥FC 使得四边形BDFC为平行四边形.‎ 考点: 平行四边形的判定.‎ 分析: 利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形,进而得出答案.‎ 解答: 解:∵AD∥BC,当BD∥FC时,‎ ‎∴四边形BDFC为平行四边形.‎ 故答案为:BD∥FC.‎ 点评: 此题主要考查了平行四边形的判定,正确把握判定方法是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎16. (2015•赤峰)“梅花朵朵迎春来”,下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案,按图中规律,第n个图形中小梅花的个数是 (2n﹣1)(n+1) .‎ 考点: 规律型:图形的变化类.‎ 分析: 第一个图形是由2个图形组成,第二个图形是由9个图形组成,第三个是由20个图形组成,找到规律则第n个的表达式能写出来.‎ 解答: 解:第一个图案是由2个组成:‎ 即为:2=1×2;‎ 第二个图案是由9个组成:‎ 即为:9=3×3;‎ 第3个图案是由5×4=20个组成:‎ 即为:20=5×4;‎ 第4个图案是由35个组成:‎ 即为:35=7×5;‎ 以此类推:第n个图案的个数:(2n﹣1)(n+1).‎ 故答案为:(2n﹣1)(n+1).‎ 点评: 本题考查图形的变化规律,观察得出“每一行和每一列的个数的关系”是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(在答题卡上解答,在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,共10题,满分102分)‎ ‎17.(6分)(2015•赤峰)计算:|﹣|﹣(﹣π)0﹣sin30°+(﹣)﹣2.‎ 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ 分析: 先分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数的值,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.‎ 解答: 解:原式=﹣1﹣+4‎ ‎=3.‎ 点评: 本题考查的是实数的运算,熟知绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)(2015•赤峰)解二元一次方程组:.‎ 考点: 解二元一次方程组.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 方程组利用加减消元法求出解即可.‎ 解答: 解:,‎ ‎①×2+②得:7x=14,即x=2,‎ 把x=2代入①得:y=﹣3,‎ 则方程组的解为.‎ 点评: 此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎ ‎ ‎19.(10分)(2015•赤峰)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标为A(﹣3,4),B(﹣4,2),C(﹣2,1),且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称.‎ ‎(1)画出△A1B1C1,并写出A1的坐标;‎ ‎(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,△ABC经平移后点P的对称点P′(a+3,b+1),请画出平移后的△A2B2C2.‎ 考点: 作图-旋转变换;作图-平移变换.‎ 分析: (1)首先作出A、B、C的对应点,然后顺次连接即可求得;‎ ‎(2)把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度,向上平移1个单位长度即可得到对应点,然后顺次连接即可.‎ 解答: 解:(1)如图所示:‎ A1的坐标是(3,﹣4);‎ ‎(2)△A2B2C2是所求的三角形.‎ 点评: 本题考查了图形的对称和图形的平移,理解P(a,b)的对称点P′(a+3,b+1),即把已知的点向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度即可得到对应点是关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)(2015•赤峰)如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留整数,≈1.7,≈1.4 )‎ 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析: 利用30°的正切值即可求得AE长,进而可求得CE长.CE减去DE长即为信号塔CD的高度.‎ 解答: 解:根据题意得:AB=18,DE=18,∠A=30°,∠EBC=60°,‎ 在Rt△ADE中,AE===18‎ ‎∴BE=AE﹣AB=18﹣18,‎ 在Rt△BCE中,CE=BE•tan60°=(18﹣18)=54﹣18,‎ ‎∴CD=CE﹣DE=54﹣18﹣18≈5米.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形;难点是充分找到并运用题中相等的线段.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2015•赤峰)中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注,为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的,分为四种类型:A接听电话;B收发短信;C查阅资料;D游戏聊天.并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)此次抽样调查中,共调查了 200 名学生;‎ ‎(2)将图1、图2补充完整;‎ ‎(3)现有4名学生,其中A类两名,B类两名,从中任选2名学生,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法).‎ 考点: 列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.‎ 专题: 计算题;数形结合.