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- 2021-05-13 发布
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2019年浙江省杭州市中考数学试卷
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;
1.(3分)计算下列各式,值最小的是( )
A.2×0+1﹣9 B.2+0×1﹣9 C.2+0﹣1×9 D.2+0+1﹣9
2.(3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则( )
A.m=3,n=2 B.m=﹣3,n=2 C.m=2,n=3 D.m=﹣2,n=﹣3
3.(3分)如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA=3,则PB=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(3分)已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树,设男生有x人,则( )
A.2x+3(72﹣x)=30 B.3x+2(72﹣x)=30
C.2x+3(30﹣x)=72 D.3x+2(30﹣x)=72
5.(3分)点点同学对数据26,36,46,5□,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差
6.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则( )
A.= B.= C.= D.=
第23页(共23页)
7.(3分)在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( )
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
8.(3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.(3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于( )
A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx
C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx
10.(3分)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则( )
A.M=N﹣1或M=N+1 B.M=N﹣1或M=N+2
C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N﹣1
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分;
11.(4分)因式分解:1﹣x2= .
12.(4分)某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于 .
第23页(共23页)
13.(4分)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度),已知其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2(结果精确到个位).
14.(4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC= .
15.(4分)某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,写出一个满足条件的函数表达式 .
16.(4分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A′点,D点的对称点为D′点,若∠FPG=90°,△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于 .
三、解答题:本小题7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)化简:﹣﹣1
圆圆的解答如下:
﹣﹣1=4x﹣2(x+2)﹣(x2﹣4)=﹣x2+2x
圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的答案.
18.(8分)称量五筐水果的质量,若每筐以50千克为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数,甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:千克).
实际称量读数和记录数据统计表
序号
数据
1
2
3
4
5
第23页(共23页)
甲组
48
52
47
49
54
乙组
﹣2
2
﹣3
﹣1
4
(1)补充完成乙组数据的折线统计图.
(2)①甲,乙两组数据的平均数分别为,,写出与之间的等量关系.
②甲,乙两组数据的方差分别为S甲2,S乙2,比较S甲2与S乙2的大小,并说明理由.
19.(8分)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.
(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
20.(10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.
(1)求v关于t的函数表达式;
第23页(共23页)
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围.
②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.
21.(10分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S1,点E在DC边上,点G在BC的延长线上,设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且S1=S2.
(1)求线段CE的长;
(2)若点H为BC边的中点,连接HD,求证:HD=HG.
22.(12分)设二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)(x1,x2是实数).
(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=时,y=﹣.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.
(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示).
(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x1<x2<1时,求证:0<mn<.
23.(12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D,连接OA.
(1)若∠BAC=60°,
①求证:OD=OA.
②当OA=1时,求△ABC面积的最大值.
(2)点E在线段OA上,OE=OD,连接DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n是正数),若∠ABC<∠ACB,求证:m﹣n+2=0.
第23页(共23页)
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2019年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;
1.(3分)计算下列各式,值最小的是( )
A.2×0+1﹣9 B.2+0×1﹣9 C.2+0﹣1×9 D.2+0+1﹣9
【分析】有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
【解答】解:A.2×0+1﹣9=﹣8,
B.2+0×1﹣9=﹣7
C.2+0﹣1×9=﹣7
D.2+0+1﹣9=﹣6,
故选:A.
【点评】本题考查了有理数的混合运算,熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键.
2.(3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则( )
A.m=3,n=2 B.m=﹣3,n=2 C.m=2,n=3 D.m=﹣2,n=﹣3
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案.
【解答】解:∵点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,
∴m=﹣3,n=2.
故选:B.
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质,正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.
3.(3分)如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA=3,则PB=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
第23页(共23页)
【分析】连接OA、OB、OP,根据切线的性质得出OA⊥PA,OB⊥PB,然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP,即可求得PB=PA=3.
【解答】解:连接OA、OB、OP,
∵PA,PB分别切圆O于A,B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
在Rt△AOP和Rt△BOP中,
,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),
∴PB=PA=3,
故选:B.
【点评】本题考查了切线长定理,三角形全等的判定和性质,作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.
