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- 2021-05-13 发布
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1
2019 年中考数学真题试题
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 3 分,满分 36 分)每小题都给出标号为 A,B,C,D 四个备选答案,
其中有且只有一个是正确的。
1.(3 分)﹣ 的倒数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.(3 分)在学习《图形变化的简单应用》这一节时,老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的
图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3 分)2018 年政府工作报告指出,过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从 54 万亿元
增加到 82.7 万亿元,稳居世界第二,82.7 万亿用科学记数法表示为( )
A.0.827×1014 B.82.7×1012 C.8.27×1013 D.8.27×1014
4.(3 分)由 5 个棱长为 1 的小正方体组成的几何体如图放置,一面着地,两面靠墙.如果要将露出来的部
分涂色,则涂色部分的面积为( )
A.9 B.11 C.14 D.18
5.(3 分)甲、乙、丙、丁 4 支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示:
甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 177 178 178 179
方差 0.9 1.6 1.1 0.6
哪支仪仗队的身高更为整齐?( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.(3 分)下列说法正确的是( )
A.367 人中至少有 2 人生日相同
2
B.任意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率是
C.天气预报说明天的降水概率为 90%,则明天一定会下雨
D.某种彩票中奖的概率是 1%,则买 100 张彩票一定有 1 张中奖
7.(3 分)利用计算器求值时,小明将按键顺序为 显示结果
记为 a, 的显示结果记为 b.则 a,b 的大小关系为( )
A.a<b B.a>b C.a=b D.不能比较
8.(3 分)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第 n 个图形
中有 120 朵玫瑰花,则 n 的值为( )
A.28 B.29 C.30 D.31
9.(3 分)对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示,点 O 为对角线的交点,过点 O 折叠菱形,使 B,B′
两点重合,MN 是折痕.若 B'M=1,则 CN 的长为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
10.(3 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,点 I 是△ABC 的内心,∠AIC=124°,点 E 在 AD 的延长线上,
则∠CDE 的度数为( )
A.56° B.62° C.68° D.78°
3
11.(3 分)如图,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①
2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3 时,y<0;④当 a=1 时,将抛物线先向上平移 2 个单位,再向右
平移 1 个单位,得到抛物线 y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
12.(3 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=8cm,BC=6cm,点 P 从点 A 出发,以 lcm/s 的速度沿 A→D→C 方向匀速
运动,同时点 Q 从点 A 出发,以 2cm/s 的速度沿 A→B→C 方向匀速运动,当一个点到达点 C 时,另一个点
也随之停止.设运动时间为 t(s),△APQ 的面积为 S(cm2),下列能大致反映 S 与 t 之间函数关系的图象
是( )
A. B .
C. D.
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,满分 18 分)
4
13.(3 分)(π﹣3.14)0+tan60°= .
14.(3 分) 与最简二次根式 5 是同类二次根式,则 a= .
15.(3 分)如图,反比例函数 y= 的图象经过▱ABCD 对角线的交点 P,已知点 A,C,D 在坐标轴上,BD⊥
DC,▱ABCD 的面积为 6,则 k= .
16.(3 分)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点 O,A,B,C 在格点(两条网格线的
交点叫格点)上,以点 O 为原点建立直角坐标系,则过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 .
17.(3 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m﹣1=0 的实数根 x1,x2,满足 3x1x2﹣x1﹣x2>2,则 m 的取
值范围是 .
18.(3 分)如图,点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,点 M 为 AF 中点,以点 O 为圆心,以 OM 的长为半径画弧
得到扇形 MON,点 N 在 BC 上;以点 E 为圆心,以 DE 的长为半径画弧得到扇形 DEF,把扇形 MON 的两条半径
OM,ON 重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为 r1;将扇形 DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为
r2,则 r1:r2= .
三、解答题(本大题共 7 个小题,满分 66 分)
5
19.(6 分)先化简,再求值:(1+ )÷ ,其中 x 满足 x2﹣2x﹣5=0.
20.(8 分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设
计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两
幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行
支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
21.(8 分)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路
段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路 l,其间设有区间测速,所有车辆限速 40 千米/小时数
学实践活动小组设计了如下活动:在 l 上确定 A,B 两点,并在 AB 路段进行区间测速.在 l 外取一点 P,
作 PC⊥l,垂足为点 C.测得 PC=30 米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时
6 秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈
0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
22.(9 分)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”
这批单车分为 A,B 两种不同款型,其中 A 型车单价 400 元,B 型车单价 320 元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放 A,B 两种款型的单车共 100 辆,
总价值 36800 元.试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车各多少辆?
6
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放
中 A,B 两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于 184 万元.请问城区 10 万人口平均每 100 人至少
享有 A 型车与 B 型车各多少辆?
23.(10 分)如图,已知 D,E 分别为△ABC 的边 AB,BC 上两点,点 A,C,E 在⊙D 上,点 B,D 在⊙E
上.F 为 上一点,连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N,交 AB 于点 M.