‎ 分析: (1)用A类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数;‎ ‎(2)分别计算出B、D两类人数和C、D两类所占百分比,然后补全统计图;‎ ‎(3)先画树状图展示所有有12种等可能的结果数,再找出两名学生为同一类型的结果数,然后根据概率公式求解.‎ 解答: 解:(1)100÷50%=200,‎ 所以调查的总人数为200名;‎ 故答案为200;‎ ‎(2)B类人数=200×25%=50(名);D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10(名);‎ C类所占百分比=×100%=20%,D类所占百分比=×100%=5%,‎ 如图:‎ ‎(3)画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果数,其中两名学生为同一类型的结果数为4,‎ 所以这两名学生为同一类型的概率==.‎ 点评: 本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了扇形统计图和条形统计图.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2015•赤峰)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.‎ ‎(1)求证:PB是的切线.‎ ‎(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.‎ 考点: 切线的判定与性质.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: (1)由已知角相等,及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似,利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角,即可得证;‎ ‎(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB,由PD﹣PC求出CD的长,在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8﹣r,利用勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解得到r的值,即为圆的半径.‎ 解答: (1)证明:∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,‎ ‎∴∠OBP=∠E=90°,‎ ‎∵OB为圆的半径,‎ ‎∴PB为圆O的切线;‎ ‎(2)解:在Rt△PBD中,PB=6,DB=8,‎ 根据勾股定理得:PD==10,‎ ‎∵PD与PB都为圆的切线,‎ ‎∴PC=PB=6,‎ ‎∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4,‎ 在Rt△CDO中,设OC=r,则有DO=8﹣r,‎ 根据勾股定理得:(8﹣r)2=r2+42,‎ 解得:r=3,‎ 则圆的半径为3.‎ 点评: 此题考查了切线的判定与性质,勾股定理,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)(2015•赤峰)如图,直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,过点C作CD⊥x轴,点P是x轴下方直线CD上的一点,且△OCP与△OBC相似,求过点P的双曲线解析式.‎ 考点: 相似三角形的判定与性质;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式.‎ 分析: 由直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,易得OC=2,OB=4,再分两种情况①当∠OBC=∠COP时,△OCP与△OBC相似,②当∠OBC=∠CPO时,△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标,再求出过点P的双曲线解析式.‎ 解答: 解:∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,‎ ‎∴令y=0,可得﹣2x+4=0,解得x=2,即C(2,0),OC=2,‎ 令x=0,可得y=4,即B(0,4),OB=4,‎ ‎①如图1,当∠OBC=∠COP时,△OCP与△OBC相似,‎ ‎∴=,即=,解得CP=2,‎ ‎∴P(2,﹣1),‎ 设过点P的双曲线解析式y=,把P点代入得﹣1=,解得k=﹣2,‎ ‎∴过点P的双曲线解析式y=,‎ ‎②如图2,当∠OBC=∠CPO时,△OCP与△OBC相似,‎ 在△OCP和△COB中,‎ ‎∴△OCP≌△COB(AAS)‎ ‎∴CP=BO=4,‎ ‎∴P(2,﹣4)‎ 设过点P的双曲线解析式y=,把P点代入得﹣4=,解得k=﹣8,‎ ‎∴过点P的双曲线解析式y=,‎ 点评: 本题主要考查了相似三角形的判定与性质,待定系数求反比例函数,解题的关键是分两种情况正确画出图形.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•赤峰)李老师家距学校1900米,某天他步行去上班,走到路程的一半时发现忘带手机,此时离上班时间还有23分钟,于是他立刻步行回家取手机,随后骑电瓶车返回学校.已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟,且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍,李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟.‎ ‎(1)求李老师步行的平均速度;‎ ‎(2)请你判断李老师能否按时上班,并说明理由.‎ 考点: 分式方程的应用.‎ 分析: (1)设李老师步行的平均速度为xm/分钟,骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟,根据题意可得,骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟,据此列方程求解;‎ ‎(2)计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间,然后和23进行比较即可.