4.(3分)已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树,设男生有x人,则( )
A.2x+3(72﹣x)=30 B.3x+2(72﹣x)=30
C.2x+3(30﹣x)=72 D.3x+2(30﹣x)=72
【分析】直接根据题意表示出女生人数,进而利用30位学生种树72棵,得出等式求出答案.
【解答】解:设男生有x人,则女生(30﹣x)人,根据题意可得:
3x+2(30﹣x)=72.
故选:D.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示出男女生的植树棵树是解题关键.
5.(3分)点点同学对数据26,36,46,5□,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断.
【解答】解:这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关,而这组数据的中位数为46,与第4个数无关.
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故选:B.
【点评】本题考查了标准差:样本方差的算术平方根表示样本的标准差,它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位数、平均数.
6.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则( )
A.= B.= C.= D.=
【分析】先证明△ADN∽△ABM得到=,再证明△ANE∽△AMC得到=,则=,从而可对各选项进行判断.
【解答】解:∵DN∥BM,
∴△ADN∽△ABM,
∴=,
∵NE∥MC,
∴△ANE∽△AMC,
∴=,
∴=.
故选:C.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:三在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系.
7.(3分)在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( )
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
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【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°,把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可.
【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C﹣∠B,
∴2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,
故选:D.
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用,能求出三角形最大角的度数是解此题的关键,注意:三角形的内角和等于180°.
8.(3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据直线①判断出a、b的符号,然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可,做出判断.
【解答】解:A、由①可知:a>0,b>0.
∴直线②经过一、二、三象限,故A正确;
B、由①可知:a<0,b>0.
∴直线②经过一、二、三象限,故B错误;
C、由①可知:a<0,b>0.
第23页(共23页)
∴直线②经过一、二、四象限,交点不对,故C错误;
D、由①可知:a<0,b<0,
∴直线②经过二、三、四象限,故D错误.
故选:A.
【点评】本题主要考查的是一次函数的图象和性质,掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.
9.(3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于( )
A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx
C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx
【分析】根据题意,作出合适的辅助线,然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离,本题得以解决.
【解答】解:作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,
∴∠EAB=x,
∴∠FBA=x,
∵AB=a,AD=b,
∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx,
故选:D.
第23页(共23页)
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
10.(3分)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则( )
A.M=N﹣1或M=N+1 B.M=N﹣1或M=N+2
C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N﹣1
【分析】先把两个函数化成一般形式,若为二次函数,再计算根的判别式,从而确定图象与x轴的交点个数,若一次函数,则与x轴只有一个交点,据此解答.
【解答】解:∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,
∴△=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2>0,
∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,
∴M=2,
∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,
∴当ab≠0时,△=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2>0,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;
当ab=0时,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,即N=1,此时M=N+1;
综上可知,M=N或M=N+1.
故选:C.
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题,关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数,二次项系数为字母的代数式时,要根据系数是否为0,确定它是什么函数,进而确定与x轴的交点个数.
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分;
11.(4分)因式分解:1﹣x2= (1﹣x)(1+x) .
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解.
第23页(共23页)
【解答】解:∵1﹣x2=(1﹣x)(1+x),
故答案为:(1﹣x)(1+x).
【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法,解题的关键是明确平方差公式,会运用平方差公式进行因式分解.
12.(4分)某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于 .
【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和,进而求出平均数.
【解答】解:∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,
则这m+n个数据的平均数等于:.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了加权平均数,正确得出两组数据的总和是解题关键.
13.(4分)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度),已知其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 cm2(结果精确到个位).
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.
【解答】解:这个冰淇淋外壳的侧面积=×2π×3×12=36π≈113(cm2).
故答案为113.
【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
14.(4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC= 或 .
【分析】讨论:若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,利用勾股定理计算出BC=x,然后根据余弦的定义求cosC的值;若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,利用勾股定理计算出BC=x,然后根据余弦的定义求cosC的值.
第23页(共23页)
【解答】解:若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC==x,所以cosC===;
若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC==x,所以cosC===;
综上所述,cosC的值为或.
故答案为或.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义:熟练掌握锐角三角函数的定义,灵活运用它们进行几何计算.
15.(4分)某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,写出一个满足条件的函数表达式 y=﹣x+1 .