(1)若∠EBD 为 α,请将∠CAD 用含 α 的代数式表示;
(2)若 EM=MB,请说明当∠CAD 为多少度时,直线 EF 为⊙D 的切线;
(3)在(2)的条件下,若 AD= ,求 的值.
24.(11 分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 1,点 P 是正方形 ABCD 内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能
求出∠APB 的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到△BP′A,连接 PP′,求出∠APB 的度数;
思路二:将△APB 绕点 B 顺时针旋转 90°,得到△CP'B,连接 PP′,求出∠APB 的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图 2,若点 P 是正方形 ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC= ,求∠APB 的度数.
25.(14 分)如图 1,抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点 B 的直线 y=kx+
分别与 y 轴及抛物线交于点 C,D.
7
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)动点 P 从点 O 出发,在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为 t 秒,
当 t 为何值时,△PDC 为直角三角形?请直接写出所有满足条件的 t 的值;
(3)如图 2,将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后,与 x 轴,y 轴分别交于 E,F 两点,在抛物线的对称
轴上是否存在点 M,在直线 EF 上是否存在点 N,使 DM+MN 的值最小?若存在,求出其最小值及点 M,N 的坐
标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1-10、BCCBD ABCDC 11-12、DA
13、1+ 14、2 15、﹣3 16、(﹣1,﹣2)17、3<m≤5
18、 :2
19、解:原式= • = • =x(x﹣2)=x2﹣2x,
由 x2﹣2x﹣5=0,得到 x2﹣2x=5,
则原式=5.
20、200、81° 微信 .
21、解:在 Rt△APC 中,AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87,
在 Rt△BPC 中,BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21,
则 AB=AC﹣BC=87﹣21=66,
∴该汽车的实际速度为 =11m/s,
又∵40km/h≈11.1m/s,
∴该车没有超速.
22、解:(1)设本次试点投放的 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆,
8
根据题意,得: ,
解得: ,
答:本次试点投放的 A 型车 60 辆、B 型车 40 辆;
(2)由(1)知 A、B 型车辆的数量比为 3:2,
设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆、B 型车 2a 辆,
根据题意,得:3a×400+2a×320≥1840000,
解得:a≥1000,
即整个城区全面铺开时投放的 A 型车至少 3000 辆、B 型车至少 2000 辆,
则城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车 3000× =3 辆、至少享有 B 型车 2000× =2
辆.
23、解:(1)连接 CD、DE,⊙E 中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
⊙D 中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB 中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD= = ;
(2)设∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
当 EF 为⊙D 的切线时,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB 中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
9
由(1)得:∠CAD= ;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE 是等边三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD= ,
Rt△DEM 中,∠EDM=30°,DE= ,
∴EM=1,MF=EF﹣EM= ﹣1,
△ACB 中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE 中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE= ,
∴ = = =2+ .
24、解:(1)思路一、如图 1,
将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到△BP′A,连接 PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,
在 Rt△PBP'中,BP=BP'=2,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'= BP=2 ,
∵AP=1,
∴AP2+PP'2=1+8=9,
∵AP'2=32=9,
∴AP2+PP'2=AP'2,
10
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°;
思路二、同思路一的方法;
(2)如图 2,
将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到△BP′A,连接 PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP= ,
在 Rt△PBP'中,BP=BP'=1,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'= BP= ,
∵AP=3,
∴AP2+PP'2=9+2=11,
∵AP'2=( )2=11,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°.
25、解:(1)把 A(﹣4,0),B(1,0)代入 y=ax2+2x+c,得
11
,
解得: ,
∴抛物线解析式为:y= ,
∵过点 B 的直线 y=kx+ ,
∴代入(1,0),得:k=﹣ ,
∴BD 解析式为 y=﹣ ;
(2)由 得交点坐标为 D(﹣5,4),
如图 1,过 D 作 DE⊥x 轴于点 E,作 DF⊥y 轴于点 F,
当 P1D⊥P1C 时,△P1DC 为直角三角形,
则△DEP1∽△P1OC,
∴ = ,即 = ,
解得 t= ,
当 P2D⊥DC 于点 D 时,△P2DC 为直角三角形
由△P2DB∽△DEB 得 = ,
即 = ,
12
解得:t= ;
当 P3C⊥DC 时,△DFC∽△COP3,
∴ = ,即 = ,
解得:t= ,
∴t 的值为 、 、 .
(3)由已知直线 EF 解析式为:y=﹣ x﹣ ,
在抛物线上取点 D 的对称点 D′,过点 D′作 D′N⊥EF 于点 N,交抛物线对称轴于点 M
过点 N 作 NH⊥DD′于点 H,此时,DM+MN=D′N 最小.
则△EOF∽△NHD′
设点 N 坐标为(a,﹣ ),
∴ = ,即 = ,
解得:a=﹣2,
则 N 点坐标为(﹣2,﹣2),
求得直线 ND′的解析式为 y= x+1,
当 x=﹣ 时,y=﹣ ,
∴M 点坐标为(﹣ ,﹣ ),
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此时,DM+MN 的值最小为 = =2 .