‎ 解答: 解:(1)设李老师步行的平均速度为xm/分钟,骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟,‎ 由题意得,﹣=20,‎ 解得:x=76,‎ 经检验,x=76是原分式方程的解,且符合题意,‎ 则5x=76×5=380,‎ 答:李老师步行的平均速度为76m/分钟,骑电瓶车的平均速度为380m/分;‎ ‎(2)由(1)得,李老师走回家需要的时间为:=12.5(分钟),‎ 骑车走到学校的时间为:=5,‎ 则李老师走到学校所用的时间为:12.5+5+4=21.5<23,‎ 答:李老师能按时上班.‎ 点评: 本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2015•赤峰)如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.‎ ‎(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;‎ ‎(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?‎ 考点: 几何变换综合题.‎ 分析: (1)如答图1,连接BD.根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE,然后证明△ADF≌△BDE(ASA),得DF=DE;‎ ‎(2)如答图2,连接BD.根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE,然后证明△ADF≌△BDE(ASA),得DF=DE;‎ ‎(3)根据(2)中的△ADF≌△BDE得到:S△ADF=S△BDE,AF=BE.所以△DEF的面积转化为:y=S△BEF+S△ABD.据此列出y关于x的二次函数,通过求二次函数的最值来求y的最小值.‎ 解答: 解:(1)DF=DE.理由如下:‎ 如答图1,连接BD.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=AB.‎ 又∵∠A=60°,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴AD=BD,∠ADB=60°,‎ ‎∴∠DBE=∠A=60°‎ ‎∵∠EDF=60°,‎ ‎∴∠ADF=∠BDE.∵在△ADF与△BDE中,,‎ ‎∴△ADF≌△BDE(ASA),‎ ‎∴DF=DE;‎ ‎(2)DF=DE.理由如下:‎ 如答图2,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=AB.‎ 又∵∠A=60°,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴AD=BD,∠ADB=60°,‎ ‎∴∠DBE=∠A=60°‎ ‎∵∠EDF=60°,‎ ‎∴∠ADF=∠BDE.‎ ‎∵在△ADF与△BDE中,,‎ ‎∴△ADF≌△BDE(ASA),‎ ‎∴DF=DE;‎ ‎(3)由(2)知,△ADF≌△BDE.则S△ADF=S△BDE,AF=BE=x.‎ 依题意得:y=S△BEF+S△ABD=(2+x)xsin60°+×2×2sin60°=(x+1)2+.即y=(x+1)2+.‎ ‎∵>0,‎ ‎∴该抛物线的开口方向向上,‎ ‎∴当x=0即点E、B重合时,y最小值=.‎ 点评: 本题考查了几何变换综合题,解题过程中,利用了三角形全等的判定与性质,菱形的性质以及等边三角形的判定与性质,对于促进角与角(边与边)相互转换,将未知角转化为已知角(未知边转化为已知边)是关键.‎ ‎ ‎ ‎26.(14分)(2015•赤峰)已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.‎ ‎(1)求此二次函数解析式;‎ ‎(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;‎ ‎(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点: 二次函数综合题.‎ 分析: (1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式;‎ ‎(2)分别求得线段BC、CD、BD的长,利用勾股定理的逆定理进行判定即可;‎ ‎(3)分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论.运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系,再结合抛物线解析式即可求解.‎ 解答: 解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),‎ ‎∴根据题意,得,‎ 解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.‎ ‎(2)由y=﹣x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),‎ ‎∴CD==,‎ BC==3,‎ BD==2,‎ ‎∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20,‎ ‎∴CD2+BC2=BD2,‎ ‎∴△BCD是直角三角形;‎ ‎(3)存在.CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=‎ y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1.‎ ‎①若以CD为底边,则PD=PC,‎ 设P点坐标为(x,y),根据两点间距离公式,‎ 得x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,‎ 即y=4﹣x.‎ 又P点(x,y)在抛物线上,‎ ‎∴4﹣x=﹣x2+2x+3,‎ 即x2﹣3x+1=0,‎ 解得x1=,x2=<1,应舍去,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴y=4﹣x=,‎ 即点P坐标为(,).‎ ‎②若以CD为一腰,‎ ‎∵点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,‎ 此时点P坐标为(2,3).‎ ‎∴符合条件的点P坐标为(,)或(2,3).‎ 点评: 此题是一道典型的“存在性问题”,结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质,考查了它们存在的条件,有一定的开放性.‎ ‎ ‎