【分析】根据题意写出一个一次函数即可.
【解答】解:设该函数的解析式为y=kx+b,
∵函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,
∴
解得:,
所以函数的解析式为y=﹣x+1,
故答案为:y=﹣x+1.
【点评】本题考查了各种函数的性质,题目中x、y均可以取0,故不能是反比例函数.
16.(4分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A′点,D点的对称点为D′点,若∠FPG=90°,△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于 2(5+3) .
第23页(共23页)
【分析】设AB=CD=x,由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x,因为△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,推出A′E=4D′H,设D′H=a,则A′E=4a,由△A′EP∽△D′PH,推出=,推出=,可得x=2a,再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABC是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,
由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x,
∵△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,
∴A′E=4D′H,设D′H=a,则A′E=4a,
∵△A′EP∽△D′PH,
∴=,
∴=,
∴x2=4a2,
∴x=2a或﹣2a(舍弃),
∴PA′=PD′=2a,
∵•a•2a=1,
∴a=1,
∴x=2,
∴AB=CD=2,PE==2,PH==,
∴AD=4+2++1=5+3,
∴矩形ABCD的面积=2(5+3).
故答案为2(5+3)
【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
三、解答题:本小题7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)化简:﹣﹣1
圆圆的解答如下:
第23页(共23页)
﹣﹣1=4x﹣2(x+2)﹣(x2﹣4)=﹣x2+2x
圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的答案.
【分析】直接将分式进行通分,进而化简得出答案.
【解答】解:圆圆的解答错误,
正确解法:﹣﹣1
=﹣﹣
=
=
=﹣.
【点评】此题主要考查了分式的加减运算,正确进行通分运算是解题关键.
18.(8分)称量五筐水果的质量,若每筐以50千克为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数,甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:千克).
实际称量读数和记录数据统计表
序号
数据
1
2
3
4
5
甲组
48
52
47
49
54
乙组
﹣2
2
﹣3
﹣1
4
第23页(共23页)
(1)补充完成乙组数据的折线统计图.
(2)①甲,乙两组数据的平均数分别为,,写出与之间的等量关系.
②甲,乙两组数据的方差分别为S甲2,S乙2,比较S甲2与S乙2的大小,并说明理由.
【分析】(1)利用描点法画出折线图即可.
(2)利用方差公式计算即可判断.
【解答】解:(1)乙组数据的折线统计图如图所示:
(2)①=50+.
第23页(共23页)
②S甲2=S乙2.
理由:∵S甲2=[(48﹣50)2+(52﹣50)2+(47﹣50)2+(49﹣50)2+(54﹣50)2]=6.8.
S乙2=[(﹣2﹣0)2+(2﹣0)2+(﹣3﹣0)2+(﹣1﹣0)2+(4﹣0)2]=6.8,
∴S甲2=S乙2.
【点评】本题考查折线统计图,算术平均数,方差等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
19.(8分)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.
(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP,根据三角形的外角性质即可证得APC=2∠B;
(2)根据题意可知BA=BQ,根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA,再根据三角形的内角和公式即可解答.
【解答】解:(1)证明:∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,
∴PA=PB,
∴∠B=∠BAP,
∵∠APC=∠B+∠BAP,
∴∠APC=2∠B;
(2)根据题意可知BA=BQ,
∴∠BAQ=∠BQA,
∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,
第23页(共23页)
∴∠BQA=2∠B,
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质,难度适中.
20.(10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.
(1)求v关于t的函数表达式;
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围.
②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.
【分析】(1)由速度乘以时间等于路程,变形即可得速度等于路程比时间,从而得解;
(2)①8点至12点48分时间长为小时,8点至14点时间长为6小时,将它们分别代入v关于t的函数表达式,即可得小汽车行驶的速度范围;
②8点至11点30分时间长为小时,将其代入v关于t的函数表达式,可得速度大于120千米/时,从而得答案.
【解答】解:(1)∵vt=480,且全程速度限定为不超过120千米/小时,
∴v关于t的函数表达式为:v=,(0≤t≤4).
(2)①8点至12点48分时间长为小时,8点至14点时间长为6小时
将t=6代入v=得v=80;将t=代入v=得v=100.
∴小汽车行驶速度v的范围为:80≤v≤100.
②方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:
8点至11点30分时间长为小时,将t=代入v=得v=>120千米/小时,超速了.
故方方不能在当天11点30分前到达B地.
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【点评】本题是反比例函数在行程问题中的应用,根据时间速度和路程的关系可以求解,本题属于中档题.
21.(10分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S1,点E在DC边上,点G在BC的延长线上,设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且S1=S2.
(1)求线段CE的长;
(2)若点H为BC边的中点,连接HD,求证:HD=HG.
【分析】(1)设出正方形CEFG的边长,然后根据S1=S2,即可求得线段CE的长;
(2)根据(1)中的结果可以题目中的条件,可以分别计算出HD和HG的长,即可证明结论成立.
【解答】解:(1)设正方形CEFG的边长为a,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴DE=1﹣a,
∵S1=S2,
∴a2=1×(1﹣a),
解得,(舍去),,
即线段CE的长是;
(2)证明:∵点H为BC边的中点,BC=1,
∴CH=0.5,
∴DH==,
∵CH=0.5,CG=,
∴HG=,
∴HD=HG.
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【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
22.(12分)设二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)(x1,x2是实数).
(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=时,y=﹣.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.
(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示).
(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x1<x2<1时,求证:0<mn<.
【分析】(1)将(0,0),(1,0)代入y=(x﹣x1)(x﹣x2)求出函数解析式即可求解;
(2)对称轴为x=,当x=时,y=﹣是函数的最小值;
(3)将已知两点代入求出m=x1x2,n=1﹣x1﹣x2+x1x2,再表示出mn=[﹣][﹣],由已知0<x1<x2<1,可求出0≤﹣≤,0≤﹣≤,即可求解.
【解答】解:(1)当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;
∴二次函数经过点(0,0),(1,0),
∴x1=0,x2=1,
∴y═x(x﹣1)=x2﹣x,
当x=时,y=﹣,
∴乙说点的不对;
(2)对称轴为x=,
当x=时,y=﹣是函数的最小值;
(3)二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点,
∴m=x1x2,n=1﹣x1﹣x2+x1x2,
∴mn=[﹣][﹣]
∵0<x1<x2<1,
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∴0≤﹣≤,0≤﹣≤,
∴0<mn<.
【点评】本题考查二次函数的性质;函数最值的求法;熟练掌握二次函数的性质,能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键.
23.(12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D,连接OA.
(1)若∠BAC=60°,
①求证:OD=OA.
②当OA=1时,求△ABC面积的最大值.
(2)点E在线段OA上,OE=OD,连接DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n是正数),若∠ABC<∠ACB,求证:m﹣n+2=0.
【分析】(1)①连接OB、OC,则∠BOD=BOC=∠BAC=60°,即可求解;②BC长度为定值,△ABC面积的最大值,要求BC边上的高最大,即可求解;
(2)∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣mx﹣nx=∠BOC=∠DOC,而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°﹣mx﹣nx+2mx=180°+mx﹣nx,即可求解.
【解答】解:(1)①连接OB、OC,
则∠BOD=BOC=∠BAC=60°,
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∴∠OBC=30°,
∴OD=OB=OA;
②∵BC长度为定值,
∴△ABC面积的最大值,要求BC边上的高最大,
当AD过点O时,AD最大,即:AD=AO+OD=,
△ABC面积的最大值=×BC×AD=×2OBsin60°×=;
(2)如图2,连接OC,
设:∠OED=x,
则∠ABC=mx,∠ACB=nx,
则∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣mx﹣nx=∠BOC=∠DOC,
∵∠AOC=2∠ABC=2mx,
∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°﹣mx﹣nx+2mx=180°+mx﹣nx,
∵OE=OD,∴∠AOD=180°﹣2x,
即:180°+mx﹣nx=180°﹣2x,
化简得:m﹣n+2=0.
【点评】本题为圆的综合运用题,涉及到解直角三角形、三角形内角和公式,其中(2),∠AOD=∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方,本题难度适中.
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日期:2019/7/4 16:24:51;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557
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